中考数学一轮复习专题3.1函数及其图象验收卷(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习专题3.1函数及其图象验收卷(原卷版+解析)，共31页。试卷主要包含了1 函数及其图象验收卷等内容，欢迎下载使用。

本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）下列表述中，能确定物体位置的是（ ）
A．万达影城1号厅2排B．温泉南路
C．南偏西D．东经，北纬
2．（2022秋·北京门头沟·九年级校考期末）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是（ ）
A．圆的面积y与它的半径x；
B．正方形的周长y与它的边长x；
C．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x；
D．小明从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y与平均速度x；
3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在某平面直角坐标系的网格中，点A的坐标为，点C的坐标为，则它的坐标原点为（ ）
A．点BB．点DC．点PD．点Q
4．（2022春·贵州贵阳·七年级统考期中）小明和妈妈2022年3月19日通过自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则x是（ ）
A．正数B．负数C．正数或0D．任意数
6．（2022春·广东江门·七年级校考期中）已知点A的坐标为，直线轴，且，则点B的坐标为（ ）
A．或B．或C．或D．或
7．（2022秋·北京·八年级校考期末）A，B，C三种上宽带网方式的月收费金额（元），（元），（元）与月上网时间x（小时）的对应关系如下图所示．以下有四个推断：
①月上网时间不足35小时，选择方式A最省钱；
②月上网时间超过55小时且不足80小时，选择方式C最省钱；
③对于上网方式B，若月上网时间在60小时以内，则月收费金额为60元；
④对于上网方式C，无论月上网时间是多久，月收费都是120元．
所有合理推断的序号是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
8．（2023秋·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第四十一中学校考期末）在平面直角坐标系中，已知点，在坐标轴上找一点 P，使得是等腰三角形，则这样的点P共有（ ）个
A．5B．6C．7D．8
9．（2022春·河北保定·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于任意一点，规定：；比如．当时，所有满足该条件的点P组成的图形为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·九年级校考期中）如图，在中， ，，垂足为点D，动点M从点A出发沿方向以的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线方向以的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接．设运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022秋·浙江·八年级专题练习）乐清雁荡山以山水奇秀闻名天下，号称“东南第一山”．如图，雁荡山在乐成镇的______．
12．（2023春·河南周口·七年级校联考阶段练习）若点，，点A在x轴上，且的面积是2，则点A的坐标是_______
13．（2021春·北京海淀·八年级北理工附中期中）如图所示，某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径r（d，r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，油量为v（h，w，v为变量），则下面四个结论中，①w是v的是函数；②v是w的函数；③h是w的函数；④w是h的函数，所有正确结论的序号是____．
14．（2022秋·全国·八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，我们把点O，A（0，4），B（8，4），C（8，0）顺次连接起来，得到一个长方形区域，P为该区域（含边界）内一点．若将点P到长方形相邻两边的距离之和的最小值记为d，则称P为“d距点”．例如：点P（5，3）称为“4距点”．当d＝3时，横、纵坐标都是整数的点P的个数为_____个．
15．（2021春·云南昆明·七年级校考期中）一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到，然后接着按图中箭头所示方向跳动（即），且每秒跳动一个单位，那么第2021秒时跳蚤所在位置的坐标是______________．
16．（2022秋·山东德州·九年级统考期中）如图1，绕点A逆时针旋转，在此过程中B、C的对应点依次为，连接，设旋转角为（），，y与x之间的函数关系图像如图2，当时，y的值为__________．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2020秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，，．
(1)在平面直角坐标系中画出，并计算的面积；
(2)若点D第四象限内，求m的取值范围．
18．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）已知，．
(1)求和；
(2)若变量满足，求与的关系式；
(3)在（）的条件下，当时，求 的值．
19．（2022春·辽宁沈阳·七年级校考期中）一辆加满汽油的汽车在匀速行驶中，油箱中的剩余油量与行驶的时间的关系如下表所示：
请你根据表格，解答下列问题：
(1)________是自变量；________是因变量；
(2)直接写出Q与t的关系式为________﹔
(3)由（2）中的关系式求出这辆汽车在连续行驶后，油箱中的剩余油量是多少?
(4)由（2）中的关系式求出这辆车在中途不加油的情况下，最多能连续行驶的时间是多少?
20．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期中）阅读与思考．请仔细阅读并完成相应任务．
在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积的数值相等，则这个点叫做和谐点．例如：图中过点分别作轴，轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长与面积的数值相等，则点是和谐点．
任务：
(1)判断点是否为和谐点，并说明理由；
(2)若和谐点在直线为常数上，求的值．
21．（2021秋·辽宁营口·八年级校考期中）已知在中，，，将放在平面直角坐标系中，如图所示．
(1)如图1，若，，求C点坐标；
(2)如图2，若，，求C点坐标．
22．（2021春·辽宁沈阳·七年级校考期中）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游，从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（千米）与小明离家时间x（小时）的图象，已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．
(1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间．
(2)妈妈驾车的速度为______千米/时，设小明离开家到与妈妈相遇的时间为t（t＞1）小时，则小明骑车的路程为______千米（用含t的式子表示），妈妈驾车的路程为______千米（用含t的式子表示），并求出t的值．
(3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．
23．（2022秋·湖南郴州·九年级校考期中）阅读理解：有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究、下面是小明探究的过程，请补充完整：
(1)函数的自变量x的取值范围是：___________
(2)下表是y与x的几组对应值：则m的值为：___________
(3)如图所示，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；
(4)观察图象，写出该函数的一条性质：___________
(5)若函数的图象上有三个点且，则间的大小关系为：___________ ． （用“<”连接）
行驶时间
0
1
2
3
4
…
油箱中剩余油量
56
43
30
…
x
…
0
1
2
4
5
6
7
8
…
y
…
m
0
3
2
…
专题3.1 函数及其图象验收卷
注意事项：
本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）下列表述中，能确定物体位置的是（ ）
A．万达影城1号厅2排B．温泉南路
C．南偏西D．东经，北纬
【答案】D
【分析】根据确定位置的有序数对有两个数解答．
【详解】解：在平面直角坐标系中，要用两个数据才能表示一个点的位置，纵观各选项，只有东经，北纬能确定物体的位置，
故选：D
【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解在平面直角坐标系中，要用两个数据才能表示一个点的位置是解题的关键．
2．（2022秋·北京门头沟·九年级校考期末）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是（ ）
A．圆的面积y与它的半径x；
B．正方形的周长y与它的边长x；
C．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x；
D．小明从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y与平均速度x；
【答案】C
【分析】根据题意写出两个变量之间的函数关系分别断即可．
【详解】解：A、圆的面积y与它的半径x的关系式为，变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图像表示，故此选项不符合题意；
B、正方形的周长y与它的边长x的关系式为，变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图像表示，故此选项不符合题意；
C、设铁丝的长度为a，则矩形的面积，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示，故此选项符合题意；
D、设路程为s，则所用时间y与平均速度x的关系式为，变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图像表示，故此选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图像，解题的关键是判断两个变量之间所满足的函数关系．
3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在某平面直角坐标系的网格中，点A的坐标为，点C的坐标为，则它的坐标原点为（ ）
A．点BB．点DC．点PD．点Q
【答案】C
【分析】根据点A的坐标为，点C的坐标为确定出x、y轴，即可得．
【详解】解：由题意得：
∴坐标原点为点P，
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是能够正确的画出x、y轴，．
4．（2022春·贵州贵阳·七年级统考期中）小明和妈妈2022年3月19日通过自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少，可得答案．
【详解】解：A．匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少，故A符合题意；
B．加速行驶时路程应迅速增加，故B不符合题意；
C．参观时路程不变，故C不符合题意；
D．返回时路程逐渐减少，故D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象，理解题意是解题关键：匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则x是（ ）
A．正数B．负数C．正数或0D．任意数
【答案】A
【分析】根据第二象限，点的符号特征，进行判断即可．
【详解】解：∵第二象限，点的符号特征是，
∴，是正数；
故选A．
【点睛】本题考查坐标系下象限内点的符号特征．熟练掌握象限内点的符号特征，是解题的关键．
6．（2022春·广东江门·七年级校考期中）已知点A的坐标为，直线轴，且，则点B的坐标为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】B
【分析】先根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等求得点B的纵坐标，再分点B在点A的左边和右边两种情况得到点B的横坐标即可求解．
【详解】解：∵点A的坐标为，直线轴，
∴点B的纵坐标为2，
∵
∴当点B在点A左边时，点B的横坐标为，
当点B在点A右边时，点B的横坐标为，
∴点B的坐标为或，
故选：B．
【点睛】本题考查坐标与图形性质、点的坐标，熟练掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等的性质，分类讨论是解答的关键．
7．（2022秋·北京·八年级校考期末）A，B，C三种上宽带网方式的月收费金额（元），（元），（元）与月上网时间x（小时）的对应关系如下图所示．以下有四个推断：
①月上网时间不足35小时，选择方式A最省钱；
②月上网时间超过55小时且不足80小时，选择方式C最省钱；
③对于上网方式B，若月上网时间在60小时以内，则月收费金额为60元；
④对于上网方式C，无论月上网时间是多久，月收费都是120元．
所有合理推断的序号是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
【答案】B
【分析】根据A，B，C三种上宽带网方式的月收费金额（元），（元），（元）与月上网时间x（小时）的图象逐一判断即可．
【详解】解：由图象可知：
①月上网时间不足35小时，选择方式A最省钱，说法正确；
②月上网时间超过55小时且不足80小时，选择方式B最省钱，故原说法错误；
③对于上网方式B，若月上网时间在60小时以内，则月收费金额为60元，说法正确；
④对于上网方式A，若月上网时间超出25小时，则超出的时间每分钟收费为：
（元），原说法正确；
所以所有合理推断的序号是①③④．
故选：B
【点睛】本题考查了函数的图象，掌握数形结合的方法是解答本题的关键．
8．（2023秋·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第四十一中学校考期末）在平面直角坐标系中，已知点，在坐标轴上找一点 P，使得是等腰三角形，则这样的点P共有（ ）个
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】分三种情况，，，三种情况画出图形，即可得出结果．
【详解】解：作出图形，如图，可知使得是等腰三角形的点P共有8个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质和等腰三角形的判定，对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底，哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
9．（2022春·河北保定·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于任意一点，规定：；比如．当时，所有满足该条件的点P组成的图形为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据f（x，y）的定义和f（x，y）=2可知|x|=2，|y|≤2或|y|=2，|x|＜2，然后分两种情况分别进行讨论即可得到点P组成的图形．
【详解】解：∵f（x，y）=2，
∴|x|=2，|y|≤2或|y|=2，|y|＜2．
①当|x|=2，|y|≤2时，点P满足x=2，-2≤y≤2或x=-2，-2≤y≤2，
在图象上，线段x=2，-2≤y≤2即为D选项中正方形的右边，线段x=-2，-2≤y≤2即为D选项中正方形的左边；
②当|y|=2，|x|＜2时，点P满足y=2，-2＜x＜2，或y=-2，-2＜x＜2，
在图象上，线段y=2，-2＜x＜2即为D选项中正方形的上边，线段y=-2，-2＜x＜2即为D选项中正方形的下边．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，解题的关键是牢记在平面直角坐标系中，与坐标轴平行的线段上的点的坐标特征．
10．（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·九年级校考期中）如图，在中， ，，垂足为点D，动点M从点A出发沿方向以的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线方向以的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接．设运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分别求出M在和在上时的面积为S关于t的解析式，结合图象开口方向即可判断．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当M在上时，，
，，
∴，此时二次函数图象开口向下；
当M在上时，，
，
∴，此时二次函数图象开口向上．
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022秋·浙江·八年级专题练习）乐清雁荡山以山水奇秀闻名天下，号称“东南第一山”．如图，雁荡山在乐成镇的______．
【答案】北偏东27°的处
【分析】由图象可得：乐成镇位于坐标原点，雁荡山在乐成镇的北偏东27度的方向，距离原点处，即可求解．
【详解】解：由图象可得：乐成镇位于坐标原点，雁荡山在乐成镇的北偏东27度的方向，距离原点处，
即雁荡山在乐成镇的北偏东27度的处．
故答案为：北偏东27度的处．
【点睛】本题主要考查了方向角和方位，熟练掌握方向角和方位的确定是解题的关键．
12．（2023春·河南周口·七年级校联考阶段练习）若点，，点A在x轴上，且的面积是2，则点A的坐标是_______
【答案】或
【分析】根据点A在x轴上，设点A的坐标为，得到，再利用三角形的面积求出，即可得到点A的坐标．
【详解】解：设点A的坐标为，
，，
，
，
，
，
点A的坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，找出三角形面积与顶点坐标之间的关系是解题关键，属于中考常考题型．．
13．（2021春·北京海淀·八年级北理工附中期中）如图所示，某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径r（d，r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，油量为v（h，w，v为变量），则下面四个结论中，①w是v的是函数；②v是w的函数；③h是w的函数；④w是h的函数，所有正确结论的序号是____．
【答案】①④##④①
【分析】直接利用变量间的关系，结合函数的定义判断①②③④的结论.
【详解】解：根据圆柱的体积公式的实际应用，
油面高度为h，会影响油面的宽度w，从而影响油量v，
对于①，w是v的函数；由于v确定，故h确定，w就确定，故①正确；
对于②，v是w的函数，由于w确定，h有两个（上下对称），所以v有两个，故与函数的定义相矛盾，不是函数，故②错误；
对于③，h是w的函数，同②，w确定，所以有两个h（上下对称）故与函数的定义相矛盾，不是函数，故③错误；
对于④，w是h的函数，h确定，则w确定，故④正确．
故①④正确．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查的知识要点：函数的定义的理解，实际问题中的函数关系，主要考查学生对基础定义的理解和应用，属于基础题．
14．（2022秋·全国·八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，我们把点O，A（0，4），B（8，4），C（8，0）顺次连接起来，得到一个长方形区域，P为该区域（含边界）内一点．若将点P到长方形相邻两边的距离之和的最小值记为d，则称P为“d距点”．例如：点P（5，3）称为“4距点”．当d＝3时，横、纵坐标都是整数的点P的个数为_____个．
【答案】10
【分析】根据“d距点”的定义，作出d＝3的点，即可解决问题．
【详解】解：满足条件的点如图所示，共有10个．
故答案为：10
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．（2021春·云南昆明·七年级校考期中）一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到，然后接着按图中箭头所示方向跳动（即），且每秒跳动一个单位，那么第2021秒时跳蚤所在位置的坐标是______________．
【答案】
【分析】应先判断出走到坐标轴上的点所用的时间以及相对应的坐标，可发现走完一个正方形所用的时间分别为3，5，7，9…，此时点在坐标轴上，进而得到规律．
【详解】解∶由题意可知这点移动的速度是1个单位长度/每秒，设这点为，
到达时用了3秒，到达时用了4秒，
从到有四个单位长度，则到达时用了秒，到时用了9秒；
从到有六个单位长度，则到时用秒；
依此类推到用16秒，到用秒，到用25秒，到用36秒，到时用42秒
可得在轴上，横坐标为偶数时，所用时间为秒，在轴上时，纵坐标为奇数时，所用时间为秒，
，
第2021秒时这个点所在位置的坐标为，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了点的坐标的变化规律，得出运动变化的规律是解决问题的关键．
16．（2022秋·山东德州·九年级统考期中）如图1，绕点A逆时针旋转，在此过程中B、C的对应点依次为，连接，设旋转角为（），，y与x之间的函数关系图像如图2，当时，y的值为__________．
【答案】3
【分析】结合图1、图2可知，当时，，当时，，此时点在上，所以，由勾股定理得，可求，，当时，，作于点D，则，所以，，由勾股定理求得，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：结合图1、图2可知，当时，
，此时点与点B重合；
当时，，此时点在上，
∴，或 (不符合题意，舍去)，
由旋转得，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或(不符合题意，舍去)，
∴，
当时，如图3，则，
∴，
作于点D，则，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴
故答案为：3．
【点睛】此题重点考查坐标与图形、动点问题的函数图象、旋转的性质、直角三角形的两个锐角互余、含角的直角三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的解法等知识与方法，根据勾股定理列方程求得是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2020秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，，．
(1)在平面直角坐标系中画出，并计算的面积；
(2)若点D第四象限内，求m的取值范围．
【答案】(1)图见解析，；
(2)．
【分析】（1）先描点，再顺次连接，直接利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（2）点D在第四象限内，所以横坐标为正，纵坐标为负，得到关于m的不等式组，求解即可．
【详解】（1）解：如图所示：
∴即为所求，
；
（2）解：∵若点在第四象限内，
∴，
解不等式得：，
∴．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组以及平面直角坐标系，解题关键是根据题意列出不等式组并准确求解．
18．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）已知，．
(1)求和；
(2)若变量满足，求与的关系式；
(3)在（）的条件下，当时，求 的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据多项式除以单项式，平方差公式进行计算即可求解；
（2）根据题意得出，然后根据（1）的结论，根据整式的加法进行计算即可求解；
（3）把 代入（2）中关系式，得出，然后代入代数式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
，
；
（2）由，得
；
（3）把 代入（2）中关系式，
得 ，
即 ，则原式
．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式，平方差公式，求函数关系，整式的加减，代数式求值，掌握多项式的混合运算是解题的关键．
19．（2022春·辽宁沈阳·七年级校考期中）一辆加满汽油的汽车在匀速行驶中，油箱中的剩余油量与行驶的时间的关系如下表所示：
请你根据表格，解答下列问题：
(1)________是自变量；________是因变量；
(2)直接写出Q与t的关系式为________﹔
(3)由（2）中的关系式求出这辆汽车在连续行驶后，油箱中的剩余油量是多少?
(4)由（2）中的关系式求出这辆车在中途不加油的情况下，最多能连续行驶的时间是多少?
【答案】(1)行驶时间t，油箱中剩余油量Q；
(2)；
(3)17升；
(4)小时．
【分析】（1）根据题意可知行驶时间t是自变量，油箱中剩余油量Q是因变量，即可得到答案；
（2）根据开始的油量为56L，时间每增加1小时，油量减少L，可得到Q与t的关系式；
（3）求出当时的值即可得到答案；
（4）求出当时的值即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意可知行驶时间t是自变量，油箱中剩余油量Q是因变量，
故答案为：行驶时间t，油箱中剩余油量Q
（2）根据开始的油量为56L，时间每增加1小时，油量减少L，可得到Q与t的关系式为，
故答案为：
（3）当时，，
即这辆汽车在连续行驶后，油箱中的剩余油量是17L；
（4）当时，，
解得，
即这辆车在中途不加油的情况下，最多能连续行驶的时间是小时．
【点睛】此题考查了函数相关知识，熟练掌握自变量、因变量、函数关系式、求函数值和自变量的值等知识是解题的关键．
20．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期中）阅读与思考．请仔细阅读并完成相应任务．
在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积的数值相等，则这个点叫做和谐点．例如：图中过点分别作轴，轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长与面积的数值相等，则点是和谐点．
任务：
(1)判断点是否为和谐点，并说明理由；
(2)若和谐点在直线为常数上，求的值．
【答案】(1)是和谐点，见解析
(2)当时，；当时，
【分析】（1）分过点分别作轴和轴的垂线，分别计算出垂线与坐标轴围成矩形的周长的数值；与坐标轴围成矩形的面积的数值，然后根据新定义进行判断；
（2）先根据新定义得到，解得或，再利用一次函数图像上点的坐标特征得到，即，然后把的值分别代入可计算出对应的的值．
【详解】（1）点是和谐点．点不是和谐点．理由如下：
过点分别作轴和轴的垂线，与坐标轴围成矩形的周长的数值；与坐标轴围成矩形的面积的数值，
所以点是和谐点；
过点分别作轴和轴的垂线，与坐标轴围成矩形的周长的数值；与坐标轴围成矩形的面面积的数值，
所以点不是和谐点；
（2）点是和谐点，在直线为常数上，

周长为；面积为，
，
，解得或，
当时，；当时，
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征和矩形的性质，解题的关键是会用含有未知数的式子表示围成的矩形的面积和周长．
21．（2021秋·辽宁营口·八年级校考期中）已知在中，，，将放在平面直角坐标系中，如图所示．
(1)如图1，若，，求C点坐标；
(2)如图2，若，，求C点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作轴于点D，可证明，由，得，，则，所以点C的坐标是；
（2）作轴于点F，轴于点E，作交FC的延长线于点G，可证明,由，，得，，，所以，则，，所以，则点C的坐标为．
【详解】（1）解：如图1，作轴于点D，则，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴点C的坐标是．
（2）如图2，作轴于点F，轴于点E，作交FC的延长线于点G，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为．
【点睛】此题重点考查图形与坐标、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
22．（2021春·辽宁沈阳·七年级校考期中）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游，从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（千米）与小明离家时间x（小时）的图象，已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．
(1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间．
(2)妈妈驾车的速度为______千米/时，设小明离开家到与妈妈相遇的时间为t（t＞1）小时，则小明骑车的路程为______千米（用含t的式子表示），妈妈驾车的路程为______千米（用含t的式子表示），并求出t的值．
(3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．
【答案】(1)20；0.5；
(2)60；；．
(3)30
【分析】（1）根据函数图象得小明骑车用0.5小时骑了，根据速度公式得到小明骑车的速度为时，根据函数图象得到不变的时间段为，则小明在甲地游玩的时间为0.5小时；
（2）妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍，即为时；对于小明行驶的路程，；妈妈驾车的路程为，根据他们相遇时路程相等得到，然后解方程即可；
（3）设小明到乙地所用的时间为小时，根据总路程相同得到，解方程得，然后计算从家到乙地的路程．
【详解】（1）根据函数图象得，小明骑车用0.5小时骑了，所以小明骑车的速度时），
小明在甲地游玩的时间（小时）；
故答案为：20；0.5；
（2）妈妈驾车的速度时时；
小明骑车的路程为：；
妈妈驾车的路程为，
所以，解得，
即小明出发1小时45分后妈妈赶上了小明；
故答案为： 60；；．
（3）设小明到乙地所用的时间为小时，
根据题意得，解得，
所以从家到乙地的路程为．
【点睛】本题考查了一次函数的运用：从一次函数图象上获取实际问题中的量；对于分段函数在不同区间有不同对应方式的函数，特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
23．（2022秋·湖南郴州·九年级校考期中）阅读理解：有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究、下面是小明探究的过程，请补充完整：
(1)函数的自变量x的取值范围是：___________
(2)下表是y与x的几组对应值：则m的值为：___________
(3)如图所示，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；
(4)观察图象，写出该函数的一条性质：___________
(5)若函数的图象上有三个点且，则间的大小关系为：___________ ． （用“<”连接）
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)当x>3时，y随x的增大而减小（答案不唯一）
(5)
【分析】（1）根据分式有意义的条件求解即可；
（2）把代入函数解析式求解即可；
（3）描出了以上表中各对对应值为坐标的剩余的点，再用光滑曲线顺次连接起来即可；
（4）根据函数增减性，写出性质即可；
（5）根据函数图象直接求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得，
解得：；
（2）解：当时，，
∴；
（3）解：补全函数图象如图所示：
（4）解：由图象可得：当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（5）解：由图象可得：当时，y随x的增大而减小，且，
∵，
∴，
由图象可得：当时，y随x的增大而减小，且，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查函数图象与性质，熟练掌握用描点法作函数的图象，根据图象总结归纳函数的性质是解题的关键．
行驶时间
0
1
2
3
4
…
油箱中剩余油量
56
43
30
…
x
…
0
1
2
4
5
6
7
8
…
y
…
m
0
3
2
…