2024年中考数学二次函数压轴题专题08相似三角形存在性问题(学生版+解析)

这是一份2024年中考数学二次函数压轴题专题08相似三角形存在性问题(学生版+解析)，共32页。试卷主要包含了知识导航，中考真题演练等内容，欢迎下载使用。

在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．
【相似判定】
判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；
判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；
判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．
以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．
【题型分析】
通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．
【思路总结】
根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！
所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．
然后再找：
思路1：两相等角的两边对应成比例；
思路2：还存在另一组角相等．
事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．
一、如何得到相等角？
二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？
搞定这两个问题就可以了．
二、典例精析
例一、如图，抛物线与轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，-3）．点Q是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．
【分析】
（1）抛物线：；
（2）思路：考虑到△ABC和△BOE有一组公共角，公共角必是对应角．
∠ABC的两边BA、BC与∠OBE的两边BO、BE成比例即可，故可得：
或．
解得：或，
故E点坐标为或．
当E点坐标为时，直线OE解析式为，
联立方程：，解得：，，
此时Q点坐标为或；
当E点坐标为时，直线OE解析式为，
联立方程：，解得：，，
此时Q点坐标为或．
综上所述，Q点坐标为或或或．
说明：过程应详细分类讨论两种情况，分别求出结果．
例二、如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x-1与抛物线交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．
（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；
（2）如图2，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）m=1，n=3，
抛物线解析式为；
（2）思路：平行得相等角，构造两边成比例
由题意得D（5，0），故直线CD解析式为：y=x-5，
∴CD∥AB，
∴∠CDA=∠BAD，
考虑到点Q在线段CD上，
∴或，
解得：或，
故Q点坐标为或．
三、中考真题演练
1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究
如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接，．

(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；
(3)点D是线段(包含点B，C)上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，请直接写出点Q的坐标；
2．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点．

(1)直接写出三点的坐标；
(2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于三点，连接．若与相似，求的值；
3．（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．

(1)直接写出抛物线和直线的解析式；
(3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2022·辽宁·中考真题）抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A(3，0)，点C(0，﹣3)，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．

(1)求抛物线的解析式；
(3)如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．
7．（2022·广西桂林·中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(3)过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标．
8．（2022·广西玉林·中考真题）如图，已知抛物线：与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上的任一点．
(1)求抛物线的解析式；
(3)过点P作x轴的垂线与线段交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．
9．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点．
(1)写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式；
(3)为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
专题08 相似三角形存在性问题
一、知识导航
在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．
【相似判定】
判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；
判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；
判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．
以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．
【题型分析】
通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．
【思路总结】
根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！
所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．
然后再找：
思路1：两相等角的两边对应成比例；
思路2：还存在另一组角相等．
事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．
一、如何得到相等角？
二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？
搞定这两个问题就可以了．
二、典例精析
例一、如图，抛物线与轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，-3）．点Q是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．
【分析】
（1）抛物线：；
（2）思路：考虑到△ABC和△BOE有一组公共角，公共角必是对应角．
∠ABC的两边BA、BC与∠OBE的两边BO、BE成比例即可，故可得：
或．
解得：或，
故E点坐标为或．
当E点坐标为时，直线OE解析式为，
联立方程：，解得：，，
此时Q点坐标为或；
当E点坐标为时，直线OE解析式为，
联立方程：，解得：，，
此时Q点坐标为或．
综上所述，Q点坐标为或或或．
说明：过程应详细分类讨论两种情况，分别求出结果．
例二、如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x-1与抛物线交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．
（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；
（2）如图2，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）m=1，n=3，
抛物线解析式为；
（2）思路：平行得相等角，构造两边成比例
由题意得D（5，0），故直线CD解析式为：y=x-5，
∴CD∥AB，
∴∠CDA=∠BAD，
考虑到点Q在线段CD上，
∴或，
解得：或，
故Q点坐标为或．
三、中考真题演练
1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究
如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接，．

(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；
(3)点D是线段(包含点B，C)上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，请直接写出点Q的坐标；
【分析】（1）根据点M在y轴负半轴且可得点M的坐标为，利用待定系数法可得抛物线的解析式为；
（3）由可知，要使点Q，N，C为顶点的三角形与相似，则以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形，从而分和两种情况讨论，①当，可推导B与点Q重合，，即此时符合题意，利用求抛物线与x轴交点的方法可求出点Q的坐标；②当时，可推导，即此时符合题意，再证明，从而得到，再设点的横坐标为q，则，，从而得到，解得q的值，从而得到点Q的坐标，最后综合①②即可；
【详解】（1）解：∵点M在y轴负半轴且，
∴
将，代入，得
解得
∴抛物线的解析式为
（3），，
补充求解过程如下：
∵在中，，以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，
∴以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形，
又∵轴，直线交直线于点N，
∴，即点N不与点O是对应点．
故分为和两种情况讨论：
①当时，由于轴，
∴轴，即在x轴上，
又∵点Q在抛物线上，
∴此时点B与点Q重合，
作出图形如下：

此时，
又∵
∴，即此时符合题意，
令，
解得：(舍去)
∴点Q的坐标，也即点B的坐标是．
②当时，作图如下：

∵轴，
∴，
∴，
∵ ，，
∴，即此时符合题意，
∵，
∴，即
∵，，
∴
∴，
设点的横坐标为q，则，，
∴，
∴，
解得：(舍去)，
∴，
∴点Q的坐标是
综上所述：点Q的坐标是，；
2．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点．

(1)直接写出三点的坐标；
(2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于三点，连接．若与相似，求的值；
【分析】（1）令，解一元二次方程求出值可得、两点的坐标，令求出值可得点坐标，即可得答案；
（2）分和两种情况，利用相似三角形的性质分别列方程求出值即可得答案；
【详解】（1）∵抛物线解析式为，
∴当时，，
解得：，，
当时，，
∴，，．
（2）解：是直线与抛物线的交点，
，
①如图，若时，
，
∴
，
∴，
解得，（舍去）或．
②如图，若时．过作轴于点．
，
∴，
∴，
，
，
∴
，
∴，，
，
∴，
解得，（舍去）或．

综上，符合题意的的值为2或．
3．（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．

(1)直接写出抛物线和直线的解析式；
(3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题得抛物线的解析式为，将点代入求，进而得抛物线的解析式；设直线的解析式为，将点，的坐标代入求，，进而得直线的解析式．
（3）对点在点左侧或右侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解，进而可得，的坐标．
【详解】（1）解：抛物线过点，，
抛物线的表达式为，
将点代入上式，得，
．
抛物线的表达式为，即．
设直线的表达式为，
将点，代入上式，
得，
解得．
直线的表达式为．
（3）解：点与点相对应，
或．
①若点在点左侧，
则，，．
当，即时，
直线的表达式为，
，解得或（舍去）．
，即．
，即，
解得．
，．
当，即时，
，，
，即，
解得（舍去）或（舍去）．
②若点在点右侧，
则，．
当，即时，
直线的表达式为，
，解得或（舍去），
，
，即，
解得．
，．
当，即时，
，．
，即，
解得或（舍去）．
，．
综上，，或，或，．
【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，平面直角坐标系中两点距离的算法，相似三角形的性质与判定等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
4．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．
(1)求抛物线的解析式；
(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2+2x+3；
(3)存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或
【分析】（1）由抛物线的对称轴可得点B的坐标，由此设出交点式，代入点C的坐标，即可得出抛物线的解析式；
（3）由抛物线的对称性可得出点E的坐标，点D的坐标，根据两点间的距离公式可得出AD，DE，AE的长，可得出△ADE是直角三角形，且DE∶AE=1：3，再根据相似三角形的性质可得出EF和FM的比例，由此可得出点M的坐标．
【详解】（1）解：∵顶点D的横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵A（-1，0），
∴B（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入抛物线的解析式得：
-3a=3，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；
（3）解：存在，理由如下：
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4），
由抛物线的对称性得：E（2，3），
∵A（-1，0），
∴，
∴，
∴△ADE是直角三角形，且∠AED=90°，DE∶AE=1∶3，
∵点M在直线l下方的抛物线上，
设，则t＞2或t＜0，
∵MF⊥l，
∴点F（t，3），
∴，，
∵以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，
∴或，
∴或，
解得t=2（舍去） 或t=3或t=-3或（舍去）或，
∴点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或，
综上所述，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，圆内四边形的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等，第（2）问得出四点共固是解题关键；第（3）问得出△ADE是直角三角形并得出AD∶AE的值是解题关键．
5．（2022·湖南·中考真题）如图，已知抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点．

(1)求抛物线的函数表达式及点的坐标；
(2)若四边形为矩形，．点以每秒1个单位的速度从点沿向点运动，同时点以每秒2个单位的速度从点沿向点运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以、、为顶点的三角形与相似时，求运动时间的值；
【答案】(1)；顶点为
(2)或
【分析】（1）设二次函数表达式为：，将、代入，进行计算即可得，根据二次函数的性质即可得；
（2）依题意，秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为，分情况讨论：①当时，②当时，进行解答即可得；
【详解】（1）解：设二次函数表达式为：，
将、代入得：
，
解得，，
抛物线的函数表达式为：，
又，，
顶点为；
（2）解：依题意，秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为．
①当时，
，
解得；
②当时，
，
解得；
综上得，当或时，以、、为顶点的三角形与相似；
6．（2022·辽宁·中考真题）抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A(3，0)，点C(0，﹣3)，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．

(1)求抛物线的解析式；
(3)如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．
【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3
(3)Q点坐标为(﹣7，5)或(﹣12，5)或(3，﹣10)或(3，﹣5)
【分析】（1）用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）先分别求出直线AE、AC的解析式，进而求出点B（1，2），D（1，0），F（1，﹣2），过点P作x轴垂线交AC于点M，交x轴于点N，设P（m，m2﹣2m﹣3），则M（m，m﹣3），由面积关系求出P点的横坐标；
（3）分类讨论①当△CDF∽△QAE时， ；②当△CDF∽△AQE时，；③当△CDF∽△EQA时， ；④当△CDF∽△QEA时， ．分别求出点Q的坐标．
【详解】（1）解：将A（3，0），点C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（3）∵C（0，﹣3），D（1，0），F（1，﹣2），
∴CD＝，CF＝，DF＝2，
∵E（﹣2，5），A（3，0），
∴AE＝5，
设Q（x，y），
①当△CDF∽△QAE时，
∴＝＝，
∴AQ＝5，EQ＝5，
∴，
解得或（舍），
∴Q（﹣7，5）；
②当△CDF∽△AQE时，，
∴＝＝，
∴AQ＝5，QE＝10，
∴，
解得（舍）或，
∴Q（﹣12，5）；
③当△CDF∽△EQA时， ，
∴＝＝，
∴EQ＝5，AQ＝10，
∴，
解得或（舍），
∴Q（3，﹣10）；
④当△CDF∽△QEA时， ，
∴＝＝，
∴EQ＝5，AQ＝5，
∴，
解得或（舍），
∴Q（3，﹣5）；
综上所述：Q点坐标为（﹣7，5）或（﹣12，5）或（3，﹣10）或（3，﹣5）．
【点睛】本题主要是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形面积，相似三角形的判定和性质，利用数形结合和分类讨论思想解答是解题的关键．
7．（2022·广西桂林·中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(3)过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标．
【答案】(1)A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，4)
(3)(，)或(，)或(，)
【分析】（1）由y＝﹣x2+3x+4可得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；
（3）由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，设Q（，t），则Q（，t+1），M（0，t+1），N（，0），知BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，①当＝时，＝，可解得Q（，）或（，）；②当＝时，＝，得Q（，）．
【详解】（1）解：在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）．
（3）如图：
由y＝﹣x2+3x+4得，抛物线对称轴为直线，
设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），
∵B（4，0），C（0，4）；
∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，
∵∠CMP＝∠QNB＝90°，
∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，
①当＝时，＝，
解得t＝或t＝，
∴Q（，）或（，）；
②当＝时，＝，
解得t＝或t＝（舍去），
∴Q（，），
综上所述，Q的坐标是(，)或(，)或(，)．
【点睛】本题主要考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，线段和的最小值，相似三角形的性质及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用．
8．（2022·广西玉林·中考真题）如图，已知抛物线：与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上的任一点．
(1)求抛物线的解析式；
(3)过点P作x轴的垂线与线段交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．
【答案】(1)
(3)(1,4)或者()
【分析】（1）根据抛物线对称轴即可求出b，再根据抛物线过B点即可求出C，则问题得解；
（3）先根据PH⊥BO，求得∠MHB=90°，根据（2）中的结果求得OC=4，根据B点(2,0)，可得OB=2，则有tan∠CBO=2，分类讨论：第一种情况：△BMH∽△CMP，即可得，即P点纵坐标等于C点纵坐标则可求出此时P点坐标为(1,4)；第二种情况：△BMH∽△PMC，过P点作PG⊥y轴于点G，先证明∠GCP=∠OBC，即有tan∠GCP=2，即有2GC=GP，设GP=a，则GC=，即可得PH=OG=+4，则有P点坐标为(a,+4)，代入到抛物线即可求出a值，则此时P点坐标可求．
【详解】（1）∵的对称轴为，
∴，即b=2，
∵过B点(2,0)，
∴，
∴结合b=2可得c=4，
即抛物线解析式为：；
（3）∵PH⊥BO，
∴∠MHB=90°，
根据（2）中的结果可知C点坐标为(0,4)，
即OC=4，
∵B点(2,0)，
∴OB=2，
∴tan∠CBO=2，
分类讨论
第一种情况：△BMH∽△CMP，
∴∠MHB=∠MPC=90°，
∴，
∴即P点纵坐标等于C点纵坐标，也为4，
当y=4时，，
解得：x=1或者0，
∵P点在第一象限，
∴此时P点坐标为(1,4)，
第二种情况：△BMH∽△PMC，
过P点作PG⊥y轴于点G，如图，
∵△BMH∽△PMC，
∴∠MHB=∠MCP=90°，
∴∠GCP+∠OCB=90°，
∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠GCP=∠OBC，
∴tan∠GCP=tan∠OBC=2，
∵PG⊥OG，
∴在Rt△PGC中，2GC=GP，
设GP=a，
∴GC=，
∴GO=+OC=+4，
∵PG⊥OG，PH⊥OH，
∴可知四边形PGOH是矩形，
∴PH=OG=+4，
∴P点坐标为(a,+4)，
∴，
解得：a=或者0，
∵P点在第一象限，
∴a=，
∴，
此时P点坐标为()；
∵△BMH与△PCM中，有∠BMH=∠PMC恒相等，
∴△PCM中，当∠CPM为直角时，若∠PCM=∠BMH，则可证△PCM是等腰直角三角形，
通过相似可知△BMH也是等腰直角三角形，这与tan∠CBO=2相矛盾，故不存在当∠CPM为直角时，∠PCM=∠BMH相等的情况；
同理不存在当∠PCM为直角时，∠CPM=∠BMH相等的情况，
综上所述：P点坐标为：(1,4)或者()．
【点睛】本题考查了求解抛物线解析式、二次函数的图像与性质、等边三角形的判定、相似三角形的性质、
如图2，当时，，此时，点纵坐标为2，
由，解得，（舍），
∴N的横坐标为，
所以；
如图3，当时，，此时，直线的解析式为，
联立方程组：，解得，（舍），
∴N的横坐标为，
所以，
因此，综上所述：点坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及翻折性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数的图象交点问题、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，综合体现数形结合思想和分类讨论思想的运用，属于综合题型，有点难度．