湖南省湘西土家族苗族自治州2022-2023年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省湘西土家族苗族自治州2022-2023年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知a,,(i为虚数单位),则( )
A.,B.,C.,D.,.
2．已知,是不共线的向量,且,,,则( )
A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线
C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线
3．湘西州有甲草原:龙山县八面山空中草原,乙草原:泸溪县滨江大草原,暑假期间两草原供游客休闲旅游,记事件“只去甲草原”,事件“至少去一个草原”,事件“至多去一个草原”,事件“不去甲草原”,事件“一个草原也不去”.下列命题正确的是( )
A.E与G是互斥事件B.F与I是互斥事件,且是对立事件;
C.F与G是互斥事件D.G与I是互斥事件.
4．已知向量,,,若,的夹角与,的夹角相等,则( )
A.B.C.6D.5
5．已知,是两条直线,,是两个平面,则下列四个命题正确的有( )
①,
②,,;
③,
④,,.
A.4个B.3个C.2个D.1个
6．已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,,,点C在底面圆周上,且二面角为45°,则( )
A.该圆锥的体积为;B.该圆锥的侧面积为;
C.;D.的面积为2.
7．四名同学各掷骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数,根据四名同学的统计结果,可
以判断出一定没有出现点数6的是( )
A.平均数为2,方差为3.1;B.中位数为3,方差为1.6;
C.中位数为3,众数为2;D.平均数为3,中位数为2.
8．如图,公园里有一块边长为4的等边三角形草坪(记为),图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上,如果要沿DE铺设灌溉水管,则水管的最短长度为( )
A.B.C.3D.
二、多项选择题
9．已知i是虚数单位,若,则( )
A.复数的虚部为;B.复数对应的点在第二象限;
C.;D.复数是关于x的方程的一个根.
10．在某次数学测试中,对多项选择题的要求是:“在每小题给出的四个选项中,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.”已知某道多项选择题的正确答案是ABC,且某同学不会做该题(该同学至少选一项且可能全选),下列结论正确的是( )
A.该同学仅随机选一个选项,能得分的概率是;
B.该同学随机至少选择二个选项,能得分的概率是;
C.该同学仅随机选三个选项,能得分的概率是;
D.该同学随机选择选项,能得分的概率是.
11．某班级到一工厂参加社会实践劳动,加工出如图所示的圆台,在轴截面ABCD中,,且,下列说法正确的有( )
A.该圆台轴截面ABCD面积为;
B.与的夹角60°;
C.该圆台的体积为;
D.沿着该圆台侧面,从点C到AD中点的最短距离为5cm.
12．折扇又名“撒扇”“纸扇”,是一种用竹木或象牙做扇骨,韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子,如图1.其平面图如图2的扇形,其中,,点E在弧CD上.则( )
A.;
B.若,则;
C.若,则;
D.的最小值为.
三、填空题
13．___________.(i为虚数单位)
14．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事,自私自利,却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查:在随机抽取的50人中,有15人持认可态度,其余持反对态度,若该地区有9600人,则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有__________人.
15．已知函数在区间有且仅有4个零点,则的取值范围是___________.
16．近期,贵州榕江“村超”火爆全网,引起足球发烧友,旅游爱好者,社会名流等的广泛关注.足球最早起源于我国古代“蹴鞠”,被列为国家级非物质文化,蹴即踢,鞠即球,北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖,太宗和臣子们蹴鞠的场景.已知某“鞠”的表面上有四个点A,B,C,D,连接这四点构成三棱锥如图所示,顶点A在底面的射影落在内,它的体积为,其中和都是边长为6的正三角形,则该“鞠”的表面积为______________.
四、解答题
17．设平面内三点,,.
（1）求;
（2）设向量与的夹角为,求.
18．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若.
（1）求A;
（2）若,的面积为,求的周长.
19．某校举行数学竞赛,竞赛要完成三道题:代数,几何,组合各一道,竞赛记分方法如下:在规定时间内,答对代数题,几何题,每题均可获得30分,答对组合题,可获得40分,每答错一题,则扣除总分中的10分(假设答题只有对与错两种结果).根据以往统计结果,小明答对代数,几何,组合的概率分别为,,a,假设解答这三题结果彼此独立,已知小明初始分为0分,设比赛结束后,小明的总分为X,求:
（1）已知小明在规定时间内,将三题都答对的概率为,求该学生恰能答对三题中的一题的概率;
（2）已知,若总分X不低于50分才能获奖,求小明获奖的概率.
20．如图,在四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,为等边三角形,平面平面,,,.
（1）设G,H分别为PB,AD的中点,求证:平面PAD;
（2）求证:平面PCD;
（3）求直线AD与平面PAC所成角的余弦值.
21．2023年9月,第19届亚洲运动会将在中国杭州市举行,某调研机构为了了解人们对“亚运会”相关知识的认知程度,针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“亚运会”知识竞赛,满分100分(95分及以上为认知程度高),结果认知程度高的有m人,按年龄分成5组,其中第一组,第二组,第三组,第四组,第五组,得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有10人.
（1）根据频率分布直方图,估计这m人的平均年龄和上四分位数;
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人,担任本市的“亚运会”宣传使者:
(i)若有甲(年龄38),乙(年龄40)两人已确定入选,现计划从第四组和第五组被抽到的使者中,再随机抽取2名作为组长,求甲､乙两人至少有一人被选上的概率;
(ii)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和,第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1,据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差.
22．若函数满足且,则称函数为“M函数”.
（1）试判断是否为“M函数”,并说明理由;
（2）函数为“M函数”,且当时,,求的解析式,并写出在上的单调递增区间;
（3）在（2）的条件下,当时,关于x的方程(a为常数)有解,记该方程所有解的和为,求.
参考答案
1．答案：C
解析：,a,,,,故选:C.
2．答案：B
解析：,A,B,D三点共线,故选:B.
3．答案：B
解析：对于A,事件E,G有可能同时发生,不是互斥事件,故A错误;
对于B,事件F与I不可能同时发生,且发生的概率之和为1,是互斥事件,且为对立事件,故B正确;
对于C,事件F与G有可能同时发生,不是互斥事件,故C错误;
对于D,事件G与I有可能同时发生,不是互斥事件,故D错误.故选:B.
4．答案：D
解析：,,,
,的夹角与,的夹角相等,
,即,解得,故选:D.
5．答案：C
解析：对①,,,,①正确;
对②,,,,或m与n异面,②错误;
对③,,,或,③错误;
对④,,,,又,,④正确.故选:C.
6．答案：D
解析：依题意,,,所以,,
A选项,圆锥的体积为,A选项错误;
B选项,圆锥的侧面积为,B选项错误;
C选项,设D是AC的中点,连接OD,PD,则,,
所以是二面角的平面角,
则,所以,
故,则,C选项错误;
D选项,,所以,D选项正确.故选:D.
7．答案：A
解析：对于A,若平均数为2,可得方差,平均数为2,方差为3.1,一定没有出现点数6,故A正确.
对于B,当投掷骰子出现的结果为3,3,3,5,6时,
满足中位数为3,方差为:
,
此时出现点数为6,故B错误;
对于C,当投掷骰子出现结果为2,2,3,4,6时,
满足中位数为3,众数为2,可以出现点数6,故C错误;
对于D,当投掷骰子出现的结果为1,1,2,5,6时,
满足平均数为3,中位数为2,可以出现点数6,故D错误;故选:A.
8．答案：A
解析：,.
解得:.
在中用余弦定理得到:.
整理得到:,即,当且仅当时取得等号.
故DE的最小值为.故选:A.
9．答案：ABD
解析：由题意可得,,
复数的虚部为,故A正确,,对应的点为,故B正确,
,故C错误.
将代入方程是成立的,故D正确.
故选:ABD.
10．答案：BC
解析：该同学随机选一个选项,共有4个基本事件,分别为A,B,C,D.
随机选两个选项,共有6个基本事件,分别为AB,AC,AD,BC,BD,CD.
随机选三个选项,共有4个基本事件,分别为ABC,ABD,ACD,BCD..
随机选四个选项,共有1个基本事件,即ABCD.
仅随机选一个选项,能得分的概率是,故A错误.
随机至少选择二个选项,能得分的概率是,故B正确.
仅随机选三个选项,能得分的概率是,故C正确.
随机选择选项,能得分的概率是,故D错误.故选:BC.
11．答案：ACD
解析：对于A,圆台高为,
圆台轴截面ABCD面积为,故A正确;
对于B,由已知及题图知,且,
,与的夹角120°,故B错误;
对于C,圆台的体积,故C正确;
对于D,将圆台一半侧面展开,如下图中ABCD,且E为AD中点,而圆台对应的圆锥体侧面展开为扇形COD,且,
,
在中,,
即C到AD中点的最短距离为5cm,故D正确.
故选:ACD.
12．答案：BCD
解析：,A错误;
由知,E为弧CD的中点,
又,由平行四边形法则可知则,故,B正确.
由知,,,
设,则
解得,
故,C正确.
,
当且仅当时,等号成立,故的最小值为,D正确.
故选:BCD.
13．答案：
解析：由题意,的周期为4,所以原式.
故答案为:.
14．答案：6720
解析：在随机抽取的50人中,持反对态度的频率为,则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有(人).故答案为:6720
15．答案：
解析：因为,所以,
令,则有4个根,
令,则有4个根,其中,
结合余弦函数的图像性质可得,故,
故答案为:.
16．答案：
解析：如图,
取BC的中点E,连接DE,AE,
设和的中心分别为H,F,过H,F分别作平面BCD与平面ABC的垂线交于点O,
即球心为O,设“鞠”的半径为R,连接OE,
因为,,所以平面AED,
则,
即:,
又,,
所以,即,
易知OE为的角平分线,所以.
在中,因为,则
在中,,,
所以该“鞠”的表面积为.故答案为:.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）根据题意,三点,,得:
,,
则,故;
（2）根据题意,,,
则,,
故.
18．答案：（1）
（2）18
解析：（1）由及正弦定理得:
因为,
所以.
由于,
所以.
又,故.
（2）由题得的面积,故①
由余弦定理得:,
又,故②,
由①②得:
所以的周长为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）小明三道题都答对概率为,故,
恰能解决三道题中的一道题的概率:;
（2）若三道题均答对,则,
;
若组合题答对,代数,几何恰有一道题答对,则,
;
若代数几何均答对,但组合未答对,则,
;
.即小明获奖的概率为.
20．答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）
解析：（1）连接BD,易知,,
又由,故,
又因为平面PAD,平面PAD,
所以平面PAD.
（2）取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得,
又因为平面平面PCD,平面平面,
所以平面PAC,又平面PAC,故,
又因为,,
所以平面PCD.
（3）连接,由（2）中平面PAC,
可知为直线AD与平面PAC所成的角.
因为为等边三角形,且N为PC的中点,
所以,所以,又,所以.
在中,,
所以直线与平面PAC所成角的余弦值为.
21．答案：（1）36.25
（2）10
解析：（1）设这m人的平均年龄为x,则
(岁)
设上四分位数(第75百分位数)为a,
方法一:由,解得.
方法二:由,解得.
（2）(i)由题意得,第四组应抽取4人,记为A,B,C,甲,第五组抽取2人,记为D,乙,对应的样本空间为:
,
共15个样本点.
设事件“甲､乙两人至少一人被选上”,则
,
共有9个样本点.所以,.
(ii)设第四组､第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为,,方差分别为,,
则,,,.
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为,方差为.
则,
,
因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10.
据此可估计这m人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.
22．答案：（1）见解析
（2）,
（3）见解析
解析：（1）不是“M函数”.
,,
,
不是“M函数”.
（2）函数满足,函数的周期,
,,
当时,,,
当时,,
,.
函数在上的单调增区间为,.
（3）由（2）得函数在上的图象为:
下面考虑方程在区间的根之和:
①当或时,(a为常数)有2个解,其和为,
②当时,(a为常数)有3个解,其和为,
③当时,(a为常数)有4个解,其和为,
当,时,
记关于x的方程(a为常数)所有解的和为,
当时,,
当或时,,
当时,,
当时,,
.