2024年中考数学二次函数压轴题专题10平行四边形的存在性问题(学生版+解析)

这是一份2024年中考数学二次函数压轴题专题10平行四边形的存在性问题(学生版+解析)，共30页。试卷主要包含了知识导航，典例精析，中考真题演练等内容，欢迎下载使用。
考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：
（1）对应边平行且相等；
（2）对角线互相平分．
这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：
（1）对边平行且相等可转化为：，
可以理解为点B移动到点A，点C移动到点D，移动路径完全相同．
（2）对角线互相平分转化为：，
可以理解为AC的中点也是BD的中点．
【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：，
→．
当AC和BD为对角线时，结果可简记为：（各个点对应的横纵坐标相加）
以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A、B、C、D满足“A+C=B+D”，则四边形ABCD是否一定为平行四边形？
反例如下：
之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．
虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：
（1）四边形ABCD是平行四边形：AC、BD一定是对角线．
（2）以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．
二、典例精析
平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题．
三定一动
已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐标系内确定点D使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形．
思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：
设D点坐标为（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：
（1）BC为对角线时，，可得；
（2）AC为对角线时，，解得；
（3）AB为对角线时，，解得．
当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可．
比如：，，．（此处特指点的横纵坐标相加减）
两定两动
已知A（1，1）、B（3，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求C、D坐标．
【分析】
设C点坐标为（m，0），D点坐标为（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．
（1）当AB为对角线时，，解得，故C（4，0）、D（0，3）；
（2）当AC为对角线时，，解得，故C（2，0）、D（0，-1）；
（3）当AD为对角线时，，解得，故C（-2，0）、D（0，1）．
【动点综述】
“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．
从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．
找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质：
（1）对边平行且相等；
（2）对角线互相平分．
但此两个性质统一成一个等式： ，
两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．
由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．
三、中考真题演练
1．（2023·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18

(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求点的坐标；
(3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023·广东广州·中考真题）已知点在函数的图象上．
(1)若，求n的值；
(2)抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设的外接圆圆心为C，与y轴的另一个交点为F，当时，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023·山东·中考真题）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若，当为何值时，四边形是平行四边形？
6．（2023·甘肃武威·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
7．（2023·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．

(1)求抛物线的表达式．
(3)若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移个单位长度后，为平移后抛物线上一动点．在（）的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由．
8．（2023·四川南充·中考真题）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
9．（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求抛物线解析式及，两点坐标；
(2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
专题10 平行四边形的存在性问题
一、知识导航
考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：
（1）对应边平行且相等；
（2）对角线互相平分．
这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：
（1）对边平行且相等可转化为：，
可以理解为点B移动到点A，点C移动到点D，移动路径完全相同．
（2）对角线互相平分转化为：，
可以理解为AC的中点也是BD的中点．
【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：，
→．
当AC和BD为对角线时，结果可简记为：（各个点对应的横纵坐标相加）
以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A、B、C、D满足“A+C=B+D”，则四边形ABCD是否一定为平行四边形？
反例如下：
之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．
虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：
（1）四边形ABCD是平行四边形：AC、BD一定是对角线．
（2）以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．
二、典例精析
平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题．
三定一动
已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐标系内确定点D使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形．
思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：
设D点坐标为（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：
（1）BC为对角线时，，可得；
（2）AC为对角线时，，解得；
（3）AB为对角线时，，解得．
当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可．
比如：，，．（此处特指点的横纵坐标相加减）
两定两动
已知A（1，1）、B（3，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求C、D坐标．
【分析】
设C点坐标为（m，0），D点坐标为（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．
（1）当AB为对角线时，，解得，故C（4，0）、D（0，3）；
（2）当AC为对角线时，，解得，故C（2，0）、D（0，-1）；
（3）当AD为对角线时，，解得，故C（-2，0）、D（0，1）．
【动点综述】
“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．
从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．
找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质：
（1）对边平行且相等；
（2）对角线互相平分．
但此两个性质统一成一个等式： ，
两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．
由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．
三、中考真题演练
1．（2023·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18

(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求点的坐标；
(3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）根据对称轴为直线，将点代入，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）设，过点作轴交于点，过点作交于点，继而表示出的面积，根据的面积为，解方程，即可求解．
（3）先得出直线的解析式为，设，当为平行四边形的对角线时，可得，当为平行四边形的对角线时，，进而建立方程，得出点的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：∵对称轴为直线，
∴①，
将点代入得，
∴②，
联立①②得，，
∴解析式为；
（2）设，如图所示，过点作轴交于点，过点作交于点，

∴，，
则，
∴
解得：或（舍去），
（3）存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
设，
如图所示，当BP为平行四边形的对角线时，，

，
∵，
∴，
由对称性可知，，
∴，
∴
解得：
∴点的坐标为或
如图3，当为平行四边形的对角线时，，，

由对称性可知，，
∴，
∴，
解得：或，
∴点的坐标为或
综上所述，点的坐标为或或或．
2．（2023·广东广州·中考真题）已知点在函数的图象上．
(1)若，求n的值；
(2)抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设的外接圆圆心为C，与y轴的另一个交点为F，当时，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)的值为1；
(2)①；②假设存在，顶点E的坐标为，或．
【分析】（1）把代入得，即可求解；
（2）①，得，即可求解；
②求出直线的表达式为：，得到点的坐标为；由垂径定理知，点在的中垂线上，则；由四边形为平行四边形，则，求出，进而求解．
【详解】（1）解：把代入得；
故的值为1；
（2）解：①在中，令，则，
解得或，
，，
点在函数的图象上，
，
令，得，
即当，且，
则，解得：（正值已舍去），
即时，点到达最高处；
②假设存在，理由：
对于，当时，，即点，
由①得，，，，对称轴为直线，
由点、的坐标知，，
作的中垂线交于点，交轴于点，交轴于点，则点，
则，
则直线的表达式为：．
当时，，
则点的坐标为．
由垂径定理知，点在的中垂线上，则．
四边形为平行四边形，
则，
解得：，
即，且，
则，
∴顶点E的坐标为，或．
3．（2023·山东·中考真题）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若，当为何值时，四边形是平行四边形？
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）结合平行四边形的性质，通过求直线的函数解析式，列方程求解；
【详解】（1）解：在直线中，当时，，当时，，
∴点，点，
设抛物线的解析式为，
把点，点代入可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由题意，，
∴，
当四边形是平行四边形时，，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，
把代入可得，
解得，
∴直线的解析式为，
又∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为，
∴
∴，
解得（不合题意，舍去），；
4．（2023·山东聊城·中考真题）如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
【分析】（1）将，代入，待定系数法确定函数解析式；
（2）由二次函数，求得点，设点，点，分类讨论：当为边，为对角线时，当为边，为对角线时，运用平行四边形对角线互相平分性质，构建方程求解；
【详解】（1）将，代入，得
，解得
∴抛物线解析式为：
（2）二次函数，当时，
∴点
设点，点，
当为边，为对角线时，
∵四边形为平行四边形，
∴，互相平分
∴解得，（舍去）或
点Q坐标；
当为边，为对角线时，
同理得，
解得，或，
∴
∴点Q坐标或
综上，点Q坐标，或或；
5．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，
∴，解得：，
∴；
（3）解：存在；
∵，
∴对称轴为直线，
设，，
当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时：
①为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
②当为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
③当为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
6．（2023·甘肃武威·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）作交抛物线于点，垂足为，连接，，由点在上，可知，，连接，得出，则，当时，，进而得出，然后证明，即可得出结论；
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴；
（2）四边形是平行四边形．
理由：如图1，作交抛物线于点，垂足为，连接，．
∵点在上，
∴，，
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
7．（2023·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．

(1)求抛物线的表达式．
(3)若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移个单位长度后，为平移后抛物线上一动点．在（）的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（3）由（1）知，向左平移后的抛物线为，由（2）知，设，假设存在以、、、为顶点的平行四边形．根据中点坐标公式，分类讨论即可求解，①当以为对角线时，②当以为对角线时，③当以为对角线时．
【详解】（1）解： 抛物线的顶点横坐标为
对称轴为
与x轴另一交点为
∴设抛物线为
∴抛物线的表达式为
（3）由（1）知，向左平移后的抛物线为
由（2）知
设，假设存在以、、、为顶点的平行四边形．

①当以为对角线时，
平行四边形对角线互相平分
，即
在抛物线上
的坐标为
②当以为对角线时
同理可得，即
则
的坐标为
③当以为对角线时
，即
则
的坐标为
综上所述：存在以、、、为顶点的平行四边形．
的坐标为
【点睛】本题考查了二次函数综合，二次函数的平移，待定系数法求解析式，线段最值问题，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8．（2023·四川南充·中考真题）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
【分析】（1）将两点代入抛物线的解析式即可求解；
（2）根据P，Q的不确定性，进行分类讨论：①过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，可得，由，可求解；②在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，，即可求解；③当为平行四边形的对角线时，在①中，只要点Q在点B的左边，且满足，也满足条件，只是点P的坐标仍是①中的坐标；
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于两点，
，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）解：①如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，
四边形是平行四边形，
，
，
解得：，，
；
②如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
()，
，
，
∴
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，
当时，
解得：，
∴
（2）∵，，，
设，
∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形
当为对角线时，
解得：，
∴；
当为对角线时，
解得：
∴
当为对角线时，
解得：
∴
综上所述，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，或或