中考数学一轮复习专题4.4特殊三角形验收卷(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习专题4.4特殊三角形验收卷(原卷版+解析)，共36页。试卷主要包含了5D．8，4 特殊三角形验收卷等内容，欢迎下载使用。

本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·湖北随州·八年级统考期末）如图，为边上一点，连接，则下列推理过程中，因果关系与所填依据相符的是（ ）
A．（已知），（等角对等边）
B．平分，（已知），
（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
C．，（已知），
（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）
D．，（已知），（等腰三角形三线合一）
2．一块三角板（含45°、45°角）和一把直尺摆放位置如图所示，直尺与三角板的一角相交于点A，一边与三角板的两条直角边分别相交于点D、点E，且DE＝2CD，点F在直尺的另一边上，那么∠BAF的大小为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
3．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，在中，，，I为的内心，过点I作，分别交于D、E，则的周长为（ ）
A．12B．14C．16D．24
4．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）如图，点D在的边上，点P在射线上（不与点A，D重合），连接，．下列命题中，假命题是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
5．（2023秋·江苏南通·八年级统考期末）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023秋·安徽六安·九年级统考期末）如图，在边长为9的等边三角形中，，，则的长为（ ）
A．6B．7C．7.5D．8
7．（2023秋·云南昆明·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，与x轴的夹角为，点P是x轴上动点，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．6个
8．（2023春·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考阶段练习）如图，在中，，分别以、、为直径向外作半圆，它们的面积分别记作、、，其中，，（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·全国·九年级专题练习）已知是等边三角形，点P在上，过点P作，垂足为D，延长至点Q，使，连接PQ交AC于点E，如图所示．如果等边的边长为4，那么线段的长为（ ）
A．1B．2C．D．
10．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：；
乙同学：若，则；
丙同学：当时，D为的中点．
则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲同学正确B．乙和丙同学都正确
C．甲和丙同学正确D．三个同学都正确
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，中，，绕点顺时针旋转一定的角度得到，若点恰好在线段上，，则的度数为________；
12．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为 _____．
13．（2023秋·江苏扬州·八年级校考期末）如图，将等边放在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第一象限，将等边绕点O顺时针旋转得到，则点的坐标是 _____．
14．（2023春·四川成都·九年级统考开学考试）如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F；②作直线；③以点B为圆心，以为半径画弧交直线于点G；④连接交于点P．则_________．
15．（2023秋·内蒙古赤峰·八年级统考期末）如图，在中，是边上的中线，M是上的一个动点，N是上的一个动点，连接则的最小值是 _____．
16．（2023春·浙江衢州·九年级衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）校联考阶段练习）拓展课上，同学们准备用卡纸做一个底面为边长为的正六边形，高为的无盖包装盒，它的表面展开图如图1所示．
（1）若选用长方形卡纸按图2方式剪出包装盒的表面展开图，则的长为______；
（2）若选用一块等边三角形卡纸按图3方式剪出包装盒表面展开图，则这个等边三角形的边长为______．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023春·湖南岳阳·八年级统考阶段练习）如图，在中，，平分，交于点D，过点D作于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
18．（2023秋·湖北随州·八年级统考期末）如图，在中，已知，，，．
(1)用直尺和圆规在图中作出边的垂直平分线交于点，连接（只保留作图痕迹并标注字母即可）；
(2)求的周长；
(3)求的度数．
19．（2023秋·四川乐山·八年级统考期末）“村村通”是我国的一项重要民生工程，如图，、、三个村都分别修建了一条互通的公路，其中，现要在公路边修建一个景点，（、、在同一直线上），为方便村村民到达景点，又修建了一条公路，测得：，，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求公路的长．
20．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）在中，，，，垂足为G，且．，其两边分别交边，于点E，F．
(1)求证：是等边三角形；
(2)求证：．
21．（2023春·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，是斜边上的中点，、分别是、边上的点，且
(1)若，，求四边形的面积.
(2)求证：.
22．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，中，，，点为中点，点在射线上运动，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1)当点与点重合时，请直接写出与的数量关系；
(2)当点在线段上时，请写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)若，，请直接写出的面积．
23．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图，已知等边和等边，连接，，，与交于点D，与交于点O，且．，垂足为点E．求证：
(1)；
(2)；
(3)．
专题4.4 特殊三角形验收卷
注意事项：
本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·湖北随州·八年级统考期末）如图，为边上一点，连接，则下列推理过程中，因果关系与所填依据相符的是（ ）
A．（已知），（等角对等边）
B．平分，（已知），
（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
C．，（已知），
（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）
D．，（已知），（等腰三角形三线合一）
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一逐项判断即可得．
【详解】解：A、（已知），
（等边对等角），
则因果关系与所填依据不相符，此项不符合题意；
B、平分，（已知），
（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
因为与不垂直，与不垂直，则因果关系与所填依据不相符，此项不符合题意；
C、，（已知），
（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等），
则因果关系与所填依据相符，此项符合题意；
D、，（已知），
（等腰三角形三线合一），
因为条件没有等腰三角形，则因果关系与所填依据不相符，此项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一，角平分线珠性质定理，熟练掌握这些知识是解题关键．
2．一块三角板（含45°、45°角）和一把直尺摆放位置如图所示，直尺与三角板的一角相交于点A，一边与三角板的两条直角边分别相交于点D、点E，且DE＝2CD，点F在直尺的另一边上，那么∠BAF的大小为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据DE＝2CD，得出∠CED=30°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF=30°，最后根据∠BAC=45°，即可得出∠BAF的大小．
【详解】
解：由图可得，CA=CB，∠C=90°，∠CBA=∠BAC=45°，
∵∠C=90°，DE＝2CD，
∴∠CED=30°，
又∵DE∥AF，
∴∠CAF=∠CED=30°，
∵∠BAC=45°，
∴∠BAF=45°-30°=15°，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及等腰直角三角形的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
3．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，在中，，，I为的内心，过点I作，分别交于D、E，则的周长为（ ）
A．12B．14C．16D．24
【答案】B
【分析】连接，根据内心定义得到，，利用平行线的性质得到，，推出，证得，即可求出答案．
【详解】解：连接
∵I为的内心，
∴平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长为，
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形内心的定义，平行线的性质，熟练掌握三角形内心的定义得到平分，平分是解题的关键．
4．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）如图，点D在的边上，点P在射线上（不与点A，D重合），连接，．下列命题中，假命题是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】D
【分析】根据等腰三角形性质逐项判断即可．
【详解】解：若，，则是中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴故选项A是真命题，不符合题意；
，即，
又，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴故选项B是真命题，不符合题意；
若，，则，是中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴故选项C是真命题，不符合题意；
若，，不能得到，故选项D是假命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握等腰三角形的“三线合一”定理．
5．（2023秋·江苏南通·八年级统考期末）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意结合勾股定理列出方程即可．
【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，则斜边为尺，根据勾股定理可得，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
6．（2023秋·安徽六安·九年级统考期末）如图，在边长为9的等边三角形中，，，则的长为（ ）
A．6B．7C．7.5D．8
【答案】B
【分析】由等边三角形的性质可知，，从而可得，．再根据，可求出，即证明，从而可证，得出，代入数据即可求出的长，最后由即可求解．
【详解】解：∵为边长为9的等边三角形，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角形相似的判定和性质等知识．熟练掌握三角形相似的判定定理及其性质是解题关键．
7．（2023秋·云南昆明·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，与x轴的夹角为，点P是x轴上动点，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．6个
【答案】A
【分析】由题意得：，从而利用等边三角形的判定可得是等边三角形，然后分三种情况：当时，当时，当时，即可解答．
【详解】解：如图：
由题意得：，
∵是等腰三角形，
∴是等边三角形，
分三种情况：
当时，以点O为圆心，以长为半径作圆，交x轴于点，；
当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，交x轴于点；
当时，作的垂直平分线，交x轴于点；
综上所述：以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有2个，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，分三种情况讨论是解题的关键．
8．（2023春·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考阶段练习）如图，在中，，分别以、、为直径向外作半圆，它们的面积分别记作、、，其中，，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由勾股定理得，再由圆面积公式得，，，即可得出结论．
【详解】解：在中，，
，
，，
，
故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，掌握勾股定理及圆的面积公式是解决本题的关键．
9．（2023·全国·九年级专题练习）已知是等边三角形，点P在上，过点P作，垂足为D，延长至点Q，使，连接PQ交AC于点E，如图所示．如果等边的边长为4，那么线段的长为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】如图，过点P作，交于点F，利用已知条件可以得到是等边三角形，然后可以证明，接着利用等边三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：如图，过点P作，交于点F，
则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴也是等边三角形，而，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵于D，是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，同时也利用了全等三角形的性质于判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
10．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：；
乙同学：若，则；
丙同学：当时，D为的中点．
则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲同学正确B．乙和丙同学都正确
C．甲和丙同学正确D．三个同学都正确
【答案】D
【分析】在中，依据三角形外角及已知可得，结合等腰三角形易证；结合，易证，得到；当时，结合已知求得，易证，依据等腰三角形“三线合一”得
【详解】解：在中，
，
，
，，
，
，
甲同学正确；
，，，
，
，
乙同学正确；
当时，
，
，
，
，
，
，
D为的中点，
丙同学正确；
综上所述：三个同学都正确
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形外角、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质；解题的关键是通过“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”得到．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，中，，绕点顺时针旋转一定的角度得到，若点恰好在线段上，，则的度数为________；
【答案】##70度
【分析】根据平行的性质得到，进而得到，再利用旋转的性质得到，，推出，，即可求出的度数．
【详解】解：，，
，
，
由旋转的性质可知，，，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
12．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为 _____．
【答案】25
【分析】过A作于D，根据旋转的性质得出，，利用含30度角的直角三角形的性质得出，结合图形得出即可求解．
【详解】解：过A作于D，如图：
在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，，
∵，
∴，
∴，
又∵，且，
∴，
故答案为：25．
【点睛】题目主要考查旋转的性质及含30度角的直角三角形的性质，结合图形，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
13．（2023秋·江苏扬州·八年级校考期末）如图，将等边放在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第一象限，将等边绕点O顺时针旋转得到，则点的坐标是 _____．
【答案】
【分析】过点作轴于点E，根据等边三角形的性质，得到，，进而得到，再利用旋转的性质，得到，，从而得到，证明是等腰指直角三角形，最后利用勾股定理求出，即可得到点的坐标．
【详解】解：过点作轴于点E，
点A的坐标为，
，
是等边三角形，
，，
，
绕点O顺时针旋转得到，
，，
，
是等腰指直角三角形，
，
由勾股定理得，，
，
点在第四象限，
点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
14．（2023春·四川成都·九年级统考开学考试）如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F；②作直线；③以点B为圆心，以为半径画弧交直线于点G；④连接交于点P．则_________．
【答案】105°##105度
【分析】如图，由题意易得，，，则有，进而问题可求解．
【详解】解：如图所示：
由题意得垂直平分，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、三角函数及线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质、三角函数及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
15．（2023秋·内蒙古赤峰·八年级统考期末）如图，在中，是边上的中线，M是上的一个动点，N是上的一个动点，连接则的最小值是 _____．
【答案】##
【分析】连接由等腰三角形的性质可知：是的垂直平分线，得，则，即当点三点共线,且时，最小值为的长，利用等面积法求出的长即可．
【详解】解：连接
∵是中线，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，即当点三点共线时，=，
∴时，最短，
∴
∴最小值为：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间，线段最短，垂线段最短等知识，将最小值转化为的长是解题的关键．
16．（2023春·浙江衢州·九年级衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）校联考阶段练习）拓展课上，同学们准备用卡纸做一个底面为边长为的正六边形，高为的无盖包装盒，它的表面展开图如图1所示．
（1）若选用长方形卡纸按图2方式剪出包装盒的表面展开图，则的长为______；
（2）若选用一块等边三角形卡纸按图3方式剪出包装盒表面展开图，则这个等边三角形的边长为______．
【答案】 ## ##
【分析】（1）如图所示，设正六边形的圆心为O，过点O作于N，交于M，连接，先证明四边形是矩形，得到，求出，则可证明是等边三角形，得到，，利用勾股定理求出，得到，则由对称性可知；
（2）如图所示，设正六边形的圆心为O，过点O作于N，于M，由（1）可得，先得到，证明，得到，求得，同理可得，则．
【详解】解：（1）如图所示，设正六边形的圆心为O，过点O作于N，交于M，连接，
由题意得，四边形是矩形，，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
由正六边形的性质可得，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴由对称性可知，
故答案为：；
（2）如图所示，设正六边形的圆心为O，过点O作于N，于M，
由（1）可得，
∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，等边三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023春·湖南岳阳·八年级统考阶段练习）如图，在中，，平分，交于点D，过点D作于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)BD=10
【分析】（1）根据角平分线性质求出，根据定理求出两个三角形全等即可；
（2）求出，，根据含角的直角三角形性质求出即可．
【详解】（1）解：平分，，
，
在和中，
；
（2），
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定以及的直角三角形的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．
18．（2023秋·湖北随州·八年级统考期末）如图，在中，已知，，，．
(1)用直尺和圆规在图中作出边的垂直平分线交于点，连接（只保留作图痕迹并标注字母即可）；
(2)求的周长；
(3)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)27
(3)
【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图即可得；
（2）先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式即可得；
（3）先根据三角形的内角和定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据角的和差即可得．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）解：边的垂直平分线交于点，
，
，，
的周长为．
（3）解：，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
19．（2023秋·四川乐山·八年级统考期末）“村村通”是我国的一项重要民生工程，如图，、、三个村都分别修建了一条互通的公路，其中，现要在公路边修建一个景点，（、、在同一直线上），为方便村村民到达景点，又修建了一条公路，测得：，，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求公路的长．
【答案】(1)是直角三角形，理由见详解
(2)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行解答即可；
（2）根据勾股定理进行解答即可．
【详解】（1）解： 是直角三角形，
理由如下：在中，
∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形且；
（2）设，则，
在中，
由勾股定理得 ，
即，解得，
答：公路的长为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题关键是理解并掌握勾股定理及其逆定理．
20．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）在中，，，，垂足为G，且．，其两边分别交边，于点E，F．
(1)求证：是等边三角形；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论；
（2）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，进而可证得．
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴是等边三角形．
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，．
∵，
∴．
∴，
∴．
在与中，
，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
21．（2023春·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，是斜边上的中点，、分别是、边上的点，且
(1)若，，求四边形的面积.
(2)求证：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）连接，在中，，为边的中线，得出，，，继而证明，得出，然后根据即可求解；
（2）延长至点，使得，连接，，证明，由，则，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：连接，如图1，
在中，，为边的中线，
，，，
又，，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
所以
，
（2）证明：延长至点，使得，连接，，如图，
，，
垂直平分，
，
是中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，即，
，
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．
22．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，中，，，点为中点，点在射线上运动，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1)当点与点重合时，请直接写出与的数量关系；
(2)当点在线段上时，请写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)若，，请直接写出的面积．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)6或3
【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质及旋转的性质，可证得四边形是正方形，据此即可解答；
(2)过点作，交的延长线于点，根据等腰直角三角形的性质及旋转的性质，可证得，据此即可解答；
(3)分两种情况，根据，即可分别求解．
【详解】（1）解：在中，，，点为中点，
，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，，
四边形是平行四边形，
又，，
四边形是正方形，
；
（2）解：，
理由如下：
如图：过点作，交的延长线于点，
∵，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：当点E在线段上，时，如(2)图，
，
，
，
，
；
当点E在射线上，时，如图，
，
，
，
同理可证得：，
；
综上，的面积为6或3．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键．
23．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图，已知等边和等边，连接，，，与交于点D，与交于点O，且．，垂足为点E．求证：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）求出，利用证明，即可得出结论；
（2）根据等边三角形的性质可得垂直平分，进而得到，求出，根据等边对等角可得结论；
（3）求出，根据含直角三角形的性质可得，同理可得，然后由结合证得即可．
【详解】（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及含直角三角形的性质等知识，灵活运用各性质进行推理计算是解题的关键．