2024年中考数学二次函数压轴题专题04面积定值问题(学生版+解析)

这是一份2024年中考数学二次函数压轴题专题04面积定值问题(学生版+解析)，共21页。试卷主要包含了知识导航，典例精析，中考真题演练等内容，欢迎下载使用。
二、典例精析
如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC，若△PBC面积为3，求点P坐标．
思路1：铅垂法列方程解．
根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3，
设点P坐标为，
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，
则点Q坐标为（m，-m+3），
，
，
分类讨论去绝对值解方程即可得m的值．
思路2：构造等积变形
同底等高三角形面积相等．
取BC作水平宽可知水平宽为3，根据△PBC面积为3，
可知铅垂高为2，
在y轴上取点Q使得CQ=2，过点Q作BC的平行线，
交点即为满足条件的P点．
当点Q坐标为（0,5）时，PQ解析式为：y=-x+5，
联立方程：，解之即可．
当点Q坐标为（0,1）时，PQ解析式为：y=-x+1，
联立方程：，解之即可．
在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、．
（1）求、满足的关系式及的值．
（2）如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）点A坐标为（-2,0），点B坐标为（0,2），
代入解析式可得：c=2，4a-2b+2=0
（2）考虑A、B水平距离为2，△PAB的面积为1，故对应的铅垂高为1．
当a=-1时，可得b=-1，抛物线解析式为y=-x²-x+2．
取点C（0,3）作AB的平行线，其解析式为：y=x+3，
联立方程-x²-x+2=x+3，解得x=-1，故点坐标为（-1,2）
取点D（0,1）作AB的平行线，其解析式为：y=x+1，
联立方程-x²-x+2=x+1，解得，．
点坐标为、点坐标为．
三、中考真题演练
1．（2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．

(1)求c的值及顶点M的坐标，
(2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G．
请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；
(2)点是函数图象上的一动点，点，点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标；
4．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(3)如图2，点是第一象限内一点，连接交轴于点，的延宽线交抛物线于点，点在线段上，且，连接，若，求面积．
5．（2023·湖南·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究
如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接，．

(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，，当时，求点P的坐标；
7．（2023·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，．
①当时，求的宽；
②若，，的面积分别为，，，且满足，求点的坐标．
专题04 面积定值问题
一、知识导航
二、典例精析
如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC，若△PBC面积为3，求点P坐标．
思路1：铅垂法列方程解．
根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3，
设点P坐标为，
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，
则点Q坐标为（m，-m+3），
，
，
分类讨论去绝对值解方程即可得m的值．
思路2：构造等积变形
同底等高三角形面积相等．
取BC作水平宽可知水平宽为3，根据△PBC面积为3，
可知铅垂高为2，
在y轴上取点Q使得CQ=2，过点Q作BC的平行线，
交点即为满足条件的P点．
当点Q坐标为（0,5）时，PQ解析式为：y=-x+5，
联立方程：，解之即可．
当点Q坐标为（0,1）时，PQ解析式为：y=-x+1，
联立方程：，解之即可．
在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、．
（1）求、满足的关系式及的值．
（2）如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）点A坐标为（-2,0），点B坐标为（0,2），
代入解析式可得：c=2，4a-2b+2=0
（2）考虑A、B水平距离为2，△PAB的面积为1，故对应的铅垂高为1．
当a=-1时，可得b=-1，抛物线解析式为y=-x²-x+2．
取点C（0,3）作AB的平行线，其解析式为：y=x+3，
联立方程-x²-x+2=x+3，解得x=-1，故点坐标为（-1,2）
取点D（0,1）作AB的平行线，其解析式为：y=x+1，
联立方程-x²-x+2=x+1，解得，．
点坐标为、点坐标为．
三、中考真题演练
1．（2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．

(1)求c的值及顶点M的坐标，
(2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G．
①当时，求的宽；
②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）①先判断当时，，的坐标分别是，，再求出，时点Q的纵坐标与点P的纵坐标，进而求解；
②先求出，易得P，Q的坐标分别是，，然后分点G在点Q的上方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为，
∴，
∴，
∴顶点M的坐标是．
（2）①∵A在x轴上，B的坐标为，
∴点A的坐标是．
当时，，的坐标分别是，．
当时，，即点Q的纵坐标是2，
当时，，即点P的纵坐标是1．
∵，
∴点G的纵坐标是1，
∴．
②存在．理由如下：
∵的面积为1，，
∴．
根据题意，得P，Q的坐标分别是，．
如图1，当点G在点Q的上方时，，
此时（在的范围内），

如图2，当点G在点Q的下方时，，
此时（在的范围内）．
∴或．
2．（2023·四川甘孜·中考真题）已知抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点．

(1)求b，c的值；
(2)P为第一象限抛物线上一点，的面积与的面积相等，求直线的解析式；
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）得到，即可求解；
【详解】（1）由题意，得
（2）由（1）得抛物线的解析式为．
令，则，得．
∴B点的坐标为．
，
∴．
∵，
∴直线的解析式为．
∵，
∴可设直线的解析式为．
∵在直线上，
∴．
∴．
∴直线的解析式为．

3．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）探究函数的图象和性质，探究过程如下：

(1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下
其中，________．根据上表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；
(2)点是函数图象上的一动点，点，点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标；
【分析】（1）把代入解析式，求出的值即可，描点，连线画出函数图形，根据图形写出一条性质即可；
（2）利用，进行求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
根据题干中的表格数据，描点，连线，得到函数图象，如下：
由图象可知：图象关于轴对称；
故答案为：．
（2）解：∵点，点，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时：，
解得：，
∴或，
当时：，
解得：，
∴；
综上：或或；
4．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(3)如图2，点是第一象限内一点，连接交轴于点，的延宽线交抛物线于点，点在线段上，且，连接，若，求面积．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（3）解：设点，直线的解析式为，
，
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
，
在抛物线中，当时，，
，
，
，
设点的坐标为，
，，
，
，
，
，
解得：，
点的坐标为，
．
5．（2023·湖南·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
【详解】（1）解：将点，代入，得
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）∵，
顶点坐标为，
当时，
解得：
∴，则
∵，则
∴是等腰直角三角形，
∵
∴到的距离等于到的距离，
∵，，设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作的平行线，交抛物线于点，

设的解析式为，将点代入得，
解得：
∴直线的解析式为，
解得：或
∴，
∵
∴
∴是等腰直角三角形，且，
如图所示，延宽至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线上，
∵是等腰直角三角形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：或
∴或
综上所述，或或；
6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究
如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接，．

(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，，当时，求点P的坐标；
【分析】（1）根据点M在y轴负半轴且可得点M的坐标为，利用待定系数法可得抛物线的解析式为；
（2）过点P作轴于点F，交线段AC于点E，用待定系数法求得直线AC的解析式为，设点P的横坐标为，则，，故，先求得，从而得到，解出p的值，从而得出点P的坐标；
【详解】（1）解：∵点M在y轴负半轴且，
∴
将，代入，得
解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：过点P作轴于点F，交线段AC于点E，

设直线的解析式为，
将，代入，得
，解得，
∴直线AC的解析式为
设点P的横坐标为
则，，
∴
∵，∴，解得，
∴
7．（2023·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，．
①当时，求的宽；
②若，，的面积分别为，，，且满足，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据抛物线对称轴为，可得，求得，再将代入抛物线，根据待定系数法求得，即可解答；
（2）①求出点，点的坐标，即可得到直线的解析式为，设，则，求得的解析式，列方程求出点的坐标，最后根据列方程，即可求出的宽；
②过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，根据，
解得，
根据，得，
解得，，
经检验，，是方程的解，
点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，
在轴正半轴，
，
即的宽为；
②解：如图，过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，

，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，即点D的横坐标为，
，
设的解析式为，将，，
代入得，
解得，
的解析式为，
，即，
，
四边形是矩形，
，
，即，
将代入，
得，
解得，（舍去），
．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数，二次函数与一元二次方程，两点之间的距离，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．