河南省焦作市文昌中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（学生版+教师版）

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1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间90分钟．请用黑色水笔直接答在答题卷上．
2．答卷前将答题卷密封线内的项目填写清楚．
一、选择题．（每小题3分，共30分）
下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案前的代号字母填涂在答题卷上指定位置．
1. 以下图形中属于中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的概念．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；根据中心对称图形的概念即可求解；
【详解】解：、不属于中心对称图形，故本选项不符合题意；
、属于中心对称图形，故本选项符合题意；
、不属于中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不属于中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
2. 如果，那么下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误．
【详解】A. ，错误．
B. 当时，，错误．
C.取a=1，b=−2，满足a>b，但是，错误．
D.∵a>b，>0，∴，正确．
故选D．
【点睛】考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键．
3. 把一些书分给同学，设每个同学分x本，若____；分给9个同学，则书有剩余．可列不等式8（x+6）＞9x，则横线的信息可以是（ ）
A. 分给8个同学，则剩余6本
B. 分给6个同学，则剩余8本
C. 如果分给8个同学，则每人可多分6本
D. 其中6个同学少分一本，则有一位同学可分到8本
【答案】C
【解析】
分析】根据不等关系即可判断．
【详解】解：根据不等式8（x+6）＞9x，
可知如果分给8个同学，则每人可多分6本，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键．
4. 如图，中，，，平分，于点，连结交于点，则图中的等腰三角形有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的判定，运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质，证得∠CAD=∠BAD=30°，CD=ED，AC=AE，即△ABD、△CDE、△ACE、△BCE是等腰三角形.
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∴AD=BD．
∴△ABD是等腰三角形．
∵AD是角平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴CD=ED
∴AC=AE
∴△CDE、△ACE是等腰三角形；
∵AC=AE，∠BAC=60°，
∴∠ACE=60°，
∵，
∴∠BCE=30°
∴∠BCE=∠B
∴△CEB是等腰三角形
所以此图中有4个等腰三角形．
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；要综合运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质，找到相等的线段，来判定等腰三角形．
5. 如图，在中，已知点D在上，且，则点D在（ ）

A. 的垂直平分线上B. 的平分线上
C. 的中点D. 的垂直平分线上
【答案】A
【解析】
【分析】因为，，所以，点在的垂直平分线上，据此作答．
【详解】解：∵，，
，
∴点在的垂直平分线上，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，解题的关键是正确理解线段垂直平分线的判定定理．
6. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平移性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握平移性质和正方形的性质是解答的关键，由题意得，根据正方形的性质和勾股定理，求出，进而求出答案即可；
【详解】由题意得，
四边形是正方形，
，
，
，
点D，之间的距离为，
故选：D．
7. 下列命题：①有两边相等三角形是等腰三角形；②到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的面积相等．其中，逆命题为假命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】分别写出个命题的逆命题，然后再判定真假即可解答．
【详解】解:①有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题为：等腰三角形是两边相等的三角形，此命题是真命题；
②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上的逆命题为：角平分线上的点到角的两边的距离相等，此命题为真命题；
③直角三角形的两个锐角互余的逆命题为有两个角互余的三角形为直角三角形，此命题为真命题；
④全等三角形的面积相等的逆命题为面积相等的三角形全等，此命题为假命题．
故命题的逆命题中假命题的个数是1个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义、角平分线定义、互余的定义、全等三角形以及逆命题、假命题等知识点，灵活运用相关概念成为解答本题的关键．
8. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设（ ）
A. 四边形中没有一个角是钝角或直角
B. 四边形中至多有一个钝角或直角
C. 四边形中没有一个角是锐角
D. 四边形中没有一个角是钝角
【答案】A
【解析】
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【详解】试题解析：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角．
故选A．
【点睛】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
9. 已知不等式ax+b＜0的解集是x＜-2，下列图象有可能是直线y=ax+b的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数与一元一次不等式得到当x＜-2时，直线y=ax+b的图象在x轴下方，然后对各选项分别进行判断．
【详解】∵不等式ax+b<0的解集是x<−2，
∴当x<−2时，函数y=ax+b的函数值为负数，即直线y=ax+b的图象在x轴下方.
故选C
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴上（或下）方部分所有点的横坐标所构成的集合
10. 如图，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转，则点B的对应点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题；过点作轴于点H，分别求出即可；
【详解】如图，过点作轴于点H，
，
，
将绕点O逆时针旋转，
，
，
，
，
，
，
故选：A；
二、填空题．（每小题3分，共15分）
11. 鱼缸里饲养两种鱼，种鱼的生长温度的范围是，种鱼的生长温度的范围是，那么鱼缸里的温度应该控制在 ______ 范围内
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出不等式组，求不等式组解集的公共部分即可．
【详解】解：由题意，解得：20≤x≤25，
故答案为：20≤x≤25．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出不等式组．关键是掌握解集的规律：“同大取大，同小取小，大小小大取中间”进行分析求解．
12. 在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是____．
【答案】(﹣1，1)
【解析】
【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．
【详解】∵将点A(1,−2)向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到点A′，
∴点A′的横坐标为1−2=−1，纵坐标为−2+3=1，
∴A′的坐标为(−1,1).
故答案为(−1,1).
【点睛】考查坐标与图形变化-平移，掌握点平移时，坐标的变化规律是解题的关键.
13. 若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先解每一个不等式，再根据不等式组解集的范围内有四个整数解，得出新的不等式，求a的取值范围．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∵不等式组有四个整数解，即为，
∴，
故答案为：．
14. 某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打____ 折．
【答案】七
【解析】
【详解】试题分析：设打x折，利用销售价减进价等于利润得到1200•﹣800≥800×5%，然后解不等式求出x的范围，从而得到x的最小值即可．
解：设打x折，
根据题意得1200•﹣800≥800×5%，
解得x≥7．
所以最低可打七折．
故答案为七．
15. 如图，在中，厘米，厘米，若点P以2厘米/秒的速度由点运动，同时，点Q从点C出发，逆时针由运动（当点P到达点A时运动停止），当点Q的速度为________厘米/秒时，线段垂直平分线段．
【答案】6或
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，一元一次方程的应用．分情况求解是解题的关键．
设点Q的速度为厘米/秒，由，可知当为的中点，与重合时，线段垂直平分线段， 此时的运动时间为（秒），的运动路程为厘米，依题意得，计算求解即可；当与重合，为的中点时，线段垂直平分线段，此时的运动时间为（秒），的运动路程为厘米，依题意得，计算求解即可．
【详解】解：设点Q的速度为厘米/秒，
∵，
∴当为的中点，与重合时，线段垂直平分线段，
∴的运动时间为（秒），的运动路程为厘米，
∴，
解得，；
当与重合，为的中点时，线段垂直平分线段，
∴的运动时间为（秒），的运动路程为厘米，
∴，
解得，；
综上所述，点Q的速度为6厘米/秒或厘米/秒；
故答案为：6或．
三、解答题．（共8小题，共75分）
16.
（1）解不等式：；并把它的解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：
【答案】（1），见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示解集．熟练掌握解一元一次不等式（组），在数轴上表示解集是解题的关键．
（1）去分母，去括号，然后移项合并，最后系数化为1可求不等式的解集，然后在数轴上表示解集即可；
（2）先分别求两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
解得，；
在数轴上表示解集如下：
【小问2详解】
解：，
，
，
，
解得，；
，
，
，
，
解得，；
∴不等式组的解集为．
17. 如图，，E是上的一点，且．

（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先根据等角对等边得到，再利用证明即可；
（2）由全等三角形的性质得到，再证明， 则由勾股定理可得．
【小问1详解】
证明：，
，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）得，
，
，
，
，
，
，由（1）知，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等角对等边等等，证明是解题的关键．
18. 如图，在中，点为上一点，过点作、，且，求证：是等边三角形．
【答案】见详解
【解析】
【分析】根据可证，可得，进而得出，即可得结论．
【详解】证明：∵、，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，解题关键是证明三角形全等．
19. 如图，顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于点O的中心对称图形，直接写出点的坐标为________．
（2）画出绕原点O逆时针旋转的，直接写出点的坐标为________．
（3）若内一点绕原点O逆时针旋转对应点为Q，则Q的坐标为________．
【答案】（1）见解析，
（2）见解析，
（3）
【解析】
【分析】本题考查了作中心对称图形，作旋转图形，中心对称的性质等知识．熟练掌握作中心对称图形，作旋转图形，中心对称的性质是解题的关键．
（1）根据中心对称的性质作图，然后作答即可；
（2）根据旋转的性质作图，然后作答即可；
（3）根据中心对称的性质求解作答即可．
【小问1详解】
解：由中心对称的性质作图，如图1，即为所作；
∴；
【小问2详解】
解：由旋转的性质作图，如图2，即为所作；
∴；
【小问3详解】
解：∵点绕原点O逆时针旋转的对应点为Q，
∴Q的坐标为，
故答案为：．
20. 定义运算：当时，；当时，．如：；；．根据该定义完成下列问题：
（1）_________，当时，_________；
（2）若，求x的取值范围；
（3）如图，已知直线与相交于点，若，结合图象，直接写出x的取值范围；
【答案】（1）-3，2
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由定义可知：值就是取−3和2的最小值，即−3；同理可得另一个式子的结果；
（2）由定义列不等式解出即可；
（3）根据图象可知：当时，有；
【小问1详解】
解：，当 时，；
故答案为：−3，x；
【小问2详解】
由题意得：，
，
；
【小问3详解】
∵，
∴，
由图象得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式以及新定义的理解，此类题目要认真阅读并理解新定义的内含：结果取最小值，第三问利用数形结合的思想求解更简便．
21. 如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．

（1）若，求的度数；
（2）若周长为，，求长．
【答案】（1）
（2）4cm
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，即可得出答案；
（2）根据三角形的周长，结合线段之间数量关系，推出，进而计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：周长，，
，
即，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度适中．
22. 学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）A的单价30元，B的单价15元（2）购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少
【解析】
【分析】（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意列出方程组，即可求解；
（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为个，购买奖品的花费为W元，根据题意得到由题意可知，，，根据一次函数的性质，即可求解；
【详解】解：（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，
根据题意，得
，
，
A的单价30元，B的单价15元；
（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为个，购买奖品的花费为W元，
由题意可知，，
，
，
当时，W有最小值为570元，
即购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少；
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组，将最优方案转化为一次函数性质解题是关键．
23. （1）【问题原型】如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为_______．
（2）【初步探究】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．用含a代数式表示△BCD的面积并说明理由．
（3）【简单应用】如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，直接写出△BCD的面积（用含a的代数式表示）．
【答案】（1）【问题原型】32；（2）【初步探究】△BCD的面积为a2；（3）【简单应用】△BCD的面积为a2
【解析】
【分析】问题原型：如图1中，△ABC≌△BDE，就有DE=BC=8．进而由三角形的面积公式得出结论；
初步探究：如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．进而由三角形的面积公式得出结论．
简单运用：如图3中，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出BF=BC，由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面积公式就可以得出结论．
【详解】解：【问题原型】
如图1中，
如图1中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．
∴∠BED=∠ACB=90°，
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，
∴AB=BD，∠ABD=90°．
∴∠ABC+∠DBE=90°．
∵∠A+∠ABC=90°．
∴∠A=∠DBE．
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS）
∴BC=DE=8．
∵S△BCD=BC•DE
∴S△BCD=32，
故答案为：32
【初步探究】△BCD的面积为a2．
理由：如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．
∴∠BED＝∠ACB＝90°
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，
∴AB＝BD，∠ABD＝90°．
∴∠ABC+∠DBE＝90°．
∵∠A+∠ABC＝90°．
∴∠A＝∠DBE．
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS）
∴BC＝DE＝a．
∵S△BCD＝BC•DE
∴S△BCD＝a2；
【简单应用】△BCD的面积为a2．
如图3中，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，
∴∠AFB=∠E=90°，BF=BC=a．
∴∠FAB+∠ABF=90°．
∵∠ABD=90°，
∴∠ABF+∠DBE=90°，
∴∠FAB=∠EBD．
∵线段BD是由线段AB旋转得到的，
∴AB=BD．
在△AFB和△BED中，
，
∴△AFB≌△BED（AAS），
∴BF=DE=a．
∵S△BCD=BC•DE，
∴S△BCD=•a•a=a2．
∴△BCD的面积为a2．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．