2024年河北省保定市高碑店市崇德实验中学高考数学模拟试卷（3月份）（含详细答案解析）

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这是一份2024年河北省保定市高碑店市崇德实验中学高考数学模拟试卷（3月份）（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2+x=0}，则−1与集合A的关系为( )
A. −1∈AB. −1∉AC. −1⊆AD. −1⊄A
2.已知命题p：∀x∈(0,+∞)，x2≥x，则( )
A. ¬p：∀x∈(0,+∞)，x2C. ¬p：∃x∈(0,+∞)，x23.已知复数z1，z2满足z1+2z2=5−i，2z1−z2=3i，则z1⋅z2=( )
A. 2−iB. 2+iC. 3+iD. 3−i
4.已知空间向量a=(0,1,2),b=(−1,2,2)，则向量a在向量b上的投影向量是( )
A. (−13,23,23)B. (−23,43,43)C. (−2,4,4)D. (−43,23,23)
5.若关于x的不等式x2−(m+3)x+3m<0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为( )
A. 56.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的各棱长相等，D为AA1的中点，则异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为( )
A. 32
B. 22
C. 12
D. 0
7.数据x1，x2，…，x9的平均数为4，标准差为2，则数据3x1+2，3x2+2，…，3x9+2的方差和平均数分别为( )
A. 36，14B. 14，36C. 12，19D. 4，12
8.如图，边长为2的两个等边三角形ABC，DBC，若点A到平面BCD的距离为 62，则二面角A−BC−D的大小为( )
A. π4
B. π6
C. π3
D. π2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知a,b,c是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是( )
A. a+b,c,a+b+cB. a,2b,−3c
C. a,a+b,cD. 2a−b+c,a−b,a+c
10.下列有关回归分析的结论中，正确的有( )
A. 运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心(x−,y−)
B. 若样本相关系数r的绝对值越接近于1，则相关性越强
C. 若决定系数R2的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越好
D. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高
11.已知a>b，则( )
A. a3>b3B. a−c2>b−c2C. ac2>bc2D. ac2+1>bc2+1
12.直线l的方向向量为a，两个平面α，β的法向量分别为n，m，则下列命题为真命题的是( )
A. 若a⊥n，则直线l//平面α
B. 若a//n，则直线l⊥平面α
C. 若cs=12，则直线l与平面α所成角的大小为π6
D. 若cs= 32，则平面α，β所成锐角的大小为π6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有______种.
14.不等式x2−4x+13x2−7x+2≤1的解集用区间表示为__________.
15.已知向量a是单位向量，b=(− 3,1)，且满足a⊥(2a−b)，则|a+b|=______.
16.(x−2y)(2x−y)6的展开式中，含x4y3项的系数为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
5名男生，2名女生站成一排照相.求在下列约束条件下，有多少种站法？
(1)女生不站在两端；
(2)女生相邻；
(3)女生不相邻.
18.(本小题12分)
甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次命中的环数如表：
(1)分别计算以上两组数据的平均数；
(2)分别计算以上两组数据的方差；
(3)根据计算的结果，对甲乙两人的射击成绩作出评价．
19.(本小题12分)
在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题.
已知(2x−1)n=a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N+)，若(2x−1)n的展开式中，______.
(1)求n的值；
(2)求x2的系数；
(3)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
20.(本小题12分)
随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展.其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计.
若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
(1)试求变量y与x的样本相关系数r(结果精确到0.01)；
(2)试求y关于x的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额.
附：经验回归方程y =b x+a ，其中b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2，a =y−−b x−，
样本相关系数r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2 i=1n(yi−y−)2=i=1nxiyi−nx−y− i=1nxi2−nx−2 i=1nyi2−ny−2；
参考数据：i=16xiyi=2463.4， i=16(yi−y−)2=20 70.
21.(本小题12分)
某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛.为了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
(1)根据所给数据完成上表，依据小概率值α=0.001的χ2独立性检验，能否据此推断该校学生喜欢篮球与性别有关？
(2)篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范.已知这两名男生投进的概率均为34，这名女生投进的概率为23，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投进总次数X的分布列和数学期望.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
22.(本小题12分)
如图，AE⊥平面ABCD，BF//平面ADE，CF//AE，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2.
(1)求证：AD//BC；
(2)求直线CE与平面BDE所成角的余弦值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为集合A={x|x2+x=0}={x|x=0或−1}={0,−1}，
故A正确，B错误，
又因为元素与集合是属于关系，故C，D错误，
故选：A.
先求出集合A，然后根据元素与集合的关系即可判断．
本题考查了集合与元素的关系的应用，考查了学生的分析能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题与存在量词命题否定的定义，考查推理能力，属于基础题．
根据全称量词命题的否定为存在量词命题，直接求解即可．
【解答】
解：根据全称量词命题与存在量词命题否定的定义可知，
命题p：“∀x∈(0,+∞)，x2≥x”的否定为：∃x∈(0,+∞)，x2故选：C.
3.【答案】C
【解析】解：∵z1+2z2=5−i，2z1−z2=3i，
∴z1=1+iz2=2−i，
∴z1⋅z2=(1+i)(2−i)=3+i.
故选：C.
结合复数的运算法则，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为a=(0,1,2),b=(−1,2,2)，
所以a⋅b=6，|b|=3，
所以向量a在向量b上的投影向量为：a⋅b|b|⋅b|b|=23b=(−23,43,43).
故选：B.
根据已知求出a⋅b,|b|，即可根据投影向量的定义求出答案．
本题考查空间向量的数量积和投影向量，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：关于x的不等式x2−(m+3)x+3m<0，
可化为(x−m)(x−3)<0，
该不等式的解集中恰有3个正整数，
故不等式的解集为{x|3故选：C.
利用一元二次不等式的解法，得到m与3的大小，进而求解结论．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，解题的关键是得到m与3的大小关系，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：取A1B1的中点O，连接C1O，
过O作直线z，且z//CC1，在所有棱长都相等的直三棱柱中，可得C1O⊥A1B1，
由题意可得z⊥平面A1B1C1，
建立以O为坐标原点，以C1O所在的直线为x轴，OB1所在的直线为y轴的空间直角坐标系，
设三棱柱的棱长为2，
则C1(− 3,0,0)，A1(0,−1,0)，B(0,1,2)，D(0,−1,1)，
则A1B=(0,2,2)，C1D=( 3,−1,1)，
所以A1B⋅C1D=0× 3+2×(−1)+2×1=0，
所以cs=A1B⋅C1D|A1B|⋅|C1D|=0.
设异面直线A1B与C1D所成角为θ，
则csθ=|cs|=0.
故选：D.
取A1B1的中点O，连接C1O，由题意可得C1O⊥A1B1，建立以O为坐标原点，以C1O为x轴，OB1为y轴的空间直角坐标系，设棱长为2，由题意可得各点的坐标，求出A1B=(0,2,2)，C1D=( 3,−1,1)，可得cs的值，进而求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．
本题考查用空间向量的方法求异面直线所成角的余弦值，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：∵数据x1，x2，…，x9的平均数为4，标准差为2，
∴数据x1，x2，…，x9的方差为4，平均数为4，
∴根据方差和平均数的性质可得3x1+2，3x2+2，…，3x9+2的方差为32×4=36，平均数为3×4+2=14.
故选：A.
根据已知条件，结合方差和平均数的性质，即可求解．
本题主要考查了方差和平均数的性质，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：设BC的中点为E，连接AE，DE，过点A作AF⊥ED，垂足为F，
因为△ABC，△DBC均为等边三角形，所以AE⊥BC，DE⊥BC，
所以∠AED为二面角A−BC−D的平面角；
又AE∩DE=E，AE，DE⊂平面AED，所以BC⊥平面AED，
又AF⊂平面AED，所以BC⊥AF，
又AF⊥ED，DE∩BC=E，DE，BC⊂平面BCD，
所以AF⊥平面BCD，则点A到平面BCD的距离为AF= 62，
又△ABC为等边三角形，边长为2，所以AE=2×sinπ3= 3，
在Rt△AFE中，sin∠AEF=AFAE= 62 3= 22，则∠AEF=π4，即∠AED=π4，
所以二面角A−BC−D的大小为π4，
故选：A.
设BC的中点为E，过点A作AF⊥ED，说明∠AED为二面角A−BC−D的平面角；证明BC⊥平面AED，从而证明AF⊥平面BCD，解直角三角形，即可求得答案．
本题考查了二面角的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于选项A：因为a+b+c=(a+b)+c，
所以a+b,c,a+b+c三个向量共面，
故不能构成空间的一个基底，故A错误；
因为a,b,c是空间中不共面的三个向量，
对于选项B：设a=x(2b)+y(−3c)，显然不存在实数x，y使得该式成立，
所以a,2b,−3c不共面，可以作为基底向量，故B正确；
对于选项C：设a=x(a+b)+y(−3c)=xa+xb+(−3y)c，
则x=1x=03y=0，方程无解，即不存在实数x，y使得该式成立，
所以a,a+b,c不共面，可以作为基底向量，故C正确．
对于选项D：因为2a−b+c=(a−b)+(a+c)，
所以2a−b+c,a−b,a+c三个向量共面，
故不能构成空间的一个基底，故D错误．
故选：BC.
根据空间向量的基底向量的定义结合共面向量的定义逐项分析判断．
本题主要考查空间向量基本定理的应用，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了回归分析的理解，主要考查了回归方程的性质，样本相关系数的意义和残差图的理解等，属于基础题．
利用回归分析中的相关知识对四个选项逐一分析判断即可．
【解答】
解：对于A，经验回归方程必定经过样本中心(x−,y−)，故选项A正确；
对于B，由样本相关系数的意义可知，样本相关系数r的绝对值越接近于1，则相关性越强，故选项B正确；
对于C，若决定系数R2的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，故选项C错误；
对于D，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高，故选项D正确．
故选：ABD.
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了不等式的性质，属于基础题．
利用不等式的性质即可判断选项A，B，D，举反例判断选项C.
【解答】
解：因为a>b，则a3>b3，故A正确，
且a−c2>b−c2，故B正确，
当c=0时，ac2=bc2，故C错误，
因为c2+1>0，所以ac2+1>bc2+1，故D正确，
故选：ABD.
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题以命题真假判断为载体，考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角问题，属于中档题．
A举反例判断；B用直线与平面垂直的判定定理判断；C用直线与平面所成角和直线与其法线成角互余判断；D用法向量成角判断二面角大小．
【解答】
解：对于A，当a⊂α，a⊥n时，满足条件，但直线l//平面α不成立，所以A错，
对于B，因为a//n，所以直线与平面α的法线平行或重合，所以直线l⊥平面α，所以B对；
对于C，因为cs=12，所以=π3，即直线l与法线成角为π3，
又因为直线l与平面α成角和直线l与其法线成角互余，所以直线l与平面α所成角的大小为π6，所以C对；
对于D，因为cs= 32，所以=π6，于是平面α，β所成锐角的大小为=π6，所以D对．
故选：BCD.
13.【答案】9
【解析】解：分为两类：
两名老队员，一名新队员时，有3种选法；
两名新队员，一名老队员时，有2×3=6种选法，
即共有9种不同的选法．
故答案为：9.
由题意，分两类，两名老队员，一名新队员；两名新队员，一名老队员，分别求解，再利用分类加法计数原理求解即可．
本题主要考查简单计数原理问题，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】(−∞,13)∪[12,1]∪(2,+∞)
【解析】【分析】
将分式不等式右边的常数移项，通分，化简后可得(x−1)(2x−1)(3x−1)(x−2)≥0(3x−1)(x−2)≠0，再利用穿针引线法求解即可．
本题考查分式不等式的解法，考查化简求解能力，属于中档题．
【解答】
解：由x2−4x+13x2−7x+2≤1得x2−4x+1−(3x2−7x+2)3x2−7x+2=−2x2+3x−13x2−7x+2≤0，即2x2−3x+13x2−7x+2≥0，
即(2x2−3x+1)(3x2−7x+2)≥03x2−7x+2≠0，即(x−1)(2x−1)(3x−1)(x−2)≥0(3x−1)(x−2)≠0，解得x<13或12≤x≤1或x>2.
故答案为：(−∞,13)∪[12,1]∪(2,+∞).
15.【答案】3
【解析】解：因为向量a是单位向量，b=(− 3,1)，
可知|a|=1,|b|=2，
因为a⊥(2a−b)，则a⋅(2a−b)=0，
化简可得a⋅b=2a2=2，
所以|a+b|= a2+2a⋅b+b2= 1+4+4=3.
故答案为：3.
根据题意可得|a|=1,|b|=2，根据垂直关系可得a⋅b=2，再根据模长关系运算求解．
本题考查平面向量的数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】−640
【解析】解：(x−2y)(2x−y)6的展开式中，含x4y3项的系数为C6323×(−1)3−2×C6224×(−1)2=−640.
故答案为：−640.
由二项式展开式的通项公式找出含x4y3的项，然后系数相加即可．
本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
17.【答案】解：(1)根据题意，女生不站在两端，即男生在两端，
在5个男生中选出2人，安排在两端，剩下5人安排在中间，
有A52A55=2400种排法；
(2)两名女生要相邻，先把两名女生捆绑在一起看作一个整体，
再和另外的5名男生全排，故有A22A66=1440种排法；
(3)利用插空法，把2名女生插入到5名男生所形成的6个空中的2个，A55A62=3600种．
【解析】(1)先在5个男生中选出2人，安排在两端，剩下5人安排在中间，由分步计数原理计算可得答案；
(2)先把两名女生捆绑在一起看作一个整体，再和另外的5名男生全排，由分步计数原理计算可得答案；
(3)利用插空法，把2名女生插入到5名男生所形成的6个空中的2个，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)甲的平均分为：x甲=8+6+7+8+6+5+9+10+4+710=7；
乙的平均分为：x乙=6+7+7+8+6+7+8+7+9+510=7
(2)甲的方差为：s甲2=110[(8−7)2+(6−7)2+…+(7−7)2]=3；
乙的方差为：s乙2=110[(6−7)2+(7−7)2+…+(5−7)2]=1.2
(3)甲、乙的平均分相同，说明甲、乙两人射击的平均水平相当，又s甲2>s乙2，
说明乙的射击水平要比甲的射击水平更稳定．
【解析】本题考查了求数据的平均数和方差问题，是一道基础题．
(1)根据平均数的计算公式求出平均数即可；
(2)根据方差的计算公式求出方差即可；
(3)根据(1)，(2)判断即可．
19.【答案】①或②或③
【解析】解：(1)若选①，只有第6项的二项式系数最大，则展开式中有11项，即n=10，
若选②，第4项与第8项的二项式系数相等，即Cn3=Cn7，可得n=3+7=10，
若选③，所有二项式系数的和为210，即2n=210，可得n=10.
综上所述，不论取三个条件中哪个条件，n的值都为10；
(2)根据题意，可得(2x−1)n=(2x−1)10=a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a10x10，
设第r+1项为Tr+1=C10r⋅(2x)10−r⋅(−1)r，其中r=0，1，⋯，10，
取r=8，得T3=C108⋅(2x)2⋅(−1)8=180x2，故x2的系数a2=180；
(3)由题意得(2x−1)10=a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a10x10，
其中偶次方项系数为正数，奇次方项系数为负数，令x=0，可得a0=1，
再令x=−1，可得310=a0−a1+a2−a3+…+a10=1+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|，
因此，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a10|=310−1=59048.
(1)根据二项式系数的性质算出n的值；
(2)利用二项式展开式的通项公式列式，算出x2的系数；
(3)利用赋值法，取x=0算出a0的值，然后取x=−1代入计算，求得|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值．
本题主要考查了二项式系数的性质、赋值法求多项式的系数和及其应用，属于基础题．
20.【答案】解：(1)x−=16×(1+2+3+4+5+6)=72，
y−=16×(15.4+25.4+35.4+85.4+155.4+195.4)=85.4，
i=16xi2−6x−2=1+4+9+16+25+36−6×494=17.5，
r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2 i=1n(yi−y−)2=i=1nxiyi−nx−y− i=1nxi2−nx−2 i=1nyi2−ny−2=2463.4−6×3.5×85.4 17.5×20 70≈0.96.
(2)由题意b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2=2463.4−6×3.5×85.417.5≈38.3，
a =y−−b x−=85.4−3.5×38.3=−48.7，
所以y关于x的经验回归方程为y=38.3x−48.7，
所以预测2024年2月份该公司的销售金额为y=38.3×7−48.7=219.4万元．
【解析】(1)由题意根据公式分别算得x−，y−以及i=16xi2−6x−2，进一步代入相关系数公式即可求解；
(2)根据(1)中的数据以及参数数据依次算得b ，a ，由此即可得经验回归方程并预测．
本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．
21.【答案】解：(1)依题意，2×2列联表如下：
假设H0：该校学生喜欢篮球与性别有无关，
χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(60×70−30×40)2100×100×90×110≈18.182>10.828=x0.001，
依据小概率值α=0.001的χ2独立性检验，推断H0不成立，即认为该校学生喜欢篮球与性别有关．
(2)因为这两名男生投进的概率均为34，这名女生投进的概率为23，
所以这两名男生投不进的概率均为1−34=14，这名女生投进的概率为1−23=13，
X=0，1，2，3，
P(X=0)=(14)2×13=148，
P(X=1)=C21×34×14×13+(14)2×23=848=16，
P(X=2)=C21×34×14×23+(34)2×13=2148=716，
P(X=3)=23×(34)2=1848=38.
3人投进总次数X的分布列为：
EX=0×148+1×16+2×716+3×38=136.
【解析】(1)根据题意补全列联表，再计算出卡方值并与边界值比较即可；
(2)根据独立事件的乘法公式计算出概率，写出分布列，利用期望公式求出期望即可．
本题考查独立性检验，离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．
22.【答案】解：(1)证明：由题知CF//AE，CF⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，
∴CF//平面ADE，又BF//平面ADE，BF∩CF=F，BF，CF⊂平面BCF，
∴平面BCF//平面ADE，又平面BCF∩平面ABCD=BC，平面ADE∩平面ABCD=AD，
∴AD//BC；
(2)根据题意，分别以AB,AD,AE得方向为x轴，y轴，z轴正方向，建系如图，
∵AE⊥平面ABCD，BF//平面ADE，CF//AE，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2，
∴A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)，
∴BD=(−1,1,0),BE=(−1,0,2),CE=(−1,−2,2)，
设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量，
则n⋅BD=0n⋅BE=0，∴−x+y=0−x+2z=0，取n=(2,2,1)，
设直线CE与平面BDE所成角为θ，
∴sinθ=|CE⋅n|CE||n||=|−2−4+23⋅3|=49，
∴csθ= 659，
∴直线CE与平面BDE所成角的余弦值为 659.
【解析】(1)由线面平行判定定理得CF//平面ADE，面面平行判定定理平面BCF//平面ADE，再由面面平行性质定理解决即可；
(2)建立空间直角坐标系，空间向量法解决即可．
本题考查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，向量法求解线面角问题，化归转化思想，属中档题．甲
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6
7
8
6
5
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10
4
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乙
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5
年月
2023年8月
2023年9月
2023年10月
2023年11月
2023年12月
2024年1月
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销售金额y/万元
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25.4
35.4
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喜欢篮球
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喜欢篮球
不喜欢篮球
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2024年河北省保定市高碑店市崇德实验中学高考数学模拟试卷（3月份）（含详细答案解析）

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