数学：辽宁省铁岭市六校2022-2023学年高二下学期期末考试试题（解析版）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第三册．集合、逻辑、函数、不等式.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题“，”的否定是：，.
故选：B
2. 已知数列，则该数列的第2024项为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】该数列的通项公式为，
所以.
故选：D.
3. 函数的导数（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由知
故选：B
4. 若公比为的等比数列的前2项和为10，则该等比数列的第3项为（ ）
A. 15B. －15C. 45D. －45
【答案】D
【解析】设该等比数列为，则，
所以．
故选：D.
5. 已知函数，，则下图对应的函数解析式可能是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，函数在上单调递增，而在上单调递增，
因此函数在上单调递增，不符合题意，A不是；
对于B，因为，因此是函数的零点，不符合题意，B不是；
对于C，，显然函数是偶函数，而函数是偶函数，
因此函数是偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意，C不是；
对于D，，因此，定义域为，
且在上单调递减，并且是奇函数，图象在第一 、三象限，符合题意，D是.
故选：D
6. 设是数列的前项积，则“”是“是等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则；当时，.
所以，对任意的，，则，此时，数列是等差数列，
故“”能得出“是等差数列”；
若“是等差数列”，不妨设，则，
即“是等差数列”不能得出“”.
所以“”是“是等差数列”的充分不必要条件.
故选：A.
7. 若存在直线，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足，则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数，，若和存在唯一的“隔离直线”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当与相切时，只有唯一的“隔离直线”，
且“隔离直线”公切线.设切点为，
则即所以.
故选：D.
8. 已知数列满足，．设，若对于任意的，．恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由数列满足，，得是首项为1，公比为的等比数列，，
于是，，
当，时，当且仅当时取等号，当时，，
因此当时，数列单调递增，当时，数列单调递减，
则当或时，，而任意的，恒成立，则，
所以实数的取值范围是.
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设数列、都是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】设等比数列、的公比分别为、，其中，，
对任意的，，，
对于A选项，不妨取，，则数列、都是等比数列，
但对任意的，，
故数列不是等比数列，A不满足条件；
对于B选项，，即数列为等边数列，B满足条件；
对于C选项，当时，，此时，不是等比数列，C不满足条件；
对于D选项，，故为等比数列，D满足条件.
故选：BD.
10. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】显然，则，，，
所以，A正确，B错误，C正确，D错误.
故选：AC
11. 已知函数，则（ ）
A. 当时，为增函数B.
C. 当时，的极值点为0D.
【答案】ACD
【解析】当时，由，得，
所以为增函数，所以A正确．
当时，由，得，
当时，，当时，，
所以的极小值点为0，所以C正确．
当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，，所以B错误，D正确．
故选：ACD
12. 已知函数，的定义域均为，为偶函数，，且当时，，则（ ）
A. 为偶函数
B. 的图象关于点对称
C.
D. 8是函数的一个周期
【答案】ABD
【解析】依题意，，，即有，
两式相加整理得，因此的图象关于点对称，B正确；
由为偶函数，得，于是，
有，因此函数的周期为4，8是函数的一个周期，D正确；
由，得，而，因此，为偶函数，A正确；
由当时，，得，而，，，
即有，，C错误.
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知集合，，则________．
【答案】
【解析】解不等式，得，
即，而，
所以
故答案为：
14. 若数列是首项为，公比为的等比数列，则__________．
【答案】
【解析】依题意可得，则，即．
故答案为：
15. 已知函数若，则________．
【答案】3
【解析】根据题意，函数，
则，
则，故有，
又由，则，
故答案为：3.
16. 已知，，且，则的最小值为________．
【答案】9
【解析】由，，得，
当且仅当时取等号，
因此，解得，即，
由，而，解得，
所以当时，取得最小值9.
故答案为：9
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 记等差数列的前项和为，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求以及的最小值．
解：（1）设等差数列的公差为，由，，
得，
解得，于是，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
显然，当且仅当时取等号，
所以，的最小值为.
18. 已知函数.
（1）若是的极值点，求；
（2）当时，在区间上恒成立，求的取值范围.
解：（1）因为，所以.
因为是的极值点，所以，解得.
当时，.
令，得；令，得.
所以在上单调递增，在上单调递减，
故是的极小值点.
综上，.
（2）因为，所以.
令，得，令，得或，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
因为在区间上恒成立，所以
解得.又因为，所以，故的取值范围是.
19. 已知函数，满足．
（1）求的值；
（2）若，求的解析式与最小值．
解：（1）因为函数，满足，
所以当时，
.
（2）由，得，于是，
即，因此，当时，，
所以的解析式是，最小值为.
20. 已知是定义在上的奇函数，且当时，．
（1）求；
（2）解不等式．
解：（1）因为是定义在上的奇函数，
则，，
则.
（2）当时，，因为为单调增函数，
根据复合函数单调性知为单调减函数，又因为为单调减函数，
所以函数为单调减函数，
又因为是定义在上的奇函数，
所以是在为单调减函数，
因为，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
21. 已知公差为的等差数列的前项和为,且.
（1）求的通项公式;
（2）若数列的前项和为,证明:为定值.
解：（1）由题意得,
解得,
故.
（2）因为,
设,
所以
,
所以,
即为定值.
22. 已知函数．
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）证明：．
解：（1）因为，所以，
所以切点坐标为，
由于，
所以切线的斜率为：，
故切线的方程为：，即.
（2）要证：，
只需证：，
由于，证明如下：令，
，令得：，
当时，，故单调递减；
当时，，故单调递增；
所以，故，即，
所以
令，则，
令，则
由于，所以在恒成立，
故在单调递增，
所以恒成立，
即在恒成立.
所以在单调递增，
所以恒成立，即，
故
所以，即.