福建省同安第一中学2023-2024学年高二下学期4月第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份福建省同安第一中学2023-2024学年高二下学期4月第一次月考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设函数，则( )
A.3B.2C.1D.-1
2．在等差数列中，若，，则等于( )
A.20B.18C.16D.-12
3．若，则( )
A.4B.6C.7D.8
4．在的展开式中，项的系数为( )
A.1B.10C.40D.80
5．若函数在上为增函数，则m的取值范围为( )
A.B.C.D.
6．著名数学家华罗庚先生曾说过，“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征.函数的图象大致是( )
A.B.
C.D.
7．已知椭圆的左右焦点分别是，，过的直线交椭圆于M，N两点，若（O为坐标原点），，则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.
8．设，，，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( )
A.如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C.甲乙不相邻的排法种数为82种
D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
10．如图所示，棱长为3的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是( )
A.B.与AC所成的角可能是
C.是定值D.当时，点到平面的距离为2
11．已知函数的定义域为，则下列说法正确是( )
A.若函数无极值，则
B.若，为函数的两个不同极值点，则
C.存在，使得函数有两个零点
D.当时，对任意，不等式恒成立
三、填空题
12．已知曲线在处的切线的斜率为-1，则__________.
13．2024年伊始,随着“广西沙糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出,哈尔滨火爆出圈,成为旅游城市中的“顶流”.某班级五位同学也准备共赴一场冰雪之约,制定了“南方小土豆,勇闯哈尔滨”的出游计划,这五位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂,冰雪大世界,中央大街三个景点中选择一个去游玩,已知每个景点至少有一位同学会选,五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点,若学生甲和学生乙准备选同一个景点,则不同的选法种数是__________.
四、双空题
14．已知函数，函数，则函数的极小值点为______；若，恒成立，则实数a的取值范围为______．
五、解答题
15．设函数，．
（1）当时，求函数在的最值；
（2）讨论函数的单调性．
16．如图所示，等边所在平面与菱形ACDE所在平面相垂直，，，，
（1）求证：平面ABC；
（2）求平面ABC与平面BEF所成角的余弦值.
17．某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA、OB、AC及曲线段BC围成．经测量，，米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA、OB的距离都是50米．现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在曲线段BC上，点E、F分别在线段OA、OB上，且该游乐场最短边长不低于30米．设米，游乐场的面积为S平方米．
（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程；
（2）求面积S关于x的函数解析式；
（3）试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大．（结果精确到0.1米）（参考数据：，）
18．已知椭圆的右焦点为，直线与C相交于A、B两点.
（1）求直线l被圆所截的弦长；
（2）当时，.
（i）求C的方程；
（ii）证明：对任意的，的周长为定值.
19．已知函数．
（1）若时，函数有2个不同的零点，求a的取值范围；
（2）已知为函数的导函数，在R上有极小值0，对于某点，在P点的切线方程为，若对于，都有，则称P为好点．
①求a的值；
②求所有的好点．
参考答案
1．答案：A
解析：函数，，，
，
故选：A
2．答案：B
解析：设等差数列为，公差为d，因此，，
则，故.
故选：B
3．答案：D
解析：，
，即，
，
故选：D．
4．答案：D
解析：通项公式为，
当时，，
所以项的系数为80.
故选：D
5．答案：C
解析：已知函数在上为增函数，则在恒成立，
即在恒成立，则，解得.
故选：C.
6．答案：C
解析：因为的定义域是
所以是奇函数，排除A、B
因为当时，，排除D
故选：C
7．答案：B
解析：如图所示：
设，因为，所以.
又因为，所以，即.
因为，所以.
因为，所以.
在中，，解得，
即，所以，即.
所以，.
故选：B
8．答案：C
解析：，
令，则，
所以在上递减，则，即，
则，，
所以，
故选：C
9．答案：ABD
解析：对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种，A正确；
对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有种排法；若最左端排乙，有种排法，合计不同的排法共有42种，B正确；
对于C，甲乙不相邻的排法种数有种，C不正确；
对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，D正确.
故选：ABD
10．答案：AC
解析：建立如图所示空间直角坐标系，
则有、、、、、
、、、则，，
，，，
设，，则，，
故，即，故A正确；
若与AC所成的角可能为，
则存在，使得成立，
即，
化简得，即，由，故舍去，
即与AC所成的角故可能是，故B错误；
，
故，故C正确；
当时，有，故，，
设平面的法向量为，
则有，令，则有，
则点到平面的距离，
故D错误.
故选：AC.
11．答案：BCD
解析：对于A，若函数无极值，，，
则或恒成立，则或，
当，则，解得：或，故A不正确；
对于B，若，为函数的两个不同极值点，，所以，
因为，则，，故B正确；
对于C，存在，使得函数有两个零点，与有两个交点，
在处的切线平行于轴，过原点的切线在的左侧稍微旋转后可得两个交点，故C正确；
对于D，当时，对任意，不等式恒成立，
，
，
，，
令，
对任意恒成立，
在上单减，，
对任意恒成立，所以，
在上单减，，
对任意恒成立，故D正确.
故选：BCD.
12．答案：-3
解析：因为，
所以，
当时，，
因为曲线在点(0，2)处的切线的斜率为-1，
所以，
解得，
故答案为：-3.
13．答案：36
解析：若甲乙选的景点没有其他人选,则分组方式为：1,2,2的选法总数为：
若甲乙选的景点还有其他人选择,则分组方式为：1,1,3,的选法总数为：
所以不同的选法总数为36.
14．答案：①.1；②.
解析：因为定义域为，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
则当时，函数的取得极小值，即函数的极小值点为1，
且，即，
因为，即，其中，
，
构造函数，当时，，则，
故函数在上为增函数，
所以，对任意的恒成立，所以，.
故答案为：；.
15．答案：（1）最大值为，最小值为；
（2）答案见解析
解析：（1）当时，函数，其中
且，令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，当，函数取得最大值，最大值为，
又由，，
因为，所以函数的最小值为.
（2）由函数，，且
当时，可得，单调递增；
当时，令，可得，（其中，舍去），
令，可得；令，可得，
所以函数在上单调递增，在单调递减.
综上可得：当时，在单调递增；
当时，在上单调递增，在单调递减.
16．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）因为四边形ACDE是菱形，
所以，且平面ABC，平面ABC，所以平面ABC.
又因为，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，
因为，且DE，平面DEF，所以平面平面ABC，
又因为平面DEF，所以平面ABC；
（2）取AC中点O，连接OB，OD，
因为四边形ACDE是菱形，且，则，
所以是等边三角形，则，
因为平面平面ABC，且平面平面，平面ACDE，
所以平面ABC，
因为是等边三角形，所以
分别以OB，OC，OD所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，可得，
由，可得.
又由，可得，
所以，
设平面BEF的法向量为，
则，可得，
取，则，所以，
又由平面ABC的一个法向量为，
所以，
所以平面ABC与平面BEF所成锐二面角的余弦值为.
17．答案：（1）；
（2）；
（3）当时，即点D到OB距离为40.8米时，游乐场面积最大.
解析：（1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则，，，
设曲线BC所在的抛物线方程为，，点B，C在抛物线上，
则，解得，，
所以曲线段BC所在的抛物线方程为.
（2）因为点D在曲线段BC上，，，所以，
，.
（3），，
令，解得，
当时，，当时，，
所以时，函数单调递增，时，函数单调递减，
因此，当时，是极大值也是最大值，
由，米，
即当点D在曲线段BC上且到OB的距离为40.8米时，游乐场的面积最大.
18、
（1）答案：6
解析：由题意得圆O的圆心为，到直线l的距离，
则直线l被圆O所截弦长为.
故直线l被圆O所截得的弦长为6.
（2）答案：（i）；（ii）证明见解析
解析：当时，直线l的方程为，
（i）联立，得，所以，
又因为，所以，，
所以，椭圆C的方程为；
（ii）设点、，则，且，
所以，，同理可得，
因为原点到直线的距离为，
过原点O作，垂足为点M，如下图所示：
所以，
，
联立可得，
，
当且仅当时，等号成立，此时点A、B关于x轴对称，合乎题意，
因为，则，
由韦达定理可得，，故，，
所以，，
因此，的周长为（定值）.
19．答案：（1）；
（2）①；②
解析：（1）当时，函数有2个不同的零点，
即方程有两个正根，即有两个正根，
设，，则，
则当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
又，当时，，当时，，
故当时，函数在区间上存在两个零点，
故a的取值范围的取值范围为.
（2）①因为，则，
设，则，时，得，
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
则为函数的极小值点，
则，解得.
②设为好点，
对于，都有，
当时，成立；
当时，恒成立，
当时，恒成立，
因为在P点的切线方程为，
所以，
设，即，
则，
又因为在上单调递减，在上单调递增，
当时，因为是好点，则恒成立，
若，则在上单调递增，
则，恒成立，
则在上单调递增，
则，满足条件，
故成立；
若时，则在上单调递减，在上单调递增，
在时，，，
所以在上单调递减，矛盾，不满足题意.
当时，因为是好点，则恒成立，
若，则在上单调递减，
则，恒成立，
则在上单调递增，
则，满足条件，
故成立；
若时，则在上单调递减，在上单调递增，
在时，，，
所以在上单调递减，矛盾，不满足题意.
综上可知，且，故，而，
所以只有一个好点.