中考数学一轮复习5.3四边形验收卷(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习5.3四边形验收卷(原卷版+解析)，共38页。试卷主要包含了8．其中正确的个数是，3 四边形验收卷等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·河北邯郸·统考一模）根据图中所给的边长及角度，下列四边形中，一定可以判定为平行四边形的是（ ）．
A．B．
C．D．
2．（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设与四边形的外角和的度数分别为，则比较与的大小，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．无法比较
3．（2022秋·广西河池·八年级统考期末）已知一个n边形的内角和是，从它的一个顶点出发可以作m条对角线，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全国·八年级专题练习）如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ）
A．应补充：且B．应补充：且
C．应补充：且D．应补充：且
5．（2023春·八年级课时练习）已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的有（ ）
①当时，它是菱形；
②当时，它是菱形；
③当时，它是矩形；
④当时，它是正方形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2023·河南商丘·校考一模）如图1，在矩形中，点E在边上，连接，点P从点A出发，沿折线A→E→C以的速度匀速运动至点C．图2是点P运动时，的面积随时间变化的函数图像，则a的值为（ ）
A．40B．10C．24D．20
7．（2023春·八年级单元测试）将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形为矩形，连接，甲、乙两人有如下结论：
甲：若四边形是边长为1的正方形，则四边形必是正方形；
乙：若四边形为正方形，则四边形必是边长为1的正方形．
下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都不正确D．甲、乙都正确
8．（2022春·北京西城·八年级校考期中）如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，，如此进行下去，得到四边形下列结论正确的有（ ）
①四边形是矩形；
②四边形是菱形；
③四边形的周长是；
④四边形的面积是．
A．个B．个C．个D．个
9．（2023·江苏苏州·一模）如图，在矩形中，动点M从点A出发沿边向点D匀速运动，动点N从点B出发沿边向点C匀速运动，连接．动点M，N同时出发，点M运动的速度为每秒1个单位长度，点N运动的速度为每秒3个单位长度．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与点D重合，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022秋·广东深圳·九年级北大附中深圳南山分校校考期中）如图，正方形的边长为4，点E在边上，，点F在射线上，且，过点F作的平行线交的延长线于点与相交于点G，连接．下列结论：①；②的周长为8；③；④的面积为6.8．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022秋·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校校联考期中）足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ______．
12．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）如图所示，______度．
13．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，在等腰直角中，；点E和点D分别是边和的中点，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，以点D为圆心，长为半径画弧，交于点E．若，则图中阴影部分的面积为___________．
14．（2023春·湖南长沙·八年级长沙市长郡梅溪湖中学校考阶段练习）如图，菱形的边长为4，E，F分别是，上的点，与相交于点G，若，，则的长为______．
15．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，矩形中，P为边上一点，．将沿翻折得到、的延长线交边于点M，过点B作交于点N，连接，分别交，于点E，F．下面结论中：①连接，则；②四边形是菱形；③；④若，则，正确的结论是________．
16．（2023·安徽池州·校联考一模）如图，已知四边形是正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接．
（1）___________；
（2）若四边形的面积为5，则___________
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022春·江苏南京·八年级统考期末）四边形是平行四边形，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图（不写作法，保留作图的痕迹）．
(1)在图①中作出边的中点；
(2)在图②中作出的中点．
18．（2023·安徽·校联考一模）如图，矩形的两个顶点，都在反比例函数的图象上，经过原点，对角线垂直于轴．垂足为，已知点的坐标为．
(1)求直线和反比例函数的解析式；
(2)求矩形的面积．
19．（2023春·湖南长沙·八年级长沙市长郡梅溪湖中学校考阶段练习）如图，已知E、F分别是的边、上的点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)在中，若，，，求边上的高．
20．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测）如图，矩形的对角线的垂直平分线与、、分别交于点、、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求：
①的长；
②菱形的面积．
21．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）如图，菱形，于点E，于点F，
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，连接分别交、于点G、H，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有的钝角等腰三角形．
22．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，四边形是正方形，点E、F分别在边上，点G在边的延长线上，且．
(1)求证：① ；②；
(2)尺规作图：以线段为边作出正方形（保留作图痕迹不写作法和证明）；
(3)连接（2）中的，猜想四边形的形状，并证明你的猜想；
(4)当时，求出的值23．（2022秋·广东河源·九年级校考期末）如图，在菱形中，对角线与交于点，且，，现有两动点，分别从，同时出发，点沿线段向终点运动，点沿折线向终点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为（秒）．
(1)填空： ；菱形的面积 ；菱形的高 ．
(2)若点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位，连接，．当时，是否存在的值，使为等腰直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)若点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位（其中），当时在平面内存在点使得以，，，为顶点的四边形为菱形，请求出所有满足条件的的值．
点A，C分别转到了点C，A处，
而点B转到了点D处．
∵，
∴四边形是平行四边形．
5.3 四边形验收卷
注意事项：
本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·河北邯郸·统考一模）根据图中所给的边长及角度，下列四边形中，一定可以判定为平行四边形的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一组对边平行，另一组对边相等的四边形判断A；根据题意可知平行线间距离是5，可知两组对边平行，可判断B；对于C，D可知一组对边平行，不能判断另一组对边的关系，可得答案．
【详解】由，可知一组对边平行，另一组对边相等，不一定是平行四边形，所以A不符合题意；
由，可知一组对边平行，平行线间距离是5，可知另一组对边平行，该四边形是平行四边形，所以B符合题意；
由，可知一组对边平行，另一组对边无法确定，不一定是平行四边形，所以C不符合题意；
由，可知一组对边平行，另一组对边无法确定，不一定是平行四边形，所以D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键．
2．（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设与四边形的外角和的度数分别为，则比较与的大小，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．无法比较
【答案】A
【分析】根据多边形外角和为可直接进行求解．
【详解】解：由多边形外角和为可知与四边形的外角和分别为，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查多边形外角和，熟练掌握多边形外角和是解题的关键．
3．（2022秋·广西河池·八年级统考期末）已知一个n边形的内角和是，从它的一个顶点出发可以作m条对角线，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数即可求解．
【详解】解：此多边形的边数为，由题意得：
，
解得，
从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：，
∴
故选：C．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式．
4．（2021·全国·八年级专题练习）如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ）
A．应补充：且B．应补充：且
C．应补充：且D．应补充：且
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定方法逐个分析即可．
【详解】A．加上，可证得时间△ABC和△CDA全等，可得AB=CD，可得四边形是平行四边形；
B．加上，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形；
C．加上，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形；
D．加上，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形．
故选：C
【点睛】考核知识点：平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是关键．
5．（2023春·八年级课时练习）已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的有（ ）
①当时，它是菱形；
②当时，它是菱形；
③当时，它是矩形；
④当时，它是正方形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐一判断各项即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴当时，不能判断它是菱形（对边相等是平行四边形的性质），故①错误，
当时，它是菱形，故②正确，
当时，它是矩形，故③正确，
当时，它是矩形，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．
6．（2023·河南商丘·校考一模）如图1，在矩形中，点E在边上，连接，点P从点A出发，沿折线A→E→C以的速度匀速运动至点C．图2是点P运动时，的面积随时间变化的函数图像，则a的值为（ ）
A．40B．10C．24D．20
【答案】B
【分析】设，根据题意，，结合函数图像，得到，，结合勾股定理，计算即可．
【详解】解：设，根据题意，，结合函数图像，得到
，，
∴，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴，
解得（舍去），
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，函数图像，熟练掌握矩形性质，正确读取图形信息是解题的关键．
7．（2023春·八年级单元测试）将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形为矩形，连接，甲、乙两人有如下结论：
甲：若四边形是边长为1的正方形，则四边形必是正方形；
乙：若四边形为正方形，则四边形必是边长为1的正方形．
下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都不正确D．甲、乙都正确
【答案】D
【分析】根据，求出和的值，根据勾股定理求出的值，即可判断甲是否正确，若平行四边形为正方形，根据边的关系可以求出且四个角都是直角，即可判断乙是否正确．
【详解】解：四边形是边长为1的正方形，
，，
，，，
，
，
同理，
四边形是菱形，
在和中，
，
，
，
，
，
，
则四边形必是正方形；
甲正确；
若四边形为正方形，则，
且，
在和中，
，
，
，
同理，
又，
，
，
同理，
即四边形为菱形，
，
则四边形必是边长为1的正方形，
乙正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
8．（2022春·北京西城·八年级校考期中）如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，，如此进行下去，得到四边形下列结论正确的有（ ）
①四边形是矩形；
②四边形是菱形；
③四边形的周长是；
④四边形的面积是．
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形中各边长的长度关系规律，然后对以下选项做出分析与判断：①根据矩形的判定与性质做出判断；②根据菱形的判定与性质做出判断；③由四边形的周长公式：周长边长之和，来计算四边形的周长；④根据四边形的面积与四边形的面积间的数量关系来求其面积．
【详解】解：①连接，．
在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，
，，，；
，，
四边形是平行四边形；
，四边形是矩形，
（矩形的两条对角线相等）；
（中位线定理），
四边形是菱形；
故本选项错误；
②由①知，四边形是菱形；
根据中位线定理知，四边形是菱形；
故本选项正确；
③根据中位线的性质易知，，，
四边形的周长是，
故本选项正确；
④四边形中，，，且，
；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形的面积是，
故本选项正确．
综上所述，②③④正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系是最关键的．
9．（2023·江苏苏州·一模）如图，在矩形中，动点M从点A出发沿边向点D匀速运动，动点N从点B出发沿边向点C匀速运动，连接．动点M，N同时出发，点M运动的速度为每秒1个单位长度，点N运动的速度为每秒3个单位长度．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与点D重合，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由矩形及折叠的性质可得，然后可得，则有，设运动时间为t，则有，进而问题可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设运动时间为t，则有，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质及勾股定理是解题的关键．
10．（2022秋·广东深圳·九年级北大附中深圳南山分校校考期中）如图，正方形的边长为4，点E在边上，，点F在射线上，且，过点F作的平行线交的延长线于点与相交于点G，连接．下列结论：①；②的周长为8；③；④的面积为6.8．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】由“”可证，可得，可证是等腰直角三角形，可得，故①正确；
由勾股定理可求的长，通过证明，可求，由勾股定理可求的长，则可求的周长，故②正确；
利用勾股定理可求长，可得的长，利用相似三角形的判定可证，故③正确；
先求出的面积，即可求的面积为6.8，故④正确．
【详解】解：如图，在正方形中，，
，
，
，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，故①正确；
在中，，
，
，
过点作于，交于，
，
∴四边形是矩形，
，
∴矩形是正方形，
，
同理：四边形是矩形，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，
的周长，故②正确；
，
，
又，
，故③正确；
，故④正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质和判断，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022秋·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校校联考期中）足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ______．
【答案】12°##12度
【分析】先由多边形的内角和公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是360°即可求出∠AOB的大小．
【详解】解：因为正多边形内角和为（n-2）•180°，正多边形每个内角都相等，
所以正五边形的每个内角的度数为（5-2）•180°=108°，
正六边形的每个内角的度数为（6-2）•180°=120°．
∴∠AOB的度数为：360°-108°-120°×2=12°．
故答案为：12°．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式．熟练掌握正多边形的性质，多项式的内角和公式是解决问题的关键．
12．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）如图所示，______度．
【答案】360
【分析】首先根据三角形外角的性质可知：图示这几个角是一个四边形的四个内角，再根据四边形的内角和即可求解．
【详解】解：如图，
，，
，
故答案为：360．
【点睛】此题主要考查了三角形的外角以及四边形的内角和，正确掌握三角形外角的性质是解题关键．
13．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，在等腰直角中，；点E和点D分别是边和的中点，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，以点D为圆心，长为半径画弧，交于点E．若，则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】
【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的性质，得出，，再根据中点的性质，得出，再根据扇形的面积公式，得出，再根据中点的性质，得出，再根据中位线的性质，得出，再根据三角形的面积公式，得出，再根据中位线的性质，得出，再根据平行线的性质，得出，再根据扇形的面积公式，得出，然后根据，代入数据计算，即可得出图中阴影部分的面积．
【详解】解：在等腰直角中，，
∴，，
又∵点是边的中点，
∴，
∴，
∵点E和点D分别是边和的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴，
∵是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积．
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、扇形的面积公式、中位线的性质、平行线的性质，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答，并熟练掌握相关的性质定理．
14．（2023春·湖南长沙·八年级长沙市长郡梅溪湖中学校考阶段练习）如图，菱形的边长为4，E，F分别是，上的点，与相交于点G，若，，则的长为______．
【答案】
【分析】过点C作于点H，根据菱形的性质和已知条件说明为等边三角形，根据等边三角形的性质，得出，利用勾股定理求出，证明，说明，，证明为等边三角形，即可得出．
【详解】解：过点C作于点H，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，
，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴为等边三角形，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，证明，为等边三角形．
15．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，矩形中，P为边上一点，．将沿翻折得到、的延长线交边于点M，过点B作交于点N，连接，分别交，于点E，F．下面结论中：①连接，则；②四边形是菱形；③；④若，则，正确的结论是________．
【答案】②③④
【分析】根据折叠的性质得出垂直平分，但无法判断是否相等；过点P作于点G，易知四边形，四边形是矩形，所以，，，易证，所以，即，判断出③正确；，所以，由题意可知：，所以，由于，即，从而可知，又易证四边形是平行四边形，所以四边形是菱形；判断出②正确；由于，可设，，由，，从而求出，，由于，从而可证，，求出，，从而可求出，从而可得，判断出④正确．
【详解】解：根据折叠的性质得出垂直平分，但无法判断是否相等，故①不正确；
如图：过点P作于点G，
∴易知四边形，四边形是矩形，
，，，
，
，
，
又，
，
，
，
，故③正确；
，
，
由题意可知：，
，
，即，
，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，故②正确；
，
可设，，
，，
，
，
，，
，
，
，
又易证：，
，
，
，
，故④正确，
故正确的有②③④，
故答案为：②③④．
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，菱形的判定，综合程度较高，需要灵活运用所学的知识．
16．（2023·安徽池州·校联考一模）如图，已知四边形是正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接．
（1）___________；
（2）若四边形的面积为5，则___________
【答案】 4 3或1
【分析】（1）如图1，作，于点M，N，则．点E是正方形对角线上的点，证明，得出，进而证明，得出，根据即可求解；
（2）如图2，过点E作于点Q．根据正方形的性质得出，．根据勾股定理得，得出或1，即可求解．
【详解】（1）如图1，作，于点M，N，则．
点E是正方形对角线上的点，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
在和中，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，矩形是正方形，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
（2）如图2，过点E作于点Q．
∵点E是正方形对角线上的点，
∴，
∴，
∴．
∵正方形的面积为5，
∴．
在中，
根据勾股定理得，
即，
∴或，
∴或1，
∴或1．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，掌握正方形的性质，全等三角形的性质与判定是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022春·江苏南京·八年级统考期末）四边形是平行四边形，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图（不写作法，保留作图的痕迹）．
(1)在图①中作出边的中点；
(2)在图②中作出的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接AC、BD交于点O，连接EO并延长交AD与点F，点F即为所求；
（2）连接BD、AC交于点O，连接EO并延长交AD与点F；连接AE、BF交于点M，连接OM并延长交AB与点G，点G即为所求．
（1）
解：如图①，点即为所求．
（2）
如图②，点即为所求．
【点睛】本题主要考查了作图-复杂作图、三角形中位线、平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（2023·安徽·校联考一模）如图，矩形的两个顶点，都在反比例函数的图象上，经过原点，对角线垂直于轴．垂足为，已知点的坐标为．
(1)求直线和反比例函数的解析式；
(2)求矩形的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）设，把点A的坐标，进而代入，即可求解．
（2）由点A的坐标为，根据中心对称可得，勾股定理得出，证明，得出，即可求解．
【详解】（1）解：设，把点A的坐标代入得，
∴
∴，
∴，
∴
（2）由点A的坐标为，根据中心对称可得，则，
∵对角线垂直于x轴，
∴
∴，
∴，
∴
∴，
∴矩形的面积为．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，反比例函数与一次函数交点问题，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
19．（2023春·湖南长沙·八年级长沙市长郡梅溪湖中学校考阶段练习）如图，已知E、F分别是的边、上的点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)在中，若，，，求边上的高．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再得出，即可证明四边形是平行四边形；
（2）根据勾股定理求出的长，然后根据等积法求出边上的高即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，且，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．
20．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测）如图，矩形的对角线的垂直平分线与、、分别交于点、、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求：
①的长；
②菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①；②39
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得，再由矩形的性质可得，从而得到，再证明，可得，从而得到四边形是平行四边形，即可求证；
①根据矩形的性质可得，，再由勾股定理求出，即可求解；②根据菱形的面积等于对角线长度乘积的一半，即可求解．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：①∵四边形是矩形，点O为的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
②∵四边形是菱形，，
∴菱形的面积．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理是解题的关键．
21．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）如图，菱形，于点E，于点F，
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，连接分别交、于点G、H，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有的钝角等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)，，．
【分析】（1）利用面积法求解即可；
（2）利用菱形的性质可得到是等腰三角形，然后再利用等角对等边判定，是等腰三角形即可．
【详解】（1）∵四边形是菱形，
∴．
∵于点E，于点F，
∴，
∴；
（2）∵四边形是菱形， ，
∴，，，，
∴是钝角等腰三角形．
∵于点E，
∴，
∴，
∴，
∴是钝角等腰三角形．
同理可证是钝角等腰三角形．
综上可知，钝角等腰三角形有：，，．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．
22．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，四边形是正方形，点E、F分别在边上，点G在边的延长线上，且．
(1)求证：① ；②；
(2)尺规作图：以线段为边作出正方形（保留作图痕迹不写作法和证明）；
(3)连接（2）中的，猜想四边形的形状，并证明你的猜想；
(4)当时，求出的值
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)见解析
(3)四边形为平行四边形，证明见解析
(4)
【分析】（1）利用证明，得，再利用三角形内角和定理可证明；
（2）分别以G、E为圆心，为半径画圆，交点即可H点；
（3）首先根据一组对边平行且相等证明四边形是平行四边形，从而得出，，进而证明结论；
（4）设，则，利用勾股定理表示出的长，从而得出答案．
【详解】（1）证明：①∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
②由，得，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示：
（3）解：四边形为平行四边形，理由如下：
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，

∵，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（4）当时，设，则，，
∴，
∴＝．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握正方形的性质与判定条件．
23．（2022秋·广东河源·九年级校考期末）如图，在菱形中，对角线与交于点，且，，现有两动点，分别从，同时出发，点沿线段向终点运动，点沿折线向终点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为（秒）．
(1)填空： ；菱形的面积 ；菱形的高 ．
(2)若点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位，连接，．当时，是否存在的值，使为等腰直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)若点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位（其中），当时在平面内存在点使得以，，，为顶点的四边形为菱形，请求出所有满足条件的的值．
【答案】(1)；；
(2)不存在，理由见解析
(3)或或
【分析】（1）先由菱形的性质和勾股定理求得AB，再跟菱形面积为对角线之积的一半可得S，最后根据菱形的面积为边长×高，由此可得高h的长；
（2）当时，M在边AB上，N在边CD上，当时，如图1所示，因为，此种情况不成立，可得结论；
（3）当，时间固定，AM的长度也就固定，A、M、N、E四点要形成菱形，分两大类情况，第一类以AM为边，这种情况可以画两种菱形；第二类以AM为对角线，只有一种．因此共三种情况，分别计算．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，AC与BD交于点O，，
∴，
∴AB=5，
设菱形的高为h,
则菱形ABCD的面积为
∴
故答案为：，，
（2）解：当时，在边上，在边上，当时，如图所示，
由（）知：，
当时，，所以此种情况不成立，
当时，不存在的值，使为等腰直角三角形．
（3）解：当时，，
①如图，四边形为菱形，
，
，
，．
②如图，为菱形，交于点，作垂直于，
菱形面积为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
③如图，为菱形，交于点，作垂直于，
则，
，
，
，
，
；
综上所述，的取值有或或．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角函数、勾股定理、面积计算，分类讨论等重要知识点，综合性和技巧性很强，计算量也较大，对学生的能力要求较高，因此综合应用所学知识成为解答本题的关键．
点A，C分别转到了点C，A处，
而点B转到了点D处．
∵，
∴四边形是平行四边形．