还剩58页未读，
继续阅读
所属成套资源：中考数学一轮复习(原卷版+解析)
成套系列资料，整套一键下载
中考数学一轮复习2.3一元一次不等式(组)及其应用知识点演练(讲练)(原卷版+解析)
展开
这是一份中考数学一轮复习2.3一元一次不等式(组)及其应用知识点演练(讲练)(原卷版+解析)，共61页。试卷主要包含了说出下列不等式的变形依据等内容，欢迎下载使用。
考点1：不等式的基本性质
例1．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）已知x例2．（2022秋·浙江·八年级专题练习）说出下列不等式的变形依据．
(1)若x+2>3，则x>1；
(2)若2x>−3，则x>−32；
(3)若−3x>4，则x<−43．
知识点训练
1．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）aA．a+z−4bC．2a<2bD．a−c>b−c
2．（2022秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）若a>b，则下列式子正确的是（ ）
A．−2022a>−2022bB．a−2022>b−2022
C．2022−a>2022−bD．2022a<2022b
3．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）若a>b，则下列结论一定成立的是（ ）
A．−a>−bB．a2>b2C．a−14．（2022春·福建龙岩·七年级统考期末）由a≥b得到am≤bm，则需要的条件是（ ）
A．m>0B．m≠0C．m≥0D．m≤0
4．（2022秋·浙江·八年级阶段练习）若aA．−15a+1<15b+1B．c2aC．−2a<2bD．1−a>1−b
5．（2022秋·浙江·八年级期中）若a＞b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a−2021＞b−2021 B．−2021a＜−2021b
C．ac>bcD．a+c＞b+c
6．（2022秋·黑龙江七台河·八年级校联考期中）下列说法中正确的有（ ）
①−ab=a−b=−ab ②若ab<0，则a>0，b>0
③若a=0，b≠0，则ab=0 ④若a>0，b>0，则1a<1b
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2023春·八年级单元测试）若a>b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a−5>b−5B．−5a<−5b
C．ac>bcD．ac2+1>bc2+1
8．（2022秋·浙江·八年级专题练习）关于x的一元一次不等式k−1x≤k−1的解集为x≥1，则k的值不能为（ ）
A．−5B．−2C．−1D．3
9．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）若a>b，且6−xa<6−xb，则x的取值范围是_____．
考点2：一元一次不等式及其解法
例3. （2022春·陕西西安·八年级校考阶段练习）解不等式9x+26−2x−13≥−1，并把它们的解集在数轴上表示出来．
例4. （2022秋·河南郑州·九年级校考期末）先化简：1−1x+2÷x2−1x2+4x+4，再从不等式−2x−1<6的负整数中选一个适当的数代入求值．
知识点训练
1．（2023春·八年级单元测试）下列式子是一元一次不等式的是（ ）
A．x+y<0B．x2>0C．x2>3+xD．1x<0
2．（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）在x>0，1x<−1，2x<−2+x，x+y≥−3，x+1=0，x2>3，是一元一次不等式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2022春·上海普陀·六年级校考期中）下列不等式中，是一元一次不等式的为（ ）
A．3x+5≤−2x−1B．x−3y>6
C．x2+4≥2x+3 D．xy>1
4．（2021春·河南新乡·七年级校考期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．不等式a<2的正整数解只有一个B．−2是不等式2x−1<0的一个解
C．不等式x<10的整数解有无穷多个D．不等式−3x>9的解集是x>−3
5．（2022春·河南濮阳·八年级校考期中）若m−1xm+2>0是关于x的一元一次不等式，则m=（ ）
A．±1B．1C．−1D．0
6．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）已知不等式x+1≥0，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023秋·湖南益阳·八年级校联考期末）若关于x的不等式x−m≥−1的解集如图所示，则m等于（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）若一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A．x−2<0B．x−2>0C．x+2<0D．x+2>0
9．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）若不等式x≤m的解都是不等式2−3x≥5的解，则m的取值范围是（ ）．
A．m≤−1B．m<−1C．m≥−1D．m>−1
10．（2022春·河南驻马店·七年级统考期末）若（m﹣2）x|m-1|﹣3＞6是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为_____．
11．（2021秋·浙江湖州·八年级统考期末）不等式3x<−12的解集是______．
12．（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）不等式3x−3x<6的解集是________.
13．（2021春·海南海口·七年级校考期中）若关于x的方程2x−m+1=4x−1的解是负数，则m的取值范围是____________．
14．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）不等式13−4x≥3x−8的非负整数解有______个．
15．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）解不等式2x−5≤2x2−3，并把它的解集在数轴上表示出来．
16．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1)2−3+x<3x+2．
(2)x−x−12>2x−13−1−x6．
考点3：解一元一次不等式组
例5. 解不等式组：3x+1≥x−1①3x−42≤x②，请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得 ．
(2)解不等式②，得 ．
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
(4)原不等式组的解集为 ．
例6. 若关于x的不等式组x+152>x−32x+23知识点训练
1．（2022春·全国·八年级假期作业）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
①x>−2x<3；②x>0x+2>4；③x+1>0y−4<0；④x+3>0x<−7；⑤x2+14
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2023秋·广西南宁·九年级三美学校校考期末）不等式组2−x≥03x+2>−1的解集里（ ）
A．−1C．x<−1或x≥2D．−2≤x<−1
3．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）将不等式组x>2x≥3的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，若P2−x,x关于原点的对称点在第二象限，则x的取值范围为（ ）
A．02
5．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）若关于x的不等式组x<2x≥a−1无解，则a的取值范围为（ ）
A．a≤3 B．a<3 C．a≥3D．a>3
6．（2020秋·浙江杭州·八年级校考期中）若不等式组−x+2m的解是x>4，则m取值范围是（ ）
A．m≤4B．m<4C．m≥4D．m>4
7．（2020秋·云南楚雄·九年级统考期末）如果关于x的不等式组2x−a≥0，3x−b＜0的整数解仅有1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a，b之中，b的最大值减去a的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
8．（2023秋·河南郑州·九年级统考期末）不等式组x−4＜2x−112x+1≤1的所有整数解的和为___________．
9．（2021春·四川成都·八年级校考期中）已知m是不等式组m−2<3m−10m<8的正整数解，则分式方程2x−2=mx+1有整数解的概率为___________．
10．（2023秋·河北张家口·八年级张家口市第一中学校考期末）若不等式组x−a<1x−2b>3的解集为−111．（2021秋·浙江湖州·八年级统考期末）解不等式组：2(x+2)<3x+3x312．（2023秋·广西南宁·八年级校考阶段练习）解不等式组并把解集表示在数轴上5x−3≥2x+92+3x>x+92．
13．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）解不等式组2x−6<0x+1>x3，并把解集表示在数轴上．
14．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）解不等式2x−12+1−x3>15x+1≥3x+1，并在数轴上把它的解集表示出来．
15．（2021春·宁夏银川·八年级银川市第三中学校考期中）解不等式3−x2≤13x+2≥4．
16．（2021春·甘肃兰州·八年级兰州市第十中学校考期中）解不等式组，并求出不等式组的解集．
(1)2x+7>3x−1x−25≥0．
(2)5x−3>3x−112x−1≥7+32x．
17．（2021春·河南郑州·八年级校联考期中）解不等式组2x−13−5x+12≤25x−1<3x+1，并求出该不等式组的负整数解．
18．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）解不等式组1+x≤43x−1<2x−1，并把解集在数轴上表示出来．
考点4：一元一次不等式的应用
例7. （2022春·福建厦门·七年级统考期末）某俱乐部举行篮球联赛，组委会制定的赛制规则是：每个队都要比赛12场，每场比赛只分胜、负，胜1场积2分，负1场积1分，按积分高低确定出线名额．目前雄鹰队的战绩是4胜2负，蓝狮队的战绩是4胜5负．根据组委会赛制规则可预测，这两个队完成所有比赛后，积分高的队伍可以出线，问雄鹰队在剩下的比赛中至少需胜多少场可确保出线？
例8.（2023秋·广西钦州·九年级统考期末）某商店经销一种销售成本为40元/kg的水产品，据市场分析：若按60元/kg销售，一个月能售出300kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg，针对这种水产品，请解答以下问题：
(1)写出月销售量y(kg)与售价x(元/kg)之间的函数解析式
(2)当售价定为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？
(3)商店想在月销售成本不超过8000元的情况下，使得月销售利润不少于4000元，销售单价可定在什么范围？
知识点训练
1．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）某品牌电脑的成本为2400元，标价为3150元，如果商店要以不低于5%的利润销售，最低可打（ ）折出售．
A．7折B．7.5折C．8折D．8.5折
2．（2023秋·河北张家口·八年级张家口市第一中学校考期末）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多5元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，
(1)求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元?
(2)由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共100桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的12，由于是第二次购买，商家给予八折优惠．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少?最少总金额是多少元?
3．某水果店一次购进了若干箱水蜜桃和李子，已知购进水蜜桃花费800元，购进李子花费1680元，所购李子比水蜜桃多10箱，李子每箱的进价是水蜜桃每箱进价的1.4倍．
(1)水蜜桃和李子每箱进价分别为多少元？水蜜桃和李子各多少箱？
(2)根据市场情况，每箱李子可以比每箱水蜜桃的利润多5元，这批水果全部售完后，店家若想获得不少于800元的利润，应该如何确定每箱水蜜桃和李子的售价？
4．（2022·河北沧州·统考二模）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向10km以内的出行市场．现有A、B两种品牌的共享电动车，已知A品牌每分钟收费0.2元、B品牌的收费为y（元）与骑行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．
(1)求B品牌的收费y（元）与骑行时间x（分钟）之间的函数关系式，并写出相应的x的取值范围；
(2)小王发现，他从家到单位上班，骑行A品牌或B品牌的共享电动车的费用相同，求小王骑共享电动车从家到单位的骑行时间；
(3)小李每天也骑共享电动车上班，他说：“我从家来单位的话，A、B两种品牌的共享电动车的收费相差不超过1.2元”，请直接写出小李从家到单位骑行时间的取值范围．
5．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如表：
某校根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，送七年级师生到基地参如社会实践活动，设租用B型客车x辆，根据要求回答下列问题：
(1)用含x的式子填表：
(2)若要保证租车费用不超过1800元，求x的最小值，并写出此时的租车方案和租车费用．
6．（2023秋·重庆·九年级校联考期末）回家过年，一家团聚，是我们每个中国人的信仰．在这春节来临之际，置办年货当然也是每个家庭必需要做的事情．某商家看准商机，购进A，B两种春节大礼包进行销售，已知一个B礼包比A礼包的进价多30元，其中购买A礼包花费4000元，购买B礼包花费3200元，且购买A礼包的数量是购买B礼包数量的2倍．
(1)求一个A礼包的进价是多少元；
(2)商家第一次购进的礼包很快售完，决定再次购进同种类型的A，B两种礼包共80个，但A礼包的进价比第一次购买时提高了16%，而B礼包的进价在第一次购买时进价的基础上打9折，如果商家此次两种礼包的总费用不超过4800元，那么此次最多可购买多少个B礼包？
7．（2022秋·河南新乡·八年级统考期末）为了响应国家的“双减”政策，某校外培训机构开始实施“学科类培训”向“非学科类培训”的转型．市场调查后发现，篮球和足球的培训前景良好，于是决定从某体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于球类培训．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1500元购买足球的数量是用1200元购买篮球数量的2倍．
(1)篮球和足球的单价各是多少？
(2)根据学生报名情况，该机构需一次性购买篮球和足球共100个，但要求购买足球和篮球的总费用不超过6000元，最多可以购买多少个篮球？
8．（2021春·河南郑州·八年级校考期中）新型冠状肺炎疫情爆发以来，很多地方防护物资紧缺，开学前期，某爱心人士准备购买额温枪送给母校，经了解市场，购买甲种品牌的额温枪2支和乙种品牌的额温枪5支共需2700元，购买甲种品牌的额温枪6支和乙种品牌的额温枪2支共需2900元．
(1)求两种品牌的额温枪的价格各是多少元？
(2)经与商家协商，甲种品牌的额温枪可以打八折出售，乙种品牌的额温枪降价15%，若购买两种品牌的额温枪共50支且总费用不超过15000元，甲种品牌的额温枪至少要购买多少支？
9．（2021春·山东济南·八年级校考期中）随着“父亲节”的临近，某商场决定开展“感恩父爱，回馈顾客”的促销活动，对部分节日大礼包进行打折销售，其中A款节日大礼包打8折，B款节日大礼包打7.5折，已知打折前，购买4盒A款节日大礼包和5盒B款节日大礼包需要1000元；打折后买5盒A款节日大礼包和4盒B款节日大礼包需要760元．
(1)求打折后A，B两款节日大礼包每盒分别为多少元？
(2)打折期间，某公司计划为员工采购150盒节日大礼包，总费用不超过13000元，则最多可以购买B款节日大礼包多少盒？
10．（2022秋·重庆江津·八年级统考期末）在全民健身运动中，“万步有约”健步走活动备受市民青睐．元旦节当天，小李和妈妈约定从通泰门出发，沿相同的路线去4公里外的元帅广场，已知妈妈的步行速度是小李的1.6倍．
(1)若小李先出发30分钟，妈妈才从通泰门出发，最终小李和妈妈同时到达元帅广场，则小李步行的速度是每分钟多少米？
(2)粗心的妈妈到达元帅广场后，想起30分钟后公司有一个重要会议要参加，公司距离元帅广场3.8公里，妈妈马上从元帅广场出发赶去公司，她先以原速度步行一段时间后，又以150米/分钟的速度跑步前行，若妈妈想要不迟到，则至少需要跑步多少分钟？
考点5：一元一次不等式组的应用
例9. （2022春·湖南湘西·七年级统考期末）为全面落实乡村振兴总要求，吉首市某乡计划试种植猕猴桃树和蓝莓树共100棵．若种植40棵猕猴桃树，60棵蓝莓树共需投入成本9600元；若种植40棵蓝莓树，60棵猕猴桃树共需投入成本10400元．
(1)求猕猴桃和蓝莓树每棵各需投入成本多少元？
(2)若猕猴桃的种植棵数不少于蓝莓树的35，且总成本投入不超过9710元，问：共有几种种植方案？
例10. （2022秋·浙江·八年级期中）学校举行八年级段数学知识竞赛，设立了一、二、三等奖，计划共购买45件奖品，其中二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少5件，已知购买一等奖奖品x件，各种奖品的单价如表：
(1)学校购买二等奖奖品 件，三等奖奖品 件；（用含x的代数式表示）
(2)若购买三等奖奖品的费用不超过二等奖奖品的费用的2倍，且三等奖奖品的件数不少于一等奖奖品件数的52倍．问学校共有几种购买方案？如何购买这三种奖品，使总费用最少？并求出最少的总费用．
知识点训练
1．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）文德中学初二年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给他们．如果每人送4本，则还余9本；如果每人送5本，则最后一人能得到课外读物但不足2本．设初二年级有x名学生获奖．则下列不等式组表示正确的是（ ）．
A．4x+9−5x−1>04x+9−5x−1<2B．4x−9−5x−1>04x−9−5x−1<2
C．4x+9−5x−1>04x+9−5x−1≤2D．4x−9−5x−1>04x−9−5x−1≤2
2．（2021春·河南郑州·八年级校联考期中）“输入一个实数x，然后经过如图的运算，到判断是否大于190为止”叫做一次操作，那么恰好经过两次操作停止，则x的取值范围是___________．
3．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装8吨，则最后一辆汽车不满也不空．
(1)若有x辆车，则货物共有_________吨（用含x的代数式表示）．
(2)请你算一算：有多少辆汽车运这批货物？
4．（2021春·海南海口·七年级校考期中）某商店计划购进A、B两种商品，若购进9件A商品和10件B商品需用1810元，若购进12件A商品和8件B商品需用1880元；已知销售一件A商品可获利18元，销售一件B商品可获利30元．
(1)A、B两种商品的单价分别是多少元？
(2)要使在这次销售中获利不少于699元，A商品不多于28件，已知该商店购进A商品件数比购进B商品件数的2倍还多4件，那么该商店在这次进货中可有几种购进方案？哪几种？
5．（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第二十三中学校考期末）某超市购进甲、乙两种商品，购买1个甲商品比购买1个乙商品多花6元，并且花费400元购买甲商品和花费100元购买乙商品的数量相等．
(1)求购买一个甲商品和一个乙商品各需多少元；
(2)商店准备购买甲、乙两种商品共40个，并要求商品个数为正整数，若甲商品的数量不少于乙商品数量的3倍，并且购买甲、乙商品的总费用不低于230元且不高于266元，那么超市有几种购买方案？哪种方案费用少？
6．（2023春·广东江门·七年级统考期末）某商店准备购进甲、乙两种品牌纪念品，若购进甲种纪念品40个，乙种纪念品25个，需要1350元；若购进甲种纪念品20个，乙种纪念品30个，需要1200元．
(1)求购进甲、乙两种纪念品每个各需多少元？
(2)若该商店刚好用了3000元购进这两种纪念品，考虑顾客需求，要求购进甲种纪念品的数量不少于乙种纪念品数量的3倍，且乙种纪念品数量大于38个，那么该商店有几种进货方案？
(3)若该商店销售每个甲种纪念品可获利润5元，销售每个乙种纪念品可获利润6元，在第（2）问的进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？
7．（2022秋·湖北随州·九年级统考期末）在双十二活动期间，商店将对某商品进行促销活动，已知进价为每件6元，平时以单价10元的价格售出一天可卖100件．根据调查单价每降低1元，每天可多售出50件；设商品单价降低x元0(1)当商品的销售单价降低多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？
(2)当日利润达到400元时，求x的值．
(3)若商店以第（2）问中的方式销售2天后，第三天单价再减a元，当天的销售量不低于前两天总和的70%，求第三天的日利润最大值．
8．（2022秋·湖北省直辖县级单位·九年级校联考阶段练习）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积xm2之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．
(1)当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
8．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长16米）的空地上修建一个矩形花园．如图所示，花园一面靠墙，另外三面由栅栏围成．花园分成了面积相等的区域①、区域②、区域③三块矩形区域，也用栅栏分隔.已知共用了80m的栅栏，设CF的长度为x米，矩形ABCD的面积为y平方米.
(1)用含x的代数式表示AB、BC的长；
(2)求出y关于x的函数表达式；
(3)x为何值时，y有最大值？最大值为多少？
9．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）根据以下素材，探索完成任务
10．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（x为正整数且45≤x≤75），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入调整为a25+xm6x万元．
(1)若这100−x名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，则调整后的技术人员最多有______人；
(2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内任意调整后，都能同时满足以下两个条件：
①研发人员的年人均投入不超过m−2a；
②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．请说明理由．
A
B
载客量（人/辆）
45
30
租金（元/辆）
400
280
车辆数（辆）
载客量
A
B
x
奖品
一等奖奖品
二等奖奖品
三等奖奖品
单价（元）
12
10
8
如何运输最省?
素材一
为做到“动态清零”，市卫生防疫部门需运输一批疫苗到某县，现有冷链车A 和 B型两种运输车，其中A型冷链运输车一次可运输200盒疫苗，B型冷链运输车一次可运输150盒疫苗．
素材二
A型冷链运输车一次需费用5000元，B型冷链运输车一次需费用3000元．
问题解决
任务1
若某县需要1500盒疫苗，市卫生防疫部门只安排A型冷链运输车，则至少需A型冷链运输车多少辆？
任务2
市卫生防疫部门用上述两种冷冻车共12辆运输这批疫苗.若运输疫苗不少于2100盒，且总费用小于54000元请你列出所有的运输方案．
任务3
在任务2的条件下，由于A型和 B型两种运输车，运输时走不同高速路线，A型需a元过路费， B型100−a元过路费，求如何安排两种车型运输的过路费总和最少？
2.3一元一次不等式（组）及其应用知识点演练
考点1：不等式的基本性质
例1．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）已知x【答案】12−3x>12−3y，理由见解析
【分析】根据不等式性质1和不等式性质2进行变形即可证明．
【详解】解：12−3x>12−3y，理由如下：
∵x∴−3x>−3y（不等式性质2），
∴12−3x>12−3y（不等式性质1）．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解题关键是熟知不等式的性质，并能根据性质对不等式进行变形．
例2．（2022秋·浙江·八年级专题练习）说出下列不等式的变形依据．
(1)若x+2>3，则x>1；
(2)若2x>−3，则x>−32；
(3)若−3x>4，则x<−43．
【答案】(1)根据不等式的性质1，不等式的两边同时减去2
(2)根据不等式的性质2，不等式的两边同时除以2
(3)不等式的性质3，不等式的两边同除以−3
【分析】（1）根据不等式的性质1变形；
（2）根据不等式的性质2变形；
（3）不等式的性质3变形．
【详解】（1）解：根据不等式的性质1，不等式的两边同时减去2．
（2）解：根据不等式的性质2，不等式的两边同时除以2．
（3）解：不等式的性质3，不等式的两边同除以−3．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
知识点训练
1．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）aA．a+z−4bC．2a<2bD．a−c>b−c
【答案】D
【分析】根据不等式的性质进行一一判断．
【详解】解：A．在不等式aB．在不等式a−4b，故本选项不符合题意；
C．在不等式aD．在不等式a故选：D．
【点睛】主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
2．（2022秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）若a>b，则下列式子正确的是（ ）
A．−2022a>−2022bB．a−2022>b−2022
C．2022−a>2022−bD．2022a<2022b
【答案】B
【分析】利用不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：A、∵a>b，
∴−2022a<−2022b，故A不符合题意；
B、∵a>b，
∴a−2022>b−2022，故B符合题意；
C、∵a>b，
∴−a<−b，
∴2022−a<2022−b，故C不符合题意；
D、∵a>b，
∴2022a>2022b，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
3．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）若a>b，则下列结论一定成立的是（ ）
A．−a>−bB．a2>b2C．a−1【答案】B
【分析】根据不等式的性质解答．①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：A．∵a>b，
∴−a<−b，故本选项不符合题意；
B．∵a>b，
∴a2>b2，故本选项符合题意；
C．∵a>b，
∴ a−1>b−1，故本选项不符合题意；
D．∵a>b，
∴−a<−b，不是a<−b，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
4．（2022春·福建龙岩·七年级统考期末）由a≥b得到am≤bm，则需要的条件是（ ）
A．m>0B．m≠0C．m≥0D．m≤0
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，两边同时乘以一个负数，不等号方向改变求解即可．
【详解】解：∵a≥b，
当m≤0时，有am≤bm，
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解题关键是牢记不等式的性质．
4．（2022秋·浙江·八年级阶段练习）若aA．−15a+1<15b+1B．c2aC．−2a<2bD．1−a>1−b
【答案】D
【分析】利用不等式的基本性质判断即可．
【详解】解：∵a当a<0,b>0，且a>b时，−15a>15b，
即−15a+1>15b+1，选项A不符合题意；
当c≠0时，c2a∵a当a<0,b>0，且a>b时，−2a>2b，
∴选项C不符合题意；
∵a∴−a>−b，即1−a>1−b，选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了不等式的性质，不等式的基本性质：不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变；同时乘同一个负数，不等号方向改变．
5．（2022秋·浙江·八年级期中）若a＞b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a−2021＞b−2021 B．−2021a＜−2021b
C．ac>bcD．a+c＞b+c
【答案】C
【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不等式a＞b的两边都减去2021可得a−2021＞b−2021，原变形正确，故本选项不符合题意；
B、不等式a＞b的两边都乘以−2021可得−2021a＜−2021b，原变形正确，故本选项不符合题意；
C、不等式a＞b的两边都除以c，只有c＞0才可得ac>bc，所以，不等式ac>bc不一定成立，故本选项符合题意；
D、不等式a＞b的两边都加上c可得a+c＞b+c，原变形正确，故本选项不符合题意．
故选：C
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：(1)不等式两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
6．（2022秋·黑龙江七台河·八年级校联考期中）下列说法中正确的有（ ）
①−ab=a−b=−ab ②若ab<0，则a>0，b>0
③若a=0，b≠0，则ab=0 ④若a>0，b>0，则1a<1b
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质可判断①，根据除法法则可判断②和③，根据不等式的性质可判断④．
【详解】解：①−ab=a−b=−ab，正确；
②若ab<0，则a>0，b<0或a<0，b>0，故错误；
③若a=0，b≠0，则ab=0，正确；
④当a=b=1时，满足a>0，b>0，此时1a=1b=1，故错误．
故选B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，除法法则，以及不等式的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
7．（2023春·八年级单元测试）若a>b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a−5>b−5B．−5a<−5b
C．ac>bcD．ac2+1>bc2+1
【答案】C
【分析】直接利用不等式的性质分别判断得出答案．
【详解】解：A．∵a>b，
∴a−5>b−5，故此选项不合题意；
B．∵a>b，
∴−5a<−5b，故此选项不合题意；
C．∵a>b，
∴ac>bcc≠0，故此选项符合题意；
D．∵a>b，
∴ac2+1>bc2+1，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了不等式的性质，正确掌握不等式的性质是解题关键．
8．（2022秋·浙江·八年级专题练习）关于x的一元一次不等式k−1x≤k−1的解集为x≥1，则k的值不能为（ ）
A．−5B．−2C．−1D．3
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，可得关于k的不等式，解不等式，可得答案．
【详解】解：由关于x的一元一次不等式(k−1)x≤k−1的解集为x≥1，得k−1<0，
解得k<1．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质得出关于k的不等式是解题关键．
9．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）若a>b，且6−xa<6−xb，则x的取值范围是_____．
【答案】x>6
【分析】根据不等式的基本性质解答即可．
【详解】解：∵a>b，且6−xa<6−xb，
∴6−x<0，
解得x>6．
故答案为：x>6．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
考点2：一元一次不等式及其解法
例3. （2022春·陕西西安·八年级校考阶段练习）解不等式9x+26−2x−13≥−1，并把它们的解集在数轴上表示出来．
【答案】x≥−2，图见解析
【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：9x+26−2x−13≥−1，
(9x+2)−2(2x−1)≥−6，
9x+2−4x+2≥−6，
9x−4x≥−6−2−2，
5x≥−10，
x≥−2，
．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
例4. （2022秋·河南郑州·九年级校考期末）先化简：1−1x+2÷x2−1x2+4x+4，再从不等式−2x−1<6的负整数中选一个适当的数代入求值．
【答案】x+2x−1，14
【分析】先把括号里的式子进行通分，再把后面的式子根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解，然后约分化简，再求出不等式的解集，最后代入一个合适的数，即分式不为零的值，即可解题．
【详解】解：1−1x+2÷x2−1x2+4x+4
=x+1x+2÷x+1x−1x+22
=x+1x+2×x+22x+1x−1
=x+2x−1，
∵ −2x−1<6
∴x>−72
∴x>−72的负整数解有：−3，−2，−1，
∵x≠−2,x≠−1
∴x=−3
原式=x+2x−1=−3+2−3−1=12
=−3+2−3−1
=14．
【点睛】本题考查分式的混合运算、分式的化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式进行因式分解，解一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
知识点训练
1．（2023春·八年级单元测试）下列式子是一元一次不等式的是（ ）
A．x+y<0B．x2>0C．x2>3+xD．1x<0
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以．
【详解】解：A．含有2个未知数，不是一元一次不等式，选项不符合题意；
B．最高次数是2次，不是一元一次不等式，选项不符合题意；
C．x2>3+x是一元一次不等式，选项符合题意；
D．1x不是整式，则不是一元一次不等式，选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查不等式的定义，一元一次不等式中必须只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，并且不等式左右两边必须是整式．
2．（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）在x>0，1x<−1，2x<−2+x，x+y≥−3，x+1=0，x2>3，是一元一次不等式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以．
【详解】解：是一元一次不等式的有：x>0，2x<−2+x共有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，还要注意未知数的系数不能是0．
3．（2022春·上海普陀·六年级校考期中）下列不等式中，是一元一次不等式的为（ ）
A．3x+5≤−2x−1B．x−3y>6
C．x2+4≥2x+3 D．xy>1
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可．
【详解】解：A、该不等式符合一元一次不等式的定义，故此选项不符合题意；
B、该不等式中含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
C、未知数的次数是2，不是一元一次不等式，故此选项符合题意；
D、该不等式中含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义．一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
4．（2021春·河南新乡·七年级校考期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．不等式a<2的正整数解只有一个B．−2是不等式2x−1<0的一个解
C．不等式x<10的整数解有无穷多个D．不等式−3x>9的解集是x>−3
【答案】D
【分析】根据不等式的解及解不等式逐一判断即可．
【详解】解：A．不等式a<2的正整数解为1，故不等式a<2的正整数解只有一个正确，故A正确，不符合题意；
B．解2x−1<0，得：x<12，故−2是不等式2x−1<0的一个解正确，故B正确，不符合题意；
C．不等式x<10的整数解有无穷多个，故C正确，不符合题意；
D．不等式−3x>9的解集是x<−3，故D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】此题考查一元一次不等式的解，解一元一次不等式．掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键．
5．（2022春·河南濮阳·八年级校考期中）若m−1xm+2>0是关于x的一元一次不等式，则m=（ ）
A．±1B．1C．−1D．0
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式的定义列式求解即可．
【详解】解：∵m−1xm+2>0是关于x的一元一次不等式，
∴m−1≠0，m=1，
解得：m=−1，
故选：C ．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式是一元一次不等式，注意：未知数的系数不能为0．
6．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）已知不等式x+1≥0，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可判定．
【详解】解：x+1≥0，
解得x≥−1，
在数轴上表示为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式并把解集在数轴上表示出来，准确把不等式的解集在数轴上表示出来是解决本题的关键．
7．（2023秋·湖南益阳·八年级校联考期末）若关于x的不等式x−m≥−1的解集如图所示，则m等于（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】首先解得关于x的不等式x−m≥−1的解集即x≥m−1，然后观察数轴上表示的解集，求得m的值．
【详解】解：关于x的不等式x−m≥−1，
得x≥m−1，
由题目中的数轴表示可知：
不等式的解集是：x≥2，
∴m−1=2，
解得，m=3，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是正确解出关于x的不等式，把不等式问题转化为方程问题．
8．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）若一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A．x−2<0B．x−2>0C．x+2<0D．x+2>0
【答案】A
【分析】解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上的表示方法，可得答案．
【详解】解：A、x<2，故A符合题意；
B、x>2，故B不符合题意；
C、x<−2，故C不符合题意；
D、x>−2，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
9．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）若不等式x≤m的解都是不等式2−3x≥5的解，则m的取值范围是（ ）．
A．m≤−1B．m<−1C．m≥−1D．m>−1
【答案】A
【分析】先求出不等式2−3x≥5的解集，然后根据x≤m的解都是不等式2−3x≥5的解进行求解即可．
【详解】解：解不等式2−3x≥5得x≤−1，
∵不等式x≤m的解都是不等式2−3x≥5的解，
∴m≤−1，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出不等式2−3x≥5的解集是解题的关键．
10．（2022春·河南驻马店·七年级统考期末）若（m﹣2）x|m-1|﹣3＞6是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为_____．
【答案】x＜﹣4.5
【分析】根据一元一次不等式的定义得出|m-1|=1且m-2≠0，求出m的值，再把m的值代入原式，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：|m-1|=1且m-2≠0，
∴m=2或m=0且m≠2，
∴m=0，
∴原不等式可化为：-2x-3＞6，
解得：x＜-4.5，
∴该不等式的解集为x＜-4.5．
故答案为：x＜-4.5．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义和解法，根据一元一次不等式的定义求出m的值是解题的关键．
11．（2021秋·浙江湖州·八年级统考期末）不等式3x<−12的解集是______．
【答案】x<−4
【分析】不等式两边同时除以3即可求解．
【详解】解：3x<−12，
解得：x<−4，
故答案为：x<−4．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键．
12．（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）不等式3x−3x<6的解集是________.
【答案】x>−3−3##x>−3−3
【分析】根据一元一次不等式的解法进行计算即可求解．
【详解】解： 3x−3x<6，
即3−3x<6
∵3−3<0，
∴x>63−3
∴x>−3−3；
故答案为：x>−3−3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，正确的计算是解题的关键．
13．（2021春·海南海口·七年级校考期中）若关于x的方程2x−m+1=4x−1的解是负数，则m的取值范围是____________．
【答案】m>2
【分析】解方程得x=2−m2，由方程的解为负数得出关于m的不等式，解之可得．
【详解】解：解方程2x−m+1=4x−1，得：x=2−m2，
∵方程的解为负数，
∴2−m2<0，
解得m>2，
故答案为：m>2．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式和一元一次方程的能力．
14．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）不等式13−4x≥3x−8的非负整数解有______个．
【答案】4
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．
【详解】解：13−4x≥3x−8，
移项得，−4x−3x≥−8−13，
合并同类项得，−7x≥−21，
系数化为1得，x≤3．
∴不等式的非负整数解为0，1，2，3共4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
15．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）解不等式2x−5≤2x2−3，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】x≤−1，数轴见解析
【分析】先去括号，移项，合并同类项求出不等式的解集，根据数轴的性质表示解集．
【详解】解：去括号，得2x−5≤x−6，
移项，合并同类项，得x≤−1，
将解集表示在数轴上，如图：
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，利用数轴表示不等式的解集，正确掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
16．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1)2−3+x<3x+2．
(2)x−x−12>2x−13−1−x6．
【答案】(1)x>−12，数轴见解析
(2)x<3，数轴见解析
【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解不等式即可；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解不等式即可．
【详解】（1）解：2−3+x<3x+2
去括号得，−6+2x<3x+6，
移项得，2x−3x<6+6，
合并同类项得，−x<12，
系数化1得，x>−12；
在数轴上表示如下：
（2）x−x−12>2x−13−1−x6
去分母得，6x−3x−1>22x−1−1−x，
去括号得，6x−3x+3>4x−2−1+x，
移项得，6x−3x−4x−x>−2−1−3，
合并同类项得，−2x>−6，
系数化1得，x<3；
在数轴上表示如下：
【点睛】此题考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
考点3：解一元一次不等式组
例5. 解不等式组：3x+1≥x−1①3x−42≤x②，请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得 ．
(2)解不等式②，得 ．
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
(4)原不等式组的解集为 ．
【答案】(1)x≥−1
(2)x≤4
(3)见解析
(4)−1≤x≤4
【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．
【详解】（1）解：解不等式①，得x≥−1；
（2）解不等式②，得x≤4；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为：−1≤x≤4．
【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，关键是掌握解集的确定方法：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
例6. 若关于x的不等式组x+152>x−32x+23【答案】−5【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式组，再从不等式的解集中找出适合条件的整数解，再确定字母的取值范围即可．
【详解】解：x+152>x−3①2x+23解不等式①，得x<21，
解不等式②，得x>2−3a，
∵此不等式组只有4个整数解，
∴此不等式组的解集为2−3a∴它的4个整数解为20、19、18、17，
∴16≤2−3a<17，
解得a的取值范围是：−5【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，由x的特殊解求a的取值范围是解决此类题型常用的思路．
知识点训练
1．（2022春·全国·八年级假期作业）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
①x>−2x<3；②x>0x+2>4；③x+1>0y−4<0；④x+3>0x<−7；⑤x2+14
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式组的概念，对5个式子逐一判断即可．
【详解】解：①x>−2x<3是一元一次不等式组；
②x>0x+2>4是一元一次不等式组；
③x+1>0y−4<0含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
④x+3>0x<−7是一元一次不等式组；
⑤x2+14，未知数是3次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有3个，
答案：B．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的概念，掌握一元一次不等式组的概念是解决本题的关键.
2．（2023秋·广西南宁·九年级三美学校校考期末）不等式组2−x≥03x+2>−1的解集里（ ）
A．−1C．x<−1或x≥2D．−2≤x<−1
【答案】A
【分析】分别解出不等式的值，在根据“同大取大，同小取小，小大大小取中间，大大小小无解”即可求解．
【详解】解：由2−x≥0得，x≤2；由3x+2>−1得，x>−1，
∴原不等式组的解集为：−1故选：A．
【点睛】本题主要考查求不等式组的解集，掌握解不等式组的方法，取值的方法，不等式的性质是解题的关键．
3．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）将不等式组x>2x≥3的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先定界点，再定方向即可得．
【详解】解：不等式组x>2x≥3的解集在数轴上表示如下：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点；二是定方向，注意“实心点”、“空心点”的用法．
4．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，若P2−x,x关于原点的对称点在第二象限，则x的取值范围为（ ）
A．02
【答案】B
【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数得到出对称点，再根据点在第二象限列出不等式组求解即可．
【详解】解：∵P2−x,x关于原点的对称点在第二象限，
∴点x−2,−x在第二象限，
所以x−2<0−x>0，
解得x<0，
故选B．
【点睛】本题考查了象限内的点的坐标特点及解不等式组，熟练掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数是解题的关键．
5．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）若关于x的不等式组x<2x≥a−1无解，则a的取值范围为（ ）
A．a≤3 B．a<3 C．a≥3D．a>3
【答案】C
【分析】根据不等式组无解得出a−1≥2，求出即可．
【详解】解：∵关于x的不等式组x<2x≥a−1无解，
∴a−1≥2，
∴a≥3，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次不等式，熟练掌握利用一元一次不等式组无解求相关字母的取值是解题的关键．
6．（2020秋·浙江杭州·八年级校考期中）若不等式组−x+2m的解是x>4，则m取值范围是（ ）
A．m≤4B．m<4C．m≥4D．m>4
【答案】A
【分析】先求出第一个不等式的解集，再根据口诀“同大取大”结合不等式组的解集即可求得m的取值范围．
【详解】解：解不等式−x+24，
∵不等式的解集为x>4，
∴m≤4，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查含参数的一元一次不等式组，熟知求不等式组解集口诀“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小找不到”是解答的关键．
7．（2020秋·云南楚雄·九年级统考期末）如果关于x的不等式组2x−a≥0，3x−b＜0的整数解仅有1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a，b之中，b的最大值减去a的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】D
【分析】首先解不等式组2x−a≥03x−b<0则不等式组的解集即可利用a，b表示，根据不等式组的整数解仅为1，2，3，即可确定a，b的范围，即可确定a，b的整数解，即可求解．
【详解】解：解不等式组2x−a≥03x−b<0，
可得：a2≤x在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间，如下图：
根据数轴可得：0由0∴a=1，2共2个．
由3∴b=10，11，12，共3个．
b的最大值减去a的最小值为：12−1=11．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，注意各个不等式的解集的公式部分就是这个不等式组的解集．但本题是要求整数解的，所以要找出在这范围内的整数．
8．（2023秋·河南郑州·九年级统考期末）不等式组x−4＜2x−112x+1≤1的所有整数解的和为___________．
【答案】0
【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解，再取它们的公共部分，最后取正整数解即可．
【详解】解：∵x−4＜2x−1
∴x−4＜2x−2
∴x＞−2,
∵12x+1≤1
∴x+1≤2
∴x≤1,
∴−2＜x≤1,
符合条件的整数解：−1,0,1,
−1+0+1=0
故答案为0．
【点睛】本题主要考查求不等式组的特殊解，熟练掌握解不等式组的基本步骤，求出不等式组的解，是解题的关键．
9．（2021春·四川成都·八年级校考期中）已知m是不等式组m−2<3m−10m<8的正整数解，则分式方程2x−2=mx+1有整数解的概率为___________．
【答案】13
【分析】先解不等式组求出解集，确定正整数m的值，再解分式方程，得到方程有整数解时m的值，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：解不等式m−2<3m−10，得m>4，
所以不等式组m−2<3m−10m<8的解集为4∴正整数m=5，6，7．
分式方程去分母得：2x+1=mx−2，
整理，得m−2x=2m+2，
当m−2≠0即m≠2时，x=2m+2m−2，
即x=2+6m−2，
∵分式方程有整数解，且x≠2，x≠−1，
∴只有m=5满足要求，
∴分式方程2x−2=mx+1有整数解的概率为：13．
故答案为：13．
【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了一元一次不等式组的整数解以及解分式方程．
10．（2023秋·河北张家口·八年级张家口市第一中学校考期末）若不等式组x−a<1x−2b>3的解集为−1【答案】−3
【分析】先用字母a，b表示出不等式组的解集2b+3【详解】解：解不等式组x−a<1x−2b>3
可得解集为2b+3因为不等式组的解集为−1所以2b+3=−1，a+1=1，
解得a=0，b=−2
代入a+1b−1=1×−3=−3．
故答案为：−3．
【点睛】主要考查了一元一次不等式组的解的定义，解此类题是要先用字母a，b表示出不等式组的解集，然后再根据已知解集，对应得到相等关系，解关于字母a，b的一元一次方程求出字母a，b的值，再代入所求代数式中即可求解．
11．（2021秋·浙江湖州·八年级统考期末）解不等式组：2(x+2)<3x+3x3【答案】1【分析】根据不等式的解法解不等式①②，得到两个解集的公共部分即是不等式组的解集．
【详解】解：解不等式①得：x>1
解不等式②得：x<3
∴不等式组的解是1【点睛】本题考查了一元一次不等式组解集的求法，其关键就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
12．（2023秋·广西南宁·八年级校考阶段练习）解不等式组并把解集表示在数轴上5x−3≥2x+92+3x>x+92．
【答案】x≥4，数轴见解析
【分析】先分别解不等式，根据不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到得到不等式组的解集，并在数轴上表示解集．
【详解】解：解不等式5x−3≥2x+9，得：x≥4，
解不等式2+3x>x+92，得：x>1，
则不等式组的解集为x≥4，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点睛】此题考查了求一元一次不等式组的解集，利用数轴表示不等式组的解集，正确掌握一元一次不等式的解法及不等式组的解集的确定方法是解题的关键．
13．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）解不等式组2x−6<0x+1>x3，并把解集表示在数轴上．
【答案】−32【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集再表示在数轴上即可．
【详解】解：解不等式2x−6<0，得：x<3，
解不等式x+1>x3，得：x>−32，
∴不等式组的解集为：−32将不等式组解集表示在数轴上为：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）解不等式2x−12+1−x3>15x+1≥3x+1，并在数轴上把它的解集表示出来．
【答案】x>74，数轴见解析
【分析】分别解不等式求出解集，在数轴上将解集表示出来，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”确定出不等式组的解集．
【详解】解：解不等式2x−12+1−x3>1，得x>74，
解不等式5x+1≥3x+1，得x≥1，
将解集表示在数轴上，如图，
∴不等式组的解集为x>74．
【点睛】此题考查了求一元一次不等式组的解集，利用数轴表示不等式组的解集，正确掌握一元一次不等式的解法及确定不等式组的解集的方法是解题的关键．
15．（2021春·宁夏银川·八年级银川市第三中学校考期中）解不等式3−x2≤13x+2≥4．
【答案】x≥1
【分析】先求出两个不等式的解集，取两个解集的公共部分即可不等式组的解集．
【详解】解：3−x2≤13x+2≥4，
解不等式3−x2≤1，得x≥1，
解不等式3x+2≥4，得x≥23，
∴不等式得解集为x≥1．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握两个不等式解集的公共部分即为不等式组的解集是解题关键．
16．（2021春·甘肃兰州·八年级兰州市第十中学校考期中）解不等式组，并求出不等式组的解集．
(1)2x+7>3x−1x−25≥0．
(2)5x−3>3x−112x−1≥7+32x．
【答案】(1)2≤x<8
(2)无解
【分析】（1）先将①式移项可求得x<8，②式两边同乘以5可得x−2≥0，解得x≥2，即可求得不等式组的解集
（2）先将①式去括号移项得到x>0，②式移项后可得到x<−8，即可得到不等式组无解
【详解】（1）∵2x+7>3x−1①x−25≥0②，
由①得：x<8，
由②得：x−2≥0，解得：x≥2
∴不等式组的解集为：2≤x<8
（2）∵5x−3>3x−1①12x−1≥7+32x②，
由①得：x>0，
由②得：−x>8，解得：x<−8
∴不等式组无解
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的运算法则是解决问题的关键
17．（2021春·河南郑州·八年级校联考期中）解不等式组2x−13−5x+12≤25x−1<3x+1，并求出该不等式组的负整数解．
【答案】−1711≤x<2；该不等式组的负整数解为：−1
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，根据解集求负整数解．
【详解】解：2x−13−5x+12≤2①5x−1<3x+1②
解不等式①得：x≥−1711，
解不等式②得：x<2，
∴不等式组的解集为：−1711≤x<2，
∴该不等式组的负整数解为：−1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键．
18．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）解不等式组1+x≤43x−1<2x−1，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】x<−1，数轴表示见解析．
【分析】分别解两个不等式组中的两个不等式，再画图，确定两个不等式的解集的公共部分即可．
【详解】解：1+x≤4①3x−1<2x−1②，
由①得：x≤3，
由②得：3x−1<2x−2，
解得：x<−1，
把不等式的解集在数轴上表示如下：
∴不等式组的解集为：x<−1．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握“解一元一次不等式组的方法与步骤”是解本题的关键．
考点4：一元一次不等式的应用
例7. （2022春·福建厦门·七年级统考期末）某俱乐部举行篮球联赛，组委会制定的赛制规则是：每个队都要比赛12场，每场比赛只分胜、负，胜1场积2分，负1场积1分，按积分高低确定出线名额．目前雄鹰队的战绩是4胜2负，蓝狮队的战绩是4胜5负．根据组委会赛制规则可预测，这两个队完成所有比赛后，积分高的队伍可以出线，问雄鹰队在剩下的比赛中至少需胜多少场可确保出线？
【答案】雄鹰队在剩下的比赛中至少需胜4场可确保出线．
【分析】设雄鹰队在剩下的比赛中至少需胜x场可确保出线，则输掉的比赛有6−x场，由题意可建立不等式2x+6−x+10>19，再解不等式取其最小整数解即可．
【详解】解：由目前雄鹰队的战绩是4胜2负，蓝狮队的战绩是4胜5负．
若蓝狮队剩下的3场比赛都获得了胜利，则7胜5负，得2×7+5×1=19（分），
雄鹰队的战绩是4胜2负，已获得4×2+2×1=10（分），
设雄鹰队在剩下的比赛中至少需胜x场可确保出线，则输掉的比赛有6−x场，则
2x+6−x+10>19，
解得：x>3，
∵x为正整数，
∴x的最小值为：4，
答：雄鹰队在剩下的比赛中至少需胜4场可确保出线．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，不等式的整数解的应用，理解题意，确定不等关系是解本题的关键．
例8.（2023秋·广西钦州·九年级统考期末）某商店经销一种销售成本为40元/kg的水产品，据市场分析：若按60元/kg销售，一个月能售出300kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg，针对这种水产品，请解答以下问题：
(1)写出月销售量y(kg)与售价x(元/kg)之间的函数解析式
(2)当售价定为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？
(3)商店想在月销售成本不超过8000元的情况下，使得月销售利润不少于4000元，销售单价可定在什么范围？
【答案】(1)y=−10x+900
(2)当x=65时，w有最大值为6250
(3)70≤x≤80．
【分析】（1）根据题意列出一次函数即可；
（2）根据题意列出二次函数，利用二次函数的性质即可求解；
（3）根据题意列出一元一次不等式以及一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：y=300−20⋅x−602=−10x+900；
（2）解：w=x−40−10x+900=−10x−652+6250，
当x=65时，w有最大值为6250；
（3）解：由40−10x+900≤8000，解得x≥70，
令w=4000，则−10x−652+6250=4000，
解得x1=80，x2=50．
故：销售单价x为：70≤x≤80．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
知识点训练
1．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）某品牌电脑的成本为2400元，标价为3150元，如果商店要以不低于5%的利润销售，最低可打（ ）折出售．
A．7折B．7.5折C．8折D．8.5折
【答案】C
【分析】设最低可打x折，根据电脑的成本为2400元，标价为3150元，如果商店要以不低于5%的利润销售，可列不等式求解．
【详解】解：设最低可打x折，则
3150×0.1x−2400≥2400×5%
∴x≥8，
∴最低打八折，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，根据利润＝售价−进价，可列不等式求解，难度一般．
2．（2023秋·河北张家口·八年级张家口市第一中学校考期末）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多5元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，
(1)求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元?
(2)由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共100桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的12，由于是第二次购买，商家给予八折优惠．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少?最少总金额是多少元?
【答案】(1)甲种消毒液的零售价为25元/桶，乙种消毒液的零售价为20元/桶
(2)当甲种消毒液购买34桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1736元
【分析】（1）设乙种消毒液的零售价为x元/桶，则甲种消毒液的零售价为x+5元/桶，结合该单位分别用900元和720元采购相同桶数的甲、乙两种消毒液，即可列出关于x的分式方程，进而求解即可．
（2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液为100−m桶，根据甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液的桶数的12，即可得出关于m的一元一次不等式，解得m的取值范围，然后设所需资金总额为w元，根据题意列出函数关系式，再利用函数性质即可解决最值．
【详解】（1）解：设乙种消毒液的零售价为x元/桶，则甲种消毒液的零售价为x+5元/桶，依题意得：900x+5=720x，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
∴x+5=25．
答：甲种消毒液的零售价为25元/桶，乙种消毒液的零售价为20元/桶：
（2）解：设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液100−m桶，
依题意得：m≥12100−m，
解得：m≥1003，
设所需资金总额为w元，则w=25m·0.8+20100−m·0.8=4m+1600，
∵4>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=34时，w取得最小值，最小值=4×34+1600=1736，
答：当甲种消毒液购买34桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1736元．
【点睛】此题考查了分式方程的运用、一元一次不等式以及一次函数运用，解题关键是找准等量关系，正确列出方程．
3．某水果店一次购进了若干箱水蜜桃和李子，已知购进水蜜桃花费800元，购进李子花费1680元，所购李子比水蜜桃多10箱，李子每箱的进价是水蜜桃每箱进价的1.4倍．
(1)水蜜桃和李子每箱进价分别为多少元？水蜜桃和李子各多少箱？
(2)根据市场情况，每箱李子可以比每箱水蜜桃的利润多5元，这批水果全部售完后，店家若想获得不少于800元的利润，应该如何确定每箱水蜜桃和李子的售价？
【答案】(1)水蜜桃和李子每箱进价分别为40元和56元，各20箱和30箱
(2)每箱水蜜桃和李子的售价分别不少于53元和74元
【分析】（1）设水蜜桃每箱x元，则李子每箱1.4x元，由题意列出分式方程，解之，再根据进货费用算出多少箱即可；
（2）设水蜜桃每箱利润y元，则李子每箱利润(y+5)元，由题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设水蜜桃每箱x元，则李子每箱1.4x元，
根据题意得：16801.4x−800x=10，
解得：x=40，
经检验x=40是原方程的解，
则1.4x=1.4×40=56，
800÷40=20，1680÷56=30，
答：水蜜桃和李子每箱进价分别为40元和56元，各20箱和30箱；
（2）设水蜜桃每箱利润y元，则李子每箱利润(y+5)元，
根据题意得：80040y+168056(y+5)≥800，
解得：y≥13，
13+40=53，13+5+56=74，
答：每箱水蜜桃和李子的售价分别不少于53元和74元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用；理解题意，列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键．
4．（2022·河北沧州·统考二模）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向10km以内的出行市场．现有A、B两种品牌的共享电动车，已知A品牌每分钟收费0.2元、B品牌的收费为y（元）与骑行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．
(1)求B品牌的收费y（元）与骑行时间x（分钟）之间的函数关系式，并写出相应的x的取值范围；
(2)小王发现，他从家到单位上班，骑行A品牌或B品牌的共享电动车的费用相同，求小王骑共享电动车从家到单位的骑行时间；
(3)小李每天也骑共享电动车上班，他说：“我从家来单位的话，A、B两种品牌的共享电动车的收费相差不超过1.2元”，请直接写出小李从家到单位骑行时间的取值范围．
【答案】(1)y＝3(0(2)20分钟
(3)9≤a≤32
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出B品牌的收费y（元）与骑行时间x（分钟）之间的函数关系式，并写出相应的x的取值范围；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（3）根据题意可知分两种情况，然后分别列出相应的不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：由图象可得，
当0当x≥10时，设y与x的函数关系式为y=kx+b，
∵点(10,3)，(20,4)在该函数图象上，
∴ 10k+b=320k+b=4，
解得k=0.1b=2，
∴当x≥10时，y与x的函数关系式为y=0.1x+2，
由上可得，y=3(0（2）设小王骑共享电动车从家到单位的骑行时间为t分钟，
由题意可得：0.2t=3或0.2t=0.1t+2，
解得t=15（不合题意，舍去）或t=20，
答：小王骑共享电动车从家到单位的骑行时间为20分钟；
（3）设小李从家到单位用的时间为a分钟，
由题意可得，
当0解得9≤a<10；
当a≥10时，0.2a−(0.1a+2)≤1.2且(0.1a+2)−0.2a≤1.2，
解得10≤a≤32，
由上可得，小李从家到单位骑行时间的取值范围是9≤a≤32．
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程或不等式，写出相应的函数关系式，利用数形结合的思想解答．
5．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如表：
某校根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，送七年级师生到基地参如社会实践活动，设租用B型客车x辆，根据要求回答下列问题：
(1)用含x的式子填表：
(2)若要保证租车费用不超过1800元，求x的最小值，并写出此时的租车方案和租车费用．
【答案】(1)填表见解析
(2)x的最小值为2；租车方案为：租用A种客车3辆，B种客车2辆，租车费用为：1760元．
【分析】（1）根据载客量=汽车辆数×单车载客量，填入表中即可；
（2）根据题意表示出租车总费用，列出不等式即可解决．
【详解】（1）解：∵载客量=汽车辆数×单车载客量，
∴B型客车载客量=30x； A型客车载客量为455−x，
填表如下：
（2）根据题意得：4005−x+280x≤1800，
∴2000−400x+280x≤1800，
整理得：−120x≤−200，
解得：x≥123，
∵x为车辆数，
∴x的最小值为2；
此时租车方案为：租用A种客车3辆，B种客车2辆，
租车费用为：3×400+2×280=1760（元）．
【点睛】此题主要考查了一次不等式的综合应用，理解题意，列出需要的代数式，确定不等关系列不等式组是解本题的关键．
6．（2023秋·重庆·九年级校联考期末）回家过年，一家团聚，是我们每个中国人的信仰．在这春节来临之际，置办年货当然也是每个家庭必需要做的事情．某商家看准商机，购进A，B两种春节大礼包进行销售，已知一个B礼包比A礼包的进价多30元，其中购买A礼包花费4000元，购买B礼包花费3200元，且购买A礼包的数量是购买B礼包数量的2倍．
(1)求一个A礼包的进价是多少元；
(2)商家第一次购进的礼包很快售完，决定再次购进同种类型的A，B两种礼包共80个，但A礼包的进价比第一次购买时提高了16%，而B礼包的进价在第一次购买时进价的基础上打9折，如果商家此次两种礼包的总费用不超过4800元，那么此次最多可购买多少个B礼包？
【答案】(1)一个A礼包的进价是50元
(2)此次最多可购买11个B礼包
【分析】（1）设一个A礼包的进价是x元，则一个B礼包比A礼包的进价为x+30元，根据“购买A礼包的数量是购买B礼包数量的2倍”列出分式方程，解方程即可求解；
（2）设此次购买y个B礼包，根据题意列出一元一次不等式，解不等式，根据y是整数，求得最大整数解，即可求解．
【详解】（1）解：设一个A礼包的进价是x元，则一个B礼包比A礼包的进价为x+30元，根据题意得，
4000x=3200x+30×2
解得x=50，
经检验：x=50是原方程的解
答；一个A礼包的进价是50元．
（2）设此次购买y个B礼包，依题意得：
501+16%80−y+50+30×0.9y≤4800
解得y≤807
∵y是整数
∴y最大为11
答：此次最多可购买11个B礼包．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键．
7．（2022秋·河南新乡·八年级统考期末）为了响应国家的“双减”政策，某校外培训机构开始实施“学科类培训”向“非学科类培训”的转型．市场调查后发现，篮球和足球的培训前景良好，于是决定从某体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于球类培训．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1500元购买足球的数量是用1200元购买篮球数量的2倍．
(1)篮球和足球的单价各是多少？
(2)根据学生报名情况，该机构需一次性购买篮球和足球共100个，但要求购买足球和篮球的总费用不超过6000元，最多可以购买多少个篮球？
【答案】(1)篮球的单价是80元，足球的单价是50元
(2)最多可以购买33个篮球
【分析】（1）设每个足球的价格为x元，则每个篮球的价格为x+30元，根据所给等量关系列分式方程，即可求解；
（2）设购买篮球y个，则购买足球100−y个，根据所给不等关系列不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设每个足球的价格为x元，则每个篮球的价格为x+30元，
由题意知1500x=1200x+30×2，
化为整式方程为1500x+30=2400x，
解得x=50，
检验：当x=50时，x+30=50+30=80≠0，
因此x=50是所列分式方程的解，
即篮球的单价是80元，足球的单价是50元；
（2）解：设购买篮球y个，则购买足球100−y个，
由题意知80y+50100−y≤6000，
解得y≤1003，
∵y是整数，
∴y的最大值是33，
即最多可以购买33个篮球．
【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出分式方程和不等式．
8．（2021春·河南郑州·八年级校考期中）新型冠状肺炎疫情爆发以来，很多地方防护物资紧缺，开学前期，某爱心人士准备购买额温枪送给母校，经了解市场，购买甲种品牌的额温枪2支和乙种品牌的额温枪5支共需2700元，购买甲种品牌的额温枪6支和乙种品牌的额温枪2支共需2900元．
(1)求两种品牌的额温枪的价格各是多少元？
(2)经与商家协商，甲种品牌的额温枪可以打八折出售，乙种品牌的额温枪降价15%，若购买两种品牌的额温枪共50支且总费用不超过15000元，甲种品牌的额温枪至少要购买多少支？
【答案】(1)甲种品牌的额温枪的价格为350元，乙种品牌的额温枪的价格为400元
(2)甲种品牌的额温枪至少要购买34个
【分析】（1）设甲种品牌的额温枪的价格为x元，乙种品牌的额温枪的价格为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购买甲种品牌的额温枪a支，则购买乙种品牌的额温枪50−a支，根据题意列出一元一次不等式，根据a为正整数，求得最小值，进而即可求解．
【详解】（1）解：设甲种品牌的额温枪的价格为x元，乙种品牌的额温枪的价格为y元，根据题意得，
2x+5y=27006x+2y=2900，
解得：x=350y=400，
答：甲种品牌的额温枪的价格为350元，乙种品牌的额温枪的价格为400元；
（2）设购买甲种品牌的额温枪a支，则购买乙种品牌的额温枪50−a支，根据题意得，
350×0.8a+40050−a×1−15%≤15000
解得：a≥1003，
∵a为正整数，
∴a可取的最小值为34
答：甲种品牌的额温枪至少要购买34个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是∶（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
9．（2021春·山东济南·八年级校考期中）随着“父亲节”的临近，某商场决定开展“感恩父爱，回馈顾客”的促销活动，对部分节日大礼包进行打折销售，其中A款节日大礼包打8折，B款节日大礼包打7.5折，已知打折前，购买4盒A款节日大礼包和5盒B款节日大礼包需要1000元；打折后买5盒A款节日大礼包和4盒B款节日大礼包需要760元．
(1)求打折后A，B两款节日大礼包每盒分别为多少元？
(2)打折期间，某公司计划为员工采购150盒节日大礼包，总费用不超过13000元，则最多可以购买B款节日大礼包多少盒？
【答案】(1)打折后A,B两款节日大礼包每盒分别为80元，90元；
(2)最多可以购买B款节日大礼包100盒
【分析】（1）根据题意列出关于A，B两种大礼盒的二元一次方程组，求解即可；
（2）根据题意列出关于购进A，B两种礼盒费用的不等式，求解即可．
【详解】（1）解：设打折前A款节日大礼包每盒x元，B款节日大礼包每盒y元，
根据题意，列方程组得4x+5y=1000,0.8×5x+0.75×4y=760.
解得x=100y=120
打折后A款节日大礼包每盒价格为0.8x=0.8×100=80(元)，
打折后B款节日大礼包每盒价格为0.75y=0.75×120=90(元)．
答∶打折后A,B两款节日大礼包每盒分别为80元，90元
（2）设购买B款大礼盒a个，则购买A款大礼盒150−a个，
根据题意，得：80×150−a+90a≤13000，
解得a≤100，
答∶最多可以购买B款节日大礼包100盒．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的实际应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．
10．（2022秋·重庆江津·八年级统考期末）在全民健身运动中，“万步有约”健步走活动备受市民青睐．元旦节当天，小李和妈妈约定从通泰门出发，沿相同的路线去4公里外的元帅广场，已知妈妈的步行速度是小李的1.6倍．
(1)若小李先出发30分钟，妈妈才从通泰门出发，最终小李和妈妈同时到达元帅广场，则小李步行的速度是每分钟多少米？
(2)粗心的妈妈到达元帅广场后，想起30分钟后公司有一个重要会议要参加，公司距离元帅广场3.8公里，妈妈马上从元帅广场出发赶去公司，她先以原速度步行一段时间后，又以150米/分钟的速度跑步前行，若妈妈想要不迟到，则至少需要跑步多少分钟？
【答案】(1)小李步行的速度是50米/分钟
(2)妈妈至少跑步20分钟才能不迟到
【分析】(1)设小李步行的速度为x米/分钟，则妈妈步行的速度为1.6x米/分钟，根据题意即可列出分式方程，解方程即可求解；
(2)首先可求得妈妈步行的速度为80米/分钟，设妈妈至少跑步m分钟才能不迟到，根据题意即可列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：设小李步行的速度为x米/分钟，则妈妈步行的速度为1.6x米/分钟，
由题意得：4000x−40001.6x=30，
解得：x=50，
经检验，x=50是原分式方程的根，且符合题意．
答：小李步行的速度是50米/分钟；
（2）解：妈妈步行的速度为1.6×50=80(米/分钟)，
设妈妈至少跑步m分钟才能不迟到，
由题意得：150m+8030−m≥3800，
解得：m≥20
答：妈妈至少跑步20分钟才能不迟到．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程方程及不等式．
考点5：一元一次不等式组的应用
例9. （2022春·湖南湘西·七年级统考期末）为全面落实乡村振兴总要求，吉首市某乡计划试种植猕猴桃树和蓝莓树共100棵．若种植40棵猕猴桃树，60棵蓝莓树共需投入成本9600元；若种植40棵蓝莓树，60棵猕猴桃树共需投入成本10400元．
(1)求猕猴桃和蓝莓树每棵各需投入成本多少元？
(2)若猕猴桃的种植棵数不少于蓝莓树的35，且总成本投入不超过9710元，问：共有几种种植方案？
【答案】(1)猕猴桃每棵需投入成本120元，蓝莓树每棵需投入成本80元
(2)共有5种种植方案
【分析】（1）设猕猴桃每棵需投入成本x元，蓝莓树每棵需投入成本y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设猕猴桃的种植棵数为a棵，则蓝莓树的种植棵数为100−a棵，根据题意列出一元一次方程组求解即可．
【详解】（1）解：设猕猴桃每棵需投入成本x元，蓝莓树每棵需投入成本y元，
由题意得：40x+60y=960060x+40y=10400，
解得：x=120y=80，
答：猕猴桃每棵需投入成本120元，蓝莓树每棵需投入成本80元；
（2）解：设猕猴桃的种植棵数为a棵，则蓝莓树的种植棵数为100−a棵，
由题意得：a≥35100−a120a+80100−a≤9710，
解得：37.5≤a≤42.75，
∵a取整数，
∴a=38，39，40，41，42，
∴共有5种种植方案
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据题目所给条件列出关于a的一元一次不等式组．
例10. （2022秋·浙江·八年级期中）学校举行八年级段数学知识竞赛，设立了一、二、三等奖，计划共购买45件奖品，其中二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少5件，已知购买一等奖奖品x件，各种奖品的单价如表：
(1)学校购买二等奖奖品 件，三等奖奖品 件；（用含x的代数式表示）
(2)若购买三等奖奖品的费用不超过二等奖奖品的费用的2倍，且三等奖奖品的件数不少于一等奖奖品件数的52倍．问学校共有几种购买方案？如何购买这三种奖品，使总费用最少？并求出最少的总费用．
【答案】(1)2x−5；50−3x
(2)共有两种购买方案，且当购买一等奖8件，二等奖11件，三等奖26件时，总费用最少为414元
【分析】（1）根据一等奖奖品x件及二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少5件，可得二等奖奖品2x−5件，由计划共购买45件奖品，可得三等奖奖品50−3x件；
（2）根据题意列出不等式组，解出x的取值范围，由x为正整数，可得x=8或x=9，即共有两种购买方案，设总运费为w，得出w=8x+350，分别求出当x=8和x=9时的总运费w，比较选出运费最少的，并求出此时每种奖品的件数即可．
【详解】（1）解：学校购买二等奖奖品2x−5件，三等奖奖品45−x−2x−5=50−3x件；
故答案为：2x−5；50−3x．
（2）解：根据题意可得：50−3x>0850−3x≤2×102x−552x≤50−3x，
解得71316≤x≤9111，
∵x为正整数，
∴x=8或x=9，
设总费用为w，则w=12x+102x−5+850−3x=8x+350，
当x=8时，w=64+350=414（元），
当x=9时，w=72+350=422（元）．
∴共有两种购买方案，且当购买一等奖8件，二等奖11件，三等奖26件时，总费用最少为414元．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，根据题目中的数量关系和不等关系列出不等式组是解答本题的关键．
知识点训练
1．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）文德中学初二年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给他们．如果每人送4本，则还余9本；如果每人送5本，则最后一人能得到课外读物但不足2本．设初二年级有x名学生获奖．则下列不等式组表示正确的是（ ）．
A．4x+9−5x−1>04x+9−5x−1<2B．4x−9−5x−1>04x−9−5x−1<2
C．4x+9−5x−1>04x+9−5x−1≤2D．4x−9−5x−1>04x−9−5x−1≤2
【答案】A
【分析】每人送4本，则还余9本即一共有4x+9本书，再根据每人送5本，则最后一人能得到课外读物但不足2本列出不等式组即可．
【详解】解：设初二年级有x名学生获奖，
由题意得4x+9−5x−1>04x+9−5x−1<2，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意找到不等关系是解题的关键．
2．（2021春·河南郑州·八年级校联考期中）“输入一个实数x，然后经过如图的运算，到判断是否大于190为止”叫做一次操作，那么恰好经过两次操作停止，则x的取值范围是___________．
【答案】22【分析】本题首先理清流程图，继而将解题过程分为两步，按照流程图指示列不等式求解x范围，最后取其公共解集．
【详解】解：依题意得：第一次的结果为：3x−2，没有输出，则3x−2≤190，求解得x≤64；
第二次的结果为：3×(3x−2)−2=9x−8，输出，则9x−8>190，求解得x>22；
综上可得：22故答案为：22【点睛】本题考查不等式的拓展，解题关键在于读懂流程图，按要求列出不等式，其次注意计算仔细即可．
3．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装8吨，则最后一辆汽车不满也不空．
(1)若有x辆车，则货物共有_________吨（用含x的代数式表示）．
(2)请你算一算：有多少辆汽车运这批货物？
【答案】(1)4x+20
(2)有6辆汽车运这批货物
【分析】（1）根据题意，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物，即可得到答案；
（2）根据每辆汽车装8吨，则最后一辆汽车不满也不空，得到装满的有x−1辆车，从而可以列出0<4x+20−8x−1<8，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意可得，
设有x辆车，则有4x+20吨货物，
故答案为：4x+20；
（2）解：设有x辆车，则有4x+20吨货物，
∵每辆汽车装8吨，则最后一辆汽车不满也不空，
∴装满的有x−1辆车，
由题意得，0<4x+20−8x−1<8，
解得：5∵x为正整数，
∴x=6，
答：有6辆汽车运这批货物．
【点睛】本题考查了列代数式，一元一次不等式组的应用，根据题意列出代数式和不等式组是解题的关键．
4．（2021春·海南海口·七年级校考期中）某商店计划购进A、B两种商品，若购进9件A商品和10件B商品需用1810元，若购进12件A商品和8件B商品需用1880元；已知销售一件A商品可获利18元，销售一件B商品可获利30元．
(1)A、B两种商品的单价分别是多少元？
(2)要使在这次销售中获利不少于699元，A商品不多于28件，已知该商店购进A商品件数比购进B商品件数的2倍还多4件，那么该商店在这次进货中可有几种购进方案？哪几种？
【答案】(1)A商品单价是108元/件，B商品单价是130元/件
(2)有三种购货方案：方案一：购进B商品10件、A商品24件；方案二：购进B商品11件、A商品26件；方案三：购进B商品12件、A商品28件．
【分析】（1）设A商品进价是x元/件，B商品进价是y元/件，根据“购进A商品9件，B商品10件，共需1810元；购进A商品12件，B商品8件，共需1880元”即可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设购进B商品m件，则购进A商品（2m+4）件，根据“要使在这次销售中获利不少于699元，且A商品不多于28件”即可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出购货方案．
【详解】（1）解：设A商品进价是x元/件，B商品进价是y元/件，
由题意可得：9x+10y=181012x+8y=1880，
解得：x=90y=100，
90+18=108，100+30=130，
∴A商品单价是108元/件，B商品单价是130元/件；
（2）设购进B商品m件，则购进A商品2m+4件，
由题意可得：182m+4+30m≥6992m+4≤28，
解得：912≤m≤12，
∵m为正整数，
∴m=10、11、12，
∴有三种购货方案：
方案一：购进B商品10件、A商品24件；
方案二：购进B商品11件、A商品26件；
方案三：购进B商品12件、A商品28件．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据数量关系找出关于m的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出方程组（或不等式组）是关键．
5．（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第二十三中学校考期末）某超市购进甲、乙两种商品，购买1个甲商品比购买1个乙商品多花6元，并且花费400元购买甲商品和花费100元购买乙商品的数量相等．
(1)求购买一个甲商品和一个乙商品各需多少元；
(2)商店准备购买甲、乙两种商品共40个，并要求商品个数为正整数，若甲商品的数量不少于乙商品数量的3倍，并且购买甲、乙商品的总费用不低于230元且不高于266元，那么超市有几种购买方案？哪种方案费用少？
【答案】(1)购买一个甲商品需要8元，购买一个乙商品需要2元；
(2)商店有2种购买方案，方案①：购进甲商品31个、乙商品9个；此时费用为：31×8+9×2=266（元），方案②：购进甲商品30个、乙商品10个．此时费用为：30×8+10×2=260（元）．
【分析】（1）设购买一个乙商品需要x元，则购买一个甲商品需要x+6元，根据数量=总价÷单价，结合花费400元购买甲商品和花费100元购买乙商品的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买乙商品m个，则购买甲商品40−m个，根据甲商品的数量不少于乙商品数量的3倍并且购买甲、乙商品的总费用不低于230元且不高于266元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可找出各购买方案．
【详解】（1）解：设购买一个乙商品需要x元，则购买一个甲商品需要x+6元，
依题意，得：400x+6=100x，
解得：x=2，
经检验，x=2是原方程的解，且符合题意，
∴x+6=8．
答：购买一个甲商品需要8元，购买一个乙商品需要2元；
（2）解：设购买乙商品m个，则购买甲商品40−m个，
依题意，得：40−m≥3m8(40−m)+2m≥2308(40−m)+2m≤266，
解得：9≤m≤10．
∵m为整数，
∴m=9或m=10．
当m=9时，40−m=40−9=31，
当m=10时，40−m=40−10=30，
∴商店有2种购买方案，
方案①：购进甲商品31个、乙商品9个；此时费用为：31×8+9×2=266（元），
方案②：购进甲商品30个、乙商品10个．此时费用为：30×8+10×2=260（元）．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
6．（2023春·广东江门·七年级统考期末）某商店准备购进甲、乙两种品牌纪念品，若购进甲种纪念品40个，乙种纪念品25个，需要1350元；若购进甲种纪念品20个，乙种纪念品30个，需要1200元．
(1)求购进甲、乙两种纪念品每个各需多少元？
(2)若该商店刚好用了3000元购进这两种纪念品，考虑顾客需求，要求购进甲种纪念品的数量不少于乙种纪念品数量的3倍，且乙种纪念品数量大于38个，那么该商店有几种进货方案？
(3)若该商店销售每个甲种纪念品可获利润5元，销售每个乙种纪念品可获利润6元，在第（2）问的进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？
【答案】(1)购进一件甲种纪念品需要15元，购进一件乙种纪念品需要30元
(2)该商店有2种进货方案
(3)方案二：购进甲种纪念品124个，购进乙种纪念品38个获利最大，最大利润是848元
【分析】（1）设购进一件甲种纪念品需要a元，购进一件乙种纪念品需要b元，然后根据题意建立二元一次方程组求出其解即可；
（2）设购进甲种纪念品x个，则购进B种纪念品3000−15x30个，然后根据题意建立不等式组求出其解即可；
（3）根据（2）的结论，结合题意，分别求得利润，比较即可求解．
【详解】（1）解：设购进一件甲种纪念品需要a元，购进一件乙种纪念品需要b元，由题意得：
40a+25b=135020a+30b=1200，
解得：a=15b=30，
答：购进一件甲种纪念品需要15元，购进一件乙种纪念品需要30元．
（2）解：设购进甲种纪念品x个，则购进B种纪念品3000−15x30个，根据题意得，
x≥3×3000−15x303000−15x30>38
解得：120∵x为正整数，
∴x=121,122,123，124，
当x=121时，3000−15×12130=39.5，不是整数，不符合题意，舍去，
当x=122时，3000−15×12230=39
当x=123时，3000−15×12330=38.5，不是整数，不符合题意，舍去，
当x=124时，3000−15×12430=38
答：该商店有2种进货方案
（3）解：∵销售每个甲种纪念品可获利润5元，销售每个乙种纪念品可获利润6元，
由（2）可知，方案一：购进甲种纪念品122个，购进乙种纪念品39个，则利润为122×5+39×6=844；
方案二：购进甲种纪念品124个，购进乙种纪念品38个，则利润为124×5+38×6=848；
∵844<848，
∴方案二：购进甲种纪念品124个，购进乙种纪念品38个，获利最大，最大利润是848元
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键．
7．（2022秋·湖北随州·九年级统考期末）在双十二活动期间，商店将对某商品进行促销活动，已知进价为每件6元，平时以单价10元的价格售出一天可卖100件．根据调查单价每降低1元，每天可多售出50件；设商品单价降低x元0(1)当商品的销售单价降低多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？
(2)当日利润达到400元时，求x的值．
(3)若商店以第（2）问中的方式销售2天后，第三天单价再减a元，当天的销售量不低于前两天总和的70%，求第三天的日利润最大值．
【答案】(1)当商品的销售单价降低1元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为450元
(2)2
(3)第三天的日利润最大值为112元
【分析】（1）先列出每天的利润y与商品单价降低 x之间的函数关系式，再把每天的利润y与商品单价降低 x之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式，由此关系式即可得出结论；
（2）将y=400代入（1）中的函数关系式，求得x的值即可；
（3）列出y与a的函数关系式，再确定a的取值范围，最后求得y的最大值．
【详解】（1）由题意可得，y=4−x100+50x
=−50x−12+450 ，
∵−50<0，
∴当x=1时，y最大=450（元），
∴当商品的销售单价降低1元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为450元；
（2）由题意得，当y=400时，y=−50x−12+450=400，
∴x−12=1
解得x1=2，x2=0（舍）；
（3）∵前两天降价2元，
∴两天共售出2×100+50×2=400，
又∵第三天单价再减a元
∴y=4−2−a100+50×2+50a
=2−a200+50a
=−50a+12+450，
根据题意得2−a>0200+50a≥400×70%，
解得85≤a<2，
∵对称轴为x=−1<85，且开口向下，
∴当85≤a<2时，y随着x的增大而减小
则当a=85时，ymax=112，
∴第三天的日利润最大值为112元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
8．（2022秋·湖北省直辖县级单位·九年级校联考阶段练习）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积xm2之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．
(1)当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
【答案】(1)y=300(2)甲种花卉种植面积为90m2，乙种花卉种植面积为270m2，才能使种植的总费用w（元）最少，最少5625元
【分析】（1）根据题意分当0（2）设甲种花卉种植面积为am2，则乙种花卉种植面积为360−am2，根据题意求出a的范围，再结合题意分情况讨论即可．
【详解】（1）当0当40把40，30，100，15代入得：40k+b=30100k+b=15，
解得k=−14b=40，
∴y=−14x+40，
∴y=300（2）设甲种花卉种植面积为am2，则乙种花卉种植面积为360−am2，
∵甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，
∴ a≥30360−a≥3a，
解得30≤a≤90，
当30≤a≤40时，w=30a+15360−a
=15a+5400，
∵15>0，
∴当a=30时，w最小，最小为15×30+5400=5850（元），
当40=−14a−502+6025，
∵−14<0，对称轴为直线a=50，且40−50<90−50，
∴a=90时，w取最小值，最小为−14×90−502+6025=5625（元），
∵5625<5850，
∴当a=90时，w取最小值，最小为5625元，
此时360−a=270，
答：甲种花卉种植面积为90m2，乙种花卉种植面积为270m2，才能使种植的总费用w（元）最少，最少5625元．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
8．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长16米）的空地上修建一个矩形花园．如图所示，花园一面靠墙，另外三面由栅栏围成．花园分成了面积相等的区域①、区域②、区域③三块矩形区域，也用栅栏分隔.已知共用了80m的栅栏，设CF的长度为x米，矩形ABCD的面积为y平方米.
(1)用含x的代数式表示AB、BC的长；
(2)求出y关于x的函数表达式；
(3)x为何值时，y有最大值？最大值为多少？
【答案】(1)AB的长为3xm，BC的长为40−4xm；
(2)y=−12x2+120x
(3)当x=6时，y有最大值，最大值为288.
【分析】（1）由题意可得，矩形AGHE、矩形GHDF、矩形BCFE的面积相等，即可得到EH=HF=12BC，AE=GH=DF,由AE·EH=CF·BC=AE×12BC，即可得到AE=2CF=2x，进一步即可得到AB、BC的长；
（2）由（1）中的结论，即可得到y关于x的函数表达式；
（3）求出x的取值范围，把（2）中的二次函数表达式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到答案.
【详解】（1）解：由题意可得，矩形AGHE、矩形GHDF、矩形BCFE的面积相等，
∴EH=HF=12BC，AE=GH=DF,
∵矩形GHDF、矩形BCFE的面积相等，
∴AE·EH=CF·BC=AE×12BC，
∴AE=2CF=2x，
∴AB=AE+BE=AE+CF=3x，
∴BC=EF=1280−AB−CD−GH=1280−3x−3x−2x=40−4x，
即AB的长为3xm，BC的长为40−4xm；
（2）矩形ABCD的面积为y=AB·BC=3x40−4x=−12x2+120x，
即y关于x的函数表达式是y=−12x2+120x；
（3）由题意得40−4x>0x>040−4x≤16，
∴6≤x<10，
∵y=−12x2+120x=−12x−52+300，
∴抛物线的对称轴为直线x=5，开口向下，当x>5时，y随着x的增大而减小，
∴当x=6时，y有最大值，最大值为y=−126−52+300=288，
即当x=6时，y有最大值，最大值为288.
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，读懂题意，正确列出函数关系式、不等式组、代数式是解题的关键.
9．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）根据以下素材，探索完成任务
【答案】任务1：至少需要A型冷链运输车8辆；
任务2：方案一：A型冷链运输车6辆，B型冷链运输车6辆；方案二：A型冷链运输车7辆，B型冷链运输车5辆；方案三：A型冷链运输车8辆，B型冷链运输车4辆；
任务3：当a=50时三种方案一样；当a<50时，方案三最少；当a>50时，方案一最少
【分析】任务1：设需A型冷链运输车m辆，列不等式可解得答案；
任务2：设用A型冷链运输车x辆，则B型冷链运输车12−x辆，可列不等式组解得答案；
任务3：设过路费总和为y元，可得，y=ax+12−x100−a=2a−100x+1200−12a分两种情况讨论即可．
【详解】任务1：
设需A型冷链运输车m辆，
根据题意得200m≥1500，
解得m≥7.5，
∵m是整数，
∴至少需A型冷链运输车8辆；
任务2：
设用A型冷链运输车x辆，则B型冷链运输车12−x辆，
根据题意得：200x+150(12−x)≥21005000x+3000(12−x)＜54000，
解得6≤x<9，
∵x是整数，
∴x可取6，7，8，
∴运输方案有3种：
方案一：用A型冷链运输车6辆，B型冷链运输车6辆，
方案二：用A型冷链运输车7辆，B型冷链运输车5辆，
方案三：用A型冷链运输车8辆，B型冷链运输车4辆；
任务3：
设过路费总和为y元，
y=ax+12−x100−a=2a−100x+1200−12a，
当a=50时, y=1200−12a，三种方案一样；
当2a−100>0，即a>50时，y随x的增大而增大，
∴x=6时，y取最小值，最小值为2a−100×6+1200−12a=600（元），
即安排A型冷链运输车6辆，B型冷链运输车6辆，过路费总和最少；
当2a−100<0，即a<50时，y随x的增大而减小，
∴x=8时，y取最小值，最小值为2a−100×8+1200−12a=4a+400元，
即安排A型冷链运输车8辆，B型冷链运输车4辆，过路费总和最少；
答：当a=50时三种方案一样；当a<50时，方案三最少；当a>50时，方案一最少．
【点睛】本题考查一元一次不等式，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式（组）和函数关系式．
10．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（x为正整数且45≤x≤75），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入调整为a25+xm6x万元．
(1)若这100−x名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，则调整后的技术人员最多有______人；
(2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内任意调整后，都能同时满足以下两个条件：
①研发人员的年人均投入不超过m−2a；
②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．请说明理由．
【答案】(1)即调整后的技术人员最多有75人；
(2)m=6．
【分析】（1）根据题意，求得这100−x名研发人员的年总投入和调整前100名技术人员的年总投入，列不等式求解即可；
（2）由①可得1+4x%a≤m−2a，由②100−x1+4x%a≥a25+xm6xx，根据题意，求解不等式组即可．
【详解】（1）解：由题意可得：100−x1+4x%a≥100a，（a>0）
解得：0又∵45≤x≤75，
∴45≤x≤75
即调整后的技术人员最多有75人；
（2）解：由①可得1+4x%a≤m−2a，由②100−x1+4x%a≥a25+xm6xx
即1+4x%a≤m−2a100−x1+4x%a≥a25+xm6xx，解得m≥x25+3m≤600−6x25
又∵x为正整数且45≤x≤75，
∴当x=75时，x25+3最大，为7525+3=6；
当x=75时，600−6x25最小，为600−6×7525=6，
综上，存在m=6，满足题意．
【点睛】此题考查了不等式（组）的求解，解题的关键是理解题意，找到不等式关系，正确列出不等式．
A
B
载客量（人/辆）
45
30
租金（元/辆）
400
280
车辆数（辆）
载客量
A
B
x
车辆数（辆）
载客量
A
5−x
455−x
B
x
30x
奖品
一等奖奖品
二等奖奖品
三等奖奖品
单价（元）
12
10
8
如何运输最省?
素材一
为做到“动态清零”，市卫生防疫部门需运输一批疫苗到某县，现有冷链车A 和 B型两种运输车，其中A型冷链运输车一次可运输200盒疫苗，B型冷链运输车一次可运输150盒疫苗．
素材二
A型冷链运输车一次需费用5000元，B型冷链运输车一次需费用3000元．
问题解决
任务1
若某县需要1500盒疫苗，市卫生防疫部门只安排A型冷链运输车，则至少需A型冷链运输车多少辆？
任务2
市卫生防疫部门用上述两种冷冻车共12辆运输这批疫苗.若运输疫苗不少于2100盒，且总费用小于54000元请你列出所有的运输方案．
任务3
在任务2的条件下，由于A型和 B型两种运输车，运输时走不同高速路线，A型需a元过路费， B型100−a元过路费，求如何安排两种车型运输的过路费总和最少？
考点1：不等式的基本性质
例1．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）已知x
(1)若x+2>3，则x>1；
(2)若2x>−3，则x>−32；
(3)若−3x>4，则x<−43．
知识点训练
1．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）a
2．（2022秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）若a>b，则下列式子正确的是（ ）
A．−2022a>−2022bB．a−2022>b−2022
C．2022−a>2022−bD．2022a<2022b
3．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）若a>b，则下列结论一定成立的是（ ）
A．−a>−bB．a2>b2C．a−1
A．m>0B．m≠0C．m≥0D．m≤0
4．（2022秋·浙江·八年级阶段练习）若a
5．（2022秋·浙江·八年级期中）若a＞b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a−2021＞b−2021 B．−2021a＜−2021b
C．ac>bcD．a+c＞b+c
6．（2022秋·黑龙江七台河·八年级校联考期中）下列说法中正确的有（ ）
①−ab=a−b=−ab ②若ab<0，则a>0，b>0
③若a=0，b≠0，则ab=0 ④若a>0，b>0，则1a<1b
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2023春·八年级单元测试）若a>b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a−5>b−5B．−5a<−5b
C．ac>bcD．ac2+1>bc2+1
8．（2022秋·浙江·八年级专题练习）关于x的一元一次不等式k−1x≤k−1的解集为x≥1，则k的值不能为（ ）
A．−5B．−2C．−1D．3
9．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）若a>b，且6−xa<6−xb，则x的取值范围是_____．
考点2：一元一次不等式及其解法
例3. （2022春·陕西西安·八年级校考阶段练习）解不等式9x+26−2x−13≥−1，并把它们的解集在数轴上表示出来．
例4. （2022秋·河南郑州·九年级校考期末）先化简：1−1x+2÷x2−1x2+4x+4，再从不等式−2x−1<6的负整数中选一个适当的数代入求值．
知识点训练
1．（2023春·八年级单元测试）下列式子是一元一次不等式的是（ ）
A．x+y<0B．x2>0C．x2>3+xD．1x<0
2．（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）在x>0，1x<−1，2x<−2+x，x+y≥−3，x+1=0，x2>3，是一元一次不等式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2022春·上海普陀·六年级校考期中）下列不等式中，是一元一次不等式的为（ ）
A．3x+5≤−2x−1B．x−3y>6
C．x2+4≥2x+3 D．xy>1
4．（2021春·河南新乡·七年级校考期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．不等式a<2的正整数解只有一个B．−2是不等式2x−1<0的一个解
C．不等式x<10的整数解有无穷多个D．不等式−3x>9的解集是x>−3
5．（2022春·河南濮阳·八年级校考期中）若m−1xm+2>0是关于x的一元一次不等式，则m=（ ）
A．±1B．1C．−1D．0
6．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）已知不等式x+1≥0，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023秋·湖南益阳·八年级校联考期末）若关于x的不等式x−m≥−1的解集如图所示，则m等于（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）若一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A．x−2<0B．x−2>0C．x+2<0D．x+2>0
9．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）若不等式x≤m的解都是不等式2−3x≥5的解，则m的取值范围是（ ）．
A．m≤−1B．m<−1C．m≥−1D．m>−1
10．（2022春·河南驻马店·七年级统考期末）若（m﹣2）x|m-1|﹣3＞6是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为_____．
11．（2021秋·浙江湖州·八年级统考期末）不等式3x<−12的解集是______．
12．（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）不等式3x−3x<6的解集是________.
13．（2021春·海南海口·七年级校考期中）若关于x的方程2x−m+1=4x−1的解是负数，则m的取值范围是____________．
14．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）不等式13−4x≥3x−8的非负整数解有______个．
15．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）解不等式2x−5≤2x2−3，并把它的解集在数轴上表示出来．
16．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1)2−3+x<3x+2．
(2)x−x−12>2x−13−1−x6．
考点3：解一元一次不等式组
例5. 解不等式组：3x+1≥x−1①3x−42≤x②，请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得 ．
(2)解不等式②，得 ．
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
(4)原不等式组的解集为 ．
例6. 若关于x的不等式组x+152>x−32x+23
1．（2022春·全国·八年级假期作业）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
①x>−2x<3；②x>0x+2>4；③x+1>0y−4<0；④x+3>0x<−7；⑤x2+1
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2023秋·广西南宁·九年级三美学校校考期末）不等式组2−x≥03x+2>−1的解集里（ ）
A．−1
3．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）将不等式组x>2x≥3的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，若P2−x,x关于原点的对称点在第二象限，则x的取值范围为（ ）
A．0
5．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）若关于x的不等式组x<2x≥a−1无解，则a的取值范围为（ ）
A．a≤3 B．a<3 C．a≥3D．a>3
6．（2020秋·浙江杭州·八年级校考期中）若不等式组−x+2
A．m≤4B．m<4C．m≥4D．m>4
7．（2020秋·云南楚雄·九年级统考期末）如果关于x的不等式组2x−a≥0，3x−b＜0的整数解仅有1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a，b之中，b的最大值减去a的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
8．（2023秋·河南郑州·九年级统考期末）不等式组x−4＜2x−112x+1≤1的所有整数解的和为___________．
9．（2021春·四川成都·八年级校考期中）已知m是不等式组m−2<3m−10m<8的正整数解，则分式方程2x−2=mx+1有整数解的概率为___________．
10．（2023秋·河北张家口·八年级张家口市第一中学校考期末）若不等式组x−a<1x−2b>3的解集为−1
13．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）解不等式组2x−6<0x+1>x3，并把解集表示在数轴上．
14．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）解不等式2x−12+1−x3>15x+1≥3x+1，并在数轴上把它的解集表示出来．
15．（2021春·宁夏银川·八年级银川市第三中学校考期中）解不等式3−x2≤13x+2≥4．
16．（2021春·甘肃兰州·八年级兰州市第十中学校考期中）解不等式组，并求出不等式组的解集．
(1)2x+7>3x−1x−25≥0．
(2)5x−3>3x−112x−1≥7+32x．
17．（2021春·河南郑州·八年级校联考期中）解不等式组2x−13−5x+12≤25x−1<3x+1，并求出该不等式组的负整数解．
18．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）解不等式组1+x≤43x−1<2x−1，并把解集在数轴上表示出来．
考点4：一元一次不等式的应用
例7. （2022春·福建厦门·七年级统考期末）某俱乐部举行篮球联赛，组委会制定的赛制规则是：每个队都要比赛12场，每场比赛只分胜、负，胜1场积2分，负1场积1分，按积分高低确定出线名额．目前雄鹰队的战绩是4胜2负，蓝狮队的战绩是4胜5负．根据组委会赛制规则可预测，这两个队完成所有比赛后，积分高的队伍可以出线，问雄鹰队在剩下的比赛中至少需胜多少场可确保出线？
例8.（2023秋·广西钦州·九年级统考期末）某商店经销一种销售成本为40元/kg的水产品，据市场分析：若按60元/kg销售，一个月能售出300kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg，针对这种水产品，请解答以下问题：
(1)写出月销售量y(kg)与售价x(元/kg)之间的函数解析式
(2)当售价定为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？
(3)商店想在月销售成本不超过8000元的情况下，使得月销售利润不少于4000元，销售单价可定在什么范围？
知识点训练
1．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）某品牌电脑的成本为2400元，标价为3150元，如果商店要以不低于5%的利润销售，最低可打（ ）折出售．
A．7折B．7.5折C．8折D．8.5折
2．（2023秋·河北张家口·八年级张家口市第一中学校考期末）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多5元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，
(1)求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元?
(2)由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共100桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的12，由于是第二次购买，商家给予八折优惠．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少?最少总金额是多少元?
3．某水果店一次购进了若干箱水蜜桃和李子，已知购进水蜜桃花费800元，购进李子花费1680元，所购李子比水蜜桃多10箱，李子每箱的进价是水蜜桃每箱进价的1.4倍．
(1)水蜜桃和李子每箱进价分别为多少元？水蜜桃和李子各多少箱？
(2)根据市场情况，每箱李子可以比每箱水蜜桃的利润多5元，这批水果全部售完后，店家若想获得不少于800元的利润，应该如何确定每箱水蜜桃和李子的售价？
4．（2022·河北沧州·统考二模）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向10km以内的出行市场．现有A、B两种品牌的共享电动车，已知A品牌每分钟收费0.2元、B品牌的收费为y（元）与骑行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．
(1)求B品牌的收费y（元）与骑行时间x（分钟）之间的函数关系式，并写出相应的x的取值范围；
(2)小王发现，他从家到单位上班，骑行A品牌或B品牌的共享电动车的费用相同，求小王骑共享电动车从家到单位的骑行时间；
(3)小李每天也骑共享电动车上班，他说：“我从家来单位的话，A、B两种品牌的共享电动车的收费相差不超过1.2元”，请直接写出小李从家到单位骑行时间的取值范围．
5．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如表：
某校根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，送七年级师生到基地参如社会实践活动，设租用B型客车x辆，根据要求回答下列问题：
(1)用含x的式子填表：
(2)若要保证租车费用不超过1800元，求x的最小值，并写出此时的租车方案和租车费用．
6．（2023秋·重庆·九年级校联考期末）回家过年，一家团聚，是我们每个中国人的信仰．在这春节来临之际，置办年货当然也是每个家庭必需要做的事情．某商家看准商机，购进A，B两种春节大礼包进行销售，已知一个B礼包比A礼包的进价多30元，其中购买A礼包花费4000元，购买B礼包花费3200元，且购买A礼包的数量是购买B礼包数量的2倍．
(1)求一个A礼包的进价是多少元；
(2)商家第一次购进的礼包很快售完，决定再次购进同种类型的A，B两种礼包共80个，但A礼包的进价比第一次购买时提高了16%，而B礼包的进价在第一次购买时进价的基础上打9折，如果商家此次两种礼包的总费用不超过4800元，那么此次最多可购买多少个B礼包？
7．（2022秋·河南新乡·八年级统考期末）为了响应国家的“双减”政策，某校外培训机构开始实施“学科类培训”向“非学科类培训”的转型．市场调查后发现，篮球和足球的培训前景良好，于是决定从某体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于球类培训．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1500元购买足球的数量是用1200元购买篮球数量的2倍．
(1)篮球和足球的单价各是多少？
(2)根据学生报名情况，该机构需一次性购买篮球和足球共100个，但要求购买足球和篮球的总费用不超过6000元，最多可以购买多少个篮球？
8．（2021春·河南郑州·八年级校考期中）新型冠状肺炎疫情爆发以来，很多地方防护物资紧缺，开学前期，某爱心人士准备购买额温枪送给母校，经了解市场，购买甲种品牌的额温枪2支和乙种品牌的额温枪5支共需2700元，购买甲种品牌的额温枪6支和乙种品牌的额温枪2支共需2900元．
(1)求两种品牌的额温枪的价格各是多少元？
(2)经与商家协商，甲种品牌的额温枪可以打八折出售，乙种品牌的额温枪降价15%，若购买两种品牌的额温枪共50支且总费用不超过15000元，甲种品牌的额温枪至少要购买多少支？
9．（2021春·山东济南·八年级校考期中）随着“父亲节”的临近，某商场决定开展“感恩父爱，回馈顾客”的促销活动，对部分节日大礼包进行打折销售，其中A款节日大礼包打8折，B款节日大礼包打7.5折，已知打折前，购买4盒A款节日大礼包和5盒B款节日大礼包需要1000元；打折后买5盒A款节日大礼包和4盒B款节日大礼包需要760元．
(1)求打折后A，B两款节日大礼包每盒分别为多少元？
(2)打折期间，某公司计划为员工采购150盒节日大礼包，总费用不超过13000元，则最多可以购买B款节日大礼包多少盒？
10．（2022秋·重庆江津·八年级统考期末）在全民健身运动中，“万步有约”健步走活动备受市民青睐．元旦节当天，小李和妈妈约定从通泰门出发，沿相同的路线去4公里外的元帅广场，已知妈妈的步行速度是小李的1.6倍．
(1)若小李先出发30分钟，妈妈才从通泰门出发，最终小李和妈妈同时到达元帅广场，则小李步行的速度是每分钟多少米？
(2)粗心的妈妈到达元帅广场后，想起30分钟后公司有一个重要会议要参加，公司距离元帅广场3.8公里，妈妈马上从元帅广场出发赶去公司，她先以原速度步行一段时间后，又以150米/分钟的速度跑步前行，若妈妈想要不迟到，则至少需要跑步多少分钟？
考点5：一元一次不等式组的应用
例9. （2022春·湖南湘西·七年级统考期末）为全面落实乡村振兴总要求，吉首市某乡计划试种植猕猴桃树和蓝莓树共100棵．若种植40棵猕猴桃树，60棵蓝莓树共需投入成本9600元；若种植40棵蓝莓树，60棵猕猴桃树共需投入成本10400元．
(1)求猕猴桃和蓝莓树每棵各需投入成本多少元？
(2)若猕猴桃的种植棵数不少于蓝莓树的35，且总成本投入不超过9710元，问：共有几种种植方案？
例10. （2022秋·浙江·八年级期中）学校举行八年级段数学知识竞赛，设立了一、二、三等奖，计划共购买45件奖品，其中二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少5件，已知购买一等奖奖品x件，各种奖品的单价如表：
(1)学校购买二等奖奖品 件，三等奖奖品 件；（用含x的代数式表示）
(2)若购买三等奖奖品的费用不超过二等奖奖品的费用的2倍，且三等奖奖品的件数不少于一等奖奖品件数的52倍．问学校共有几种购买方案？如何购买这三种奖品，使总费用最少？并求出最少的总费用．
知识点训练
1．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）文德中学初二年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给他们．如果每人送4本，则还余9本；如果每人送5本，则最后一人能得到课外读物但不足2本．设初二年级有x名学生获奖．则下列不等式组表示正确的是（ ）．
A．4x+9−5x−1>04x+9−5x−1<2B．4x−9−5x−1>04x−9−5x−1<2
C．4x+9−5x−1>04x+9−5x−1≤2D．4x−9−5x−1>04x−9−5x−1≤2
2．（2021春·河南郑州·八年级校联考期中）“输入一个实数x，然后经过如图的运算，到判断是否大于190为止”叫做一次操作，那么恰好经过两次操作停止，则x的取值范围是___________．
3．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装8吨，则最后一辆汽车不满也不空．
(1)若有x辆车，则货物共有_________吨（用含x的代数式表示）．
(2)请你算一算：有多少辆汽车运这批货物？
4．（2021春·海南海口·七年级校考期中）某商店计划购进A、B两种商品，若购进9件A商品和10件B商品需用1810元，若购进12件A商品和8件B商品需用1880元；已知销售一件A商品可获利18元，销售一件B商品可获利30元．
(1)A、B两种商品的单价分别是多少元？
(2)要使在这次销售中获利不少于699元，A商品不多于28件，已知该商店购进A商品件数比购进B商品件数的2倍还多4件，那么该商店在这次进货中可有几种购进方案？哪几种？
5．（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第二十三中学校考期末）某超市购进甲、乙两种商品，购买1个甲商品比购买1个乙商品多花6元，并且花费400元购买甲商品和花费100元购买乙商品的数量相等．
(1)求购买一个甲商品和一个乙商品各需多少元；
(2)商店准备购买甲、乙两种商品共40个，并要求商品个数为正整数，若甲商品的数量不少于乙商品数量的3倍，并且购买甲、乙商品的总费用不低于230元且不高于266元，那么超市有几种购买方案？哪种方案费用少？
6．（2023春·广东江门·七年级统考期末）某商店准备购进甲、乙两种品牌纪念品，若购进甲种纪念品40个，乙种纪念品25个，需要1350元；若购进甲种纪念品20个，乙种纪念品30个，需要1200元．
(1)求购进甲、乙两种纪念品每个各需多少元？
(2)若该商店刚好用了3000元购进这两种纪念品，考虑顾客需求，要求购进甲种纪念品的数量不少于乙种纪念品数量的3倍，且乙种纪念品数量大于38个，那么该商店有几种进货方案？
(3)若该商店销售每个甲种纪念品可获利润5元，销售每个乙种纪念品可获利润6元，在第（2）问的进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？
7．（2022秋·湖北随州·九年级统考期末）在双十二活动期间，商店将对某商品进行促销活动，已知进价为每件6元，平时以单价10元的价格售出一天可卖100件．根据调查单价每降低1元，每天可多售出50件；设商品单价降低x元0
(2)当日利润达到400元时，求x的值．
(3)若商店以第（2）问中的方式销售2天后，第三天单价再减a元，当天的销售量不低于前两天总和的70%，求第三天的日利润最大值．
8．（2022秋·湖北省直辖县级单位·九年级校联考阶段练习）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积xm2之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．
(1)当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
8．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长16米）的空地上修建一个矩形花园．如图所示，花园一面靠墙，另外三面由栅栏围成．花园分成了面积相等的区域①、区域②、区域③三块矩形区域，也用栅栏分隔.已知共用了80m的栅栏，设CF的长度为x米，矩形ABCD的面积为y平方米.
(1)用含x的代数式表示AB、BC的长；
(2)求出y关于x的函数表达式；
(3)x为何值时，y有最大值？最大值为多少？
9．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）根据以下素材，探索完成任务
10．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（x为正整数且45≤x≤75），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入调整为a25+xm6x万元．
(1)若这100−x名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，则调整后的技术人员最多有______人；
(2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内任意调整后，都能同时满足以下两个条件：
①研发人员的年人均投入不超过m−2a；
②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．请说明理由．
A
B
载客量（人/辆）
45
30
租金（元/辆）
400
280
车辆数（辆）
载客量
A
B
x
奖品
一等奖奖品
二等奖奖品
三等奖奖品
单价（元）
12
10
8
如何运输最省?
素材一
为做到“动态清零”，市卫生防疫部门需运输一批疫苗到某县，现有冷链车A 和 B型两种运输车，其中A型冷链运输车一次可运输200盒疫苗，B型冷链运输车一次可运输150盒疫苗．
素材二
A型冷链运输车一次需费用5000元，B型冷链运输车一次需费用3000元．
问题解决
任务1
若某县需要1500盒疫苗，市卫生防疫部门只安排A型冷链运输车，则至少需A型冷链运输车多少辆？
任务2
市卫生防疫部门用上述两种冷冻车共12辆运输这批疫苗.若运输疫苗不少于2100盒，且总费用小于54000元请你列出所有的运输方案．
任务3
在任务2的条件下，由于A型和 B型两种运输车，运输时走不同高速路线，A型需a元过路费， B型100−a元过路费，求如何安排两种车型运输的过路费总和最少？
2.3一元一次不等式（组）及其应用知识点演练
考点1：不等式的基本性质
例1．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）已知x
【分析】根据不等式性质1和不等式性质2进行变形即可证明．
【详解】解：12−3x>12−3y，理由如下：
∵x
∴12−3x>12−3y（不等式性质1）．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解题关键是熟知不等式的性质，并能根据性质对不等式进行变形．
例2．（2022秋·浙江·八年级专题练习）说出下列不等式的变形依据．
(1)若x+2>3，则x>1；
(2)若2x>−3，则x>−32；
(3)若−3x>4，则x<−43．
【答案】(1)根据不等式的性质1，不等式的两边同时减去2
(2)根据不等式的性质2，不等式的两边同时除以2
(3)不等式的性质3，不等式的两边同除以−3
【分析】（1）根据不等式的性质1变形；
（2）根据不等式的性质2变形；
（3）不等式的性质3变形．
【详解】（1）解：根据不等式的性质1，不等式的两边同时减去2．
（2）解：根据不等式的性质2，不等式的两边同时除以2．
（3）解：不等式的性质3，不等式的两边同除以−3．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
知识点训练
1．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）a
【答案】D
【分析】根据不等式的性质进行一一判断．
【详解】解：A．在不等式a
C．在不等式a
【点睛】主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
2．（2022秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）若a>b，则下列式子正确的是（ ）
A．−2022a>−2022bB．a−2022>b−2022
C．2022−a>2022−bD．2022a<2022b
【答案】B
【分析】利用不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：A、∵a>b，
∴−2022a<−2022b，故A不符合题意；
B、∵a>b，
∴a−2022>b−2022，故B符合题意；
C、∵a>b，
∴−a<−b，
∴2022−a<2022−b，故C不符合题意；
D、∵a>b，
∴2022a>2022b，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
3．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）若a>b，则下列结论一定成立的是（ ）
A．−a>−bB．a2>b2C．a−1
【分析】根据不等式的性质解答．①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：A．∵a>b，
∴−a<−b，故本选项不符合题意；
B．∵a>b，
∴a2>b2，故本选项符合题意；
C．∵a>b，
∴ a−1>b−1，故本选项不符合题意；
D．∵a>b，
∴−a<−b，不是a<−b，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
4．（2022春·福建龙岩·七年级统考期末）由a≥b得到am≤bm，则需要的条件是（ ）
A．m>0B．m≠0C．m≥0D．m≤0
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，两边同时乘以一个负数，不等号方向改变求解即可．
【详解】解：∵a≥b，
当m≤0时，有am≤bm，
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解题关键是牢记不等式的性质．
4．（2022秋·浙江·八年级阶段练习）若a
【答案】D
【分析】利用不等式的基本性质判断即可．
【详解】解：∵a
即−15a+1>15b+1，选项A不符合题意；
当c≠0时，c2a
∴选项C不符合题意；
∵a
故选：D．
【点睛】此题考查了不等式的性质，不等式的基本性质：不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变；同时乘同一个负数，不等号方向改变．
5．（2022秋·浙江·八年级期中）若a＞b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a−2021＞b−2021 B．−2021a＜−2021b
C．ac>bcD．a+c＞b+c
【答案】C
【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不等式a＞b的两边都减去2021可得a−2021＞b−2021，原变形正确，故本选项不符合题意；
B、不等式a＞b的两边都乘以−2021可得−2021a＜−2021b，原变形正确，故本选项不符合题意；
C、不等式a＞b的两边都除以c，只有c＞0才可得ac>bc，所以，不等式ac>bc不一定成立，故本选项符合题意；
D、不等式a＞b的两边都加上c可得a+c＞b+c，原变形正确，故本选项不符合题意．
故选：C
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：(1)不等式两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
6．（2022秋·黑龙江七台河·八年级校联考期中）下列说法中正确的有（ ）
①−ab=a−b=−ab ②若ab<0，则a>0，b>0
③若a=0，b≠0，则ab=0 ④若a>0，b>0，则1a<1b
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质可判断①，根据除法法则可判断②和③，根据不等式的性质可判断④．
【详解】解：①−ab=a−b=−ab，正确；
②若ab<0，则a>0，b<0或a<0，b>0，故错误；
③若a=0，b≠0，则ab=0，正确；
④当a=b=1时，满足a>0，b>0，此时1a=1b=1，故错误．
故选B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，除法法则，以及不等式的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
7．（2023春·八年级单元测试）若a>b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a−5>b−5B．−5a<−5b
C．ac>bcD．ac2+1>bc2+1
【答案】C
【分析】直接利用不等式的性质分别判断得出答案．
【详解】解：A．∵a>b，
∴a−5>b−5，故此选项不合题意；
B．∵a>b，
∴−5a<−5b，故此选项不合题意；
C．∵a>b，
∴ac>bcc≠0，故此选项符合题意；
D．∵a>b，
∴ac2+1>bc2+1，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了不等式的性质，正确掌握不等式的性质是解题关键．
8．（2022秋·浙江·八年级专题练习）关于x的一元一次不等式k−1x≤k−1的解集为x≥1，则k的值不能为（ ）
A．−5B．−2C．−1D．3
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，可得关于k的不等式，解不等式，可得答案．
【详解】解：由关于x的一元一次不等式(k−1)x≤k−1的解集为x≥1，得k−1<0，
解得k<1．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质得出关于k的不等式是解题关键．
9．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）若a>b，且6−xa<6−xb，则x的取值范围是_____．
【答案】x>6
【分析】根据不等式的基本性质解答即可．
【详解】解：∵a>b，且6−xa<6−xb，
∴6−x<0，
解得x>6．
故答案为：x>6．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
考点2：一元一次不等式及其解法
例3. （2022春·陕西西安·八年级校考阶段练习）解不等式9x+26−2x−13≥−1，并把它们的解集在数轴上表示出来．
【答案】x≥−2，图见解析
【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：9x+26−2x−13≥−1，
(9x+2)−2(2x−1)≥−6，
9x+2−4x+2≥−6，
9x−4x≥−6−2−2，
5x≥−10，
x≥−2，
．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
例4. （2022秋·河南郑州·九年级校考期末）先化简：1−1x+2÷x2−1x2+4x+4，再从不等式−2x−1<6的负整数中选一个适当的数代入求值．
【答案】x+2x−1，14
【分析】先把括号里的式子进行通分，再把后面的式子根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解，然后约分化简，再求出不等式的解集，最后代入一个合适的数，即分式不为零的值，即可解题．
【详解】解：1−1x+2÷x2−1x2+4x+4
=x+1x+2÷x+1x−1x+22
=x+1x+2×x+22x+1x−1
=x+2x−1，
∵ −2x−1<6
∴x>−72
∴x>−72的负整数解有：−3，−2，−1，
∵x≠−2,x≠−1
∴x=−3
原式=x+2x−1=−3+2−3−1=12
=−3+2−3−1
=14．
【点睛】本题考查分式的混合运算、分式的化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式进行因式分解，解一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
知识点训练
1．（2023春·八年级单元测试）下列式子是一元一次不等式的是（ ）
A．x+y<0B．x2>0C．x2>3+xD．1x<0
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以．
【详解】解：A．含有2个未知数，不是一元一次不等式，选项不符合题意；
B．最高次数是2次，不是一元一次不等式，选项不符合题意；
C．x2>3+x是一元一次不等式，选项符合题意；
D．1x不是整式，则不是一元一次不等式，选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查不等式的定义，一元一次不等式中必须只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，并且不等式左右两边必须是整式．
2．（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）在x>0，1x<−1，2x<−2+x，x+y≥−3，x+1=0，x2>3，是一元一次不等式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以．
【详解】解：是一元一次不等式的有：x>0，2x<−2+x共有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，还要注意未知数的系数不能是0．
3．（2022春·上海普陀·六年级校考期中）下列不等式中，是一元一次不等式的为（ ）
A．3x+5≤−2x−1B．x−3y>6
C．x2+4≥2x+3 D．xy>1
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可．
【详解】解：A、该不等式符合一元一次不等式的定义，故此选项不符合题意；
B、该不等式中含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
C、未知数的次数是2，不是一元一次不等式，故此选项符合题意；
D、该不等式中含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义．一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
4．（2021春·河南新乡·七年级校考期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．不等式a<2的正整数解只有一个B．−2是不等式2x−1<0的一个解
C．不等式x<10的整数解有无穷多个D．不等式−3x>9的解集是x>−3
【答案】D
【分析】根据不等式的解及解不等式逐一判断即可．
【详解】解：A．不等式a<2的正整数解为1，故不等式a<2的正整数解只有一个正确，故A正确，不符合题意；
B．解2x−1<0，得：x<12，故−2是不等式2x−1<0的一个解正确，故B正确，不符合题意；
C．不等式x<10的整数解有无穷多个，故C正确，不符合题意；
D．不等式−3x>9的解集是x<−3，故D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】此题考查一元一次不等式的解，解一元一次不等式．掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键．
5．（2022春·河南濮阳·八年级校考期中）若m−1xm+2>0是关于x的一元一次不等式，则m=（ ）
A．±1B．1C．−1D．0
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式的定义列式求解即可．
【详解】解：∵m−1xm+2>0是关于x的一元一次不等式，
∴m−1≠0，m=1，
解得：m=−1，
故选：C ．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式是一元一次不等式，注意：未知数的系数不能为0．
6．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）已知不等式x+1≥0，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可判定．
【详解】解：x+1≥0，
解得x≥−1，
在数轴上表示为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式并把解集在数轴上表示出来，准确把不等式的解集在数轴上表示出来是解决本题的关键．
7．（2023秋·湖南益阳·八年级校联考期末）若关于x的不等式x−m≥−1的解集如图所示，则m等于（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】首先解得关于x的不等式x−m≥−1的解集即x≥m−1，然后观察数轴上表示的解集，求得m的值．
【详解】解：关于x的不等式x−m≥−1，
得x≥m−1，
由题目中的数轴表示可知：
不等式的解集是：x≥2，
∴m−1=2，
解得，m=3，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是正确解出关于x的不等式，把不等式问题转化为方程问题．
8．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）若一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A．x−2<0B．x−2>0C．x+2<0D．x+2>0
【答案】A
【分析】解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上的表示方法，可得答案．
【详解】解：A、x<2，故A符合题意；
B、x>2，故B不符合题意；
C、x<−2，故C不符合题意；
D、x>−2，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
9．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）若不等式x≤m的解都是不等式2−3x≥5的解，则m的取值范围是（ ）．
A．m≤−1B．m<−1C．m≥−1D．m>−1
【答案】A
【分析】先求出不等式2−3x≥5的解集，然后根据x≤m的解都是不等式2−3x≥5的解进行求解即可．
【详解】解：解不等式2−3x≥5得x≤−1，
∵不等式x≤m的解都是不等式2−3x≥5的解，
∴m≤−1，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出不等式2−3x≥5的解集是解题的关键．
10．（2022春·河南驻马店·七年级统考期末）若（m﹣2）x|m-1|﹣3＞6是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为_____．
【答案】x＜﹣4.5
【分析】根据一元一次不等式的定义得出|m-1|=1且m-2≠0，求出m的值，再把m的值代入原式，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：|m-1|=1且m-2≠0，
∴m=2或m=0且m≠2，
∴m=0，
∴原不等式可化为：-2x-3＞6，
解得：x＜-4.5，
∴该不等式的解集为x＜-4.5．
故答案为：x＜-4.5．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义和解法，根据一元一次不等式的定义求出m的值是解题的关键．
11．（2021秋·浙江湖州·八年级统考期末）不等式3x<−12的解集是______．
【答案】x<−4
【分析】不等式两边同时除以3即可求解．
【详解】解：3x<−12，
解得：x<−4，
故答案为：x<−4．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键．
12．（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）不等式3x−3x<6的解集是________.
【答案】x>−3−3##x>−3−3
【分析】根据一元一次不等式的解法进行计算即可求解．
【详解】解： 3x−3x<6，
即3−3x<6
∵3−3<0，
∴x>63−3
∴x>−3−3；
故答案为：x>−3−3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，正确的计算是解题的关键．
13．（2021春·海南海口·七年级校考期中）若关于x的方程2x−m+1=4x−1的解是负数，则m的取值范围是____________．
【答案】m>2
【分析】解方程得x=2−m2，由方程的解为负数得出关于m的不等式，解之可得．
【详解】解：解方程2x−m+1=4x−1，得：x=2−m2，
∵方程的解为负数，
∴2−m2<0，
解得m>2，
故答案为：m>2．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式和一元一次方程的能力．
14．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）不等式13−4x≥3x−8的非负整数解有______个．
【答案】4
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．
【详解】解：13−4x≥3x−8，
移项得，−4x−3x≥−8−13，
合并同类项得，−7x≥−21，
系数化为1得，x≤3．
∴不等式的非负整数解为0，1，2，3共4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
15．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）解不等式2x−5≤2x2−3，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】x≤−1，数轴见解析
【分析】先去括号，移项，合并同类项求出不等式的解集，根据数轴的性质表示解集．
【详解】解：去括号，得2x−5≤x−6，
移项，合并同类项，得x≤−1，
将解集表示在数轴上，如图：
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，利用数轴表示不等式的解集，正确掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
16．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1)2−3+x<3x+2．
(2)x−x−12>2x−13−1−x6．
【答案】(1)x>−12，数轴见解析
(2)x<3，数轴见解析
【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解不等式即可；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解不等式即可．
【详解】（1）解：2−3+x<3x+2
去括号得，−6+2x<3x+6，
移项得，2x−3x<6+6，
合并同类项得，−x<12，
系数化1得，x>−12；
在数轴上表示如下：
（2）x−x−12>2x−13−1−x6
去分母得，6x−3x−1>22x−1−1−x，
去括号得，6x−3x+3>4x−2−1+x，
移项得，6x−3x−4x−x>−2−1−3，
合并同类项得，−2x>−6，
系数化1得，x<3；
在数轴上表示如下：
【点睛】此题考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
考点3：解一元一次不等式组
例5. 解不等式组：3x+1≥x−1①3x−42≤x②，请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得 ．
(2)解不等式②，得 ．
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
(4)原不等式组的解集为 ．
【答案】(1)x≥−1
(2)x≤4
(3)见解析
(4)−1≤x≤4
【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．
【详解】（1）解：解不等式①，得x≥−1；
（2）解不等式②，得x≤4；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为：−1≤x≤4．
【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，关键是掌握解集的确定方法：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
例6. 若关于x的不等式组x+152>x−32x+23
【详解】解：x+152>x−3①2x+23
解不等式②，得x>2−3a，
∵此不等式组只有4个整数解，
∴此不等式组的解集为2−3a
∴16≤2−3a<17，
解得a的取值范围是：−5
知识点训练
1．（2022春·全国·八年级假期作业）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
①x>−2x<3；②x>0x+2>4；③x+1>0y−4<0；④x+3>0x<−7；⑤x2+1
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式组的概念，对5个式子逐一判断即可．
【详解】解：①x>−2x<3是一元一次不等式组；
②x>0x+2>4是一元一次不等式组；
③x+1>0y−4<0含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
④x+3>0x<−7是一元一次不等式组；
⑤x2+1
其中是一元一次不等式组的有3个，
答案：B．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的概念，掌握一元一次不等式组的概念是解决本题的关键.
2．（2023秋·广西南宁·九年级三美学校校考期末）不等式组2−x≥03x+2>−1的解集里（ ）
A．−1
【答案】A
【分析】分别解出不等式的值，在根据“同大取大，同小取小，小大大小取中间，大大小小无解”即可求解．
【详解】解：由2−x≥0得，x≤2；由3x+2>−1得，x>−1，
∴原不等式组的解集为：−1
【点睛】本题主要考查求不等式组的解集，掌握解不等式组的方法，取值的方法，不等式的性质是解题的关键．
3．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）将不等式组x>2x≥3的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先定界点，再定方向即可得．
【详解】解：不等式组x>2x≥3的解集在数轴上表示如下：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点；二是定方向，注意“实心点”、“空心点”的用法．
4．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，若P2−x,x关于原点的对称点在第二象限，则x的取值范围为（ ）
A．0
【答案】B
【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数得到出对称点，再根据点在第二象限列出不等式组求解即可．
【详解】解：∵P2−x,x关于原点的对称点在第二象限，
∴点x−2,−x在第二象限，
所以x−2<0−x>0，
解得x<0，
故选B．
【点睛】本题考查了象限内的点的坐标特点及解不等式组，熟练掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数是解题的关键．
5．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）若关于x的不等式组x<2x≥a−1无解，则a的取值范围为（ ）
A．a≤3 B．a<3 C．a≥3D．a>3
【答案】C
【分析】根据不等式组无解得出a−1≥2，求出即可．
【详解】解：∵关于x的不等式组x<2x≥a−1无解，
∴a−1≥2，
∴a≥3，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次不等式，熟练掌握利用一元一次不等式组无解求相关字母的取值是解题的关键．
6．（2020秋·浙江杭州·八年级校考期中）若不等式组−x+2
A．m≤4B．m<4C．m≥4D．m>4
【答案】A
【分析】先求出第一个不等式的解集，再根据口诀“同大取大”结合不等式组的解集即可求得m的取值范围．
【详解】解：解不等式−x+2
∵不等式的解集为x>4，
∴m≤4，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查含参数的一元一次不等式组，熟知求不等式组解集口诀“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小找不到”是解答的关键．
7．（2020秋·云南楚雄·九年级统考期末）如果关于x的不等式组2x−a≥0，3x−b＜0的整数解仅有1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a，b之中，b的最大值减去a的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】D
【分析】首先解不等式组2x−a≥03x−b<0则不等式组的解集即可利用a，b表示，根据不等式组的整数解仅为1，2，3，即可确定a，b的范围，即可确定a，b的整数解，即可求解．
【详解】解：解不等式组2x−a≥03x−b<0，
可得：a2≤x
根据数轴可得：0
由3
b的最大值减去a的最小值为：12−1=11．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，注意各个不等式的解集的公式部分就是这个不等式组的解集．但本题是要求整数解的，所以要找出在这范围内的整数．
8．（2023秋·河南郑州·九年级统考期末）不等式组x−4＜2x−112x+1≤1的所有整数解的和为___________．
【答案】0
【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解，再取它们的公共部分，最后取正整数解即可．
【详解】解：∵x−4＜2x−1
∴x−4＜2x−2
∴x＞−2,
∵12x+1≤1
∴x+1≤2
∴x≤1,
∴−2＜x≤1,
符合条件的整数解：−1,0,1,
−1+0+1=0
故答案为0．
【点睛】本题主要考查求不等式组的特殊解，熟练掌握解不等式组的基本步骤，求出不等式组的解，是解题的关键．
9．（2021春·四川成都·八年级校考期中）已知m是不等式组m−2<3m−10m<8的正整数解，则分式方程2x−2=mx+1有整数解的概率为___________．
【答案】13
【分析】先解不等式组求出解集，确定正整数m的值，再解分式方程，得到方程有整数解时m的值，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：解不等式m−2<3m−10，得m>4，
所以不等式组m−2<3m−10m<8的解集为4
分式方程去分母得：2x+1=mx−2，
整理，得m−2x=2m+2，
当m−2≠0即m≠2时，x=2m+2m−2，
即x=2+6m−2，
∵分式方程有整数解，且x≠2，x≠−1，
∴只有m=5满足要求，
∴分式方程2x−2=mx+1有整数解的概率为：13．
故答案为：13．
【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了一元一次不等式组的整数解以及解分式方程．
10．（2023秋·河北张家口·八年级张家口市第一中学校考期末）若不等式组x−a<1x−2b>3的解集为−1
【分析】先用字母a，b表示出不等式组的解集2b+3
可得解集为2b+3
解得a=0，b=−2
代入a+1b−1=1×−3=−3．
故答案为：−3．
【点睛】主要考查了一元一次不等式组的解的定义，解此类题是要先用字母a，b表示出不等式组的解集，然后再根据已知解集，对应得到相等关系，解关于字母a，b的一元一次方程求出字母a，b的值，再代入所求代数式中即可求解．
11．（2021秋·浙江湖州·八年级统考期末）解不等式组：2(x+2)<3x+3x3
【详解】解：解不等式①得：x>1
解不等式②得：x<3
∴不等式组的解是1
12．（2023秋·广西南宁·八年级校考阶段练习）解不等式组并把解集表示在数轴上5x−3≥2x+92+3x>x+92．
【答案】x≥4，数轴见解析
【分析】先分别解不等式，根据不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到得到不等式组的解集，并在数轴上表示解集．
【详解】解：解不等式5x−3≥2x+9，得：x≥4，
解不等式2+3x>x+92，得：x>1，
则不等式组的解集为x≥4，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点睛】此题考查了求一元一次不等式组的解集，利用数轴表示不等式组的解集，正确掌握一元一次不等式的解法及不等式组的解集的确定方法是解题的关键．
13．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）解不等式组2x−6<0x+1>x3，并把解集表示在数轴上．
【答案】−32
【详解】解：解不等式2x−6<0，得：x<3，
解不等式x+1>x3，得：x>−32，
∴不等式组的解集为：−32
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）解不等式2x−12+1−x3>15x+1≥3x+1，并在数轴上把它的解集表示出来．
【答案】x>74，数轴见解析
【分析】分别解不等式求出解集，在数轴上将解集表示出来，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”确定出不等式组的解集．
【详解】解：解不等式2x−12+1−x3>1，得x>74，
解不等式5x+1≥3x+1，得x≥1，
将解集表示在数轴上，如图，
∴不等式组的解集为x>74．
【点睛】此题考查了求一元一次不等式组的解集，利用数轴表示不等式组的解集，正确掌握一元一次不等式的解法及确定不等式组的解集的方法是解题的关键．
15．（2021春·宁夏银川·八年级银川市第三中学校考期中）解不等式3−x2≤13x+2≥4．
【答案】x≥1
【分析】先求出两个不等式的解集，取两个解集的公共部分即可不等式组的解集．
【详解】解：3−x2≤13x+2≥4，
解不等式3−x2≤1，得x≥1，
解不等式3x+2≥4，得x≥23，
∴不等式得解集为x≥1．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握两个不等式解集的公共部分即为不等式组的解集是解题关键．
16．（2021春·甘肃兰州·八年级兰州市第十中学校考期中）解不等式组，并求出不等式组的解集．
(1)2x+7>3x−1x−25≥0．
(2)5x−3>3x−112x−1≥7+32x．
【答案】(1)2≤x<8
(2)无解
【分析】（1）先将①式移项可求得x<8，②式两边同乘以5可得x−2≥0，解得x≥2，即可求得不等式组的解集
（2）先将①式去括号移项得到x>0，②式移项后可得到x<−8，即可得到不等式组无解
【详解】（1）∵2x+7>3x−1①x−25≥0②，
由①得：x<8，
由②得：x−2≥0，解得：x≥2
∴不等式组的解集为：2≤x<8
（2）∵5x−3>3x−1①12x−1≥7+32x②，
由①得：x>0，
由②得：−x>8，解得：x<−8
∴不等式组无解
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的运算法则是解决问题的关键
17．（2021春·河南郑州·八年级校联考期中）解不等式组2x−13−5x+12≤25x−1<3x+1，并求出该不等式组的负整数解．
【答案】−1711≤x<2；该不等式组的负整数解为：−1
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，根据解集求负整数解．
【详解】解：2x−13−5x+12≤2①5x−1<3x+1②
解不等式①得：x≥−1711，
解不等式②得：x<2，
∴不等式组的解集为：−1711≤x<2，
∴该不等式组的负整数解为：−1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键．
18．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）解不等式组1+x≤43x−1<2x−1，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】x<−1，数轴表示见解析．
【分析】分别解两个不等式组中的两个不等式，再画图，确定两个不等式的解集的公共部分即可．
【详解】解：1+x≤4①3x−1<2x−1②，
由①得：x≤3，
由②得：3x−1<2x−2，
解得：x<−1，
把不等式的解集在数轴上表示如下：
∴不等式组的解集为：x<−1．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握“解一元一次不等式组的方法与步骤”是解本题的关键．
考点4：一元一次不等式的应用
例7. （2022春·福建厦门·七年级统考期末）某俱乐部举行篮球联赛，组委会制定的赛制规则是：每个队都要比赛12场，每场比赛只分胜、负，胜1场积2分，负1场积1分，按积分高低确定出线名额．目前雄鹰队的战绩是4胜2负，蓝狮队的战绩是4胜5负．根据组委会赛制规则可预测，这两个队完成所有比赛后，积分高的队伍可以出线，问雄鹰队在剩下的比赛中至少需胜多少场可确保出线？
【答案】雄鹰队在剩下的比赛中至少需胜4场可确保出线．
【分析】设雄鹰队在剩下的比赛中至少需胜x场可确保出线，则输掉的比赛有6−x场，由题意可建立不等式2x+6−x+10>19，再解不等式取其最小整数解即可．
【详解】解：由目前雄鹰队的战绩是4胜2负，蓝狮队的战绩是4胜5负．
若蓝狮队剩下的3场比赛都获得了胜利，则7胜5负，得2×7+5×1=19（分），
雄鹰队的战绩是4胜2负，已获得4×2+2×1=10（分），
设雄鹰队在剩下的比赛中至少需胜x场可确保出线，则输掉的比赛有6−x场，则
2x+6−x+10>19，
解得：x>3，
∵x为正整数，
∴x的最小值为：4，
答：雄鹰队在剩下的比赛中至少需胜4场可确保出线．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，不等式的整数解的应用，理解题意，确定不等关系是解本题的关键．
例8.（2023秋·广西钦州·九年级统考期末）某商店经销一种销售成本为40元/kg的水产品，据市场分析：若按60元/kg销售，一个月能售出300kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg，针对这种水产品，请解答以下问题：
(1)写出月销售量y(kg)与售价x(元/kg)之间的函数解析式
(2)当售价定为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？
(3)商店想在月销售成本不超过8000元的情况下，使得月销售利润不少于4000元，销售单价可定在什么范围？
【答案】(1)y=−10x+900
(2)当x=65时，w有最大值为6250
(3)70≤x≤80．
【分析】（1）根据题意列出一次函数即可；
（2）根据题意列出二次函数，利用二次函数的性质即可求解；
（3）根据题意列出一元一次不等式以及一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：y=300−20⋅x−602=−10x+900；
（2）解：w=x−40−10x+900=−10x−652+6250，
当x=65时，w有最大值为6250；
（3）解：由40−10x+900≤8000，解得x≥70，
令w=4000，则−10x−652+6250=4000，
解得x1=80，x2=50．
故：销售单价x为：70≤x≤80．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
知识点训练
1．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）某品牌电脑的成本为2400元，标价为3150元，如果商店要以不低于5%的利润销售，最低可打（ ）折出售．
A．7折B．7.5折C．8折D．8.5折
【答案】C
【分析】设最低可打x折，根据电脑的成本为2400元，标价为3150元，如果商店要以不低于5%的利润销售，可列不等式求解．
【详解】解：设最低可打x折，则
3150×0.1x−2400≥2400×5%
∴x≥8，
∴最低打八折，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，根据利润＝售价−进价，可列不等式求解，难度一般．
2．（2023秋·河北张家口·八年级张家口市第一中学校考期末）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多5元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，
(1)求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元?
(2)由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共100桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的12，由于是第二次购买，商家给予八折优惠．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少?最少总金额是多少元?
【答案】(1)甲种消毒液的零售价为25元/桶，乙种消毒液的零售价为20元/桶
(2)当甲种消毒液购买34桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1736元
【分析】（1）设乙种消毒液的零售价为x元/桶，则甲种消毒液的零售价为x+5元/桶，结合该单位分别用900元和720元采购相同桶数的甲、乙两种消毒液，即可列出关于x的分式方程，进而求解即可．
（2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液为100−m桶，根据甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液的桶数的12，即可得出关于m的一元一次不等式，解得m的取值范围，然后设所需资金总额为w元，根据题意列出函数关系式，再利用函数性质即可解决最值．
【详解】（1）解：设乙种消毒液的零售价为x元/桶，则甲种消毒液的零售价为x+5元/桶，依题意得：900x+5=720x，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
∴x+5=25．
答：甲种消毒液的零售价为25元/桶，乙种消毒液的零售价为20元/桶：
（2）解：设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液100−m桶，
依题意得：m≥12100−m，
解得：m≥1003，
设所需资金总额为w元，则w=25m·0.8+20100−m·0.8=4m+1600，
∵4>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=34时，w取得最小值，最小值=4×34+1600=1736，
答：当甲种消毒液购买34桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1736元．
【点睛】此题考查了分式方程的运用、一元一次不等式以及一次函数运用，解题关键是找准等量关系，正确列出方程．
3．某水果店一次购进了若干箱水蜜桃和李子，已知购进水蜜桃花费800元，购进李子花费1680元，所购李子比水蜜桃多10箱，李子每箱的进价是水蜜桃每箱进价的1.4倍．
(1)水蜜桃和李子每箱进价分别为多少元？水蜜桃和李子各多少箱？
(2)根据市场情况，每箱李子可以比每箱水蜜桃的利润多5元，这批水果全部售完后，店家若想获得不少于800元的利润，应该如何确定每箱水蜜桃和李子的售价？
【答案】(1)水蜜桃和李子每箱进价分别为40元和56元，各20箱和30箱
(2)每箱水蜜桃和李子的售价分别不少于53元和74元
【分析】（1）设水蜜桃每箱x元，则李子每箱1.4x元，由题意列出分式方程，解之，再根据进货费用算出多少箱即可；
（2）设水蜜桃每箱利润y元，则李子每箱利润(y+5)元，由题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设水蜜桃每箱x元，则李子每箱1.4x元，
根据题意得：16801.4x−800x=10，
解得：x=40，
经检验x=40是原方程的解，
则1.4x=1.4×40=56，
800÷40=20，1680÷56=30，
答：水蜜桃和李子每箱进价分别为40元和56元，各20箱和30箱；
（2）设水蜜桃每箱利润y元，则李子每箱利润(y+5)元，
根据题意得：80040y+168056(y+5)≥800，
解得：y≥13，
13+40=53，13+5+56=74，
答：每箱水蜜桃和李子的售价分别不少于53元和74元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用；理解题意，列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键．
4．（2022·河北沧州·统考二模）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向10km以内的出行市场．现有A、B两种品牌的共享电动车，已知A品牌每分钟收费0.2元、B品牌的收费为y（元）与骑行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．
(1)求B品牌的收费y（元）与骑行时间x（分钟）之间的函数关系式，并写出相应的x的取值范围；
(2)小王发现，他从家到单位上班，骑行A品牌或B品牌的共享电动车的费用相同，求小王骑共享电动车从家到单位的骑行时间；
(3)小李每天也骑共享电动车上班，他说：“我从家来单位的话，A、B两种品牌的共享电动车的收费相差不超过1.2元”，请直接写出小李从家到单位骑行时间的取值范围．
【答案】(1)y＝3(0
(3)9≤a≤32
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出B品牌的收费y（元）与骑行时间x（分钟）之间的函数关系式，并写出相应的x的取值范围；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（3）根据题意可知分两种情况，然后分别列出相应的不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：由图象可得，
当0
∵点(10,3)，(20,4)在该函数图象上，
∴ 10k+b=320k+b=4，
解得k=0.1b=2，
∴当x≥10时，y与x的函数关系式为y=0.1x+2，
由上可得，y=3(0
由题意可得：0.2t=3或0.2t=0.1t+2，
解得t=15（不合题意，舍去）或t=20，
答：小王骑共享电动车从家到单位的骑行时间为20分钟；
（3）设小李从家到单位用的时间为a分钟，
由题意可得，
当0
当a≥10时，0.2a−(0.1a+2)≤1.2且(0.1a+2)−0.2a≤1.2，
解得10≤a≤32，
由上可得，小李从家到单位骑行时间的取值范围是9≤a≤32．
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程或不等式，写出相应的函数关系式，利用数形结合的思想解答．
5．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如表：
某校根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，送七年级师生到基地参如社会实践活动，设租用B型客车x辆，根据要求回答下列问题：
(1)用含x的式子填表：
(2)若要保证租车费用不超过1800元，求x的最小值，并写出此时的租车方案和租车费用．
【答案】(1)填表见解析
(2)x的最小值为2；租车方案为：租用A种客车3辆，B种客车2辆，租车费用为：1760元．
【分析】（1）根据载客量=汽车辆数×单车载客量，填入表中即可；
（2）根据题意表示出租车总费用，列出不等式即可解决．
【详解】（1）解：∵载客量=汽车辆数×单车载客量，
∴B型客车载客量=30x； A型客车载客量为455−x，
填表如下：
（2）根据题意得：4005−x+280x≤1800，
∴2000−400x+280x≤1800，
整理得：−120x≤−200，
解得：x≥123，
∵x为车辆数，
∴x的最小值为2；
此时租车方案为：租用A种客车3辆，B种客车2辆，
租车费用为：3×400+2×280=1760（元）．
【点睛】此题主要考查了一次不等式的综合应用，理解题意，列出需要的代数式，确定不等关系列不等式组是解本题的关键．
6．（2023秋·重庆·九年级校联考期末）回家过年，一家团聚，是我们每个中国人的信仰．在这春节来临之际，置办年货当然也是每个家庭必需要做的事情．某商家看准商机，购进A，B两种春节大礼包进行销售，已知一个B礼包比A礼包的进价多30元，其中购买A礼包花费4000元，购买B礼包花费3200元，且购买A礼包的数量是购买B礼包数量的2倍．
(1)求一个A礼包的进价是多少元；
(2)商家第一次购进的礼包很快售完，决定再次购进同种类型的A，B两种礼包共80个，但A礼包的进价比第一次购买时提高了16%，而B礼包的进价在第一次购买时进价的基础上打9折，如果商家此次两种礼包的总费用不超过4800元，那么此次最多可购买多少个B礼包？
【答案】(1)一个A礼包的进价是50元
(2)此次最多可购买11个B礼包
【分析】（1）设一个A礼包的进价是x元，则一个B礼包比A礼包的进价为x+30元，根据“购买A礼包的数量是购买B礼包数量的2倍”列出分式方程，解方程即可求解；
（2）设此次购买y个B礼包，根据题意列出一元一次不等式，解不等式，根据y是整数，求得最大整数解，即可求解．
【详解】（1）解：设一个A礼包的进价是x元，则一个B礼包比A礼包的进价为x+30元，根据题意得，
4000x=3200x+30×2
解得x=50，
经检验：x=50是原方程的解
答；一个A礼包的进价是50元．
（2）设此次购买y个B礼包，依题意得：
501+16%80−y+50+30×0.9y≤4800
解得y≤807
∵y是整数
∴y最大为11
答：此次最多可购买11个B礼包．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键．
7．（2022秋·河南新乡·八年级统考期末）为了响应国家的“双减”政策，某校外培训机构开始实施“学科类培训”向“非学科类培训”的转型．市场调查后发现，篮球和足球的培训前景良好，于是决定从某体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于球类培训．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1500元购买足球的数量是用1200元购买篮球数量的2倍．
(1)篮球和足球的单价各是多少？
(2)根据学生报名情况，该机构需一次性购买篮球和足球共100个，但要求购买足球和篮球的总费用不超过6000元，最多可以购买多少个篮球？
【答案】(1)篮球的单价是80元，足球的单价是50元
(2)最多可以购买33个篮球
【分析】（1）设每个足球的价格为x元，则每个篮球的价格为x+30元，根据所给等量关系列分式方程，即可求解；
（2）设购买篮球y个，则购买足球100−y个，根据所给不等关系列不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设每个足球的价格为x元，则每个篮球的价格为x+30元，
由题意知1500x=1200x+30×2，
化为整式方程为1500x+30=2400x，
解得x=50，
检验：当x=50时，x+30=50+30=80≠0，
因此x=50是所列分式方程的解，
即篮球的单价是80元，足球的单价是50元；
（2）解：设购买篮球y个，则购买足球100−y个，
由题意知80y+50100−y≤6000，
解得y≤1003，
∵y是整数，
∴y的最大值是33，
即最多可以购买33个篮球．
【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出分式方程和不等式．
8．（2021春·河南郑州·八年级校考期中）新型冠状肺炎疫情爆发以来，很多地方防护物资紧缺，开学前期，某爱心人士准备购买额温枪送给母校，经了解市场，购买甲种品牌的额温枪2支和乙种品牌的额温枪5支共需2700元，购买甲种品牌的额温枪6支和乙种品牌的额温枪2支共需2900元．
(1)求两种品牌的额温枪的价格各是多少元？
(2)经与商家协商，甲种品牌的额温枪可以打八折出售，乙种品牌的额温枪降价15%，若购买两种品牌的额温枪共50支且总费用不超过15000元，甲种品牌的额温枪至少要购买多少支？
【答案】(1)甲种品牌的额温枪的价格为350元，乙种品牌的额温枪的价格为400元
(2)甲种品牌的额温枪至少要购买34个
【分析】（1）设甲种品牌的额温枪的价格为x元，乙种品牌的额温枪的价格为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购买甲种品牌的额温枪a支，则购买乙种品牌的额温枪50−a支，根据题意列出一元一次不等式，根据a为正整数，求得最小值，进而即可求解．
【详解】（1）解：设甲种品牌的额温枪的价格为x元，乙种品牌的额温枪的价格为y元，根据题意得，
2x+5y=27006x+2y=2900，
解得：x=350y=400，
答：甲种品牌的额温枪的价格为350元，乙种品牌的额温枪的价格为400元；
（2）设购买甲种品牌的额温枪a支，则购买乙种品牌的额温枪50−a支，根据题意得，
350×0.8a+40050−a×1−15%≤15000
解得：a≥1003，
∵a为正整数，
∴a可取的最小值为34
答：甲种品牌的额温枪至少要购买34个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是∶（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
9．（2021春·山东济南·八年级校考期中）随着“父亲节”的临近，某商场决定开展“感恩父爱，回馈顾客”的促销活动，对部分节日大礼包进行打折销售，其中A款节日大礼包打8折，B款节日大礼包打7.5折，已知打折前，购买4盒A款节日大礼包和5盒B款节日大礼包需要1000元；打折后买5盒A款节日大礼包和4盒B款节日大礼包需要760元．
(1)求打折后A，B两款节日大礼包每盒分别为多少元？
(2)打折期间，某公司计划为员工采购150盒节日大礼包，总费用不超过13000元，则最多可以购买B款节日大礼包多少盒？
【答案】(1)打折后A,B两款节日大礼包每盒分别为80元，90元；
(2)最多可以购买B款节日大礼包100盒
【分析】（1）根据题意列出关于A，B两种大礼盒的二元一次方程组，求解即可；
（2）根据题意列出关于购进A，B两种礼盒费用的不等式，求解即可．
【详解】（1）解：设打折前A款节日大礼包每盒x元，B款节日大礼包每盒y元，
根据题意，列方程组得4x+5y=1000,0.8×5x+0.75×4y=760.
解得x=100y=120
打折后A款节日大礼包每盒价格为0.8x=0.8×100=80(元)，
打折后B款节日大礼包每盒价格为0.75y=0.75×120=90(元)．
答∶打折后A,B两款节日大礼包每盒分别为80元，90元
（2）设购买B款大礼盒a个，则购买A款大礼盒150−a个，
根据题意，得：80×150−a+90a≤13000，
解得a≤100，
答∶最多可以购买B款节日大礼包100盒．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的实际应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．
10．（2022秋·重庆江津·八年级统考期末）在全民健身运动中，“万步有约”健步走活动备受市民青睐．元旦节当天，小李和妈妈约定从通泰门出发，沿相同的路线去4公里外的元帅广场，已知妈妈的步行速度是小李的1.6倍．
(1)若小李先出发30分钟，妈妈才从通泰门出发，最终小李和妈妈同时到达元帅广场，则小李步行的速度是每分钟多少米？
(2)粗心的妈妈到达元帅广场后，想起30分钟后公司有一个重要会议要参加，公司距离元帅广场3.8公里，妈妈马上从元帅广场出发赶去公司，她先以原速度步行一段时间后，又以150米/分钟的速度跑步前行，若妈妈想要不迟到，则至少需要跑步多少分钟？
【答案】(1)小李步行的速度是50米/分钟
(2)妈妈至少跑步20分钟才能不迟到
【分析】(1)设小李步行的速度为x米/分钟，则妈妈步行的速度为1.6x米/分钟，根据题意即可列出分式方程，解方程即可求解；
(2)首先可求得妈妈步行的速度为80米/分钟，设妈妈至少跑步m分钟才能不迟到，根据题意即可列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：设小李步行的速度为x米/分钟，则妈妈步行的速度为1.6x米/分钟，
由题意得：4000x−40001.6x=30，
解得：x=50，
经检验，x=50是原分式方程的根，且符合题意．
答：小李步行的速度是50米/分钟；
（2）解：妈妈步行的速度为1.6×50=80(米/分钟)，
设妈妈至少跑步m分钟才能不迟到，
由题意得：150m+8030−m≥3800，
解得：m≥20
答：妈妈至少跑步20分钟才能不迟到．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程方程及不等式．
考点5：一元一次不等式组的应用
例9. （2022春·湖南湘西·七年级统考期末）为全面落实乡村振兴总要求，吉首市某乡计划试种植猕猴桃树和蓝莓树共100棵．若种植40棵猕猴桃树，60棵蓝莓树共需投入成本9600元；若种植40棵蓝莓树，60棵猕猴桃树共需投入成本10400元．
(1)求猕猴桃和蓝莓树每棵各需投入成本多少元？
(2)若猕猴桃的种植棵数不少于蓝莓树的35，且总成本投入不超过9710元，问：共有几种种植方案？
【答案】(1)猕猴桃每棵需投入成本120元，蓝莓树每棵需投入成本80元
(2)共有5种种植方案
【分析】（1）设猕猴桃每棵需投入成本x元，蓝莓树每棵需投入成本y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设猕猴桃的种植棵数为a棵，则蓝莓树的种植棵数为100−a棵，根据题意列出一元一次方程组求解即可．
【详解】（1）解：设猕猴桃每棵需投入成本x元，蓝莓树每棵需投入成本y元，
由题意得：40x+60y=960060x+40y=10400，
解得：x=120y=80，
答：猕猴桃每棵需投入成本120元，蓝莓树每棵需投入成本80元；
（2）解：设猕猴桃的种植棵数为a棵，则蓝莓树的种植棵数为100−a棵，
由题意得：a≥35100−a120a+80100−a≤9710，
解得：37.5≤a≤42.75，
∵a取整数，
∴a=38，39，40，41，42，
∴共有5种种植方案
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据题目所给条件列出关于a的一元一次不等式组．
例10. （2022秋·浙江·八年级期中）学校举行八年级段数学知识竞赛，设立了一、二、三等奖，计划共购买45件奖品，其中二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少5件，已知购买一等奖奖品x件，各种奖品的单价如表：
(1)学校购买二等奖奖品 件，三等奖奖品 件；（用含x的代数式表示）
(2)若购买三等奖奖品的费用不超过二等奖奖品的费用的2倍，且三等奖奖品的件数不少于一等奖奖品件数的52倍．问学校共有几种购买方案？如何购买这三种奖品，使总费用最少？并求出最少的总费用．
【答案】(1)2x−5；50−3x
(2)共有两种购买方案，且当购买一等奖8件，二等奖11件，三等奖26件时，总费用最少为414元
【分析】（1）根据一等奖奖品x件及二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少5件，可得二等奖奖品2x−5件，由计划共购买45件奖品，可得三等奖奖品50−3x件；
（2）根据题意列出不等式组，解出x的取值范围，由x为正整数，可得x=8或x=9，即共有两种购买方案，设总运费为w，得出w=8x+350，分别求出当x=8和x=9时的总运费w，比较选出运费最少的，并求出此时每种奖品的件数即可．
【详解】（1）解：学校购买二等奖奖品2x−5件，三等奖奖品45−x−2x−5=50−3x件；
故答案为：2x−5；50−3x．
（2）解：根据题意可得：50−3x>0850−3x≤2×102x−552x≤50−3x，
解得71316≤x≤9111，
∵x为正整数，
∴x=8或x=9，
设总费用为w，则w=12x+102x−5+850−3x=8x+350，
当x=8时，w=64+350=414（元），
当x=9时，w=72+350=422（元）．
∴共有两种购买方案，且当购买一等奖8件，二等奖11件，三等奖26件时，总费用最少为414元．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，根据题目中的数量关系和不等关系列出不等式组是解答本题的关键．
知识点训练
1．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）文德中学初二年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给他们．如果每人送4本，则还余9本；如果每人送5本，则最后一人能得到课外读物但不足2本．设初二年级有x名学生获奖．则下列不等式组表示正确的是（ ）．
A．4x+9−5x−1>04x+9−5x−1<2B．4x−9−5x−1>04x−9−5x−1<2
C．4x+9−5x−1>04x+9−5x−1≤2D．4x−9−5x−1>04x−9−5x−1≤2
【答案】A
【分析】每人送4本，则还余9本即一共有4x+9本书，再根据每人送5本，则最后一人能得到课外读物但不足2本列出不等式组即可．
【详解】解：设初二年级有x名学生获奖，
由题意得4x+9−5x−1>04x+9−5x−1<2，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意找到不等关系是解题的关键．
2．（2021春·河南郑州·八年级校联考期中）“输入一个实数x，然后经过如图的运算，到判断是否大于190为止”叫做一次操作，那么恰好经过两次操作停止，则x的取值范围是___________．
【答案】22
【详解】解：依题意得：第一次的结果为：3x−2，没有输出，则3x−2≤190，求解得x≤64；
第二次的结果为：3×(3x−2)−2=9x−8，输出，则9x−8>190，求解得x>22；
综上可得：22
3．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装8吨，则最后一辆汽车不满也不空．
(1)若有x辆车，则货物共有_________吨（用含x的代数式表示）．
(2)请你算一算：有多少辆汽车运这批货物？
【答案】(1)4x+20
(2)有6辆汽车运这批货物
【分析】（1）根据题意，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物，即可得到答案；
（2）根据每辆汽车装8吨，则最后一辆汽车不满也不空，得到装满的有x−1辆车，从而可以列出0<4x+20−8x−1<8，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意可得，
设有x辆车，则有4x+20吨货物，
故答案为：4x+20；
（2）解：设有x辆车，则有4x+20吨货物，
∵每辆汽车装8吨，则最后一辆汽车不满也不空，
∴装满的有x−1辆车，
由题意得，0<4x+20−8x−1<8，
解得：5
∴x=6，
答：有6辆汽车运这批货物．
【点睛】本题考查了列代数式，一元一次不等式组的应用，根据题意列出代数式和不等式组是解题的关键．
4．（2021春·海南海口·七年级校考期中）某商店计划购进A、B两种商品，若购进9件A商品和10件B商品需用1810元，若购进12件A商品和8件B商品需用1880元；已知销售一件A商品可获利18元，销售一件B商品可获利30元．
(1)A、B两种商品的单价分别是多少元？
(2)要使在这次销售中获利不少于699元，A商品不多于28件，已知该商店购进A商品件数比购进B商品件数的2倍还多4件，那么该商店在这次进货中可有几种购进方案？哪几种？
【答案】(1)A商品单价是108元/件，B商品单价是130元/件
(2)有三种购货方案：方案一：购进B商品10件、A商品24件；方案二：购进B商品11件、A商品26件；方案三：购进B商品12件、A商品28件．
【分析】（1）设A商品进价是x元/件，B商品进价是y元/件，根据“购进A商品9件，B商品10件，共需1810元；购进A商品12件，B商品8件，共需1880元”即可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设购进B商品m件，则购进A商品（2m+4）件，根据“要使在这次销售中获利不少于699元，且A商品不多于28件”即可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出购货方案．
【详解】（1）解：设A商品进价是x元/件，B商品进价是y元/件，
由题意可得：9x+10y=181012x+8y=1880，
解得：x=90y=100，
90+18=108，100+30=130，
∴A商品单价是108元/件，B商品单价是130元/件；
（2）设购进B商品m件，则购进A商品2m+4件，
由题意可得：182m+4+30m≥6992m+4≤28，
解得：912≤m≤12，
∵m为正整数，
∴m=10、11、12，
∴有三种购货方案：
方案一：购进B商品10件、A商品24件；
方案二：购进B商品11件、A商品26件；
方案三：购进B商品12件、A商品28件．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据数量关系找出关于m的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出方程组（或不等式组）是关键．
5．（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第二十三中学校考期末）某超市购进甲、乙两种商品，购买1个甲商品比购买1个乙商品多花6元，并且花费400元购买甲商品和花费100元购买乙商品的数量相等．
(1)求购买一个甲商品和一个乙商品各需多少元；
(2)商店准备购买甲、乙两种商品共40个，并要求商品个数为正整数，若甲商品的数量不少于乙商品数量的3倍，并且购买甲、乙商品的总费用不低于230元且不高于266元，那么超市有几种购买方案？哪种方案费用少？
【答案】(1)购买一个甲商品需要8元，购买一个乙商品需要2元；
(2)商店有2种购买方案，方案①：购进甲商品31个、乙商品9个；此时费用为：31×8+9×2=266（元），方案②：购进甲商品30个、乙商品10个．此时费用为：30×8+10×2=260（元）．
【分析】（1）设购买一个乙商品需要x元，则购买一个甲商品需要x+6元，根据数量=总价÷单价，结合花费400元购买甲商品和花费100元购买乙商品的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买乙商品m个，则购买甲商品40−m个，根据甲商品的数量不少于乙商品数量的3倍并且购买甲、乙商品的总费用不低于230元且不高于266元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可找出各购买方案．
【详解】（1）解：设购买一个乙商品需要x元，则购买一个甲商品需要x+6元，
依题意，得：400x+6=100x，
解得：x=2，
经检验，x=2是原方程的解，且符合题意，
∴x+6=8．
答：购买一个甲商品需要8元，购买一个乙商品需要2元；
（2）解：设购买乙商品m个，则购买甲商品40−m个，
依题意，得：40−m≥3m8(40−m)+2m≥2308(40−m)+2m≤266，
解得：9≤m≤10．
∵m为整数，
∴m=9或m=10．
当m=9时，40−m=40−9=31，
当m=10时，40−m=40−10=30，
∴商店有2种购买方案，
方案①：购进甲商品31个、乙商品9个；此时费用为：31×8+9×2=266（元），
方案②：购进甲商品30个、乙商品10个．此时费用为：30×8+10×2=260（元）．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
6．（2023春·广东江门·七年级统考期末）某商店准备购进甲、乙两种品牌纪念品，若购进甲种纪念品40个，乙种纪念品25个，需要1350元；若购进甲种纪念品20个，乙种纪念品30个，需要1200元．
(1)求购进甲、乙两种纪念品每个各需多少元？
(2)若该商店刚好用了3000元购进这两种纪念品，考虑顾客需求，要求购进甲种纪念品的数量不少于乙种纪念品数量的3倍，且乙种纪念品数量大于38个，那么该商店有几种进货方案？
(3)若该商店销售每个甲种纪念品可获利润5元，销售每个乙种纪念品可获利润6元，在第（2）问的进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？
【答案】(1)购进一件甲种纪念品需要15元，购进一件乙种纪念品需要30元
(2)该商店有2种进货方案
(3)方案二：购进甲种纪念品124个，购进乙种纪念品38个获利最大，最大利润是848元
【分析】（1）设购进一件甲种纪念品需要a元，购进一件乙种纪念品需要b元，然后根据题意建立二元一次方程组求出其解即可；
（2）设购进甲种纪念品x个，则购进B种纪念品3000−15x30个，然后根据题意建立不等式组求出其解即可；
（3）根据（2）的结论，结合题意，分别求得利润，比较即可求解．
【详解】（1）解：设购进一件甲种纪念品需要a元，购进一件乙种纪念品需要b元，由题意得：
40a+25b=135020a+30b=1200，
解得：a=15b=30，
答：购进一件甲种纪念品需要15元，购进一件乙种纪念品需要30元．
（2）解：设购进甲种纪念品x个，则购进B种纪念品3000−15x30个，根据题意得，
x≥3×3000−15x303000−15x30>38
解得：120
∴x=121,122,123，124，
当x=121时，3000−15×12130=39.5，不是整数，不符合题意，舍去，
当x=122时，3000−15×12230=39
当x=123时，3000−15×12330=38.5，不是整数，不符合题意，舍去，
当x=124时，3000−15×12430=38
答：该商店有2种进货方案
（3）解：∵销售每个甲种纪念品可获利润5元，销售每个乙种纪念品可获利润6元，
由（2）可知，方案一：购进甲种纪念品122个，购进乙种纪念品39个，则利润为122×5+39×6=844；
方案二：购进甲种纪念品124个，购进乙种纪念品38个，则利润为124×5+38×6=848；
∵844<848，
∴方案二：购进甲种纪念品124个，购进乙种纪念品38个，获利最大，最大利润是848元
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键．
7．（2022秋·湖北随州·九年级统考期末）在双十二活动期间，商店将对某商品进行促销活动，已知进价为每件6元，平时以单价10元的价格售出一天可卖100件．根据调查单价每降低1元，每天可多售出50件；设商品单价降低x元0
(2)当日利润达到400元时，求x的值．
(3)若商店以第（2）问中的方式销售2天后，第三天单价再减a元，当天的销售量不低于前两天总和的70%，求第三天的日利润最大值．
【答案】(1)当商品的销售单价降低1元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为450元
(2)2
(3)第三天的日利润最大值为112元
【分析】（1）先列出每天的利润y与商品单价降低 x之间的函数关系式，再把每天的利润y与商品单价降低 x之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式，由此关系式即可得出结论；
（2）将y=400代入（1）中的函数关系式，求得x的值即可；
（3）列出y与a的函数关系式，再确定a的取值范围，最后求得y的最大值．
【详解】（1）由题意可得，y=4−x100+50x
=−50x−12+450 ，
∵−50<0，
∴当x=1时，y最大=450（元），
∴当商品的销售单价降低1元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为450元；
（2）由题意得，当y=400时，y=−50x−12+450=400，
∴x−12=1
解得x1=2，x2=0（舍）；
（3）∵前两天降价2元，
∴两天共售出2×100+50×2=400，
又∵第三天单价再减a元
∴y=4−2−a100+50×2+50a
=2−a200+50a
=−50a+12+450，
根据题意得2−a>0200+50a≥400×70%，
解得85≤a<2，
∵对称轴为x=−1<85，且开口向下，
∴当85≤a<2时，y随着x的增大而减小
则当a=85时，ymax=112，
∴第三天的日利润最大值为112元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
8．（2022秋·湖北省直辖县级单位·九年级校联考阶段练习）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积xm2之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．
(1)当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
【答案】(1)y=300
【分析】（1）根据题意分当0
【详解】（1）当0
解得k=−14b=40，
∴y=−14x+40，
∴y=300
∵甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，
∴ a≥30360−a≥3a，
解得30≤a≤90，
当30≤a≤40时，w=30a+15360−a
=15a+5400，
∵15>0，
∴当a=30时，w最小，最小为15×30+5400=5850（元），
当40
∵−14<0，对称轴为直线a=50，且40−50<90−50，
∴a=90时，w取最小值，最小为−14×90−502+6025=5625（元），
∵5625<5850，
∴当a=90时，w取最小值，最小为5625元，
此时360−a=270，
答：甲种花卉种植面积为90m2，乙种花卉种植面积为270m2，才能使种植的总费用w（元）最少，最少5625元．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
8．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长16米）的空地上修建一个矩形花园．如图所示，花园一面靠墙，另外三面由栅栏围成．花园分成了面积相等的区域①、区域②、区域③三块矩形区域，也用栅栏分隔.已知共用了80m的栅栏，设CF的长度为x米，矩形ABCD的面积为y平方米.
(1)用含x的代数式表示AB、BC的长；
(2)求出y关于x的函数表达式；
(3)x为何值时，y有最大值？最大值为多少？
【答案】(1)AB的长为3xm，BC的长为40−4xm；
(2)y=−12x2+120x
(3)当x=6时，y有最大值，最大值为288.
【分析】（1）由题意可得，矩形AGHE、矩形GHDF、矩形BCFE的面积相等，即可得到EH=HF=12BC，AE=GH=DF,由AE·EH=CF·BC=AE×12BC，即可得到AE=2CF=2x，进一步即可得到AB、BC的长；
（2）由（1）中的结论，即可得到y关于x的函数表达式；
（3）求出x的取值范围，把（2）中的二次函数表达式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到答案.
【详解】（1）解：由题意可得，矩形AGHE、矩形GHDF、矩形BCFE的面积相等，
∴EH=HF=12BC，AE=GH=DF,
∵矩形GHDF、矩形BCFE的面积相等，
∴AE·EH=CF·BC=AE×12BC，
∴AE=2CF=2x，
∴AB=AE+BE=AE+CF=3x，
∴BC=EF=1280−AB−CD−GH=1280−3x−3x−2x=40−4x，
即AB的长为3xm，BC的长为40−4xm；
（2）矩形ABCD的面积为y=AB·BC=3x40−4x=−12x2+120x，
即y关于x的函数表达式是y=−12x2+120x；
（3）由题意得40−4x>0x>040−4x≤16，
∴6≤x<10，
∵y=−12x2+120x=−12x−52+300，
∴抛物线的对称轴为直线x=5，开口向下，当x>5时，y随着x的增大而减小，
∴当x=6时，y有最大值，最大值为y=−126−52+300=288，
即当x=6时，y有最大值，最大值为288.
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，读懂题意，正确列出函数关系式、不等式组、代数式是解题的关键.
9．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）根据以下素材，探索完成任务
【答案】任务1：至少需要A型冷链运输车8辆；
任务2：方案一：A型冷链运输车6辆，B型冷链运输车6辆；方案二：A型冷链运输车7辆，B型冷链运输车5辆；方案三：A型冷链运输车8辆，B型冷链运输车4辆；
任务3：当a=50时三种方案一样；当a<50时，方案三最少；当a>50时，方案一最少
【分析】任务1：设需A型冷链运输车m辆，列不等式可解得答案；
任务2：设用A型冷链运输车x辆，则B型冷链运输车12−x辆，可列不等式组解得答案；
任务3：设过路费总和为y元，可得，y=ax+12−x100−a=2a−100x+1200−12a分两种情况讨论即可．
【详解】任务1：
设需A型冷链运输车m辆，
根据题意得200m≥1500，
解得m≥7.5，
∵m是整数，
∴至少需A型冷链运输车8辆；
任务2：
设用A型冷链运输车x辆，则B型冷链运输车12−x辆，
根据题意得：200x+150(12−x)≥21005000x+3000(12−x)＜54000，
解得6≤x<9，
∵x是整数，
∴x可取6，7，8，
∴运输方案有3种：
方案一：用A型冷链运输车6辆，B型冷链运输车6辆，
方案二：用A型冷链运输车7辆，B型冷链运输车5辆，
方案三：用A型冷链运输车8辆，B型冷链运输车4辆；
任务3：
设过路费总和为y元，
y=ax+12−x100−a=2a−100x+1200−12a，
当a=50时, y=1200−12a，三种方案一样；
当2a−100>0，即a>50时，y随x的增大而增大，
∴x=6时，y取最小值，最小值为2a−100×6+1200−12a=600（元），
即安排A型冷链运输车6辆，B型冷链运输车6辆，过路费总和最少；
当2a−100<0，即a<50时，y随x的增大而减小，
∴x=8时，y取最小值，最小值为2a−100×8+1200−12a=4a+400元，
即安排A型冷链运输车8辆，B型冷链运输车4辆，过路费总和最少；
答：当a=50时三种方案一样；当a<50时，方案三最少；当a>50时，方案一最少．
【点睛】本题考查一元一次不等式，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式（组）和函数关系式．
10．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（x为正整数且45≤x≤75），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入调整为a25+xm6x万元．
(1)若这100−x名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，则调整后的技术人员最多有______人；
(2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内任意调整后，都能同时满足以下两个条件：
①研发人员的年人均投入不超过m−2a；
②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．请说明理由．
【答案】(1)即调整后的技术人员最多有75人；
(2)m=6．
【分析】（1）根据题意，求得这100−x名研发人员的年总投入和调整前100名技术人员的年总投入，列不等式求解即可；
（2）由①可得1+4x%a≤m−2a，由②100−x1+4x%a≥a25+xm6xx，根据题意，求解不等式组即可．
【详解】（1）解：由题意可得：100−x1+4x%a≥100a，（a>0）
解得：0
∴45≤x≤75
即调整后的技术人员最多有75人；
（2）解：由①可得1+4x%a≤m−2a，由②100−x1+4x%a≥a25+xm6xx
即1+4x%a≤m−2a100−x1+4x%a≥a25+xm6xx，解得m≥x25+3m≤600−6x25
又∵x为正整数且45≤x≤75，
∴当x=75时，x25+3最大，为7525+3=6；
当x=75时，600−6x25最小，为600−6×7525=6，
综上，存在m=6，满足题意．
【点睛】此题考查了不等式（组）的求解，解题的关键是理解题意，找到不等式关系，正确列出不等式．
A
B
载客量（人/辆）
45
30
租金（元/辆）
400
280
车辆数（辆）
载客量
A
B
x
车辆数（辆）
载客量
A
5−x
455−x
B
x
30x
奖品
一等奖奖品
二等奖奖品
三等奖奖品
单价（元）
12
10
8
如何运输最省?
素材一
为做到“动态清零”，市卫生防疫部门需运输一批疫苗到某县，现有冷链车A 和 B型两种运输车，其中A型冷链运输车一次可运输200盒疫苗，B型冷链运输车一次可运输150盒疫苗．
素材二
A型冷链运输车一次需费用5000元，B型冷链运输车一次需费用3000元．
问题解决
任务1
若某县需要1500盒疫苗，市卫生防疫部门只安排A型冷链运输车，则至少需A型冷链运输车多少辆？
任务2
市卫生防疫部门用上述两种冷冻车共12辆运输这批疫苗.若运输疫苗不少于2100盒，且总费用小于54000元请你列出所有的运输方案．
任务3
在任务2的条件下，由于A型和 B型两种运输车，运输时走不同高速路线，A型需a元过路费， B型100−a元过路费，求如何安排两种车型运输的过路费总和最少？
相关试卷
中考数学一轮复习2.1方程(组)定义及解法知识点演练(讲练)(原卷版+解析)： 这是一份中考数学一轮复习2.1方程(组)定义及解法知识点演练(讲练)(原卷版+解析)，共56页。
中考数学一轮复习1.2整式及其运算知识点演练(讲练)(100题58页)(原卷版+解析)： 这是一份中考数学一轮复习1.2整式及其运算知识点演练(讲练)(100题58页)(原卷版+解析)，共73页。试卷主要包含了某超市有线上和线下两种销售方式等内容，欢迎下载使用。
中考数学一轮复习精选专题13 一元一次不等式（组）及其应用（讲测练）（2份打包，原卷版+教师版）： 这是一份中考数学一轮复习精选专题13 一元一次不等式（组）及其应用（讲测练）（2份打包，原卷版+教师版），文件包含中考数学一轮复习精选专题13一元一次不等式组及其应用讲测练教师版doc、中考数学一轮复习精选专题13一元一次不等式组及其应用讲测练原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
