2024年中考数学二次函数压轴题专题13正方形存在性问题(学生版+解析)

这是一份2024年中考数学二次函数压轴题专题13正方形存在性问题(学生版+解析)，共24页。试卷主要包含了知识导航，典例精析，中考真题演练等内容，欢迎下载使用。

作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：
（1）有一个角为直角的菱形；
（2）有一组邻边相等的矩形；
（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．
依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．
从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对角线性质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）．
比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如果要求在某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个数，可能无解．
从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为：
（1）2个定点+2个全动点；
（2）1个定点+2个半动点+1个全动点;
甚至可以有：（3）4个半动点．
不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！
常用处理方法：
思路1：从判定出发
若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；
若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；
若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．
思路2：构造三垂直全等
若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．
总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑从矩形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系．
正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主．
二、典例精析
例：在平面直角坐标系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是正方形．
如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．
至于具体求点坐标，以为例，构造△AMB≌△，即可求得坐标．至于像、这两个点的坐标，不难发现，是或的中点，是或的中点．
题无定法，具体问题还需具体分析，如上仅仅是大致思路．
三、中考真题演练
1．（2023·湖南·中考真题）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
(1)若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
(3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？
4．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知抛物线与轴交于两点，交轴于点．

(1)请求出抛物线的表达式．
(2)如图1，在轴上有一点，点在抛物线上，点为坐标平面内一点，是否存在点使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2022·山东济宁·中考真题）已知抛物线与x轴有公共点．
(1)当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
(2)将抛物线先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线（如图所示），抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；
(3)D为抛物线的顶点，过点C作抛物线的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．
6．（2022·山东泰安·中考真题）若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N．
①若点N在线段上，且，求点M的坐标；
②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．
7．（2023·辽宁葫芦岛·一模）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点D是抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当点D在直线上方时，作轴于点F，交直线于点E，当时，求点D的坐标；
(3)点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，请直接写出点Q的坐标．
专题13 正方形存在性问题
一、知识导航
作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：
（1）有一个角为直角的菱形；
（2）有一组邻边相等的矩形；
（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．
依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．
从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对角线性质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）．
比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如果要求在某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个数，可能无解．
从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为：
（1）2个定点+2个全动点；
（2）1个定点+2个半动点+1个全动点;
甚至可以有：（3）4个半动点．
不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！
常用处理方法：
思路1：从判定出发
若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；
若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；
若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．
思路2：构造三垂直全等
若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．
总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑从矩形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系．
正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主．
二、典例精析
例：在平面直角坐标系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是正方形．
如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．
至于具体求点坐标，以为例，构造△AMB≌△，即可求得坐标．至于像、这两个点的坐标，不难发现，是或的中点，是或的中点．
题无定法，具体问题还需具体分析，如上仅仅是大致思路．
三、中考真题演练
1．（2023·湖南·中考真题）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
(1)若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
【详解】（1）解：由题意可知：，
∴．
答：k的值为，m的值为3，n的值为2．
（3）解：由题意可知，，
∴，
∴， ，
∵且，
∴；
①若，则，
要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，
则为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；

②若，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，
综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．
2．（2023·辽宁·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．

(1)求抛物线的解析式；
(3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．
分析：（3）先求得直线的解析式为，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，证明，推出，，设，则，由点M在直线上，列式计算，可求得m的值，利用平移的性质可得点N的坐标；设点，则点，当绕着点O逆时针旋转得到时，当点M绕点O逆时针得到点E时，根据旋转的性质，可得点N的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（3）解：令，则，
解得或，
∴，
同理，直线的解析式为，
∵四边形是正方形，
∴，，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，如图，

，，
∴，
∴，，
设，
∴，，
则，
∵点M在直线上，
∴，
解得或，
当时，，，
即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形是正方形，此时；
当时，，，
点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M，
则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N，
∴，即；
设点，则点，
当绕着点O逆时针旋转得到时，如图，
∵点E在的图象上，
∴，
∴点，
∵点E在的图象上，
∴，
解得：或0，
∴，，
当点M绕点O逆时针得到点E时，点，，
∵点E在的图象上，
∴，
解得：，
∴点，，，，
∴点N的坐标为或；
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和正方形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论．
3．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．

(1)求抛物线和一次函数的解析式．
(2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由．
(3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）①当为正方形的边长时，分别过点点作，，使，，连接、，证明，得出，，则同理可得，；②以为正方形的对角线时，过的中点作，使与互相平分且相等，则四边形为正方形，过点作轴于点，过点作于点，证明，得出，在中，，解得或4，进而即可求解；
【详解】（1）解：把，，代入
得
解得
∴
把代入得
∴
（2）满足条件的、两点存在，，，
解：①当为正方形的边长时，分别过点点作，，使，，连接、.

过点作轴于.
∵，
又，
∴，
∴，
∴
同理可得，
②以为正方形的对角线时，过的中点作，使与互相平分且相等，则四边形为正方形，
过点作轴于点，过点作于点

∵，
又
∴
∴，
∵
∴
∴
在中，
∴
解得或4
当时，，此时点在点右侧故舍去；
当时，.
综上所述：，，
4．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知抛物线与轴交于两点，交轴于点．

(1)请求出抛物线的表达式．
(2)如图1，在轴上有一点，点在抛物线上，点为坐标平面内一点，是否存在点使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把代入，求出即可；
（2）假设存在这样的正方形，过点E作于点R，过点F作轴于点I，证明可得故可得，；
【详解】（1）∵抛物线与轴交于两点，交轴于点，
∴把代入，得，
解得，
∴解析式为：；
（2）假设存在这样的正方形，如图，过点E作于点R，过点F作轴于点I，

∴
∵四边形是正方形，
∴
∴
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴
∴；
同理可证明：
∴
∴
∴；
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，运用数形结合思想解决问题是解题的关键．
5．（2022·山东济宁·中考真题）已知抛物线与x轴有公共点．
(1)当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
(2)将抛物线先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线（如图所示），抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；
(3)D为抛物线的顶点，过点C作抛物线的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．
【答案】(1)
(2)n＝2
(3)见解析
【分析】（1）根据抛物线与轴由公共点，可得，从而而求出的值，进而求得抛物线对称轴，进一步得到结果；
（2）根据图像平移的特征可求出平移后抛物线的解析式，根据和分别得出点和的坐标，根据列出方程，进而求的结果；
（3）从而得出点、点的坐标，由抛物线的解析式可得出点的坐标和点的坐标，进而求得的解析式，从而得出点的坐标，进而得出，进一步得出结论．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴有公共点，
∴
∴∴．
∴，
∴，
∵，
∴当时，y随着x的增大而增大．
（2）解：由题意，得，
当y＝0时，，
解得：或，
∵点A在点B的右侧，
∴点A的坐标为（1+n，0），点B的坐标为（－3+n，0）．
∵点C的坐标为（0，－n2 +2n+3），
∴n+1＝－n2+2n+3．
解得：n＝2或n＝－1（舍去）．
故n的值为2.
（3）解：由（2）可知：抛物线C2的解析式为y＝－（x－1）2+4．
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（－1，0）
点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（1，4），
抛物线C2的对称轴是直线x＝1，
∵点E与点C关于直线x＝1对称，
∴点E的坐标为（2，3）．
∴点G的坐标为（1，3）．
设直线BE解析式为y＝kx+b，
∴
解得：
∴y＝x+1．
当x＝1时，y＝1+1＝2．点F的坐标为（1，2）．
∴FG＝EG＝DG＝CG＝1．
∴四边形CDEF为矩形．
又∵CE⊥DF，
∴四边形CDEF为正方形．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，求一次函数的解析式，平移图像的特征，正方形的判定，解决问题的关键是平移前后抛物线解析式之间的关系．
6．（2022·山东泰安·中考真题）若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N．
①若点N在线段上，且，求点M的坐标；
②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）①先求出直线的表达式为，然后设点N的坐标为．可得．可得到，．再由，即可求解；②连接与交与点E．设点M的坐标为，则点N的坐标为
根据正方形的性质可得E的坐标为，进而得到P的坐标．再由点P在抛物线上，即可求解．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，
．
又抛物线经过点，对称轴为直线，
解得∶
抛物线的表达式为．
（2）解∶①设直线的表达式为．
点A，B的坐标为，，
∴， 解得∶ ，
直线的表达式为．
根据题意得∶点C与点关于对称轴直线对称，
．
设点N的坐标为．
轴，
．
∴
．
，
解，得．
点M的坐标；
②连接与交与点E．
设点M的坐标为，则点N的坐标为
四边形是正方形，
，，．
∵MN⊥x轴，
轴．
E的坐标为．
．
．
∴P的坐标．
点P在抛物线上，
．
解，得，．
点P在第四象限，
舍去．
即．
点M坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质是解题的关键．
7．（2023·辽宁葫芦岛·一模）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点D是抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当点D在直线上方时，作轴于点F，交直线于点E，当时，求点D的坐标；
(3)点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)，，，
【分析】（1）将B，C两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可求出直线的解析式，由可证明，作于H，则，设点D的横坐标为t，分别表达和，建立方程即可得出结论；
（3）若四边形为正方形，则是等腰直角三角形，且，根据题意画出对应图形，利用全等三角形建立方程，即可得出结论．
【详解】（1）经过点，点

解得
抛物线的函数解析式为：
（2）轴，
轴，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入得其解析式得，
，
∴，
解得或，
当时，点D与点A重合，如图3，，则或，则；
当时，则；

如图4，过点D作于点M，设直线l与x轴交于点N，
同理可证，，
∴，
∴，
∴，
解得或，
当时，点D与点A重合，同上；
当时，，则；

综上，点Q的坐标为：或或或
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法，等腰三角形的性质与判定，正方形的性质与判定等相关知识，解题关键是利用转化思想对已知信息进行转化，将转化为，将正方形的存在性转化为等腰直角三角形的存在性．