10，2024年山西省运城市多校中考联考数学试题

这是一份10，2024年山西省运城市多校中考联考数学试题，共30页。

1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 计算：的结果是( ).
A. 2B. 10C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】符号不相同的异号加减，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
【详解】-6+4=-（6-4）=-2．
故选C．
【点睛】考查了有理数的加法法则，解题关键是符号不相同的异号加减，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
2. 医药产业在国民经济中扮演着重要的角色．它关系到人民群众的生命健康和生活质量，因此备受社会关注．下列有关医药图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查轴对称图形，中心对称图形，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项符合题意；试卷源自 试卷上新，欢迎访问。C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；；
D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意．
故选B
3. 中生代（）是显生宙的三个地质时代之一，其年代约为亿年前至万年前，始于二叠纪——三叠纪灭绝事件，结束于白垩纪——第三纪大灭绝事件，前后横跨亿年．数据万用科学记数法可表示为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
用科学记数法将，表示为即可．
【详解】解：由题意可得万为，
∴，故用科学记数法表示为，
故选：．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、完全平方公式和平方差公式等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．
根据运算法则和运算顺序计算然后逐项判断即可．
【详解】解：A．不是同类项，无法再进行合并，故本选项不符合题意．
B．，故本选项不符合题意．
C．，故本选项不符合题意．
D．，故本选项符合题意．
故选：D．
5. 如图，直线，将一块含角的三角板按如图所示的位置摆放，点A落在上，点B落在上，，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质，邻补角互补，
首先求出，然后根据平行线的性质得到，然后利用邻补角互补求解即可．
【详解】∵，，
∴
∵
∴
∴．
故选：D．
6. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算、平方差公式因式分解、完全平方公式等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
先平方差公式因式分解，再算括号里面的，之后再用完全平方公式，分子分母化简即可．
【详解】解：原式：
．
故选．
7. 中国画以墨代色，产生了墨分五色的说法，唐代张彦远《历代名画记》中曰：“运墨而五色具”，五色：即焦、浓、重、淡、清，这就是中国画用墨的奇妙处．美术老师想从这五色中先选择两色让学生重点练习，则正好选中淡与清的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列举法求概率，记焦、浓、重、淡、清分别为A，B，C，D，E．画出树状图求解即可．
【详解】记焦、浓、重、淡、清分别为A，B，C，D，E．

共有20种等可能，正好选中淡与清有两种可能，
∴正好选中淡与清的概率．
故选：C．
8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点（每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点）上，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕坐标平面内某点旋转一定的角度，得到，点A，B，C的对应点分别为，，，若点的坐标为，则旋转中心的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了确定旋转中心的位置，旋转的性质，连接、，分别作和的垂直平分线、，则，交于点D，则点D即为旋转中心，根据图形得出旋转中心的坐标即可．
【详解】解：连接、，分别作和的垂直平分线、，则，交于点D，如图所示：
则点D为旋转中心，观察图形可知，点D的坐标为，
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
同理可得：为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，
∴绕点D逆时针旋转正好得到，
∴旋转中心坐标为．
故选：B．
9. 对于抛物线，按下列方式平移后仍不经过原点的是（ ）
A. 向左平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度
B. 向左平移4个单位长度，再向下平移10个单位长度
C. 向右平移2个单位长度，再向下平移10个单位长度
D. 向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握函数平移法则“左加右减、上加下减”成为解题的关键．
先将函数解析式化成顶点式，然后分别按各选项的平移方式求出平移后的解析式，然后再判定即可．
【详解】解：∵
∴A. 向左平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度后的函数关系式为，经过原点，不符合题意；
B. 向左平移4个单位长度，再向下平移10个单位长度后的函数关系式为，经过原点，不符合题意；
C. 向右平移2个单位长度，再向下平移10个单位长度后的函数解析式为，经过原点，不符合题意；
D. 向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后的解析式为，该函数图像不经过原点，符合题意．
故选D．
10. 如图，在中，，，以为直径的半圆，交于点D，以点A为圆心，为半径作弧，交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形与扇形的面积计算等知识点，分清半圆、三角形、扇形三者之间的面积关系是解题的关键．
先用直角三角形的面积减去扇形的面积得出空白区域的面积，然后再用半圆的面积减去空白区域的面积即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：∵，
∴，
∴,
∴．
故选B．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：的结果为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式运算，解题关键是熟记二次根式运算法则，准确计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
12. 在一个可以改变体积的密闭容器内，装有一定质量（单位：）的某种气体，在一定范围内，当改变该气体的体积（单位：）时，该气体的密度（单位：）也随之改变，满足关系式，其图象如图所示，当该气体的体积为时，它的密度为，若将该气体的体积在此基础上再压缩时，密度为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查反比例的解析式的求法，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
根据题意：装有一定质量的某种气体，且与在一定范围内满足，可得与成反比例关系．且过点，代入数据可得，再将代入到，可得．
【详解】解：根据题意得，且过点，
∴，
若将该气体的体积在此基础上再压缩时，，
代入到，可得，
故答案为．
13. 如图，中，是直径，点C，D，E都在圆周上，连接，，，，若，则的度数为______．
【答案】##140度
【解析】
【分析】本题考查了圆周角的性质，解题关键是连接，根据圆周角的性质求出，即可．
【详解】解：连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 为方便电动汽车充电，李老师安装了家庭充电桩，该充电桩峰时、谷时充电的电价分别为元/度、元/度，已知李老师电动汽车平均每月在家庭充电桩的充电量为180度，且每月充电所花电费不超过64元．则李老师电动汽车在家庭充电桩谷时的充电量至少为______度．
【答案】130
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设李老师电动汽车在家庭充电桩谷时的充电量为x度，则李老师电动汽车在家庭充电桩峰时的充电量位度，根据总费用不超过64元列出不等式求解即可．
【详解】解：设李老师电动汽车在家庭充电桩谷时的充电量为x度，则李老师电动汽车在家庭充电桩峰时的充电量位度，
由题意得，
解得，
∴李老师电动汽车在家庭充电桩谷时的充电量至少为130度，
故答案为：130．
15. 如图，在中，点E在上，点F在上，，垂足为O，若平分，点F是的中点，，，则线段的长为______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，全等三角形的性质与判定，取中点G，连接，则由三角形中位线定理得到，，证明，得到，再证明，得到，则，由勾股定理得，则．
【详解】解：如图所示，取中点G，连接，
∵点F是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：．
（2）下面是小颖同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
解：去分母，得……第一步
去括号，得．……第二步
移项，得．……第三步
合并同类项，得．……第四步
系数化为1，得．……第五步
任务：
任务一：填空：①上述解题过程中，第一步是依据______进行变形的；
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集；
任务三：除了任务一中出现的错误外，请根据平时的学习经验，就解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【答案】（1）；（2）①不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；②二；去括号时，括号前面是“-”，去掉括号后括号内的第二项没有变号；；注意去分母时不要漏乘不含分母的项
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式；
（1）根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算即可求解；
（2）根据解一元一次不等式的步骤解不等式，即可求解．
【详解】解：（1）原式
．
（2）任务一：①不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（或填不等式的基本性质2）
②二
去括号时，括号前面是“-”，去掉括号后括号内的第二项没有变号．
任务二：．
任务三：（答案不唯一，合理即可）注意去分母时不要漏乘不含分母的项；不等式左右两边同时乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变．
17. 太原武宿国际机场位于太原市小店区，为级民用机场．太原武宿国际机场联合国航、南航、东航及海航，打造了太原北京航空精品快线，成为目前太原前往北京最快捷的出行方式．已知太原北京的飞行路程和高铁路程都约为千米，飞机的平均速度是高铁的平均速度的倍，乘飞机比乘高铁节约小时分钟，求飞机的平均速度．
【答案】千米时
【解析】
【分析】设高铁的平均速度为千米时，则飞机的平均速度为千米时，根据题意列出分式方程，解方程并检验即可求解．
【详解】解：设高铁的平均速度为千米时，则飞机的平均速度为千米时．
根据题意，得．
解得．
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
（千米/时）．
答：飞机的平均速度为千米时．
18. 太原重型机械集团有限公司，始建于1950年，是新中国自行设计建造的第一座重型机器厂．作为“共和国长子”，建厂七十多年来，太重集团累计为国家重点建设项目提供了近3000种、40000台套、约1000万吨装备产品，先后获得国家级发明奖4项、国家级成果奖26项、国家科技进步奖23项，创造了500余项中国和世界首台套装备，为新中国的建设、改革和发展做出了重要贡献，被誉为“国民经济的开路先锋”．该公司甲、乙两个子公司各有技术员工1200人，为了解这两个子公司技术员工的专业技能情况，进行了抽样调查，形成了如下调查报告（不完整）：
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）表格中的______，______，______；
（2）若专业技能测试成绩在8分或8分以上为优秀，请分别估计甲、乙两个子公司专业技能测试成绩为优秀的技术员工的人数；
（3）请你从两个不同的角度对甲、乙两个子公司各被抽取的20名技术员工的专业技能测试成绩作出评价．
【答案】（1）；8；9
（2）960人，780人
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了频数分布直方图，求中位数，众数，用方差，平均数，中位数，众数作决策，用样本估计整体等等：
（1）根据平均数，中位数和众数的定义求解即可；
（2）用两个公式人数分别乘以其对应的样本中测试成绩在8分或8分以上的人数占比即可得到答案；
（3）从方差，平均数，中位数，众数的角度出发，言之有理即可．
【小问1详解】
解：由题意得，；
把甲公司的名员工的测试成绩按照从低到高排列，处在第10名和第11名的成绩分别为8分，8分，
∴；
∵乙公司中测试成绩为9分的人数最多，
∴，
故答案为：；8；9；
【小问2详解】
解：（人）
（人）．
答：甲子公司专业技能测试成绩为优秀的技术员工的人数约为960人，乙子公司专业技能测试成绩为优秀的技术员工的人数约为780人．
【小问3详解】
解：从平均数来看：甲、乙两个子公司专业技能测试成绩的平均数都为8.1分，说明甲子公司20名技术员工专业技能测试成绩的平均数等于乙子公司20名技术员工专业技能测试成绩的平均数．
从中位数来看：甲、乙两个子公司专业技能测试成绩的中位数分别为8分，9分，说明甲子公司20名技术员工专业技能测试成绩的中位数小于乙子公司20名技术员工专业技能测试成绩的中位数．
从众数来看：甲、乙两个子公司专业技能测试成绩的众数分别为8分，9分，说明甲子公司20名技术员工中专业技能测试成绩得8分的人数最多，乙子公司20名技术员工中专业技能测试成绩得9分的人数最多．
从方差来看：甲、乙两子公司专业技能测试成绩的方差分别为2.09，1.89，说明乙子公司20名技术员工的专业技能测试成绩比甲子公司20名技术员工的专业技能测试成绩更稳定．
19. 如图，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，对称轴交直线于点D，点P是位于直线的右侧，轴下方的抛物线上的一个动点，过点P作的平行线，交于点E，交直线于点F．
（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
（2）当时，求面积．
【答案】（1），，，
（2）
【解析】
【分析】（1）分别将和代入抛物线解析式，即可解出A、B、C点坐标；设直线的函数表达式为，将B、C点的坐标代入解得k、b即可；
（2）过点P作轴于点G，过点E作于点H，延长交直线于点I，设直线与轴交于点J，证明，通过相似三角形对应边成比例，得到和的长度，设点P的坐标为，通过点的坐标表示出点E的坐标，再将点代入中，求得值，得到和坐标，然后通过待定系数法求得直线的表达式，从而求得，计算出的长度，最后算出三角形的面积．
【小问1详解】
由得，当时，．
解得，
点A的坐标为，点B的坐标为
当时，．
点C的坐标为
设直线为，代入，
直线的函数表达式为；
【小问2详解】
，
抛物线的对称轴为直线
将代入，得
点D的坐标为
点A的坐标为，点C的坐标为
，
如图，过点P作轴于点G，过点E作于点H，延长交直线于点I，则，设直线与轴交于点J
，轴
又
，
设点P的坐标为，，则点E的坐标为
将代入中，
得
解得，（不合题意，舍去）
当时，点P的坐标为，点E的坐标为
设直线的函数表达式为，
将，代入，
得，解得
直线的函数表达式为
当时，
点F的坐标为
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的对称轴，三角形相似的判定与性质，三角形的面积求解等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
20. 阅读与思考
阅读下列材料，完成相应任务：
拿破仑不仅是政治和军事天才，还是科学家，并与众多科学精英结下不解之缘．下面的定理是他最早发现并证明的．
拿破仑定理：以三角形的各边为边分别向外侧作等边三角形，则三个等边三角形的中心构成一个等边三角形，称这个等边三角形为拿破仑三角形．
用几何符号语言可以表示为：
如图1，以的各边为边向外侧作等边三角形（，，），它们的中心分别为，，，则为等边三角形．
该定理有很多种证明方法，下面介绍其中一种证明过程：
证明：如图2，连接，，，，，，，和．
根据题意，得，，，
∴，（依据1）
即．
∵，，∴．∴．
同理可证，．∴．
∵，∴，．
∴．
∵，，
∴．
∴．（依据2）
∴．
同理可证，．
∴．
……
任务：
（1）任务一：上面证明过程中的“依据1”是______；“依据2”是______；
（2）任务二：完成该定理证明的剩余部分；
（3）任务三：如图3，在中，，，，分别以三边为底向外作顶角为120°的等腰，，，连接，，，则的面积为______．
【答案】（1）等式的基本性质；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形；
（1）根据等式性质，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得证；
（2）根据已知证明，进而证明，即可得证；
（3）过点作于点，过点作于点，根据题意可得是以为边的等边三角形的中心，则为等边三角形，求得的长，即可求解．
【小问1详解】
解：任务一：等式的基本性质；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
【小问2详解】
任务二：
∵，，
∴．
同理可证，．
∴．
∴为等边三角形．
【小问3详解】
任务三：如图所示，过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∴是以为边的等边三角形的中心，
由（1）可得为等边三角形，
取的中点，连接，则，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵
∴
∴
∴，
∴，
同理可得，
∵
∴
∴，
过点作于点，
∴
∴，
∴
在中，
在中，，
∴
21. 大同城墙自战国时期赵武灵王“北破林胡、楼烦、筑长城” “置云中、雁门、代郡”，是大同地区设郡建城的开始．此后两千多年间，大同在中国历史上一直具有十分重要的位置．某校三个数学研究小组测量大同古城墙的高度，测量方案与测量数据如下表：
问题解决：
（1）直接指出所有可行方案的小组；
（2）在可行方案的小组里，任选一种方案，按照所测数据，计算大同古城墙的高度（精确到1m）；（参考数据：，，，，，）
（3）计算的大同古城墙的高度和实际结果有一定的误差，请提出一条减小误差的合理化建议．
【答案】（1）第一小组和第三小组的方案可行
（2）选第一小组，
（3）选用精密的测量仪器
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，数形结合．
（1）根据测量数据进行判断即可；
（2）选第一小组：过点C作于点M．解直角三角形得出，．根据，得出，求出结果即可；
选第三小组：过点C作于点N．解直角三角形得出，，根据，得出，求出结果即可；
（3）根据减小误差的方法，提出合理的建议即可．
【小问1详解】
解：第一小组：过点C作于点M．用所测数据和表示出、，根据，列方程可以求出；
第二小组：根据，，，无法进行计算；
第三小组：过点C作于点N．用所测数据和表示出、，根据，列方程可以求出；
因此第一小组和第三小组的方案可行的方案可行．
【小问2详解】
解：选第一小组：
如图，过点C作于点M．
∴．
在中，，，
∵，
∴．
在中，，，
∵，
∴．
∵，
∴．
即．
解得：．
答：大同古城墙的高度约为．
选第三小组：
如答图，过点C作于点N．
∴．
在中，，，
∵，
∴．
在中，，，
∵，
∴．
∵，
∴．
即．
解得．
答：大同古城墙的高度约为．
【小问3详解】
解：答案不唯一，如：选用精密的测量仪器；改进测量方法；多次测量取平均值等．
22. 学科实践
驱动任务：跳长绳（又名跳大绳）是中国历史悠久的运动，一直受到青少年儿童的喜爱．通过跳绳运动可以促进学生心肺功能的提高，培养学生良好的意志品质，还可以培养学生团结协作的精神．某学校准备在运动会上组织跳长绳比赛，比赛要求：每班需要报名跳绳同学6人，摇绳同学2人；跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳．为在跳长绳比赛中取得好成绩，九（1）班数学研习小组协助本班进行队列方案的确定．
研究步骤：
①如图，研习小组测得摇绳的两名队员水平间距为5米，他们的手到地面的高度米，当绳子摇至最高处时，可近似地看作一条抛物线，此时绳子最高点距离地面2米；
②参加比赛的6名跳绳队员中，男生、女生各3名，男生身高均在1.70~1.80米，女生身高一人为1.7米，两人都为1.65米；
③为保证跳绳队员的安全，要求跳绳队员之间的距离至少0.5米．
问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务：
（1）以线段所在直线为x轴，线段所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出平面直角坐标系，并求出对应抛物线的函数表达式；
（2）研习小组决定以最高的男生站在摇绳队员的中点，将参赛队员按“中间高，两边低”的方式排列，请计算长绳能否顺利甩过所有队员的头顶；
（3）为了更顺利地完成跳绳，请你求出左边第一名队员站立位置的取值范围．
【答案】（1）图见解析，
（2）绳子不能顺利甩过所有队员的头顶
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意画出坐标系，利用待定系数法求出解析式即可；
（2）以直线为对称轴，将最高的男生站在摇绳队员的中点，分布在对称轴两侧，男生站中间，女生站两边，根据各位同学的横坐标，求出纵坐标即可；
（3）令，求出横坐标，再根据跳绳队员之间的距离至少0.5米确定取值范围即可．
【小问1详解】
解：建立如图所示的平面直角坐标系
由已知，得，在抛物线上，
∴抛物线顶点的坐标为．
设抛物线的函数表达式为．
将代入，得，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
【小问2详解】
由（1），得抛物线的函数表达式为，对称轴为直线．
如图，6名参赛队员以直线为对称轴，将最高的男生站在摇绳队员的中点，分布在对称轴两侧，男生站中间，女生站两边，对称轴两侧的2名男生所在位置横坐标分别是2，3，身高1.7米的女生所在位置的横坐标为1.5或3.5，有1名身高为1.65米的女生所在位置的横坐标为1或4．
当或时，；
当或时，；
当或时，．
∴绳子能顺利甩过男队员的头顶，绳子不能顺利甩过1.65米的女队员的头顶．
∴绳子不能顺利甩过所有队员的头顶．
【小问3详解】
令，则，
解得， ．
考虑右边第二名队员，当时，，高于最高队员．
∴所有队员可以从往左排列，间隔米．
∴左边第一名队员的横坐标的范围为，
即．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题关键是根据题意求出二次函数解析式，利用抛物线上点的坐标求解．
23. 综合与实践
问题情境：在数学综合实践课上，李老师要求同学们以正方形的折叠与某些线段的折叠为例探究图形间存在的关系．如图，点在正方形的边上运动，连接，把沿所在直线折叠，点落在点处，连接并延长与的延长线交于点，沿所在直线折叠使点与点重合，点在上．
探究实践：
（1）如图1，的度数不变，请你求出该角的度数；
探究发现：
（2）如图2，连接，发现三条线段，，之间存在一定的数量关系，请证明你的发现；
探究拓广：
（3）如图3，连接，，若正方形边长，请直接写出面积的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，圆的定义；
（1）根据折叠的性质可得，则，进而根据，即可求解；
（2）过点 作，交 的延长线于点，证明得出，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解；
（3）根据折叠的性质可得，得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当在上时，的面积最大，此时，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：（1）把 沿 所在直线折叠，点 落在点处，
四边形 是正方形，
，

沿 所在直线折叠使点 与点重合，
，

的度数不变且为
（2）
理由如下：如图，过点 作，交 的延长线于点

在正方形 中，，

由（）可知，，，

在中，

在 和中，


在中，
（3）解：∵折叠，
∴
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
∴当在上时，的面积最大，此时
∵
∴，
∴
∴面积的最大值为调查主题
太原重型机械集团有限公司甲、乙两个子公司技术员工的专业技能情况
调查方式
抽样调查
调查组织形式
从甲、乙两个子公司各随机抽取20名员工，进行了专业技能测试，测试成绩（采用十分制且测试成绩都为整数）
数据的收集、整理与描述
对这次专业技能测试中甲、乙两个子公司的专业技能测试成绩绘制了如图所示的统计图．
调查结论
两组样本数据的平均数、中位数、众数统计表
子公司
平均数
中位数
众数
方差
甲
b
8
乙
a
9
c
调查结论
……
项目
测量大同古城墙的高度
测量工具
测角仪，皮尺等
测量小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案
示意图
说明
点A，B在大同古城墙的地面边缘线上，点C，D在大同古城墙的上部边缘线上，且
测量数据
，
，
，
，
，
，