2024年上海市闵行区高考数学二模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年上海市闵行区高考数学二模试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设a∈R，则“a2>1”是“a3>1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
2.已知y=f(x)，x∈R为奇函数，当x>0时，f(x)=lg2x−1，则集合{x|f(−x)−f(x)<0}可表示为( )
A. (2,+∞)B. (−∞,−2)
C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−2,0)∪(2,+∞)
3.某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表：
假设H0：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.
通过计算统计量χ2，得χ2≈7.468，根据χ2分布概率表：
P(χ2≥6.635)≈0.01，P(χ2≥5.024)≈0.025，
P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥2.706)≈0.1.
给出下列3个命题，其中正确的个数是( )
①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于5%
②有99%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关
③χ2分布概率表中的0.05、0.01等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
4.已知f(x)=sinx，集合D=[−π2,π2]，Γ={(x,y)|2f(x)+f(y)=0,x,y∈D}，Ω={(x,y)|2f(x)+f(y)≥0,x,y∈D}.
关于下列两个命题的判断，说法正确的是( )
命题①：集合Γ表示的平面图形是中心对称图形
命题②：集合Ω表示的平面图形的面积不大于5π212
A. ①真命题；②假命题B. ①假命题；②真命题
C. ①真命题；②真命题D. ①假命题；②假命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.集合A={x|2x+1≤0}，B={−2,−1,0}，则A∩B=______.
6.已知复数z满足(2+i)z=3+4i(i为虚数单位)，则|z|=______.
7.始边与x轴的正半轴重合的角α的终边过点(3,−4)，则sin(α+π)=______.
8.(2x−1)6的展开式中含x3的项的系数为______.
9.已知正数a、b满足a+2b=1，则ab的最大值是______.
10.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2=3，a5=81，则S5=______.
11.五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有______.
12.函数y=2x−x在x=1处的切线方程为______.
13.已知a、b是空间中两个互相垂直的单位向量，向量c满足|c|=3，且c⋅a=c⋅b=1，当λ取任意实数时，|c−λ(a+b)|的最小值为______.
14.双曲线Γ:x2−y26=1的左右焦点分别为F1、F2，过坐标原点的直线与Γ相交于A、B两点，若|F1B|=2|F1A|，则F2A⋅F2B=______.
15.对于任意的x1、x2∈R，且x2>0，不等式|ex1−x1|+|lnx2−x2|>a恒成立，则实数a的取值范围为______.
16.已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形.例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形.当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成______个等边三角形.
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
在锐角△ABC中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且2bsinA− 3a=0.
(1)求角B；
(2)求sinA+sinC的取值范围.
18.(本小题14分)
如图，已知ABCD为等腰梯形，AD//BC，∠BAD=120∘，PA⊥平面ABCD，AB=AD=AP=2.
(1)求证：PC⊥AB；
(2)求二面角C−BP−A的大小.
19.(本小题14分)
ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个.
(1)求小张能全部回答正确的概率；
(2)求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；
(3)在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差.
20.(本小题18分)
如图，已知椭圆C1:x24+y2=1和抛物线C2:x2=2py(p>0)，C2的焦点F是C1的上顶点，过F的直线交C2于M、N两点，连接NO、MO并延长之，分别交C1于A、B两点，连接AB，设△OMN、△OAB的面积分别为S△OMN、S△OAB.
(1)求p的值；
(2)求OM⋅ON的值；
(3)求S△OMNS△OAB的取值范围.
21.(本小题18分)
已知定义在(0,+∞)上的函数y=f(x)的表达式为f(x)=sinx−xcsx，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列{xn}(n≥1,n∈N).
(1)求函数y=f(x)在区间(0,π)上的值域；
(2)求证：函数y=f(x)在区间(nπ,(n+1)π)(n≥1,n∈N)上有且仅有一个零点；
(3)求证：π答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查充分必要条件的定义，解题的关键是能够正确求解不等式，此题是一道基础题.
根据已知条件a∈R，“a2>1，解出a>1或a<−1，再根据充分必要条件的定义进行判断.
【解答】
解：∵a∈R，“a2>1，∴a>1或a<−1；
a3>1，可得a>1，
∵a>1⇒a>1或a<−1；
∴“a2>1”是“a3>1”必要不充分条件；
故选B.
2.【答案】D
【解析】解：因为y=f(x)，x∈R为奇函数，当x>0时，f(x)=lg2x−1，
当x<0时，−x>0，可得f(−x)=lg2(−x)−1=−f(x)，即x<0时，f(x)=−lg2(−x)+1，
所以f(−x)−f(x)<0，即−2f(x)<0，可得f(x)>0，
当x>0时，lg2x−1>0，可得x>2；
当x<0时，−lg2(−x)+1>0，可得−2故集合{x|f(−x)−f(x)<0}=(−2,0)∪(2,+∞).
故选：D.
根据函数的奇偶性求得x<0时，f(x)=−lg2(−x)+1，再分别求解不等式即可得到结论．
本题主要考查函数奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为χ2≈7.468>6.635，
所以有99%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关，即“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于1%，
故①②正确，
χ2分布概率表中的0.05、0.01等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生，故③正确．
故选：D.
根据χ2≈7.468与临界值比较即可得出结论．
本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：对于①，f(x)=sinx，集合D=[−π2,π2]，显然该函数为奇函数，所以f(x)，f(y)都是奇函数，
则曲线2f(x)+f(y)=0必关于(0,0)对称，即集合Γ表示的平面图形是中心对称图形，①正确；
对于②，如图：
阴影部分是由x=±π2与y=±π2围成的正方形的一半，故面积为π22>5π212，②错误．
故选：A.
根据函数的奇偶性、判断命题①，再结合对称性计算阴影部分的面积判断命题②．
本题考查三角函数的奇偶性与对称性，属于中档题．
5.【答案】{−2,−1}
【解析】解：集合A={x|2x+1≤0}={x|x≤−12}，B={−2,−1,0}，
A∩B={−2,−1}.
故答案为：{−2,−1}.
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
6.【答案】 5
【解析】解：由(2+i)z=3+4i得z=3+4i2+i=(3+4i)(2−i)(2+i)(2−i)=10+5i5=2+i，
所以|z|= 4+1= 5.
故答案为： 5.
根据复数的除法运算和模的定义求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
7.【答案】45
【解析】解：始边与x轴的正半轴重合的角α的终边过点(3,−4)，
则sinα=−4 32+(−4)2=−45，
故sin(α+π)=−sinα=45.
故答案为：45.
结合三角函数的诱导公式，以及任意角的三角函数的定义，即可求解．
本题主要考查三角函数的诱导公式，以及任意角的三角函数的定义，属于基础题．
8.【答案】−160
【解析】【分析】
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中含x3的项的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
【解答】
解：(2x−1)6的展开式的通项公式为Tr+1=C6r⋅(−1)r⋅(2x)6−r，令6−r=3，可得r=3，
故展开式中含x3的项的系数为−C63⋅23=−160，
故答案为：−160.
9.【答案】18
【解析】解：正数a、b，则a+2b=1≥2 2ab，故ab≤18，
当且仅当a=2b，即a=12，b=14时等号成立．
故答案为：18.
直接利用均值不等式计算得到答案．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
10.【答案】121
【解析】解：等比数列{an}中，a2=3，a5=81，
则q3=a5a2=27，即q=3，
所以a1=1，
则S5=1−351−3=121.
故答案为：121.
由已知结合等比数列的性质及求和公式即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质及求和公式，属于基础题．
11.【答案】96
【解析】解：根据题意，甲工程队不能承建1号子项目，则有4种方法，
其他4个工程队分别对应4个子项目，有A44种情况，
根据乘法原理，分析可得有C41A44=96种情况；
故答案为：96.
依题意，优先分析甲甲工程队，除1号子项目外有4种方法，其他4个工程队分别对应4个子项目，由排列公式可得其情况数目，根据乘法原理，分析可得答案．
本题考查排列、组合的应用，注意优先分析受到限制的元素．
12.【答案】3x+y−4=0
【解析】解：x=1代入y=2x−x得y=1，y′=−2x2−1，可得k=−3，所以切线方程为y−1=−3(x−1)，即3x+y−4=0.
故答案为：3x+y−4=0.
先求出切点坐标，再求导数得到斜率，可得结果．
本题主要考查利用导数求切线方程，属于中档题．
13.【答案】 7
【解析】解：由题意可知：|a|=|b|=1,a⋅b=0，
又|c|=3，且c⋅a=c⋅b=1，
则|c−λ(a+b)|2=c2+λ2a2+λ2b2−2λa⋅c−2λb⋅c+λ2a⋅b
=2λ2−4λ+9=2(λ−1)2+7，
故当λ=1时，|c−λ(a+b)|有最小值为 7.
故答案为： 7.
由已知可得|a|=|b|=1,a⋅b=0，展开|c−λ(a+b)|2，利用配方法求其最小值即可．
本题考查平面向量的数量积运算，考查利用配方法求二次式的最值，属中档题．
14.【答案】4
【解析】解：双曲线Γ:x2−y26=1的a=1，b= 6，c= 7，
设B在第一象限，A在第四象限，设|AF1|=m，|F1B|=n，
由题意可得n=2m，
由|OA|=|OB|，|OF1|=|OF2|，可得四边形BF1AF2是平行四边形，
则||F1A|=|F2B|=m，
由双曲线的定义，可得|BF1|−|BF2|=2a=2，即n−m=2，即有m=2，n=4，
在△BF1F2中，由余弦定理可得cs∠F1BF2=42+22−(2 7)22×4×2=−12，
即有cs∠AF2B=12，
则F2A⋅F2B=|F1B|⋅|F2B|⋅cs∠AF2B=4×2×12=4.
故答案为：4.
推得四边形BF1AF2是平行四边形，再由双曲线的定义和平行四边形的性质，推得平行四边形的邻边的长，由余弦定理和向量数量积的定义，可得所求值．
本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及平行四边形的性质、余弦定理的运用和向量数量积的定义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
15.【答案】(−∞,2)
【解析】解：令f(x)=ex−x，x>0，
则f′(x)=ex−1，
所以当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
所以f(x)min=f(0)=1>0，
所以ex−x>0；
令g(x)=lnx−x(x>0)，
所以g′(x)=1x−1=1−xx，
所以当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，f(x)单调递减；
所以g(x)max=g(1)=−1<0，
所以−g(x)≥1，
又因为对于任意的x1、x2∈R，且x2>0，不等式|ex1−x1|+|lnx2−x2|>a恒成立，
即对于任意的x1、x2∈R，且x2>0，不等式|f(x1)|+|g(x2)|>a恒成立，
即f(x1)−g(x2)>a恒成立，
所以[f(x1)−g(x2)]min>a，
即1+1>a，a<2，
所以a的取值范围为：(−∞,2).
故答案为：(−∞,2).
利用导数求得f(x)min=1，g(x)max=−1，结合题意可得f(x1)−g(x2)>a恒成立，即[f(x1)−g(x2)]min>a，代入两函数的最值即可得答案．
本题考查了导数的综合运用、转化思想，属于中档题．
16.【答案】20
【解析】解：正四面体的每一个面向外作一个正四面体，此时是增加一个点，增加正三角形3个，新增加的4个点，又是1个正四面体，
所以当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成4+3×4+4=20.
故答案为：20.
利用已知条件，判断求解空间中这8个点最多可连接成等边三角形的个数．
本题考查空间想象能力，发现问题解决问题的能力，是基础题．
17.【答案】解：(1)∵2bsinA− 3a=0，
∴2sinAsinB− 3sinA=0，
又∵sinA≠0，
∴sinB= 32，
∵△ABC为锐角三角形，
∴B=π3；
(2)∵△ABC为锐角三角形，B=π3，
∴A∈(0,π2)2π3−A∈(0,π2)，解得A∈(π6,π2)，
∴A+π6∈(π3,2π3)，可得sin(A+π6)∈( 32,1],
则sinA+sinC=sinA+sin(2π3−A)=32sinA+ 32csA= 3sin(A+π6)∈(32, 3],
∴sinA+sinC的取值范围是(32, 3].
【解析】(1)利用正弦定理化简已知等式可求sinB= 32，结合B为锐角，即可求解B的值；
(2)由题意可求得A∈(π6,π2)，可得A+π6∈(π3,2π3)，可得sin(A+π6)∈( 32,1],利用三角函数恒等变换的应用化简可求sinA+sinC= 3sin(A+π6)，即可得解sinA+sinC的取值范围．
本题考查了正弦定理，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.【答案】(1)证明：连接AC，
∵ABCD为等腰梯形，AD//BC，∠BAD=120∘，AB=AD=2，
∴BC=4,AC=2 3，
∴AB2+AC2=BC2，即AB⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB，
又AC∩PA=A，∴AB⊥平面PAC，
∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥AB.
(2)解：取PB的中点H，连接CH、AH，则AH⊥PB，
∵PC= PA2+AC2=4=BC，∴CH⊥PB，
∴∠CHA为二面角C−BP−A的平面角，
∵PA⊥平面ABCD，且AC⊂平面ABCD，
∴PA⊥AC，
由(1)知AB⊥AC，
又PA∩AB=A，
∴AC⊥平面PAB，
∵AH⊂平面PAB，∴AC⊥AH，
在Rt△AHC中，AC=2 3，AH=12PB= 2，
∴tan∠CHA=ACAH=2 3 2= 6，
∴二面角C−BP−A的大小为arctan 6.
【解析】(1)连接AC，利用勾股定理可证AB⊥AC，由PA⊥平面ABCD，知PA⊥AB，从而有AB⊥平面PAC，再由线面垂直的性质定理，即可得证；
(2)取BP的中点H，连接CH、AH，先证AH⊥PB，CH⊥PB，从而知∠CHA即为所求，再由三角函数的知识，求解即可．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，二面角的定义与求法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)设小张答对的题数为X，则P(X=9)=C99C109=110.
(2)设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件B表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，
由题意知P(A−)=0.1，P(B|A)=0.98，P(B|A−)=0.18，
则P(A)=1−P(A−)=0.9，
P(B)=P(B∩A)+P(B∩A−)=P(B|A)P(A)+P(B|A−)P(A−)
=0.98×0.9+0.18×0.1=0.9.
(3)设小张答对的题数为X，则X的可能取值是8、9，
且P(X=8)=C98C11C109=910，P(X=9)=C99C109=110，
则E(X)=8×910+9×110=8.1，
D(X)=(8−8110)2×910+(9−8110)2×110=0.09，
设ChatGPT答对的题数为Y，则Y服从二项分布B(9,910)，
则E(Y)=np=9×0.9=8.1，
D(Y)=npq=9×0.9×0.1=0.81.
【解析】(1)由古典概型概率公式即可求解；
(2)由全概率公式求解即可；
(3)设小张答对的题数为X，则X的可能取值是8、9，求出对应的概率，可得小张答对题数的期望和方差，设ChatGPT答对的题数为Y，则Y服从二项分布B(9,910)，由二项分布的期望和方差公式求解即可．
本题主要考查概率的求法，离散型随机变量的期望和方差，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)抛物线C2的焦点为F(0,1)，故p=2.
(2)若直线MN与y轴重合，则该直线与抛物线C2只有一个公共点，不合乎题意，
所以，直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+1，点M(x1,y1)、N(x2,y2)，
联立x2=4yy=kx+1，可得x2−4kx−4=0，
Δ=16k2+16>0恒成立，则x1x2=−4，
OM⋅ON=x1x2+y1y2=x1x2+x124x224=−4+1=−3.
(3)设直线NO、MO的斜率分别为k1、k2，其中k1>0，k2<0，
联立x24+y2=1y=k1x，可得(4k12+1)x2=4，解得x=±2 4k12+1，
点A在第三象限，则xA=−2 4k12+1，
点B在第四象限，同理可得xB=2 4k22+1，
且k1k2=y1y2x1x2=x1x216=−14，
S△OMNS△OAB=|OM|⋅|ON||OB|⋅|OA|=|x1|⋅|x2|2 4k12+1⋅2 4k22+1
= (4k12+1)(4k22+1)= 4k12+14k12+2
≥ 2 4k12⋅14k12+2=2，
当且仅当k1=12时，等号成立．
∴S△OMNS△OAB的取值范围为[2,+∞).
【解析】(1)根据题意即可求出p的值．
(2)设直线MN的方程为y=kx+1，点M(x1,y1)、N(x2,y2)，联立直线与抛物线，即可得出OM⋅ON的值．
(3)联立直线与椭圆方程，根据点所在象限和均值不等式，即可得出答案．
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由f′(x)=csx−(csx−xsinx)=xsinx，
当x∈(0,π)时，f′(x)>0，即函数y=f(x)在区间(0,π)上是严格增函数，
且f(0)=0，f(π)=π，
所以f(x)在区间(0,π)上的值域为(0,π).
(2)证明：当x∈(nπ,(n+1)π)(n≥1,n∈N)时，f′(x)=csx−(csx−xsinx)=xsinx，
①当n是奇数时，f′(x)<0，
函数y=f(x)在区间(nπ,(n+1)π)上是严格减函数；
②当n是偶数时，f′(x)>0，
函数y=f(x)在区间(nπ,(n+1)π)上是严格增函数；
且f(nπ)=(−1)n−1nπ，故f(nπ)⋅f((n+1)π)=−n(n+1)π2<0，
所以由零点存在定理可知，
函数y=f(x)在区间(nπ,(n+1)π)(n≥1,n∈N)上有且仅有一个零点．
(3)证明：由(2)可知函数f(x)在(nπ,(n+1)π)(n≥1,n∈N)上有且仅有一个零点xn，
且满足f(xn)=sinxn−xncsxn=0，即tanxn=xn.
又因为f(nπ+π2)=(−1)n，故f(nπ)⋅f(nπ+π2)=−nπ<0，
所以由零点存在性定理可知，
函数y=f(x)在(nπ,nπ+π2)上有且仅有一个零点xn，
于是xn+π,xn+1∈((n+1)π,(n+1)π+π2)，xn+1−(xn+π)∈(−π2,π2)，
tan(xn+1−(xn+π))=tan(xn+1−xn)=tanxn+1−tanxn1+tanxn+1⋅tanxn=xn+1−xn1+xn+1⋅xn，
①因为xn+1−xn>0，得tan(xn+1−(xn+π))>0，
所以xn+1−(xn+π)>0，即π(或者tanxn+1−tan(xn+π)=tanxn+1−tanxn=xn+1−xn>0⇒tanxn+1>tan(xn+π)⇒xn+1−xn>π)
②因为tan(xn+1−(xn+π))=xn+1−xn1+xn+1⋅xn<32πxn2<32πn2π2=32n2π<πn，
由(1)可知，当x∈(0,π2)时，有x故xn+1−(xn+π)由①②可知π【解析】(1)求得f(x)的导数，判断f(x)的单调性，可得所求值域；
(2)讨论n为奇数，或偶数时，f(x)的单调性，结合函数零点存在定理，可得证明；
(3)由(2)可知函数f(x)在(nπ,(n+1)π)(n≥1,n∈N)上有且仅有一个零点xn，再由零点存在定理、以及正切函数的性质和不等式的性质，可得证明．
本题考查数列与函数的综合，以及导数的运用：求单调性，考查分类讨论思想、转化思想和运算能力，属于难题．不吸烟者
吸烟者
总计
不患慢性气管炎者
121
162
283
患慢性气管炎者
13
43
56
总计
134
205
339