浙教版七年级数学下册(培优特训)专项1.2平行线性质与判定(30道精选题)(原卷版+解析)

这是一份浙教版七年级数学下册(培优特训)专项1.2平行线性质与判定(30道精选题)(原卷版+解析)，共59页。试卷主要包含了如图，已知，已知等内容，欢迎下载使用。

2．（2023春•海珠区校级期中）如图，某湖上风景区有两个观望点A，C和两个度假村B，D．度假村D在C正西方向，度假村B在C的南偏东30°方向，度假村B到两个观望点的距离都等于2km．
（1）在图中标出A，B，C，D的位置，并求道路CD与CB的夹角；
（2）如果度假村D到C是直公路，长为1km，D到A是环湖路，度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程．求出环湖路的长；
（3）根据题目中的条件，能够判定DC∥AB吗？若能，请写出判断过程；若不能，请你加上一个条件，判定DC∥AB．
3．（2023春•点军区校级期末）如图，E、F分别在AB、CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，EC⊥AF，垂足为G．
求证：AB∥CD．
4．（2016春•黄埔区期末）如图，∠BAP+∠APD＝180°，∠AOE＝∠1，∠FOP＝∠2．
（1）若∠1＝55°，求∠2的度数；
（2）求证：AE∥FP．
5．（春•牡丹区期末）如图，已知AC，BC分别平分∠QAB，∠ABN，且∠1与∠2互余，求证：PQ∥MN．
6．（2023秋•市北区期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．
7．（2023春•碑林区校级期中）如图，已知：CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，∠1＝∠2．
求证：DG∥BC．
8．（2023春•铁岭期中）如图所示，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3，DE和BC平行吗？如果平行，请说明理由．
9．（2023秋•浚县期末）如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：
①BD∥CE
②DF∥AC．
10．（2023春•黑山县期中）已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠AEF＝∠HLN，判断图中有哪些直线平行，并给予证明．
11．（2023春•洪山区期中）【学科融合】
物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：
在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（reflectinlaw）．
【数学推理】如图1，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD．
【尝试探究】两块平面镜OM，ON，且∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．
（1）如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC＝ ；
（2）如图3，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED＝β，则α与β之间满足的等量关系是 ．
12．（2023春•泰安期中）如图，直线a⊥b，垂足为O，△ABC与直线a、b分别交于点E、F，且∠C＝90°，EG、FH分别平分∠MEC和∠NFC．
（1）填空：∠OEC+∠OFC＝ ；
（2）求证：EG∥FH．
13．（2023春•西华县期中）如图，把一张长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝20°，那么∠BAF应为多少度时，才能使AB′∥BD？
14．（2023秋•城关区校级期末）问题情境：
（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作PE∥AB，请你接着完成解答
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？（提示：过点P作PE∥AD），请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你猜想∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．
15．（2023春•思明区校级期末）如图1，AB∥CD，E为AB上一点，点P在线段CE上，且PD∥CF．
（1）求证：∠AEC+∠DCF＝∠DPE；
（2）如图2，在线段CF上取点H，使∠HPF＝∠HFP，若CD平分∠ECF，PQ平分∠EPH，∠HPQ+∠AEC＝90°，试判断PF与EF的大小关系．
16．（2023春•武昌区期末）如图1，AB∥CD，点E在AB上，点H在CD上，点F在直线AB，CD之间，连接EF，FH，∠BEF＝α，∠FHD＝β．
（1）直接写出∠EFH的度数为 ；
（2）如图2，若HM平分∠CHF，MN平分∠BEF，证明：∠EFH+2∠M＝180°；
（3）如图3，若∠BEN＝∠BEF，∠MHC＝∠FHC，则∠M＝ ．（用含有n，α，β的式子表示）
17．（2023春•武汉期末）已知：点E在直线AB上，点F在直线CD上，AB∥CD．
（1）如图1，连EF，EP平分∠AEF，FP平分∠CFE，求∠P的度数．
（2）如图2，若∠EGF＝160°，射线EH，FH分别在∠AEG，∠CFG的内部，且∠EHF＝40°，当∠AEG＝4∠AEH时，求的值．
（3）如图3，在（1）的条件下，在直线CD上有一动点M（点M不与点F重合），EN平分∠MEF，若∠PEN＝α（0°＜α＜90°），请直接写出∠EMF＝ （结果用含α的式子表示）．
18．（2023秋•王益区期末）已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧．
（1）如图，若CE∥OA，∠NDE＝45°，则α＝ °；
（2）若∠MDC的平分线DF交OB边于点F，
①如图，当DF∥OA，且α＝60°时，试说明：CE∥OA；
②如图，当CE∥OA保持不变时，试求出∠OFD与α之间的数量关系．
19．（2023春•南山区校级期末）如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数．
（3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．
20．（2023春•广陵区期中）已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，若∠EAF＝30°，∠EDG＝40°，则∠AED＝
°；
（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；
（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°，求∠EKD的度数．
21．（2023秋•井研县期末）已知：如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD．
（1）若∠O＝50°，求∠BCD的度数；
（2）求证：CE平分∠OCA；
（3）当∠O为多少度时，CA分∠OCD成1：2两部分，并说明理由．
22．（2023春•前郭县期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝ ．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．
（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．
23．（2023春•兴宾区期末）已知直线l1∥l2，点A，C分别在l1，l2上，点B在直线l1，l2之间，且∠BCN＜∠BAM≤90°．
（1）如图①，求证：∠ABC＝∠BAM+∠BCN．
阅读并将下列推理过程补齐完整：
过点B作BG∥NC，因为l1∥l2，
所以AM∥ （ ）．
所以∠ABG＝∠BAM，∠CBG＝∠BCN（ ）．
所以∠ABC＝∠ABG+∠CBG＝∠BAM+∠BCN．
（2）如图②，点D，E在直线l1上，且∠DBC＝∠BAM，BE平分∠ABC．
求证：∠DEB＝∠DBE；
（3）在（2）的条件下，如果∠CBE的平分线BF与直线l1平行，试确定∠BAM与∠BCN之间的数量关系，并说明理由．
24．（2023春•桂林期末）已知：直线a∥b，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC交于点E．
（1）在如图1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数（提示：可过点E作EG∥AB）；
（2）在如图2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF交于点F，当∠ABC＝64°，∠ADC＝72°时，求∠BFD的度数．
（3）如图3，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于点F，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，用含有α，β的代数式表示∠BFD的补角．（直接写出结果即可）
25．（2023春•金牛区校级月考）已知，AB∥CD，CF平分∠ECD．
（1）如图1，若∠DCF＝25°，∠E＝20°，求∠ABE的度数．
（2）如图2，若∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，求∠ABE的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，P为射线BE上一点，H为CD上一点，PK平分∠BPH，HN∥PK，HM平分∠DHP，∠DHQ＝2∠DHN，求∠PHQ的度数．
26．（2023秋•青白江区期末）已知：射线OP∥AE
（1）如图1，∠AOP的角平分线交射线AE与点B，若∠BOP＝58°，求∠A的度数．
（2）如图2，若点C在射线AE上，OB平分∠AOC交AE于点B，OD平分∠COP交AE于点D，∠ADO＝39°，求∠ABO﹣∠AOB的度数．
（3）如图3，若∠A＝m，依次作出∠AOP的角平分线OB，∠BOP的角平分线OB1，∠B1OP的角平分线OB2，∠Bn﹣1OP的角平分线OBn，其中点B，B1，B2，…，Bn﹣1，Bn都在射线AE上，试求∠ABnO的度数．
27．（2023春•平阴县期末）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
（1）若∠E＝60°，则∠F＝ ；
（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
28．（2023春•北海期末）如图，已知AM∥BN，∠A＝60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是 ．
29．（秋•沙坪坝区校级期末）已知E、D分别在∠AOB的边OA、OB上，C为平面内一点，DE、DF分别是∠CDO、∠CDB的平分线．
（1）如图1，若点C在OA上，且FD∥AO，求证：DE⊥AO；
（2）如图2，若点C在∠AOB的内部，且∠DEO＝∠DEC，请猜想∠DCE、∠AEC、∠CDB之间的数量关系，并证明；
（3）若点C在∠AOB的外部，且∠DEO＝∠DEC，请根据图3、图4分别写出∠DCE、∠AEC、∠CDB之间的数量关系（不需证明）．
30．（2023春•渠县期末）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：∠BAN＝ °；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
（培优特训）专项1.2 平行线性质与判定（30道精选题）
1．（2023春•吉州区期末）如图，已知CD⊥DA，AB⊥DA，∠1＝∠2，试判断直线DF与AE关系，并说明理由．
【解答】DF∥AE，
证明：∵CD⊥DA于点D，AB⊥DA于点A，
∴∠CDA＝∠DAB＝90°，
∵∠1＝∠2．
∴∠3＝∠4，
∴DF∥AE．
2．（2023春•海珠区校级期中）如图，某湖上风景区有两个观望点A，C和两个度假村B，D．度假村D在C正西方向，度假村B在C的南偏东30°方向，度假村B到两个观望点的距离都等于2km．
（1）在图中标出A，B，C，D的位置，并求道路CD与CB的夹角；
（2）如果度假村D到C是直公路，长为1km，D到A是环湖路，度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程．求出环湖路的长；
（3）根据题目中的条件，能够判定DC∥AB吗？若能，请写出判断过程；若不能，请你加上一个条件，判定DC∥AB．
【解答】解：（1）如图所示，过C作CM⊥CD交AB与M，则∠DCM＝90°，∠MCB＝30°，
∴CD与CB的夹角为90°+30°＝120°；
（2）环湖路的长＝AB+BC﹣CD＝3km；
（3）不能判定DC∥AB．
加上的条件可以是：∠B＝60°．
证明：∵∠BCM＝30°，∠B＝60°，
∴∠CMB＝90°，即CM⊥AB．
又∵CM⊥CD，
∴DC∥AB．
3．（2023春•点军区校级期末）如图，E、F分别在AB、CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，EC⊥AF，垂足为G．
求证：AB∥CD．
【解答】证明：∵EC⊥AF，
∴∠1+∠C＝90°，
又∵∠2+∠C＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠D，
∴∠2＝∠D，
∴AB∥CD．
4．（2016春•黄埔区期末）如图，∠BAP+∠APD＝180°，∠AOE＝∠1，∠FOP＝∠2．
（1）若∠1＝55°，求∠2的度数；
（2）求证：AE∥FP．
【解答】（1）解：∵∠AOE＝∠1，∠FOP＝∠2
又∵∠AOE＝∠FOP（对顶角相等），
∴∠1＝∠2
∵∠1＝55°，
∴∠2＝55°；
（2）证明：∵∠BAP+∠APD＝180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠BAP＝∠APC（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2，
∴∠EAO＝∠FPO，
∴AE∥PF．
5．（2015春•牡丹区期末）如图，已知AC，BC分别平分∠QAB，∠ABN，且∠1与∠2互余，求证：PQ∥MN．
【解答】证明：∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2＝90°，
又∵AC，BC分别平分∠QAB，∠ABN，
∴∠BAQ＝2∠1，∠ABN＝2∠2，
∴∠BAQ+∠ABN＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝180°，
∴PQ∥MN（同旁内角互补，两直线平行）．
6．（2023秋•市北区期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）
∵∠1＝∠4（对顶角相等）
∴∠2+∠4＝180°（等量代换）
∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠3＝∠B（已知）
∴∠B＝∠ADE（等量代换）
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
7．（2023春•碑林区校级期中）如图，已知：CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，∠1＝∠2．
求证：DG∥BC．
【解答】证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDF+∠EFD＝180°，
∴CD∥EF，
∴∠2＝∠DCE，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DCE，
∴DG∥BC．
8．（2023春•铁岭期中）如图所示，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3，DE和BC平行吗？如果平行，请说明理由．
【解答】解；DE∥BC，理由如下：
∵∠1+∠2＝180°，∠1＝∠DFH，
∴∠2+∠DFH＝180°，
∴AB∥EH，
∴∠3+∠BDE＝180°，
∵∠B＝∠3，
∴∠B+∠BDE＝180°，
∴DE∥BC．
9．（2023秋•浚县期末）如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：
①BD∥CE
②DF∥AC．
【解答】证明：∵∠1＝∠4，∠1＝∠2，
∴∠2＝∠4，
∴BD∥CE，
∴∠C＝∠DBA，
∵∠C＝∠D，
∴∠D＝∠DBA，
∴AC∥DF．
10．（2023春•黑山县期中）已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠AEF＝∠HLN，判断图中有哪些直线平行，并给予证明．
【解答】解：AB∥CD，EF∥HL．理由如下：
∵∠1＝∠AMN，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2+∠AMN＝180°，
∴AB∥CD；
延长EF交CD与G，如图，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠EGN，
∵∠AEF＝∠HLN，
∴∠EGN＝∠HLN，
∴EF∥HL．
11．（2023春•洪山区期中）【学科融合】
物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：
在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（reflectinlaw）．
【数学推理】如图1，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD．
【尝试探究】两块平面镜OM，ON，且∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．
（1）如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC＝ ；
（2）如图3，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED＝β，则α与β之间满足的等量关系是 ．
【解答】解：如图1，∵OM⊥ON，
∴∠CON＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∠DCB+∠ABC＝180°，
AB∥CD；
【尝试探究】
（1）如图2，在△OBC中，∵∠MON＝α，
∴∠2+∠3＝180°﹣α，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠DCB＝180°﹣2∠3，∠ABC＝180°﹣2∠2，
∴∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD
＝180°﹣（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）
＝2（∠2+∠3）﹣180°
＝2（180°﹣a）﹣180°
＝180°﹣2α，
故答案为：180°﹣2α；
（2）如图4，B＝2a，
理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠ABC＝180°﹣2∠2，
∠BCD＝180°﹣2∠3，
∴∠D＝∠MBC﹣∠BCD
＝（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）
＝2（∠3﹣∠2）＝∠β，
∵∠BOC＝∠3﹣∠2＝a，
∴β＝2a．
故答案为：β＝2a．
12．（2023春•泰安期中）如图，直线a⊥b，垂足为O，△ABC与直线a、b分别交于点E、F，且∠C＝90°，EG、FH分别平分∠MEC和∠NFC．
（1）填空：∠OEC+∠OFC＝ ；
（2）求证：EG∥FH．
【解答】解：（1）在四边形OECF中
由∠C＝90°，a⊥b，
得∠OEC+∠OFC＝180°，
故答案为：180°；
（2）证明：在四边形OECF中
由∠C＝90°，a⊥b，
得∠OEC+∠OFC＝180°，
因为∠MEC＝180°﹣∠OEC，
∠NFC＝180°﹣∠OFC，
所以∠MEC+∠NFC＝（180°﹣∠OEC）+（180°﹣∠OFC）
＝360°﹣（∠OEC+∠OFC）
＝360°﹣180°＝180°，
因EG，FH分别平分∠MEC和∠NFC，
所以∠CEG＝∠MEC，∠CFH＝∠NFC，
所以∠CEG+∠CFH＝（∠MEC+∠NFC）＝×180°＝90°，
过C点作CD∥EG，
所以∠CEG＝∠DCE，
因为∠DCE+∠DCF＝90°，
∠CEG+∠CFH＝90°，
所以∠DCF＝∠CFH，
所以CD∥FH，
又因为CD∥EG，
所EG∥FH．
13．（2023春•西华县期中）如图，把一张长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝20°，那么∠BAF应为多少度时，才能使AB′∥BD？
【解答】解：∠BAF应为55度．
理由是：∵∠ADB＝20°，四边形ABCD是长方形，
∴∠ABD＝70°．
∵要使AB′∥BD，需使∠BAB′＝110°，
由折叠可知∠BAF＝∠B′AF，
∴∠BAF应为55度．
14．（2023秋•城关区校级期末）问题情境：
（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作PE∥AB，请你接着完成解答
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？（提示：过点P作PE∥AD），请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你猜想∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．
【解答】解：（1）过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠APC＝50°+60°＝110°；
（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
15．（2023春•思明区校级期末）如图1，AB∥CD，E为AB上一点，点P在线段CE上，且PD∥CF．
（1）求证：∠AEC+∠DCF＝∠DPE；
（2）如图2，在线段CF上取点H，使∠HPF＝∠HFP，若CD平分∠ECF，PQ平分∠EPH，∠HPQ+∠AEC＝90°，试判断PF与EF的大小关系．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠ECD，
∵PD∥CF，
∴∠PDC＝∠DCF，
∵∠DPE＝∠ECD+∠PDC，
∴∠DPE＝∠AEC+∠DCF；
（2）∵CD平分∠ECF，
∴∠ECF＝2∠ECD＝∠2FCD，
设∠ECD＝∠FCD＝α，则∠ECF＝2α，
设∠HPF＝∠HFP＝β，
∵PD∥CF，
∴∠EPD＝∠ECF＝2α，∠FPD＝∠PFH＝β，
∴∠HPD＝∠FPH+∠FPD＝β+β＝2β，
∴∠EPH＝∠EPD+∠HPD＝2α+2β，
∵PQ平分∠EPH，
∴∠HPQ＝＝α+β，
∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠ECD＝α，
∵∠HPQ+∠AEC＝90°，
∴（α+β）+α＝90°，
∴2α+β＝90°，
∴∠EPF+∠HFP＝90°，
∴∠EPF＝∠CPF＝90°，
∴PF＜EF．
16．（2023春•武昌区期末）如图1，AB∥CD，点E在AB上，点H在CD上，点F在直线AB，CD之间，连接EF，FH，∠BEF＝α，∠FHD＝β．
（1）直接写出∠EFH的度数为 ；
（2）如图2，若HM平分∠CHF，MN平分∠BEF，证明：∠EFH+2∠M＝180°；
（3）如图3，若∠BEN＝∠BEF，∠MHC＝∠FHC，则∠M＝ ．（用含有n，α，β的式子表示）
【解答】（1）解：过F点作FG∥AB，
∴∠BEF＝∠EFG，
∵AB∥CD，
∴FG∥CD，
∴∠GFH＝∠FHD，
∴∠EFH＝∠BEF+∠FHD，
∵∠BEF＝α，∠FHD＝β，
∴∠EFH＝α+β，
故答案为：α+β；
（2）证明：由（1）知：∠EFH＝∠BEF+∠FHD，
∵AB∥CD，
∴∠MAE＝∠AHD＝∠AHF+∠FHD，
∵∠M+∠MAE+∠AEM＝180°，∠AEM＝∠BEN，
∴∠M+∠AHF+∠FHD+∠BEN＝180°，
∵HM平分∠CHF，MN平分∠BEF，
∴∠AHF＝∠CHF，∠BEN＝∠BEF，
∵∠CHF＝180°﹣∠FHD，
∴∠AHF＝90°﹣∠FHD，
∴∠M+90°﹣∠FHD+∠FHD+∠BEF＝180°，即∠M+（∠FHD+∠BEF）＝90°，
∴∠M+∠EFH＝90°，
即∠EFH+2∠M＝180°；
（3）解：由（1）知：∠EFH＝∠BEF+∠FHD，
∵AB∥CD，
∴∠MAE＝∠AHD＝∠AHF+∠FHD，
∵∠M+∠MAE+∠AEM＝180°，∠AEM＝∠BEN，
∴∠M+∠AHF+∠FHD+∠BEN＝180°，
∵∠BEN＝∠BEF，∠MHC＝∠FHC，∠CHF＝180°﹣∠FHD，
∴∠AHF＝∠CHF＝（180°﹣∠FHD），
∴∠M+（180°﹣∠FHD）+∠FHD+∠BEF＝180°，即∠M+（∠FHD+∠BEF）＝×180°，
∴∠M+∠EFH＝，
∵∠EFH＝α+β，
∴∠M＝﹣（α+β）．
故答案为：﹣（α+β）．
17．（2023春•武汉期末）已知：点E在直线AB上，点F在直线CD上，AB∥CD．
（1）如图1，连EF，EP平分∠AEF，FP平分∠CFE，求∠P的度数．
（2）如图2，若∠EGF＝160°，射线EH，FH分别在∠AEG，∠CFG的内部，且∠EHF＝40°，当∠AEG＝4∠AEH时，求的值．
（3）如图3，在（1）的条件下，在直线CD上有一动点M（点M不与点F重合），EN平分∠MEF，若∠PEN＝α（0°＜α＜90°），请直接写出∠EMF＝ （结果用含α的式子表示）．
【解答】解：（1）如图1，过点P作GH∥AB，
∴∠EPH＝∠AEP．
∵AB∥CD，
∴GH∥CD．
∴∠FPH＝∠CFP．
∴∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP．即：∠EPF＝∠AEP+∠CFP，
∵EP、FP分别平分∠AEF和∠CEF，
∴∠AEF＝2∠AEG，∠CEF＝2∠CFG，
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∴2∠AEG+2∠CFG＝180°，
∴∠AEG+∠CFG＝90°，
∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP＝90°；
（2）如图2，过点G，H作GK∥AB，HL∥AB，
∵AB∥CD，
∴GK∥CD，HL∥CD，
∴∠AEH＝∠EHL．∠CFH＝∠LHF．∠AEG＝∠EGK．∠CFG＝∠FGK．
∵∠EGF＝∠EGK+∠FGK＝160°，∠EHF＝∠EHL+∠LHF＝40°，
∴∠EGF＝4（∠EHL+∠LHF），
∴∠EGK+∠FGK＝∠AEG+∠CFG＝4（∠AEH+∠HFC），
∵∠AEG＝4∠AEH，
∴∠CFG＝4∠HFC，
∴＝；
（3）如图3，
由题意可知：EN平分∠MEF，FP平分∠CFE，
∴∠MEN＝∠FEN，∠EFP＝∠CFP，
∵∠EPF＝∠FEP+∠EFP＝90°，∠PEN＝α
∴∠PEN+∠FEN+∠EFP＝α+∠FEN+∠EFP＝α+∠MEN+∠CFP＝90°，
∵∠ENM＝∠FEN+∠EFN＝∠FEN+∠EFP+∠CFP，
在△EMN中，∠EMN+∠ENM+∠MEN＝180°，
∴∠EMN+∠FEN+∠EFP+∠CFP+∠MEN＝180°，
∴∠EMN＝180°﹣（∠MEN+∠CFP）﹣（∠FEN+∠EFP），
∴∠EMF＝∠EMN＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α．
当M在F点右侧时，∠EMF＝180﹣2α．
故答案为：2α或180﹣2α．
18．（2023秋•王益区期末）已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧．
（1）如图，若CE∥OA，∠NDE＝45°，则α＝ °；
（2）若∠MDC的平分线DF交OB边于点F，
①如图，当DF∥OA，且α＝60°时，试说明：CE∥OA；
②如图，当CE∥OA保持不变时，试求出∠OFD与α之间的数量关系．
【解答】解：（1）如图，过点E作EF∥MN，
∴∠DEF＝∠NDE＝45°，
∵∠CED＝90°，
∴∠FEC＝45°，
∵MN∥OB，
∴EF∥OB，
∴∠BCE＝∠FCE＝45°，
∵AO∥CE，
∴∠AOB＝∠ECB＝45°，
则α＝45°，
故答案为：45；
（2）①∵DF∥OA，
∴∠DFC＝∠AOB＝α＝60°，
∵MN∥OB，
∴∠MDF＝∠DFC，
∵DF平分∠MDC，
∴∠CDF＝∠MDF＝60°，
在直角三角形DCE中，∠DCE＝60°，
∴∠CDF＝∠DCE，
∴CE∥DF，
∵DF∥OA，
∴CE∥OA；
②∵当CE∥OA保持不变时，总有∠ECB＝α，
在直角三角形DCE中，∠DCE＝60°，
∴∠DCB＝60°+α，
∵MN∥OB，
∴∠MDC＝∠DCB＝60°+α，且∠DFC＝∠MDF，
∵DF平分∠MDC，
∴，
∴．
19．（2023春•南山区校级期末）如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数．
（3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．
【解答】（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F，
∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°，
∴∠ACB＝∠CED，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠DFB，
∵∠A＝∠D，
∴∠DFB＝∠D，
∴AB∥CD；
（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥HN∥CD，
∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE，
∵BG平分∠ABE，
∴∠ABG＝ABE，
∵AB∥HN，
∴∠2＝∠ABG，
∵CF∥HN，
∴∠2+∠β＝∠3，
∴ABE+∠β＝∠3，
∵DH平分∠EDF，
∴∠3＝EDF，
∴ABE+∠β＝EDF，
∴∠β＝（∠EDF﹣∠ABE），
∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β，
设∠DEB＝∠α，
∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β，
∵∠DEB比∠DHB大60°，
∴∠α﹣60°＝∠β，
∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°）
解得∠α＝100°
∴∠DEB的度数为100°；
（3）∠PBM的度数不变，理由如下：
如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，
∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，
∴∠EBM＝∠MBK＝EBK，
∠CDN＝∠EDN＝CDE，
∵ES∥CD，AB∥CD，
∴ES∥AB∥CD，
∴∠DES＝∠CDE，
∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK，
∠G＝∠PBK，
由（2）可知：∠DEB＝100°，
∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°，
∴∠EBK﹣∠CDE＝80°，
∵BP∥DN，
∴∠CDN＝∠G，
∴∠PBK＝∠G＝∠CDN＝CDE，
∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK
＝∠EBK﹣CDE
＝（∠EBK﹣∠CDE）
＝80°
＝40°．
20．（2023春•广陵区期中）已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，若∠EAF＝30°，∠EDG＝40°，则∠AED＝ 70 °；
（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；
（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°，求∠EKD的度数．
【解答】解：（1）如图，延长DE交AB于H，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠AHE＝40°，
∵∠AED是△AEH的外角，
∴∠AED＝∠A+∠AHE＝30°+40°＝70°，
故答案为：70；
（2）∠EAF＝∠AED+∠EDG．
理由：∵AB∥CD，
∴∠EAF＝∠EHC，
∵∠EHC是△DEH的外角，
∴∠EHG＝∠AED+∠EDG，
∴∠EAF＝∠AED+∠EDG；
（3）∵∠EAI：∠BAI＝1：2，
∴设∠EAI＝α，则∠BAE＝3α，
∵∠AED＝22°，∠I＝20°，∠DKE＝∠AKI，
又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK＝180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI＝180°，
∴∠EDK＝α﹣2°，
∵DI平分∠EDC，
∴∠CDE＝2∠EDK＝2α﹣4°，
∵AB∥CD，
∴∠EHC＝∠EAF＝∠AED+∠EDG，
即3α＝22°+2α﹣4°，
解得α＝18°，
∴∠EDK＝16°，
∴在△DKE中，∠EKD＝180°﹣16°﹣22°＝142°．
21．（2023秋•井研县期末）已知：如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD．
（1）若∠O＝50°，求∠BCD的度数；
（2）求证：CE平分∠OCA；
（3）当∠O为多少度时，CA分∠OCD成1：2两部分，并说明理由．
【解答】解：（1）∵AB∥ON
∴∠O＝∠MCB（两直线平行，同位角相等）
∵∠O＝50°
∴∠MCB＝50°
∵∠ACM+∠MCB＝180°（平角定义）
∴∠ACM＝180°﹣50°＝130°
又∵CD平分∠ACM
∴∠DCM＝65°（角平分线定义）
∴∠BCD＝∠DCM+∠MCB＝65°+50°＝115°
（2）证明：∵CE⊥CD
∴∠DCE＝90°
∴∠ACE+∠DCA＝90°
又∵∠MCO＝180°（平角定义）
∴∠ECO+∠DCM＝90°
∵∠DCA＝∠DCM
∴∠ACE＝∠ECO（等角的余角相等）
即CE平分∠OCA
（3）结论：当∠O＝36°或90°时，CA分∠OCD成1：2两部分
①当∠O＝36°时
∵AB∥ON
∴∠ACO＝∠O＝36°
∴∠ACM＝144°
又∵CD平分∠ACM
∴∠ACD＝72°
∴∠ACO＝∠ACD
即CA分∠OCD成1：2两部分
②当∠O＝90°时
∵AB∥ON
∴∠ACO＝∠O＝90°
∴∠ACM＝90°
又∵CD平分∠ACM
∴∠ACD＝45°
∴∠ACD＝∠ACO
即CA分∠OCD成1：2两部分
22．（2023春•前郭县期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝ ．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．
（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．
【解答】解：过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠APC＝50°+60°＝110°，
故答案为：110°；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
23．（2023春•兴宾区期末）已知直线l1∥l2，点A，C分别在l1，l2上，点B在直线l1，l2之间，且∠BCN＜∠BAM≤90°．
（1）如图①，求证：∠ABC＝∠BAM+∠BCN．
阅读并将下列推理过程补齐完整：
过点B作BG∥NC，因为l1∥l2，
所以AM∥ （ ）．
所以∠ABG＝∠BAM，∠CBG＝∠BCN（ ）．
所以∠ABC＝∠ABG+∠CBG＝∠BAM+∠BCN．
（2）如图②，点D，E在直线l1上，且∠DBC＝∠BAM，BE平分∠ABC．
求证：∠DEB＝∠DBE；
（3）在（2）的条件下，如果∠CBE的平分线BF与直线l1平行，试确定∠BAM与∠BCN之间的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）解：如图①，过点B作BG∥MC，因为l1∥l2，
所以AM∥BG（平行于同一条直线的两条直线平行）．
所以∠ABG＝∠BAM，∠CBG＝∠BCN（两直线平行，内错角相等）．
所以∠ABC＝∠ABG+∠CBG＝∠BAM+∠BCN．
故答案为：BG，平行于同一条直线的两条直线平形，两直线平行，内错角相等；
（2）证明：如图②，过点B作BG∥NC，因为l1∥l2，
所以AM∥BG，
所以∠DEB＝∠EBG，∠CBG＝∠BCN，
由（1）知：∠ABC＝∠BAM+∠BCN．
又∠DBC＝∠BAM，
所以∠ABC＝∠DBC+∠BCN．
因为∠ABC＝∠ABD+∠DBC．
所以∠ABD＝∠BCN，
所以∠ABD＝∠CBG，
因为BE平分∠ABC．
所以∠ABE＝∠EBC，
所以∠DBE＝∠EBG，
所以∠DEB＝∠DBE；
（3）解：∠BAM＝3∠BCN，理由如下：
因为∠DBC＝∠DBE+∠EBF+∠FBC，BF∥AM，
所以∠EBF＝∠DEB，
因为BF平分∠CBE，
所以∠CBF＝∠EBF，
由（2）知：∠DEB＝∠DBE，
所以∠DBC＝3∠FBC，
因为CN∥l1，
所以CN∥BF，
所以∠FBC＝∠BCN，∠DBC＝3∠BCN，
而∠BAM＝∠DBC，
所以∠BAM＝3∠BCN．
24．（2023春•桂林期末）已知：直线a∥b，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC交于点E．
（1）在如图1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数（提示：可过点E作EG∥AB）；
（2）在如图2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF交于点F，当∠ABC＝64°，∠ADC＝72°时，求∠BFD的度数．
（3）如图3，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于点F，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，用含有α，β的代数式表示∠BFD的补角．（直接写出结果即可）
【解答】解：（1）过点E作EG∥AB，
∵a∥b，
∴EG∥CD，
∴∠ABE＝∠BEG，∠CDE＝∠DEG，
∴∠ABE+∠CDE＝∠BEG+∠DEG＝∠BED，
∵AD⊥BC，
∴∠ABE+∠CDE＝∠BED＝90°；
（2）如图，过点F作FH∥AB，
∵a∥b，
∴FH∥CD，
∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，
∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝∠BFH+∠DFH，
∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝64°，∠ADC＝72°，
∴∠ABF＝ABC＝32°，∠CDF＝ADC＝36°，
∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝68°；
（3）如图，过点F作FH∥AB，
∵a∥b，
∴FQ∥CD，
∴∠ABF+∠BFQ＝180°，∠CDF＝∠DFQ，
∴∠BFD＝∠BFQ+∠DFQ＝180°﹣∠ABF+∠CDF
∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，
∴∠ABF＝ABC＝，∠CDF＝ADC＝，
∴∠BFD＝180°﹣∠ABF+∠CDF＝180°﹣+，
∴∠BFD的补角＝﹣．
25．（2023春•金牛区校级月考）已知，AB∥CD，CF平分∠ECD．
（1）如图1，若∠DCF＝25°，∠E＝20°，求∠ABE的度数．
（2）如图2，若∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，求∠ABE的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，P为射线BE上一点，H为CD上一点，PK平分∠BPH，HN∥PK，HM平分∠DHP，∠DHQ＝2∠DHN，求∠PHQ的度数．
【解答】解：（1）如图1，
过点E作ER∥AB，
∵AB∥CD，
∴ER∥CD，
∵∠DCF＝25°，∠E＝20°，
∵CF平分∠ECD，∴∠DCF＝∠FCE＝25°，
∴∠CER＝∠DCE＝2∠DCF＝50°，
∴∠BER＝∠CER﹣∠CEB＝30°，
∴∠ABE＝∠BER＝30°
答：∠ABE的度数为30°．
（2）如图2，分别过点E、F作AB的平行线ET、FL，
∵∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，
设∠ABF＝α，则∠EBF＝2α，
∴∠ABE＝3α，∴∠BET＝∠ABE＝3α，
设∠CEB＝β，
则∠DCE＝∠CET＝∠CEB+∠BET＝3α+β，
∵CF平分∠ECD，
∴∠DCF＝∠FCE＝，
∴∠CFL＝，∠BFL＝∠ABF＝α，
∴∠CFB＝∠CFL﹣∠BFL＝，
∴2×+180﹣β＝190，
∴α＝10，
∴∠ABE＝30°．
答：∠ABE的度数为30°．
（3）如图3，过点P作PJ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PJ∥CD，
∵PK平分∠BPH，
∴∠KPH＝∠KPB＝x，
∵HN∥PK，
∴∠NHP＝x，
设∠MHN＝y，
∴∠MHP＝x+y，
∵HM平分∠DHP，
∴∠DHM＝∠MHP＝x+y，
∵∠DHQ＝2∠DHN，
∴∠DHQ＝2（x+y+y）＝2x+4y，
∴∠PHQ＝∠DHQ﹣∠DHP＝（2x+4y）﹣（2x+2y）＝2y，
∴∠HPJ＝∠DHP＝2x+2y，
∴∠BPJ＝∠ABE＝30°＝2y，
∴∠PHQ＝30°
答：∠PHQ的度数为30°．
26．（2023秋•青白江区期末）已知：射线OP∥AE
（1）如图1，∠AOP的角平分线交射线AE与点B，若∠BOP＝58°，求∠A的度数．
（2）如图2，若点C在射线AE上，OB平分∠AOC交AE于点B，OD平分∠COP交AE于点D，∠ADO＝39°，求∠ABO﹣∠AOB的度数．
（3）如图3，若∠A＝m，依次作出∠AOP的角平分线OB，∠BOP的角平分线OB1，∠B1OP的角平分线OB2，∠Bn﹣1OP的角平分线OBn，其中点B，B1，B2，…，Bn﹣1，Bn都在射线AE上，试求∠ABnO的度数．
【解答】解：（1）如图1，∵OP∥AE，
∴∠A＝∠1，
∵∠BOP＝58°，OB是∠AOP的角平分线，
∴∠AOP＝2∠BOP＝116°
∴∠1＝180°﹣116°＝64°，
∴∠A＝∠1＝64°；
（2）如图2，
∵OP∥AE，
∴∠POD＝∠ADO＝39°，
∵OB平分∠AOC，
∴∠AOB＝∠BOC，
∵OD平分∠COP，
∴∠COP＝2∠DOP＝78°，
∴∠ABO﹣∠AOB＝∠COP＝78°；
（3）如图3，由（1）可知，∠ABO＝（180°﹣m），∠AB1O＝（180°﹣∠OBB1）＝∠ABO＝（180°﹣m），∠AB2O＝（180°﹣m），…
则∠ABnO＝．
27．（2023春•平阴县期末）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
（1）若∠E＝60°，则∠F＝ ；
（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
【解答】解：（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，
∴EM∥AB∥FN，
∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，
又∵AB∥CD，AB∥FN，
∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN＝180°，
又∵∠D＝120°，
∴∠DFN＝60°，
∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，
∴∠EFD＝∠MEF+60°
∴∠EFD＝∠BEF+30°＝90°；
故答案为：90°；
（2）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，
∴EM∥AB∥FN，
∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，
又∵AB∥CD，AB∥FN，
∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN＝180°，
又∵∠D＝120°，
∴∠DFN＝60°，
∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，
∴∠EFD＝∠MEF+60°，
∴∠EFD＝∠BEF+30°；
（3）如图2，过点F作FH∥EP，
由（2）知，∠EFD＝∠BEF+30°，
设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°，
∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，
∴∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+15）°，
∵FH∥EP，
∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，
∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝15°，
∴∠P＝15°．
28．（2023春•北海期末）如图，已知AM∥BN，∠A＝60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是 ．
【解答】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝120°，
∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP＝∠ABP，∠DBP＝∠NBP，
∴∠CBD＝∠ABN＝60°；
（2）不变化，∠APB＝2∠ADB．
证明：∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，
∠ADB＝∠DBN，
又∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB＝2∠ADB；
（3）∵AD∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
又∵∠ACB＝∠ABD，
∴∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可得，∠CBD＝60°，∠ABN＝120°，
∴∠ABC＝（120°﹣60°）＝30°，
故答案为：30°．
29．（秋•沙坪坝区校级期末）已知E、D分别在∠AOB的边OA、OB上，C为平面内一点，DE、DF分别是∠CDO、∠CDB的平分线．
（1）如图1，若点C在OA上，且FD∥AO，求证：DE⊥AO；
（2）如图2，若点C在∠AOB的内部，且∠DEO＝∠DEC，请猜想∠DCE、∠AEC、∠CDB之间的数量关系，并证明；
（3）若点C在∠AOB的外部，且∠DEO＝∠DEC，请根据图3、图4分别写出∠DCE、∠AEC、∠CDB之间的数量关系（不需证明）．
【解答】解：（1）如图1，∵DE、DF分别是∠CDO、∠CDB的平分线，
∴∠CDF＝∠CDB，∠CDE＝∠CDO，
∴∠EDF＝（∠CDB+∠CDO）＝90°，
又∵DF∥AO，
∴∠AED＝90°，
∴DE⊥AO；
（2）如图2，连接OC，
∵∠DEO＝∠DEC，∠EDO＝∠EDC，
∴∠DOE＝∠DCE，
∵∠CDB是△COD的外角，∠AEC是△COE的外角，
∴∠CDB＝∠COD+∠OCD，∠AEC＝∠EOC+∠ECO，
∴∠CDB+∠AEC＝∠COD+∠OCD+∠EOC+∠ECO＝2∠DCE；
（3）图3中，∠CDB＝∠AEC+2∠DCE；图4中，∠AEC＝∠CDB+2∠DCE．理由：
如图3，∵∠DEO＝∠DEC，∠EDO＝∠EDC，
∴∠DOE＝∠DCE，
∵∠CDB是△ODG的外角，
∴∠CDB＝∠DOG+∠DGO，
∵∠DGO是△CEG的外角，
∴∠DGO＝∠AEC+∠C，
∴∠CDB＝∠DOG+∠AEC+∠C＝∠AEC+2∠DCE；
如图4，∵∠DEO＝∠DEC，∠EDO＝∠EDC，
∴∠DOE＝∠DCE，
∵∠AEC是△OEH的外角，
∴∠AEC＝∠DOE+∠OHE，
∵∠OHE是△CDH的外角，
∴∠OHE＝∠CDB+∠C，
∴∠AEC＝∠DOE+∠CDB+∠C＝∠CDB+2∠DCE．
30．（2023春•渠县期末）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：∠BAN＝ °；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，
∴∠BAN＝180°×＝60°，
故答案为：60；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜90时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD
∴2t＝1•（30+t），
解得 t＝30；
②当90＜t＜150时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA
∴∠PBD+∠CAN＝180°
∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，
解得 t＝110，
综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．
理由：设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣2t，
∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，
又∵∠ABC＝120°﹣t，
∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，
∴∠BAC：∠BCD＝2：1，
即∠BAC＝2∠BCD，
∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．