数学：河南省商丘市夏邑县2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版）

这是一份数学：河南省商丘市夏邑县2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 计算等于（ ）
A. B. 2C. 4D.
【答案】B
【解析】．
故选：B．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】不是同类二次根式，无法相加，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确；
故选：D．
3. 把根式化成最简二次根式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
故选：C．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题一定有逆命题B. 所有的定理一定有逆定理
C. 真命题的逆命题一定是真命题D. 假命题的逆命题一定是假命题
【答案】A
【解析】A.命题一定有逆命题，故此选项符合题意；
B.定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；
C.真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；
D.假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意．
故选：A．
5. 的三边分别为、、，其对角分别为、、．下列条件不能判定是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A.，
，
，
，
，即是直角三角形，故本选项错误；
B.，
是直角三角形，故本选项错误；
C.，
，
是直角三角形，故本选项错误；
D.，，
，，，
不是直角三角形，故本选项正确；故选：D
6. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）

A. 25B. C. 35D.
【答案】A
【解析】如图1，将长方体展开，连接，
根据两点之间线段最短，

，
由勾股定理得：．
（2）如图2，

，
由勾股定理得，．
（3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：

∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
∴；
∵，
故选：A．
7. 如图，在四边形中，已知，添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵，，
∴由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴项能判定四边形是平行四边形，
故项不符合题意；
∵，，
∴由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴项能判定四边形是平行四边形，
故项不符合题意；
∵，但和不一定平行，
∴项不能判定四边形是平行四边形，
故符合题意；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴项能判定四边形是平行四边形，
故项不符合题意；
故选：．
8. 如图所示，在中，，是上点，交于点，交于点，那么四边形的周长是（ ）

A 5B. 10C. 15D. 20
【答案】B
【解析】∵，，
则四边形是平行四边形，
，
∵，
，
，
，，
所以：的周长等于．
故选：B．
9. 如图，在长方形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，则的长为（ ）
A. 3B. 3.6C. 3.5D. 3.4
【答案】B
【解析】连接，交于点，
将沿折叠得到，
，，垂直平分，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
故选：B．
10. 观察数据并寻找规律：，，，，，…，则第2027个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】数据为，，，，，…，，
∴第2027个数是，
故选：C．
二、填空题
11. 若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是____________
【答案】
【解析】代数式有意义，
，
解得．
故答案为：．
12. 请写出一个正整数m的值使得是整数；_____________．
【答案】8
【解析】∵是整数，
∴要是完全平方数，
∴正整数m的值可以为8，即，即，
故答案为：8（答案不唯一）．
13. 勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则___________（用含的式子表示）．
【答案】
【解析】由于现有勾股数a，b，c，其中，均小于，
，直角边，为斜边，，
，
得到，
，
，
是大于1的奇数，
．
故答案为：．
14. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，则的长为_____________．
【答案】2
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵的平分线交于点E，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：2．
15. 如图，在梯形中，，，，点E是的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动.点P停止运动时，点Q也随之停止运动.求当运动时间_______秒时．以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．

【答案】2或
【解析】∵，点E是的中点，
∴，
∵点P停止运动时，点Q也随之停止运动，
∴，
①当点Q在E点右边时，
，
∵以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
解得：，
②当点Q在E点左边时，
，
∵以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
解得：，
∴当或时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形；

故答案为：2或．
三、解答题
16. 计算：
（1）
（2）
（1）解：
；
（2）解：
17. 先化简，再求值：，其中，．
解：原式
,
当 时,
原式 ．
18. 如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里
（1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处（图1），且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？请说明理由
（2）若“远航”号沿北偏东30°方向航行（图2），从港口O离开经过两个小时后位于点F处，此时船上有一名乘客需要紧急回到海岸线上，若他从F处出发，乘坐的快艇的速度是每小时90海里，他能在20分钟内回到海岸线吗？请说明理由．
解：（1）∵（海里），（海里），（海里），
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵“远航”号沿东北方向航行，
∴，∴，
∴“海天”号沿西北方向航行；
（2）过点F作于D，
（海里），
∵，
∴，
∴（海里），
∵（海里），
，
∴能在20分钟内回到海岸线．
19. 课本再现
如图1，我们称该图案为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为a，b（），斜边长为c．
（1）请利用图1验证勾股定理．
知识应用
（2）在图1中，若，，求小正方形的面积．
（3）小明按图2的方式把边长为和的两个正方形切割成5块，按图3的方式无缝拼成一个大正方形，则大正方形的边长是________．
（1）证明：∵大正方形的面积四个直角三角形的面积小正方形的面积，
，
．
（2）解：由勾股定理得，
∴小正方形的面积．
（3）解：大正方形的面积为：，大正方形的边长：．
20. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．

（1）求证：；
（2）连接，若，求证：四边形是矩形．
（1）证明：∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，∴；
（2）证明：，
∴四边形平行四边形，
∵，
∴，∴平行四边形是矩形．
21. 如图，四边形是平行四边形，连接，交于点，平分交于点，平分交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）若四边形是菱形且，，求四边形的面积．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
．
（2）解：由（1）知，
，
四边形是菱形，
，，，
四边形的菱形，
，，
，
，，
，是等边三角形，
，，，
，
，，
四边形的面积．
22. 特例感知
化简：．
解：．
（1）请在横线上直接写出化简的结果；①______；②______．
观察发现
（2）第个式子是为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）．
解：（1）①；
②；
（2）．
23. 小渝与小北在教材上发现一则关于数学折纸活动的材料，材料原文叙述如下：如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）：

①对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．
②再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段．
观察所得到的和，这三个角有什么关系？你能证明吗？
（1）小渝猜想：．他的证明思路是：连接，利用轴对称性质得出是等边三角形，，从而证得猜想成立．请根据小明的思路完成下面的填空：
证明：连接，
∵四边形是矩形，
∴①___________，
∵首次对折纸片时，由轴对称性质知，垂直平分 ②___________，
∴③___________．
∵再次折叠时，由轴对称性质可知，④___________，⑤___________，
∴．
∴是等边三角形．
∴⑥___________．
∴，，
∴
（2）小北在该折纸活动基础上，进一步探索．如图2，她先对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段．已知，求线段的长．
（1）证明：连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵首次对折纸片时，由轴对称性质知，垂直平分，
∴③．
∵再次折叠时，由轴对称性质可知，，，
∴．
∴是等边三角形．
∴．
∴，
，
∴；
故答案为：①；②；③；④；⑤；⑥；
（2）解：∵，
由折叠的性质知，，，
在中，，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
∴线段的长为．