2024年辽宁省大连育明高级中学高考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年辽宁省大连育明高级中学高考数学一模试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.集合A={x∈N|2x0)为奇函数，则14m+1+1n的最小值为( )
A. 65B. 95C. 4D. 5
5.陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径AB=12cm，圆柱体部分的高BC=6cm，圆锥体部分的高CD=4cm，则这个陀螺的表面积(单位：cm2)是( )
A. (144+12 13)πB. (144+24 13)πC. (108+12 13)πD. (108+24 13)π
6.已知a=(4,−2),b=(csα,sinα)且a⊥b，则sin3α+cs3αsinα−csα为( )
A. 2B. 95C. 3D. −35
7.若斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2+y2=12都相切，则实数a的值为( )
A. −1B. 0C. 2D. 0或2
8.已知函数f(x)=(lnx)2−a2xlnx+aex2有三个零点x1、x2、x3且x1b>0)，由其3个顶点确定的三角形的面积为4，点P(2,1)在C上，A，B为直线x=4上关于x轴对称的两个动点，直线AP，BP与C的另一个交点分别为M，N.
(1)求C的标准方程；
(2)证明：直线MN经过定点；
(3)O为坐标原点，求△MON面积的最大值.
18.(本小题17分)
为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有12，13，14的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为6：7：8.
(1)现从三个班中随机抽取一位同学：
(i)求该同学有购买意向的概率；
(ii)如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；
(2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率(精确到0.01).
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx−ax+ax(a>0).
(1)当a=12时
①解关于x的不等式f(x)>0；
②证明：(1+122)(1+132)(1+142)…(1+1n2)0，
有0G(lnx)等价于x+lna>lnx，
则x+lna>lnx，即lna>lnx−x，
令H(x)=lnx−x，
则H′(x)=1x−1=1−xx，
令H′(x)>0，得01e，
所以实数a的取值范围为(1e,+∞).
故答案为：(1e,+∞).
令g(x)=ln( x2+1+x)，h(x)=ex−e−x−2x，易得两函数均为奇函数，且单调递增，令F(x)=f(x)−3，则F(x)是在R上单调递增的奇函数．将不等式f(aex)+f(lna−lnx)>6转化为F(aex)>F(lnx−lna)，即aex>lnx−lna，ex+lna+x+lna>x+lnx=elnx+lnx，再令G(x)=ex+x，利用导数求解即可．
本题考查了奇函数的性质、导数的综合运用及转化思想，属于难题．
15.【答案】解：(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足bsinA=asin(B+π3)，
由正弦定理得sinBsinA=sinAsin(B+π3)=12sinAsinB+ 32sinAcsB，
∴12sinBsinB− 32sinAcsB=0，
∵A∈(0,π)，∴sinA≠0，∴12sinB− 32csB=0，∴tanB= 3，
∵B∈(0,π)，∴B=π3，
∵a=3，c=2，由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB=9+4−6=7，
∵b>0，∴b= 7，
其中S△ABC=12acsinB=12×3×2 32=3 32，
∴BD=2S△ABCAC=3 3 7=3 217，
∵点E为线段BD中点，∴BE=3 2114，
由题意得EA=ED+DA=BE+DA，
∴BE⋅EA=BE⋅(BE+DA)=BE2+0=2728.
(2)由(1)知：B=π3，c=2，
由正弦定理得asinA=csinC=2sin(A+π3)，
∵△ABC为锐角三角形，∴A∈(0,π2)C=2π3−A∈(0,π2)，
∴A∈(π6,π2)，
∴tanA∈( 33,+∞)， 3tanA∈(0,3)，1+ 3tanA∈(1,4)，
∴a=41+ 3tanA∈(1,4)，
△ABC面积为S=12acsinB= 32a∈( 32,2 3)，
∴△ABC面积的取值范围是( 32,2 3).
【解析】(1)根据正弦定理求出B=π3，进而由余弦定理求出b= 7，利用三角形面积公式得BE=3 2114，利用平面向量基本定理及数量积运算法则能求出BE⋅EA的值；
(2)由正弦定理求出a，利用锐角三角形求出角A的范围，进而求出a的范围，由此能求出△ABC面积的取值范围．
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、平面向量基本定理、数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
16.【答案】(1)证明：根据题意，取CD中点E，连接SE，AE，BE，
由于四边形ABCD为菱形，∠DAB=π3，所以△BCD是等边三角形，则BE⊥CD，
又SCD是等边三角形，所以SE⊥DC
因为AB=BC=4,∠DAB=π3，
所以CE=2,∠BCD=π3,∠ABE=π2，故BE=SE=2 3，
又AE2=AB2+BE2=28,SA=2 10，
所以SA2=AE2+SE2，故AE⊥SE，
因为AE⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，AE∩CD=E，
所以SE⊥平面ABCD，又因为SE⊂平面SCD，
所以平面SCD⊥平面ABCD.
(2)解：根据题意，在棱SC上存在点M，使得平面SBD与平面MBD的夹角的余弦值为2 55，
理由如下：
先假设存在符合题意的点M，设CM=a，
由于M在棱SC上，且SC=4，则有0≤a≤4，
以E为坐标原点，分别以EB，EC，ES所在直线为x，y，z轴建立坐标系，
如图：
则S(0,0,2 3)，B(2 3,0,0)，D(0,−2,0)，M(0,2−a2, 32a)，
故SB=(2 3,0,−2 3),SD=(0,−2,−2 3),MB=(2 3,a2−2,− 32a)，BD=(−2 3,−2,0).
设平面SBD的一个法向量为m=(x,y,z)，则m⋅SB=0m⋅SD=0⇒2 3x−2 3z=0−2y−2 3z=0；
令x=1，得y=− 3,z=1，所以m=(1,− 3,1)，
同理：设平面MBD的一个法向量为n=(x1,y1,z1)，则n⋅MB=0n⋅BD=0⇒2 3x1+(a2−2)y1− 32az1=0−2y1−2 3x1=0，
令x1=−1，得y1= 3,z1=1−8a，所以n=(−1, 3,1−8a).
由|cs|=|m⋅n||m|⋅|n|=3+8a 5× 4+(1−8a)2=2 55，解得a=8(舍)或a=2411；
所以存在点M，符合题意，此时CM=2411.
【解析】(1)取CD中点E，连接SE，AE，BE，可得SE⊥DC，根据勾股定理可得AE⊥SE，进而可得SE⊥平面ABCD，然后面面垂直的判定定理可证
(2)以E为坐标原点，分别以EB，EC，ES所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面SBD和平面MBD的一个法向量，根据公式|cs⟨m,n⟩|=|m⋅n||m|⋅|n|可求．
本题考查空间向量的应用以及平面与平面所成的角，涉及平面与平面的垂直，属于中档题．
17.【答案】(1)解：由题意知ab=44a2+1b2=1，解得a=2 2,b= 2，
所以椭圆C的方程为x28+y22=1；
(2)证明：直线MN的斜率必存在，设其方程为y=kx+n，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立方程y=kx+nx28+y22=1，消去y得(1+4k2)x2+8nkx+4n2−8=0，
则Δ=(8nk)2−4×(1+4k2)×4(n2−2)>0，即n2