濮阳市第一高级中学2023-2024学年高二下学期5月期中数学试卷(含答案)

这是一份濮阳市第一高级中学2023-2024学年高二下学期5月期中数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知函数，则( )
A.B.C.D.
2．数列满足：对于，，，已知，则( )
A.1B.2C.3D.4
3．圆心在x轴上且过点的圆与y轴相切，则该圆的方程是( )
A.B.C.D.
4．若直线和曲线相切，则实数a的值为( )
A.B.2C.1D.
5．某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒.若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为( )
A.B.C.D.
6．设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为.P是C上一点，且.若的面积为4，则a=( )
A.1B.2C.4D.8
7．已知是定义在上的函数，且，导函数满足恒成立，则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
8．英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛.若数列满足，则称数列为牛顿数列.若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的最大正整数n的值为( )
A.10B.11C.12D.13
二、多项选择题
9．若，则( )
A.B.
C.D.
10．设等差数列的前n项和为，，公差为d，，，则下列结论正确的是( )
A.B.当时，取得最大值
C.D.使得成立的最大自然数n是17
11．已知直线经过抛物线的焦点F，与E交于不同的两点A，B，与E的准线l交于点C，则( )
A.
B.若，则
C.若，则的取值范围是
D.若，，，成等差数列，则
三、解答题
12．已知离散型随机变量X的分布列为：
则____________.
13．2024年伊始，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”.某班级五位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这五位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂，冰雪大世界，中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是__________.（请用数字作答）
14．已知二项式的展开式中，第7项为常数项，且各项系数之和等于其二项式系数之和.
（1）求a与n的值；
（2）求其展开式中所有的有理项.
15．晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单.
（1）其中舞蹈节目第一个出场，相声节目不能最后一个出场；
（2）2个舞蹈节目不相邻；
（3）前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目.
16．图1是由正方形和正三角形组成的一个平面图形，将正三角形沿折起，使点E到达点P的位置，Q为的中点，如图2.
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值.
17．已知数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
18．已知函数.
（1）当时，求单调区间；
（2）若时，，求a的取值范围；
（3）对于任意，证明：.
四、填空题
19．设实数,对任意的,不等式恒成立,则实数a的取值范围是___________.
参考答案
1．答案：D
解析：.
2．答案：A
解析：，，，，故.
3．答案：A
解析：依题可设圆的方程为，所以，解得，.
即圆的方程是.
4．答案：C
解析：因为，所以，设切点坐标为，所以，.所以，.
5．答案：C
解析：记服用金花清感颗粒为事件A，服用莲花清瘟胶囊为事件B，服用清开灵颗粒为事件C，感冒被治愈为事件D，
依题意可得，，，，，，所以
.
6．答案：A
解析：，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，，即，解得，故选A.
7．答案：D
解析：令，则，
因为导函数满足恒成立且，
所以，所以在单调递增，
因为，所以不等式等价于，
因为所以在单调递增，所以，
所以不等式的解集为.
8．答案：A
解析：因为，所以，
则，又，，
所以是首项为，公比的等比数列，则，
令，则，又因为在定义域内单调递增，
且，所以，所以最大正整数n的值为10.
9．答案：AC
解析：令，
由，得，A正确；
由，得，B错误；
由，得，
因此，C正确；
，D错误.
10．答案：ABC
解析：因为等差数列中，
，，
所以，，，A正确；
当时，取得最大值，B正确；
，C正确；
，，
故成立的最大自然数，D错误.
11．答案：ACD
解析：直线过点，所以，A正确；
由于，,即
由，
，，所以，所以，
，B错误；
若,设则
令，
，所以C正确；
，，成等差数列，得，，
过点A做垂直准线l与点，过点B做垂直准线l与点
则，
，，，，，
所以点F为中点，，D正确.
12．答案：
解析：由离散型随机变量X的分布列的性质，可得，解得，
所以.
13．答案：36
解析：若甲乙选的景点没有其他人选，则分组方式为:1，2，2的选法种数为:，
甲乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为:1，1，3的选法种数为:，
所以不同的选法种数为.
14．答案：（1）；；
（2），，.
解析：（1）在二项式的展开中，第7项为
由题意知.因为各项系数之和等于其二项式系数之和，所以，；
（2）二项式的展开式通项为
,解得
所以展开式所有理项为，，.
15．答案：（1）1200；
（2）3600；
（3）3456.
解析：（1）按特殊位置或特殊元素优先安排的原则分3步:先排第1个节目，有种安排方法，再排最后一个节目，可以从余下的5个非相声节目中选一个排在最后，有种排法,最后余下的节目随便排，有种排法，由分步计数原理得共有种排法.
（2）先排非舞蹈节目，有种排法，将2个舞蹈节目插到6个空中，有种排法，故种排法.
（3）前3个节目共三种情况:一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目，种排法，另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目，有种排法，最后一种为歌唱节目、舞蹈节目、相声节目各1个,有种排法，故共有种排法
16．答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）证明：连交于点O，连.
由为正方形知O为中点，又Q为中点，故，
又平面且平面，
所以平面.
（2）取中点H，连，由为等边三角形得.
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以D为原点，，所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，，，
平面就是坐标平面，故可取其法向量，
设平面一个法向量为，
即，则，
令，则，，得，
记平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为
17．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）当时，
当时①
②
①减②得，则
因为当时，符合上式，所以
（2）
③
④
③－④得
则
因为，所以数列为递增数列
则当时，取最小值，所以.
18．答案：（1）的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）；
（3）证明见解析.
解析：（1）的定义域为；
当时，，则；
令，则；
故当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增.
于是，即，
故的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）由题意知，令，
则；
由（1）可知若，则当时，，
若，则当时，有，符合题意；
若，则当时，，于是，单调递减，则，与题意矛盾；
若，则当时，，于是，单调递减，此时，与题意矛盾；
综上所述：a的取值范围是.
（3）当时，由（2）可知，
即，取，可得
，
即.
令，，…，，累加可得
.
另一方面，考虑函数，，
则，
在上单调递减，则，
于是，.
取（），可得，
整理得.
令，，…，，
累加可得.
综上所述，对于任意，成立.
19．答案：
解析：因为,
所以,
所以,
所以,
令,则,
,令,得,
所以在上,,单调递增,
所以当时,,因为对任意的,不等式恒成立,
所以对任意的,不等式恒成立,
即对任意的,不等式恒成立,
令,
,
令得,
所以在上,单调递增,
在上,单调递减,
所以,
所以,
所以,
所以实数a的取值范围为.
X
1
2
3
P
m