2024年中考数学【高分·突破】考点20二次函数与三角形和四边形的综合问题(原卷版+解析)

这是一份2024年中考数学【高分·突破】考点20二次函数与三角形和四边形的综合问题(原卷版+解析)，共55页。
一、解答题
1．如图，抛物线（、是常数）的顶点为，与轴交于、两点，其中，，点从A点出发，在线段上以单位长度/秒的速度向点运动，运动时间为秒，过作交于点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)当为何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
(3)点出发的同一时刻，点从点出发，在线段上以单位长度/秒的速度向点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，已知抛物线与轴交于、两点(在的左侧)，与轴交于点，，点的坐标为．

(1)求、、的坐标及的值；
(2)直线经过点，与抛物线交于、，若，求直线的解析式；
(3)过点作直线，为直线上的一动点．是否存在点，使的值最大？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
3．如图1，抛物线与x轴正负半轴分别交于点A，B（A左B右），与y轴正半轴交于点C，且．

图1 图2
(1)求抛物线的解析式；
(2)D为线段上方的抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，交于点F，E为的中点，若相似，求点D的坐标；
(3)如图2，P为抛物线上一动点，过点P作直线与抛物线的对称轴交于点M，过点P作直线与抛物线的对称轴交于点N，点M，N的纵坐标分别为m，n，当与抛物线只有一个公共点时，求m与n的数量关系式．
4．如图，已知抛物线与轴正半轴交于点A，与轴负半轴交于点，且，与直线交于两点．
(1)求点的坐标；
(2)当时，求的面积；
(3)取何值时的面积最小？最小面积是多少？
5．如图1，已知二次函数经过、，并交轴于另一点，点是线段上的动点，过、两点的直线与抛物线在第四象限相交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当取最大值时，求点D的坐标；
(3)如图2，连接，在抛物线上存在点，使，求出所有点的坐标；
(4)如图3，过点作轴于点，以为对角线作正方形，当顶点恰好落在抛物线上时，请直接写出点的坐标．
6．如图1，抛物线与x轴交于点A，B（A在B左边），与y轴交于点C，连，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，过点D作交抛物线于点E，交y轴于点P．
(1)点F是直线下方抛物线上点一动点，连交于点G，连，当的面积的最大值时，直线上有一动点M，直线上有一动点N，满足，连，，求的最小值；
(2)如图2，在（1）的条件下，过点F作轴于点H交于点L，将沿着射线平移到点A与点C重合，从而得到（点A，H，L分别对应点，，），再将绕点逆时针旋转，旋转过程中，边所在直线交直线于Q，交y轴于点R，求当为等腰三角形时，直接写出的长．
7．抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴的正半轴交于C点，的面积为6．

(1)直接写出点A、B的坐标为 、 ；抛物线的解析式为
(2)如图1，连结，若在第一象限抛物线上存在点D，使点D到直线的距离为，求点D的坐标；
(3)如图2，平行于的直线交抛物线于M、N两点，在抛物线上存在点P，当PQ⊥y轴时，恰好平分，求P点坐标．
8．如图，抛物线经过原点和点，它的对称轴交抛物线于点．两点在对称轴上（点在的上方），且关于点对称，直线交抛物线于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（1），若的面积为，求点的坐标；
(3)如图（2），若，求点的坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，点，为抛物线上的动点，且轴交轴于点．

(1)过点作轴于点．
若，直接写出点，的坐标；
如图，连接交抛物线于点，在点，运动的过程中，求的值；
(2)如图，若点，点和点关于点对称，连接，，点为下方的抛物线上一动点（点不与点，，重合），过点作与抛物线有唯一公共点的直线交，分别于点，，当点运动时，试说明为定值，并求出其值．
10．已知：抛物线交x轴于两点，交y轴于C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D在第四象限的抛物线上，于点E，若，求点D的坐标；
(3)如图2，抛物线L经过平移后得到抛物线，直线交抛物线的其中一个点为P，直线与抛物线有且只有一个交点P，且与y轴不平行，交于点Q，求点Q的纵坐标．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点．

(1)当时，求三点坐标；
(2)过点作交抛物线于另一点，交轴于点，若，求的值；
(3)如下图，直线分别交抛物线于两点，直线交轴于点，，点的纵坐标分别为，求证：．

12．已知直线经过定点M，以M为顶点的抛物线与x轴交于A，B两点（A左B右）．

(1)点M的坐标是 ， ， （直接写出结果）；
(2)如图1，若直线l与抛物线交于另一点C，且恰好平分，求k的值；
(3)如图2，将抛物线沿直线l平移得到抛物线，且抛物线恒经过点A．N是抛物线的顶点（不与M重合），是坐标平面内一点，求N，P两点之间距离的最小值．
13．坐标综合：

(1)平面直角坐标系中，抛物线：的对称轴为直线，且经过点，求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
(2)将抛物线在平面直角坐标系内作某种平移，得到一条新的抛物线：，
①如图，设自变量在的范围内取值时，函数的最小值始终等于．此时，若的最大值比最小值大，求的值；
②如图，直线：与轴、轴分别交于、两点过点、点分别作两坐标轴的平行线，两平行线在第一象限内交于点．设抛物线与轴交于、两点（点在左边）．现将图中的沿直线折叠，折叠后的边与轴交于点．当时，若要使点始终能够落在线段（包括两端点）上，请通过计算加以说明：抛物线在向抛物线平移时，沿轴的方向上需要向左还是向右平移？最少要平移几个单位？最多能平移几个单位？
14．如图1，抛物线与直线（是常数）交于A，B两点（点A在点B的左边），且是直角三角形．

(1)求的值；
(2)如图2，将抛物线向下平移，得到抛物线，若抛物线与直线交于C，D两点（点C在点D的左边），与x轴正半轴交于点E．求证：是直角三角形；
(3)如图3，若抛物线（）与直线交于M，N两点（点M在点N的左边），点K在抛物线上，当是直角三角形时，直接写出点K的坐标．（用含，的代数式表示）
15．已知二次函数的图象为抛物线，点是平面直角坐标系上的两点，一次函数的图象过点且与交于两点，垂直于的对称轴，垂足为．

(1)用表示线段的长；
(2)求证：；
(3)若，是否存在直线，使得？如果存在，求出的解析式，如果不存在，说明理由．
压轴热点考点20 二次函数与三角形和四边形的综合问题
压轴突破——2024年【中考冲刺】数学高频热点考点好题精编
一、解答题
1．如图，抛物线（、是常数）的顶点为，与轴交于、两点，其中，，点从A点出发，在线段上以单位长度/秒的速度向点运动，运动时间为秒，过作交于点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)当为何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
(3)点出发的同一时刻，点从点出发，在线段上以单位长度/秒的速度向点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，面积最大值；
(3)或或
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）求出直线的解析式为，根据平行求出直线的解析式为，同理可得直线的解析式为，通过建立方程求出点，由，则，当时，面积的最大值为；
（3）根据锐角三角函数和勾股定理的知识分别表示出、、，再分情况进行求值，即可求出的值，最后再求点的坐标．
【详解】（1）解：将，，代入，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图：

∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴当时，面积的最大值为；
（3）解：存在，使为等腰三角形，理由如下：
如图，

由（2）可知，，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点在点右侧时，，
，
，
由题意可得：
①当，则，解得或（不符合题意，舍去），此时，
②当时，则，解得或（不符合题意，舍去），此时，
③当时，则，解得或（不合题意，舍去）．
当点在点左侧时，
，
①当，则，解得或，不符合题意，舍去；
②当时，则，解得或，不符合题意，舍去；
③当时，则，解得，不符合题意，舍去．
综上所述当或或时，为等腰三角形．
∴点坐标为：或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，求两直线的交点坐标，二次函数的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理是解题的关键．
2．如图，已知抛物线与轴交于、两点(在的左侧)，与轴交于点，，点的坐标为．

(1)求、、的坐标及的值；
(2)直线经过点，与抛物线交于、，若，求直线的解析式；
(3)过点作直线，为直线上的一动点．是否存在点，使的值最大？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)、，，；
(2)直线的解析式为：或；
(3)存在，．
【分析】（1）令，即可求出点、坐标，再求出点坐标代入抛物线解析式即可求出．
（2）如图1，作于点，于点，则，设直线的解析式为，，，列出方程组消去，根据根与系数关系以及，列出方程即可解决问题．
（3）存在点，使的值最大，当时，最小，此时与相切于点（如图3），求出即可．
【详解】（1）解：令，得
，
、；
，
，代入得；
（2）解：如图1，作于点，于点，则，

，，
又，
，
设直线的解析式为，，，
由消去得，
，，
，
，
，
，
直线的解析式为：或；
（3）解：存在点，使的值最大，
如图2，设的外接圆为，是弦心距，则，
在中，为定值，
当的半径最小时，最大，
当时，最小，此时与相切于点（如图3），

由，得，
解得，
．
【点睛】本题考查二次函数综合题、根与系数关系、勾股定理、平行线分线段成比例定理、圆、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用根与系数的关系构建方程解决问题，学会添加常用辅助线，构造圆解决问题，属于中考压轴题．
3．如图1，抛物线与x轴正负半轴分别交于点A，B（A左B右），与y轴正半轴交于点C，且．

图1 图2
(1)求抛物线的解析式；
(2)D为线段上方的抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，交于点F，E为的中点，若相似，求点D的坐标；
(3)如图2，P为抛物线上一动点，过点P作直线与抛物线的对称轴交于点M，过点P作直线与抛物线的对称轴交于点N，点M，N的纵坐标分别为m，n，当与抛物线只有一个公共点时，求m与n的数量关系式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分别求出A、B、C三点的坐标，再根据勾股定理列出含a的二元一次方程，进而可解答；
（2）由B、C的坐标表示出直线的解析式，设，则，根据两点间的距离公式表示出，再根据相似三角形的性质得出含x的一元二次方程，进而解答即可；
（3）设，表示出直线的解析式为，当时，．由直线过点P，得出，进而得出，即可解答
【详解】（1）解：令：，
．
令，得．
，
，
，
即，
解得，
，
，
，
即；
（2）解：，
E为的中点，
∴直线的解析式为，
设，
则，
，，，
，
解得或（舍）
；
（3）解：抛物线的对称轴为．设．
联立
得，
，
，，
直线的解析式为，
当时，．
∵直线过点P，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数上点的坐标特征，二次函数的性质，勾股定理，会解一元二次方程，是解题的关键．
4．如图，已知抛物线与轴正半轴交于点A，与轴负半轴交于点，且，与直线交于两点．
(1)求点的坐标；
(2)当时，求的面积；
(3)取何值时的面积最小？最小面积是多少？
【答案】(1)点的坐标为
(2)10
(3)时，的面积最小，最小面积是8
【分析】（1）由题意得点的坐标为，根据，得出点A的坐标为，把点A的坐标代入抛物线的解析式即可得出答案；
（2）当时，直线的函数表达式为，设直线与轴交于点，求出点的坐标为，得出，令，解得，根据三角形面积公式求出结果即可；
（3）令，解得，得出，表示出与之间的函数关系式为：，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：由题意得点的坐标为，
，
∴点A的坐标为，
，
解得或（舍去），
点的坐标为．
（2）解：抛物线的函数表达式为，
当时，直线的函数表达式为，
设直线与轴交于点，把代入得：，
∴点的坐标为，
，
由，得，
．
（3）解：同（2）可得，当时，
即，
解得，
，
与之间的函数关系式为：．
当时，有最小值为8．
故时，的面积最小，最小面积是8．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的面积问题，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质．
5．如图1，已知二次函数经过、，并交轴于另一点，点是线段上的动点，过、两点的直线与抛物线在第四象限相交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当取最大值时，求点D的坐标；
(3)如图2，连接，在抛物线上存在点，使，求出所有点的坐标；
(4)如图3，过点作轴于点，以为对角线作正方形，当顶点恰好落在抛物线上时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)抛物线的表达式为：
(2)
(3)点F的坐标为 或 或
(4)点
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）证明得到，即可求解；
（3）①如右图，当点在左侧时，过点作轴于点，过点作于点，证明，得到，即可求解；②如右图，当点在右侧时，同理可解；
（4）设点，则，则，得到点，即可求解．
【详解】（1）抛物线经过，，
，解得：，
抛物线的表达式为：；
（2），
，，
设直线的解析式为，
由题意得，解得：，
所以直线的解析式为，
如图，分别过点和点作轴的平行线，交直线于点和点，
，
则，
，
点M横坐标为，
将代入的解析式，得，
，
为定值．
当取最大值时， 取得最大值，
设，则，
则，
当 时，取最大值，即 取得最大值，此时；
（3），
，，
①如右图，当点在左侧时，过点作轴于点，过点作于点，
则，
，
，
，
，
，
，
设，则，
点在第四象限，
，，
∴，
∴，
将 代入抛物线得：，
解得：，，
点的坐标 或；
②如右图，当点在右侧时，过点作轴于点，过点作于点，
则，
则，
，
设，则，
点在线段上且在第四象限，
，，
，，
，
将 代入抛物线得：，
解得：， （舍去），
点的坐标，
综上所述：点的坐标为 或 或；
（4）设点，
则，则，
则，，
即点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：（舍去）或，
则点，．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、特殊四边形的性质等，分类求解是本题解题的关键．
6．如图1，抛物线与x轴交于点A，B（A在B左边），与y轴交于点C，连，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，过点D作交抛物线于点E，交y轴于点P．
(1)点F是直线下方抛物线上点一动点，连交于点G，连，当的面积的最大值时，直线上有一动点M，直线上有一动点N，满足，连，，求的最小值；
(2)如图2，在（1）的条件下，过点F作轴于点H交于点L，将沿着射线平移到点A与点C重合，从而得到（点A，H，L分别对应点，，），再将绕点逆时针旋转，旋转过程中，边所在直线交直线于Q，交y轴于点R，求当为等腰三角形时，直接写出的长．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）作轴交于H．设，求出直线的解析式，联立方程得到时，的值最大，求出答案；作点G关于的对称点T，交于R，连接交于N，作于M，连接，，此时的值最小，求出答案即可；
（2）当是等腰三角形时，易知，易知直线与x轴的夹角为，得到直线的解析式为，进而求出答案，当是等腰三角形，同理求出答案．
【详解】（1）如图1中，作轴交于H．设．
由题意可知，，，
抛物线的对称轴，C，D关于直线对称，
，
直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
由，解得或，
，，
，的面积为定值，
的面积最大时，的面积最大，
的值最大时，的面积最大，
的值最大时，的面积最大，
，
．开口向下，
时，的值最大，此时．
如图2中，作点G关于的对称点T，交于R，连接交于N，作于M，连接，，此时的值最小．
直线的解析式为：，
由，
解得，
，
，
直线的解析式为，
由，解得，
，
，
，
．
的最小值为．
（2）如图3中，如图当是等腰三角形时，易知，
易知直线与x轴的夹角为，，
直线的解析式为，
，
．
如图4中，当是等腰三角形，
，
是等边三角形，
同法可得，
综上所述，满足条件的PR的值为或．
【点睛】本题属于二次函数证明题，考查了二次函数的性质，一次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论的思想思考问题．
7．抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴的正半轴交于C点，的面积为6．

(1)直接写出点A、B的坐标为 、 ；抛物线的解析式为
(2)如图1，连结，若在第一象限抛物线上存在点D，使点D到直线的距离为，求点D的坐标；
(3)如图2，平行于的直线交抛物线于M、N两点，在抛物线上存在点P，当PQ⊥y轴时，恰好平分，求P点坐标．
【答案】(1)，；．
(2)点的坐标为
(3)
【分析】（1）令，可求出的值，进而可得出，的坐标；令，可求出的值，可得出点的坐标，得出线段的长，利用三角形的面积公式可得出的值；
（2）过点作于点，根据三角形面积的等积法可求出的长，进而可得出点的位置，利用全等三角形的性质求出直线的解析式，联立可求出点的坐标；
（3）过点作于，过点作于，根据，，可得，设出、、三点的坐标（只设横坐标，纵坐标用横坐标表示），分别用横坐标之差、纵坐标之差表示出两个相似三角形的直角边，列出比例等式；设出的解析式，与抛物线方程联立，得出两根之和的关系式，结合前面的比例等式解出点的横坐标，进而算出纵坐标．
【详解】（1）令，即，
解得或，
，；
令，则，
，即，
，解得，
函数解析式为：．
故答案为：，；．
（2）由（1）知，，，，
，，，
过点作于点，
，
，
设点到直线的距离，
延长到点，使得，过点作的平行线与轴交于点，与抛物线在第一象限内交于点，

，
，
，
，
，
，，
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
令，解得或，
点在第一象限，
．
（3）如图，过点作于，过点作于，
设，，，，，，
则：
，
，
，
，
恰好平分，即，，
，
，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
令，
由消去整理得：，
由韦达定理可知：，
，
，
．

【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式、抛物线的对称性、相似三角形的判定与性质、三角形面积计算、配方法求二次函数最值、角平分线的定义、韦达定理等众多知识点，综合性很强，难度较大．本题第（3）问使用代数手段解决几何问题，是几何与代数的巧妙结合，有很强的解析性质，是难点所在，熟练掌握这些技巧，对今后高中的数学学习有很大的帮助．
8．如图，抛物线经过原点和点，它的对称轴交抛物线于点．两点在对称轴上（点在的上方），且关于点对称，直线交抛物线于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（1），若的面积为，求点的坐标；
(3)如图（2），若，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）设出直线的解析式，联立方程组，求出点坐标，再由三角形面积即可求点坐标；
（3）过点作的垂线，垂足为，直线交轴于点，设的解析式为，由(2)得，，通过证明来求点坐标即可．
【详解】（1）将，分别代入，
可得，
解得．
∴抛物线的解析式为．
（2），
∴抛物线的对称轴为，顶点的坐标是．
设的解析式为，
联立
解得（舍）
或
．
而
，
，
解得，
∵点在的下方，
．
（3）过点作的垂线，垂足为，直线交轴于点．
设的解析式为，由（2）得．
，
，
，
，
，
又，
．
，
解得．
∵点在的下方，
，
．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，直角三角形的三角函数是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，点，为抛物线上的动点，且轴交轴于点．

(1)过点作轴于点．
若，直接写出点，的坐标；
如图，连接交抛物线于点，在点，运动的过程中，求的值；
(2)如图，若点，点和点关于点对称，连接，，点为下方的抛物线上一动点（点不与点，，重合），过点作与抛物线有唯一公共点的直线交，分别于点，，当点运动时，试说明为定值，并求出其值．
【答案】(1)①，；②；
(2)见解析，．
【分析】（）设点 的横坐标为，根据对称可求得，又由可得到，代入即可求得的坐标；设，，，直线的解析式为，代入求得直线的解析式为，后求出点横坐标，最后利用相似三角形可求出的值；
（）设点的坐标为，分别求出直线，直线，直线的解析式求出来，利用它们把点的横坐标求出来即可求出结果．
【详解】（1）设点的横坐标为,
∵轴，
∴点关于轴对称，
∴点的横坐标为，
∴
∵，
∴，
∵轴，
∴，
把点代入中得，
,
解得：，（不合题意，舍去），
∴，；
设，，，
则，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为：，
联立，得，
∴，
∴，
过点作于点，

∵轴
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）设点的坐标为，
∵，
把代入中得，
，
解得，
∴，，
∵点和点关于点对称，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得
，
解得，
∴直线的解析式为：，
同理可得直线解析式为：．
设直线解析式为：，
联立，
∴，
∵直线与抛物线有唯一公共点，
∴，
∴，
∴直线解析式为：．
联立，
得，
同理．
设与轴交于点，

，
又直线解析式为：，令，，
∴的坐标为，，
∴，
∴，
∴为定值．
【点睛】此题考查了二次函数、一次函数、相似三角形的综合应用，熟练掌握二次函数、一次函数、相似三角形的性质是解题的关键．
10．已知：抛物线交x轴于两点，交y轴于C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D在第四象限的抛物线上，于点E，若，求点D的坐标；
(3)如图2，抛物线L经过平移后得到抛物线，直线交抛物线的其中一个点为P，直线与抛物线有且只有一个交点P，且与y轴不平行，交于点Q，求点Q的纵坐标．
【答案】(1)抛物线解析式为
(2)
(3)
【分析】（1）将代入抛物线L解析式中，求出b的值，即可得出抛物线解析式；
（2）过E作轴于M，过D作于N，通过证明，得出①．求出，用待定系数法求出直线BC解析式为．设，，则，，，，代入①式中求出，．把代入抛物线L上，求出t的值，即可得出点D的坐标；
（3）过P，Q分别作轴于G，轴于H，先证明，得出，即，则②．设直线，联立直线与抛物线H并化简：．直线与抛物线有且只有一个交点P 得出，解得，则，．将其代入②式中，③．推出，再将其代入③式中即可求出．
【详解】（1）解：将代入抛物线L解析式中，
，解得，
∴抛物线解析式为．
（2）解：过E作轴于M，过D作于N，

∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴①．
把代入得：，
∴，
设直线的函数解析式为，
把，代入得：
，解得：
∴直线BC解析式为．
设，，
则，，，，
代入①式中：，，解得，．
∵在抛物线L上，
∴，
解得，（舍去，此时E与B重合，不合题意），
∴．
（3）解：过P，Q分别作轴于G，轴于H，

∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴②．
设直线，联立直线与抛物线H并化简：．
∵直线与抛物线H仅有唯一交点P，
∴，
解得，
∴，．
代入②式中，③．
∵，
∴，
代入③式中，，，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，熟练掌握相似三角形的判定方法以及相似三角形对应边成比例，正确画出辅助线，构造相似三角形．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点．

(1)当时，求三点坐标；
(2)过点作交抛物线于另一点，交轴于点，若，求的值；
(3)如下图，直线分别交抛物线于两点，直线交轴于点，，点的纵坐标分别为，求证：．

【答案】(1)
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）根据题意，令，得到，当时，得到；当时，得到，解得或，从而得到；
（2）作轴于，如图所示，根据平行线分线段成比例定理得到，令，求出，再由求出，代入抛物线解析式求解即可得到答案；
（3）根据直线与抛物线相交，联立方程组，结合消元法转化为相应的一元二次方程，再由一元二次方程根与系数的关系得到，，，结合即可得到结论．
【详解】（1）解：当时，，
当时，得到，即；
当时，得到，即，解得或，
点在点左侧，
，
；
（2）解：作轴于，如图所示：

∵，
∴，
令，即，解得，
∵，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，，
∴代入抛物线中，解得（舍），，
∴；
（3）证明：如图所示：

由（2）知，
∴，
设，经过，
，
∵，
可设，与抛物线联立，消元得，
根据一元二次方程根与系数关系可得，
由，直线交轴于点，点的纵坐标分别为，可设，则；设，则，
∴，
联立与抛物线得，消元得，
根据一元二次方程根与系数关系可得，
∴
联立与抛物线得，消元得，
根据一元二次方程根与系数关系可得，
，
由可知，即，
∴．
【点睛】本题考查抛物线综合，涉及求抛物线与坐标轴交点坐标，抛物线与线段综合，抛物线与直线相交综合等，熟练掌握二次函数图像与性质，掌握相关题型解法是解决问题的关键．
12．已知直线经过定点M，以M为顶点的抛物线与x轴交于A，B两点（A左B右）．

(1)点M的坐标是 ， ， （直接写出结果）；
(2)如图1，若直线l与抛物线交于另一点C，且恰好平分，求k的值；
(3)如图2，将抛物线沿直线l平移得到抛物线，且抛物线恒经过点A．N是抛物线的顶点（不与M重合），是坐标平面内一点，求N，P两点之间距离的最小值．
【答案】(1)；2；3
(2)
(3)
【分析】（1）根据直线的解析式的变形列出关于x，y的方程组进而解得即可得出M的坐标，再根据二次函数的顶点式即可解得b，c的值；
（2）过点M作x轴的平行线，交的延长线于点D，得出，通过平分，
得出，进而得出，联立，可得或，写出直线的解析式得出，的长度，即可得出k的值；
（3）设，可得的解析式，由点在上，得，进而得出，由点P在定直线上运动，过点N作轴，交直线于点Q，作垂直直线于点，得，5，，当 时，有最小值，进而可得N，P两点之间的距离的最小值．
【详解】（1）解：，
，
，解得：，
，
以M为顶点的抛物线与x轴交于A，B两点（A左B右），
，解得：
故，，；
（2）解：过点M作x轴的平行线，交的延长线于点D，则，
平分，
，
．
联立，
解得或，
，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，，
，
，
；

（3）解：由题意可设，
的解析式为，
点在上，
，即，
，
，
，
，
点P在定直线上运动（如图），
过点N作轴，交直线于点Q，
作垂直直线于点，则，
5，
，
当 时，的最小值为，
即N，P两点之间的距离的最小值为．

【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数综合，最短距离等知识，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
13．坐标综合：

(1)平面直角坐标系中，抛物线：的对称轴为直线，且经过点，求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
(2)将抛物线在平面直角坐标系内作某种平移，得到一条新的抛物线：，
①如图，设自变量在的范围内取值时，函数的最小值始终等于．此时，若的最大值比最小值大，求的值；
②如图，直线：与轴、轴分别交于、两点过点、点分别作两坐标轴的平行线，两平行线在第一象限内交于点．设抛物线与轴交于、两点（点在左边）．现将图中的沿直线折叠，折叠后的边与轴交于点．当时，若要使点始终能够落在线段（包括两端点）上，请通过计算加以说明：抛物线在向抛物线平移时，沿轴的方向上需要向左还是向右平移？最少要平移几个单位？最多能平移几个单位？
【答案】(1)抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为
(2)①的值为或；②抛物线在向抛物线平移时，沿轴的方向上需要向右平移，最少平移个单位，最多平移个单位
【分析】（1）根据对称轴为直线，可得，再把把代入，即可求解；
（2）①根据配方可得当时，函数有最小值，再由自变量在的范围内取值时，函数的最小值始终等于，可得，然后两种情况讨论，即可求解；②先求出点A，C的坐标，可得点B的坐标，再根据图形折叠的性质可得，在中，根据勾股定理可得，从而得到点M的坐标，继而得到n的取值范围，然后根据点始终能够落在线段（包括两端点）上，可得m取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：的对称轴为直线，
，
解得：，
把代入，得，
解得：，
抛物线的解析式为，
当时，，
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：①，
抛物线的对称轴为直线，
当时，函数有最小值，
在的范围内取值时，函数的最小值始终等于，
，
当时，时有最大值为，
，
解得，
；
当时，时有最大值为，
，
解得或舍，
综上所述：的值为或；
②直线：与轴的交点，与轴的交点，
，
沿直线折叠，
，
，
，
，
在中，，即，
解得，
，
，
，
，
当时，解得：或，
，，
点始终能够落在线段上，
，，
，
，，
当时，抛物线沿轴向右平移个单位，向上平移个单位，
当时，抛物线沿轴向右平移个单位，向上平移个单位，
抛物线在向抛物线平移时，沿轴的方向上需要向右平移，最少平移个单位，最多平移个单位．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，轴对称图形的性质，勾股定理的应用是解题的关键．
14．如图1，抛物线与直线（是常数）交于A，B两点（点A在点B的左边），且是直角三角形．

(1)求的值；
(2)如图2，将抛物线向下平移，得到抛物线，若抛物线与直线交于C，D两点（点C在点D的左边），与x轴正半轴交于点E．求证：是直角三角形；
(3)如图3，若抛物线（）与直线交于M，N两点（点M在点N的左边），点K在抛物线上，当是直角三角形时，直接写出点K的坐标．（用含，的代数式表示）
【答案】(1)4；
(2)见解析；
(3)或．
【分析】（1）设与y轴的交点为P．可得是等腰直角三角形，进而可得点B的坐标为．将其代入即可求解；
（2）分别过点C，D作轴于点H，轴于点Q．可通过证求证，也可通过勾股定理的逆定理求证；
（3）设平移后得到．过点作x轴的平行线l3，分别过点M'，N'作于点L，于点T．证即可求解．
【详解】（1）解：如图1，设与y轴的交点为P．
∵平行于x轴，的图象关于y轴对称，
∴

∵是等腰直角三角形．
∴．
∴．
∴点B的坐标为．
∵点B在抛物线上，
∴．
∵，
∴．
（2）证明：如图2，分别过点C，D作轴于点H，轴于点Q．

联立
解得
∴点C的坐标为，点D的坐标为
将代入，解得，(舍去)．
∴点E的坐标为
∴，，
，．
证法一：∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴是直角三角形．
证法二：在中，根据勾股定理，得
．
同理可得 ．
∴．
∵
∴．
∴是直角三角形．
（3）解：点K的坐标为，或．
将抛物线向左平移h个单位得到抛物线．
设平移后得到，
如图3．过点作x轴的平行线l3，分别过点M'，N'作于点L，于点T．

联立
解得
∴点M'的坐标为(，)，点N'的坐标为(，)．
设的坐标为(，)，．
∴．
易证．
∴．
即．
∴．
∵，
∴．
∴点的纵坐标为，即点的纵坐标为．
解方程，得．
∴点K的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．需要学生熟练掌握二次函数的各项性质．
15．已知二次函数的图象为抛物线，点是平面直角坐标系上的两点，一次函数的图象过点且与交于两点，垂直于的对称轴，垂足为．

(1)用表示线段的长；
(2)求证：；
(3)若，是否存在直线，使得？如果存在，求出的解析式，如果不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)不存在，理由
【分析】（1）联立可得，从而得到，再由，可得，即可；
（2）过点Q作对称轴的垂线，垂足为点D，由（1）得：，，从而得到，可证得，即可；
（3）假设存在直线，使得，则，设，可得，从而得到，再根据，可得，然后由（2）得：，，从而得到，继而得到m，n为一元二次方程的两个根，即可求解．
【详解】（1）解：由得：，
∵一次函数的图象过点且与交于两点，
∴，
∵一次函数的图象过点，
∴，
∴
；
（2）解：如图，过点Q作对称轴的垂线，垂足为点D，

由（1）得：，
同理，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：不存在，理由如下：
假设存在直线，使得，则，
设，
∴，
∵，
∴点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（2）得：，，
∴，
∴m，n为一元二次方程的两个根，
此时，
∴此方程无解，
即满足条件的直线不存在．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．