中考数学一轮复习2.1方程(组)定义及解法知识点演练(讲练)(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习2.1方程(组)定义及解法知识点演练(讲练)(原卷版+解析)，共56页。
例1．（2022秋·河北邯郸·七年级校考期末）下列变形符合等式的性质的是（ ）
A．如果2x−3=7，那么2x=7−3
B．如果3x−2=x+1，那么3x−x=1−2
C．如果−2x=5，那么x=5+2
D．如果−2x=6，那么x=−3
知识点训练
1．（2022秋·辽宁大连·七年级统考期中）在下列式子中，变形一定成立的是（ ）
A．如果a=b，那么a+m=b+nB．如果−a3=b，那么a=−3b
C．如果a−x=b−x，那么a+b=0D．如果ma=mb，那么a=b
2．（2022秋·天津河西·七年级统考期末）下列方程变形正确的是（ ）
A．由−2x=1得x=−2B．由x−1=3得x=3−1
C．由−32x=1得x=−23D．由x+2=7得x=7+2
3．（2022秋·河北·七年级校联考期末）下列等式变形错误的是（ ）
A．若x=2y，则x+1=2y+1B．若3x=2y，则3xm=2ym
C．若3xa=2ya，则3x=2yD．若x=y，则m2+1x=m2+1y
4．（2022秋·广东江门·八年级江门市第一中学校考期中）根据等式的性质，下列变形中正确的是（ ）
A．若m+4=n−44，则m=nB．若a2x=a2y，则x=y
C．若xa=ya，则x=yD．若−32k=8，则k=−12
5．（2022秋·河北保定·七年级校考期末）如图，两个天平都平衡．当天平的一边放置3个苹果时，要使天平保持平衡，则另一边需要放香蕉（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．（2022秋·江苏南通·七年级校联考期中）下列运用等式性质正确的是（ ）
A．如果a=b，那么a+c=b−cB．如果a=b，那么ac=bc
C．如果ac=bc，那么a=bD．如果a=3，那么a2=3a2
7．（2022秋·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）下列说法中：①若x=y，则−m+x=−m+y；②若xa=ya，则x=y；③若x=y，则xt2+1=yt2+1；④若ax=ay，则x=y，正确的个数（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2022秋·湖南郴州·七年级校联考期末）下列运用等式的性质进行的变形，错误的是（ ）
A．如果x+2=y+2，则x=yB．如果 x=y，则x−2=y−2
C．如果 mx=my，则x=yD．如果 xm=ym，则x=y
考点2：方程的解
例2．（1）（2022秋·湖北武汉·七年级校考期末）如果x=3是方程3x−2a=a−3的解，则a的值为______．
（2）（（2022秋·湖北黄石·七年级校考期末）已知关于x的一元一次方程12021x+4=2x+b的解为x=2，那么关于y的一元一次方程12021y+1+4=2y+1+b的解为y=_____．
例3．（1）（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）若x=3y=−2是二元一次方程ax+by=−2的一个解，则3a−2b+2024的值为______．
（2）（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）关于x，y的二元一次方程组ax+2y=32x−by=4，下列说法正确的是______．
①当a=b=2时，方程组的解为x=74y=−14．
②当a=b=0时，方程组无解．
③当a≠0时，b无论为何值，方程组均有解．
④当a2≠−2b时，方程组有解．
例4．（1）（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）若a，b分别是方程3x2−9x+5=0的两根，则a2−4a−b=______________．
（2）（2021秋·广东东莞·九年级东莞市华侨中学校考期中）已知x=0是关于x的一元二次方程m+1x2+x+m2−1=0的一个根，则m=（ ）
A．1B．−1C．1或−1D．无法确定
例5．（1）（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知关于x的方程xx−5−m5−x=−1的解大于1，则实数m的取值范围是______．
（2）（2022秋·湖南衡阳·八年级校考期中）已知关于x的分式方程2x−1+mxx−1x+2=1x+2
(1)若方程的增根为x=1，求m的值；
(2)若方程无解，求m的值．
例6．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知关于x的分式方程2x−3+mxx2−9=5x+3．
(1)若这个方程的解是负数，求m的取值范围；
(2)若这个方程无解，则m=______．（直接写出答案）
知识点训练
1．（2022秋·北京东城·七年级东直门中学校考期末）关于x的方程ax=2的解是x=−2，则a的值为（ ）
A．1B．−1C．12D．−12
2．（2022秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期末）已知关于x的方程3m−2x+1=0的解是x=2，则m的值是（ ）
A．2B．1C．−1D．−2
3．（2022秋·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期末）若x=2y=1是关于x、y的二元一次方程ax+2y=5的解，则a的值是（ ）
A．32B．−23C．−32D．23
4．（2022秋·吉林松原·九年级统考期中）方程x2−2x+1=0的一个实数根为m，则2022−m2+2m的值是（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
5．（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）已知x=1是一元二次方程2x2−kx−3=0的根，则k的值为（ ）
A．−1B．1C．2D．−2
6．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）已知关于x的方程4x−m2x+4=1的解是负数，那么m的取值范围是（ ）
A．m>−4B．m2x−2≤3x+8有且只有4个整数解，并且使得关于y的分式方程5y−3−m3−y=2的解为整数，则满足条件的所有整数m的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）分式方程mx−1x−1=0有解，则m的取值范围是（ ）
A．m≠0B．m≠1C．m≠0或m≠1D．m≠0且m≠1
12．（2023秋·吉林长春·七年级长春市实验中学校考期末）已知x=5是方程ax−8=20+a的解，则a=______．
13．（2022春·广东江门·七年级校联考期中）已知x=ay=1是二元一次方程2x+y=4的一组解，则a的值是___________．
14．（2022秋·全国·九年级期中）已知m为方程x2+3x−2022=0的一个根，那么m3+2m2−2025m+2022的值为_______．
15．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）若关于x的分式方程xx−3−mx3−x=1无解，则m的值为______．
16．（2023秋·江苏南通·八年级启东市长江中学校考期末）若关于x的分式方程2x−3=1−m3−x的解为非负数，则m的取值范围是 _______．
17．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）关于x的分式方程m−2x−1−2xx−1=1有增根，则m的值为___________．
18．（2023秋·重庆·七年级西南大学附中校考期末）关于x，y的方程组2x+3y=19ax+by=−1与3x−2y=9bx+ay=−7有相同的解，则 a 4b 3 的值为（ ）
A． 1B． 6C． 10D． 12
考点3：方程（组）的解法
例7. （2022秋·湖北武汉·七年级统考期末）解方程
(1)3x−2=1−2(x+1)
(2)3y−14−1=5y−76
例8.（1）（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）用代入法解一元二次方程2x+y=5①3x+4y=7②过程中，下列变形不正确的是（ ）
A．由①得x=5−y2B．由①得y=5−2x
C．由②得x=7+4y3D．由②得y=7−3x4
（2）（2022秋·广东佛山·八年级佛山市南海石门实验中学校考期中）已知x、y满足方程组x+5y=123x−y=4，则x+y的值为（ ）
A．−4B．4C．−2D．2
（3）（2021春·江苏南通·七年级校考期中）已知关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的唯一解是x=4y=1，则关于m，n的方程组a1(2m−4)+b1n=c1+b1a2(2m−4)+b2n=c2+b2的解是（ ）
A．m=3n=2B．m=3n=4C．m=4n=2D．m=4n=3
（4）（2022秋·广东广州·八年级统考期末）解方程组：
(1)x−3y=4x+2y=9；
(2)x+y=53x−1+2y=9
例9. （1）（2022秋·陕西汉中·九年级统考期末）用公式法解方程：4x2+x−3=0．
（2）（2022秋·河北廊坊·九年级校考期末）嘉嘉解方程x2+2x−3=0的过程如图14所示．
(1)在嘉嘉解方程过程中，是用_____________（填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来求解的；从第_____________步开始出现错误；
(2)请你用不同于（1）中的方法解该方程．
例10. （2022秋·重庆合川·八年级校考期末）解分式方程：
(1)2x+3=1x−2；
(2)x+5x−5=1+10x2−10x+25．
知识点训练
1．（2022秋·黑龙江绥化·六年级校考期中）解方程：29x+16=125
2．（2022秋·北京东城·七年级东直门中学校考期末）解方程：
(1)3x−1=5x+1；
(2)2x+13=1−2x−16
3．（2022秋·黑龙江绥化·六年级校考期中）解方程：x−15x=23÷1718
4．（2022秋·重庆北碚·七年级统考期末）a−b+c=02a−3b+c=0，则a−cb=（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2022春·河南漯河·七年级校考期末）若关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=2y=−3，则关于m，n的二元一次方程组a1m−n+b1m+n=c1a2m−n+b2m+n=c2的解是（ ）
A．m=−12n=−52B．m=−12n=52C．m=−52n=−12D．m=52n=12
6．（2022春·上海浦东新·八年级校考期中）小明在解方程组2x+3y=12①2x+1yx+1=1②的过程中，以下说法错误的是（ ）
A．②−①可得y=2x−4，再用代入消元法解
B．令1x=a，1y=b，可用换元法将原方程组化为关于a、b的二元一次方程组
C．由①得y=6xx−4，再代入②，可得一个关于x的分式方程，亦可求解
D．经检验：x=8y=12是方程组的一组解
7．（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）关于x，y的二元一次方程组3x+5y=a+22x+3y=a的解适合x+y=10，则a的值为（ ）
A．14B．12C．6D．−10
8．（2022春·福建龙岩·七年级统考期末）解方程组x2+y3=24x−y=5
9．（2022春·湖南邵阳·七年级校考期中）对于有理数x，y定义新运算：x∗y=ax+by+5，其中a，b为常数．已知1∗2=9，（−3）∗3=2，那么1∗3 的值是多少？
10．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）若关于x，y的方程组a1x+y−b1x−y=c1a2x+y−b2x−y=c2，解为x=2022y=2023．则关于x，y的方程组a1x+b1y=15c1a2x+b2y=15c2的解是（ ）
A．x=809y=15B．x=4045y=1C．x=2022y=2023D．x=20225y=−20235
11．（2022秋·辽宁·八年级校考期末）解方程组：2x+3y=102x+y2−1+y4=1．
12．（2023秋·重庆·七年级西南大学附中校考期末）解方程（组）．
(1)6x−21−x=9x−5x+2．
(2)2x+3y2=23(2x+3y)−2y=6．
13．（2022秋·湖南郴州·九年级校考期末）将一元二次方程x2+4x−1=0化成形如(x+p)2=q的形式，则p+q的值为（ ）
A．7B．3C．−5D．10
14．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期末）把方程x2−6x+2=0化成(x−m)2=n的形式，则m+n的值是（ ）
A．−4B．4C．−10D．10
15．（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）对于任意的实数x，代数式−x2+4x−5的值是一个（ ）
A．正数B．负数C．非负数D．无法确定
16．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期中）用配方法解方程x2−4x−1=0，配方后的方程是（ ）
A．x−22=3B．x−22=5C．x+22=3D．x+22=5
17．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期中）把方程x2+6x−9=0化为x+a2=b的形式，下列方程中正确的是（ ）
A．x−32=18B．x+32=18C．x+32=15D．x−32=15
18．（2022秋·湖南永州·九年级统考期中）用配方法解方程x2−4x−3=0，配方后的方程是（ ）
A．(x−2)2=7B．(x+2)2=7C．(x−2)2=1D．(x+2)2=1
19．（2022秋·全国·九年级期中）先阅读材料，再解决下列问题．
例如：用配方法求代数式x2+4x+6的最小值．
原式=x2+4x+4+2=x+22+2．
∵x+22≥0，
∴当x=−2时，x2+4x+6有最小值是2．
根据上述所用方法，解决下列问题：
(1)求代数式x2−6x+12的最小值；
(2)若y=−x2+2x−3，当x=_______时，y有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______；
(3)当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2−6a−10b−8c+50=0时，判断△ABC的形状并说明理由．
20．（2022秋·江苏无锡·九年级无锡市江南中学校考期中）用适当的方法解方程：
(1)3x2−x=0
(2)x+12−9=0
(3)x2−2x−5=0
(4)xx−3=10
21．（2021秋·福建莆田·九年级校考期中）解方程：
(1)x2−6x−6=0
(2)2x2−7x+6=0
22．（2022秋·河南信阳·九年级统考期中）用合适的方法解方程：
(1)x−52=16．
(2)x2−2x−4=0．
(3)y−12+2y1−y=0．
(4)2x2−7x+1=0．
23．（2022秋·天津红桥·九年级校考期末）解下列方程：
(1)xx−3+x−3=0；
(2)3x2−5x+1=0．
24．（2022秋·天津河东·九年级校考期末）解方程
(1)x2−2x−6=0 ；
(2)(x+4)2=5(x+4) ．
25．（2022秋·辽宁大连·九年级校考期末）解方程：
(1)x2−8x+1=0
(2)xx−2+x−2=0
26．（2022秋·北京东城·九年级北京二中校联考期末）把关于x的一元二次方程2x2−4x+m=0配方，得到x+p2=12．
(1)写出完整的配方过程，并求常数m与p的值；
(2)求此方程的解．
27．（2022秋·河北唐山·八年级校考期末）已知关于x的方程x+1x=a+1a的两个解分别为a，1a，则方程x+1x+1=a+1a+1的解是（ ）
A．a，−aa+1B．1a+1，a+1C．1a，a+1D．a，−1a+1
28．（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第四十中学校考期末）把分式方程1x−2−1−x2−x=1化为整式方程正确的是（ ）
A．1−1−x=1B．1+1−x=1
C．1−1−x=x−2D．1+1−x=x−2
29．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）解方程：
(1)2x−5=15−x+1；
(2)xx−2−1=1x−2x+3．
30．（2022秋·湖北·八年级统考期末）解方程：
(1)2x+1−1x=0
(2)x−2x+2−16x2−4=1
31．（2023秋·山东临沂·八年级郯城县实验中学校考期末）解下列方程：
(1)2x−3=3x
(2)4x2−1=x+2x−1−1
32．（2022秋·山东烟台·八年级统考期中）解方程：
(1)x2−3xx−2+x2−22−x=1
(2)3x−1−x+2xx−1=0
考点4：一元二次方程根的判别式
例11. （2022秋·河南新乡·九年级统考期中）已知：关于x的一元二次方程2x2−3x+k=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k取最大整数值时，求该方程的解．
知识点训练
1．（2022秋·陕西西安·九年级校考期末）若方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．4B．2C．1D．0
2．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程kx2−4x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤4B．k≥−4C．k≤4且k≠0D．k≥−4且k≠0
3．（2021秋·广东东莞·九年级东莞市华侨中学校考期中）关于x的方程x2−2x−5=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．不能确定
4．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）
A．x2+14=xB．x−22=5C．x2+2x=0D．2x2−2x+1=0
5．（2022秋·河北廊坊·九年级校考期末）若关于x的方程x2+mx+n=0有两个相等的实数根，则方程x2+mx+n=−1的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
6．（2022秋·湖南郴州·九年级校考期末）若关于x的一元二次方程x2−2x−m=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． m>−1B． m>1C． m≥−1D． m≤−1
7．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）关于x的一元二次方程x2+3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．（2022秋·广东东莞·九年级统考期末）关于x的一元二次方程k−1x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则k取值范围是（ ）
A．k≥−2B．k>2C．k2且k≠1
9．（2022秋·全国·九年级期中）关于x的一元二次方程x2−2x+(m−1)=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m>0且m≠1B．m≥0且m≠1C．m>0D．m0，等式成立，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查等式的性质．熟练掌握等式的性质，是解题的关键．
4．（2022秋·广东江门·八年级江门市第一中学校考期中）根据等式的性质，下列变形中正确的是（ ）
A．若m+4=n−44，则m=nB．若a2x=a2y，则x=y
C．若xa=ya，则x=yD．若−32k=8，则k=−12
【答案】C
【分析】根据等式的基本性质，逐个进行判断，即可进行解答．
【详解】解：A、若m+4=n−44，则m≠n，故A不正确，不符合题意；
B、若a2x=a2y，a≠0，则x=y，故B不正确，不符合题意；
C、若xa=ya，则x=y，故C正确，符合题意；
D、若−32k=8，则k=−163，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的性质一：等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立．性质二：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．
5．（2022秋·河北保定·七年级校考期末）如图，两个天平都平衡．当天平的一边放置3个苹果时，要使天平保持平衡，则另一边需要放香蕉（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【分析】通过等量关系，建立方程求解．
【详解】解：设一个苹果的重量是a，一个香蕉的重量是b，一根三角形物体的重量是c，由题意得：
2a=5c2b=3c，
∴a=52cb=32c，
∴3a=3×52c=152c，
152c÷32c=5（个），
即另一边需要放香蕉5个．
故选：D．
【点睛】本题考查等式性质，找到题中的等量关系是求解本题的关键．
6．（2022秋·江苏南通·七年级校联考期中）下列运用等式性质正确的是（ ）
A．如果a=b，那么a+c=b−cB．如果a=b，那么ac=bc
C．如果ac=bc，那么a=bD．如果a=3，那么a2=3a2
【答案】C
【分析】根据等式的性质：等式的左、右两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式的左、右两边同时乘上或除以同一个数（0除外），等式仍然成立，由此进行判断即可．
【详解】解：A、如果a=b，那么a+c=b−c，不正确，本选项不符合题意；
B、如果a=b，当c ≠0时，那么ac=bc，原说法错误，本选项不合题意；
C、如果ac=bc，这时c ≠0时，那么a=b，原说法正确，本选项合题意；
D、如果a=3，，那么a2=3a2，两边乘的数不相同，本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练运用等式的基本性质是解题的关键。
7．（2022秋·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）下列说法中：①若x=y，则−m+x=−m+y；②若xa=ya，则x=y；③若x=y，则xt2+1=yt2+1；④若ax=ay，则x=y，正确的个数（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据等式的性质依次判断即可．
【详解】解：∵等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立，
∴若x=y，则−m+x=−m+y；
∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，
∴若xa=ya，则x=y，故②正确；
∴若x=y，则xt2+1=yt2+1，故③正确；
∴若ax=ay，当a≠0时x=y，故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是熟知：等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．
8．（2022秋·湖南郴州·七年级校联考期末）下列运用等式的性质进行的变形，错误的是（ ）
A．如果x+2=y+2，则x=yB．如果 x=y，则x−2=y−2
C．如果 mx=my，则x=yD．如果 xm=ym，则x=y
【答案】C
【分析】根据等式的性质判断即可．
【详解】解：A. 如果x+2=y+2，则x=y，说法正确，故不符合题意；
B. 如果 x=y，则x−2=y−2，说法正确，故不符合题意；
C. 如果 mx=my，则x=y，只有当m≠0的时候才成立，说法错误，故符合题意；
D. 如果 xm=ym，则x=y，说法正确，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键
考点2：方程的解
例2．（1）（2022秋·湖北武汉·七年级校考期末）如果x=3是方程3x−2a=a−3的解，则a的值为______．
【答案】4
【分析】把x=3代入原方程，即可求解．
【详解】解：∵x=3是方程3x−2a=a−3的解，
∴3×3−2a=a−3，
解得：a=4，
故答案为：4
（2）（（2022秋·湖北黄石·七年级校考期末）已知关于x的一元一次方程12021x+4=2x+b的解为x=2，那么关于y的一元一次方程12021y+1+4=2y+1+b的解为y=_____．
【答案】1
【分析】利用换元法可求得y+1=2，即可求解
【详解】解：设y+1=x，原方程可变为：12021x+4=2x+b，
∵方程12021x+4=2x+b的解为x=2，
∴y+1=2，
∴y=1，
故答案为：1
例3．（1）（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）若x=3y=−2是二元一次方程ax+by=−2的一个解，则3a−2b+2024的值为______．
【答案】2022
【分析】根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于a，b的方程，可得整体代数式的值，再代入代数式3a−2b+2024可得答案．
【详解】解：∵x=3y=−2是二元一次方程ax+by=−2的一个解，
∴代入得：3a−2b=−2，
∴3a−2b+2024=−2+2024=2022，
故答案为：2022．
（2）（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）关于x，y的二元一次方程组ax+2y=32x−by=4，下列说法正确的是______．
①当a=b=2时，方程组的解为x=74y=−14．
②当a=b=0时，方程组无解．
③当a≠0时，b无论为何值，方程组均有解．
④当a2≠−2b时，方程组有解．
【答案】①④
【分析】根据解二元一次方程的知识，进行求解，即可．
【详解】①当a=b=2时，二元一次方程组为：2x+2y=32x−2y=4
令2x+2y=3,①2x−2y=4,②
①+②得，4x=7，解得：x=74
把x=74代入①式，得2×74+2y=3，解得：y=−14
∴当a=b=2时，方程组的解为：x=74y=−14；
故①正确；
②当a=b=0时，二元一次方程组为：2y=32x=4
解得：y=32x=2
∴当a=b=0时，方程组的解为：y=32x=2；
故②错误；
③∵ax+2y=3
∴y=−a2x+32
把y=−a2x+32代入2x−by=4中，得x=3b+84+ab
∴y=12−8a24+ab
若4+ab=0，则ab=−4，方程无解
当a≠0，ab=−4且b≠−83时，方程无解
∴③错误；
④当a2≠−2b，
∴ab≠−4，
∴在x=3b+84+aby=12−8a24+ab中，x，y有意义，
∴当a2≠−2b时，二元一次方程组ax+2y=32x−by=4有解，
∴④正确，
∴正确的为：①④．
故答案为：①④．
例4．（1）（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）若a，b分别是方程3x2−9x+5=0的两根，则a2−4a−b=______________．
【答案】−143##−423
【分析】根据a，b分别是方程3x2−9x+5=0的两根，得出3a2−9a+5=0，a+b=−−93=3，将3a2−9a+5=0变形得出a2−3a=−53，然后变形a2−4a−b=a2−3a−a+b，最后代入求值即可．
【详解】解：∵a，b分别是方程3x2−9x+5=0的两根，
∴3a2−9a+5=0，a+b=−−93=3，
∴3a2−9a=−5，
即a2−3a=−53，
∴a2−4a−b
=a2−3a−a−b
=a2−3a−a+b
=−53−3
=−143．
故答案为：−143．
（2）（2021秋·广东东莞·九年级东莞市华侨中学校考期中）已知x=0是关于x的一元二次方程m+1x2+x+m2−1=0的一个根，则m=（ ）
A．1B．−1C．1或−1D．无法确定
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入已知方程列出关于系数m的新方程，通过解方程即可求得m的值．
【详解】解：∵关于x的方程m+1x2+x+m2−1=0是一元二次方程，
∴m+1≠0，
∴m≠−1．
根据题意，知x=0满足关于x的一元二次方程m+1x2+x+m2−1=0，
则m2−1=0，即(m+1)(m−1)=0，
解得，m=−1（不合题意，舍去），或m=1．
故选：A．
例5．（1）（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知关于x的方程xx−5−m5−x=−1的解大于1，则实数m的取值范围是______．
【答案】m1，且5−m2≠5，
解得m0，且k−1≠0，求出k的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：由题意知：k−1≠0，Δ=−22−4×1×k−1=4−4k+4=8−4k>0，
解得：k0且m≠1B．m≥0且m≠1C．m>0D．m0，
即4−4(m−1)>0．
解得m0时，方程有两个不相等的实数根．
10．（2021秋·广东东莞·九年级东莞市华侨中学校考期中）若关于x的一元二次方程x2+2x+a−2=0有两个实数根，则a的取值范围是___________．
【答案】a≤3
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+a−2=0有两个实数根，
∴Δ=22−4×1×a−2≥0，
得4−4a+8≥0，
解得a≤3，
故a的取值范围是a≤3，
故答案为：a≤3．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式是解决本题的关键．
11．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期末）已知关于x的方程x2+2x+k−4=0有两个不相等的实数根．
（1）k的取值范围是______；
（2）若x=−2是该方程的一个根，则k=______．
【答案】 k0，即22−4k−4>0，即可求得k的取值范围；
（2）设方程另一个根为x2，然后利用根与系数的关系有−2+x2=−2−2x2=k−4，即可得到方程的另一个根．
【详解】解：（1）∵关于x的方程x2+2x+k−4=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=22−4k−4>0
解得：k