09，上海市宝山区罗南中学（五四制）2023-2024学年八年级下学期第二次月考数学试题

这是一份09，上海市宝山区罗南中学（五四制）2023-2024学年八年级下学期第二次月考数学试题，共20页。试卷主要包含了本试卷含三个大题，共25题等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解答的主要步骤．
一、选择题（本大题共有6题，每题4分，满分24分）
1. 函数是一次函数，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1．根据一次函数定义可得，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：D．
2. 一次函数的图象经过（ ）
A. 第一、二、三象限B. 第一、三、四象限
C. 第一、二、四象限D. 第二、三、四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数的性质即可判断该一次函数的图象经过哪些象限．
【详解】，，
经过第一、三、四象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，准确记忆一次函数的性质是解题的关键．
3. 下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A. 试卷源自 试卷上新，欢迎访问。B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式方程和无理方程的解法如果能求得方程的解说明方程有实数解，一元二次方程有实数根只需得到其根的判别式为非负数．
【详解】解：A、即x2=-3，因为实数的平方≥0，故本选项错误；
B、x3=-3即x=-，有解，故本选项正确；
C、分式分母不为0，所以本题无解，故本选项错误；
D、即＝−3，实数的算术平方根为大于0，故本选项错误；
故选B．
【点睛】本题考查了无理方程，涉及到了实数的平方≥0，负数由立方根，注意区别．
4. 已知向量、满足||=||，则（ ）
A. =B. =﹣
C. ∥D. 以上都有可能
【答案】D
【解析】
【分析】利用单位向量的定义和性质直接判断即可．
【详解】解：若向量、满足||=||，
可得：=，或=﹣，或∥，
故选：D．
【点睛】此题考查平面向量问题．解题时要认真审题，注意单位向量、零向量、共线向量的定义和性质的合理运用．
5. 事件“关于y的方程a2y+y＝1有实数解”是( )
A. 必然事件B. 随机事件C. 不可能事件D. 以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】根据根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以判断下列方程有无实数解．再判断属于哪类事件即可．
【详解】∵△＝1﹣4a2(﹣1)＝4a2+1＞0，原方程一定有实数解．
∴方程a2y+y＝1有实数解是必然事件．
故选A．
【点睛】考查了随机事件的意义与一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
6. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
B. 有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形是菱形；
C. 有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形；
D. 一组邻边互相垂直，两组对边分别平行的四边形是矩形．
【答案】B
【解析】
【分析】本题考差了平行四边形、菱形、正方形、矩形的判定，熟练掌握各个判定定理是解题的关键．
根据平行四边形、菱形、正方形、矩形的判定逐个进行判断即可．
【详解】解：A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，A为真命题，不符合题意；
B、有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形不是菱形，B为假命题，符合题意；
C、有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形，C为真命题，不符合题意；
D、一组邻边互相垂直，两组对边分别平行的四边形是矩形，D为真命题，不符合题意；
故选：B．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 已知函数，那么_________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据自变量与函数值的对应关系，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了函数值，利用自变量与函数值的对应关系是解题的关键．
8. 已知一次函数，则函数值y随自变量x的增大而______．
【答案】减小
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象和性质，在中，若，则函数值y随自变量x的增大而增大，若，则函数值y随自变量x的增大而减小，根据一次函数图象和性质即可解题．
【详解】解：一次函数解析式为，且，
函数值y随自变量x的增大而减小，
故答案为：减小．
9. 方程x4﹣16＝0的根是_____．
【答案】±2
【解析】
【分析】根据平方根的定义,很容易求解,或者把方程左边因式分解,通过降次的方法也可以求解.
【详解】∵x4﹣16＝0，
∴(x2+4)(x+2)(x﹣2)＝0，
∴x＝±2，
∴方程x4﹣16＝0的根是x=±2，
故答案为±2．
【点睛】该题为高次方程，因此解决该题的关键，是需要把方程左边因式分解，从而达到降次的目的，把高次方程转化为低次方程，从而求解.
10. 如图，一次函数的图像经过点，则关于的不等式的解集是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了利用一次函数图像解不等式，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．根据图像可知，当时，函数，据此即可获得答案．
【详解】解：由图像可知，当时，，
∴关于的不等式的解集是．
故答案为：．
11. 用换元法解方程，若设，则原方程可以化为关于y整式方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了换元法解方程，解题关键是熟练运用代入法进行换元，准确化简方程．
把代入原方程，去分母化简即可．
【详解】设，则原方程为：，
两边同时乘以，得：，
整得，得：．
故答案为：．
12. 从2、3、4这三个数字中任选两个不同的数组成两位数，在组成的所有两位数中，能被2整除的概率是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，列出树状图，得到所有的可能和满足条件的可能，即可得到答案.
【详解】解：如图，由树状图可知共有6种等可能的结果，其中能被2整除的情况有4种，
∴P（能被2整除）.
故答案为：.
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
13. 一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理应用，准确计算是解题的关键．根据多边形内角和定理：，列方程解答出即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形内角和定理得，
，
解得．
故答案为：6．
14. 若梯形的一条底边长，中位线长，则它的另一条底边长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了梯形的中位线定理，只需根据梯形的中位线等于梯形两底和的一半进行计算即可．
【详解】解：设另一条底边为则，
解得．
即另一条底边的长为．
故答案为：
15. 如图，折线表示从甲地向乙地打电话所需的电话费（元）关于通话时间（分钟）的函数图象，则通话7分钟需要支付电话费_________元．
【答案】6.4
【解析】
【分析】用待定系数法求出直线BC的函数表达式，再求出当t=7时的函数值即可．
【详解】解：由图可知B（3，2.4），C（5，4.4），
设直线BC的函数表达式为：y=kt+b，
将点B和点A的坐标代入得：
，解得，
∴直线BC的函数表达式为：，
当t=7时，y=7-0.6=6.4．
故答案为：6.4．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，根据函数图象求解一次函数是表达式是解题的关键．
16. 如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】首先证明是等边三角形，可以求得的长，然后利用勾股定理求得的长．
【详解】解：四边形矩形，
，，，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
则．
故答案是：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定的应用和勾股定理的应用，解决本题的关键是：矩形的对角线相等且互相平分，属于基础题．
17. 我们把对角线与一条底边相等的等腰梯形叫做“完美等腰梯形”．若一个“完美等腰梯形”的对角线长为10，且该梯形的一个内角为，则这个梯形的高等于______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握等边对等角，含30度角的直角三角形30度角所对的边是斜边的一半．
根据题意画出图形，过点D作与点H，即可推出，进而得出，即可解答．
【详解】解：如图：四边形为等腰梯形，，
过点D作与点H，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
18. 如图，在边长为6的正方形中，点M、N分别是边、的中点，Q是边上的一点．连接、，将沿着直线翻折，若点C恰好与线段上的点P重合，则的长等于___________．

【答案】
【解析】
【分析】先证明是等边三角形，得到，从而由折叠的性质得到，，设，则，在中，利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：根据题意，画图如下：

在边长为6的正方形中，点M、N分别是边、的中点，
∴，垂直平分，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由折叠的性质可得：，
设，则，
在中，，即，
解得：，
即：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，根据题意画出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】先移项，两边平方，然后整理求得x的值，最后进行检验即可.
【详解】解：原方程化为：
两边平方，得 ，
整理，得，
解得，
经检验：是原方程的根，是原方程的增根，
∴原方程的根为 .
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，二次根式的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
20. 解方程组．
【答案】或
【解析】
【分析】由②变形得③，再③代入①得，解出或然后再分别代入③，解出x的值即可得到方程组的解．
【详解】解：
由②得③
把③代入①得
或
或
分别把和代入③得
或
综上所述，原方程组的解为或
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和解高次方程的应用，把高次方程组转化为二元一次方程组是解此题的关键．
21. 如图，点在平行四边形的对角线上，且，设，，．
（1）填空：图中与互为相反向量的向量是_______；
（2）填空：_______．
（3）求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果）
【答案】（1）和
（2）
（3）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了向量的知识，熟练掌握相量的定义是解题关键．
（1）证明，结合向量的定义，即可获得答案；
（2）由三角形法则，即可获得答案；
（3）根据三角形法则作图即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，即，
∴图中与互为相反向量的向量是和．
故答案为：和；
【小问2详解】
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：；
【小问3详解】
如图，即为所求作的向量．
22. 小明在普通商场中用96元购买了一种商品，后来他在网上发现完全相同的这一商品在网上购买比普通商场中每件少2元，他用90元在网上再次购买这一商品，比上次在普通商场中多买了3件．问小明在网上购买的这一商品每件几元？
【答案】小明在网上购买的这一商品每件6元
【解析】
【分析】设小明在网上购买的这一商品每件x元，小明在普通商场中用96元购买了一种商品，后来他在网上发现完全相同的这一商品在网上购买比普通商场中每件少2元，他用90元在网上再次购买这一商品，比上次在普通商场中多买了3件根据此可列方程求解．
【详解】设小明在网上购买的这一商品每件x元．
，
x2+4x﹣60＝0，
x1＝﹣10，x2＝6．
经检验它们都是原方程的根，但x＝﹣10不符合题意．
答：小明在网上购买的这一商品每件6元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，设出价格，根据件数作为等量关系列方程求解．
23. 如图，在中，、分别是边、上的中线，与交于点O，点F、G分别是、的中点，连接、、、．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据点F、G分别是、中点，得到，由、分别是边、上的中线，得到，即可证明；
（2）根据第一问结论，可得，，即证得四边形是平行四边形，根据，证得，得到，结合，得到，再根据平行四边形对角线互相平分，得到，即证明四边形是矩形．
【小问1详解】
点F、G分别是、的中点
，
、分别是边、上的中线
是的中位线
，
，．
【小问2详解】
、分别是边、上的中线
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形
，互相平分
，
．
四边形是矩形．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．
24. 已知平面直角坐标系（如图），过点的直线与y轴交于点A，将此直线向下平移个单位，所得到的直线l与y轴交于点B．
（1）求直线l的表达式；
（2）点C位于第一象限且在直线l上，点D在直线上，如果以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，求点C的坐标．
【答案】（1）
（2）C的坐标为或
【解析】
【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的平移，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，一次函数的平移规律，以及菱形四边相等，对边互相平行，对角线互相垂直平分．
（1）先求出k的值，再根据一次函数平移规律，即可得出直线l的解析式；
（2）先求出点A和点B的坐标，再进行分类讨论：①若为菱形的一边，则，，设，，得出，列出方程求出t的值即可；②若为菱形的对角线，则与互相垂直平分，设，，根据中点坐标公式列出方程求解即可．
小问1详解】
解：由过点，得，
解得，
∴直线的解析式为；
∵直线l是直线下移个单位所得，
∴直线l的表达式为；
【小问2详解】
解：把代入得：，
∴，
把代入得：，
∴，
①若为菱形的一边，则，
∵点C在第一象限，
∴点D只能在点C上方的直线上，此时，
设，，
∵，
∴，
∴，
，
．
②若为菱形的对角线，则与互相垂直平分，
∵点C位于第一象限且在直线l上，
∴直线与直线在第二象限的交点即为点D，
此时设，，
∵，，
∴，
，
综上，C的坐标为或．
25. 如图，在正方形中，点在边上（点与点不重合），过点作，与边相交于点，与边的延长线相交于点．
（1）由几个不同的位置，分别测量、的长，从中你能发现的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；
（2）连接，如果正方形的边长为2，设，的面积为，求与之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果正方形的边长为2，的长为，求点到直线的距离．
【答案】（1），见解析
（2），
（3）点到直线的距离为
【解析】
【分析】（1）过点作，垂足为，易得四边形是矩形，可得，，再证明，由全等三角形的性质可得，即，结合，即可证明结论；
（2）连接，结合全等三角形的性质以及勾股定理可得，根据三角形面积公式即可获得与之间的函数解析式，并确定该函数解析式的定义域即可；
（3）连接，首先确定，故可设点到直线的距离为，则有，代入数值并求解，即可获得答案．
【小问1详解】
解：，证明如下：
过点作，垂足为，如下图，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∵，
∴；
【小问2详解】
连接，如下图，
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴与之间的函数解析式为，
∵点在边上，且点与点不重合，
∴该函数解析式的定义域为．
【小问3详解】
连接，如下图，
∵，
∴可设点到直线的距离为，则有，
∵，
∴，
∴，
∴点到直线的距离为．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式、一次函数的应用等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．