数学：广西壮族自治区钦州市2023-2024学年高二下学期期中考试试卷（解析版）

这是一份数学：广西壮族自治区钦州市2023-2024学年高二下学期期中考试试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每题5分，共分）
1. 下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得：，解得.
故选：C.
2. 已知事件，互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为事件，互斥，它们都不发生的概率为，
所以.
将代入上式可得，所以，.
故选:B.
3. 据美国的一份资料报道，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则不吸烟患肺癌的概率为（ ）
A. 0.025%B. 0.032%C. 0.048%D. 0.02%
【答案】A
【解析】设不吸烟患肺癌的概率为，
则，
解得.
故选：A
4. 的展开式中所有的项的系数之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令，，则展开式所有项的系数和为.
故选：A.
5. 有5件不同款式的上衣和8条不同颜色的长裤，若一件上衣与一条长裤配成一套，则不同的配法种数为（ ）
A. 13B. 40C. 72D. 60
【答案】B
【解析】由分步乘法计数原理得不同的配法种数为.
故选：B.
6. 某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，现在该市随机选择一名高三男生，则他的身高位于内的概率（结果保留三位有效数字）是（ ）
参考数据：，，．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，，，
所以．
故选：A
7. 定义：“各位数字之和为6的四位数叫幸运数”，比如“1005，2013”，则所有“幸运数”的个数为（ ）
A. 20B. 56C. 84D. 120
【答案】B
【解析】 “各位数字之和为6的四位数叫幸运数”，故首位最大为6，且首位不为0，则有：
若首位为6，则剩余三位均为0，共有1个“幸运数”；
若首位为5，则剩余三位为，共有个“幸运数”；
若首位为4，则剩余三位为或，共有个“幸运数”；
若首位为3，则剩余三位为或或，共有个“幸运数”；
若首位2，则剩余三位为或或或，共有个“幸运数”；
若首位为1，则剩余三位为或或或或，共有个“幸运数”；
综上所述：共有个“幸运数”.
故选：B.
8. 某人用字母v，r，y各1个和2个字母e拼写英语单词“every”，那么他写错这个英语单词的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对e，v，e，r，y5个字母排列也就是将e，v，e，r，y放入5个确定的位置，
先从5个位置中选出2个位置放2个e，有种方法，再将剩下3个字母全排放入其他两个位置，有种方法，
因此共有种方法，而写对的可能只有1种，
所以他写错这个英语单词的情况有种，
所以他写错这个英语单词的概率为.
故选：D.
二、多选题（每题6分，共分）
9. 已知数列各项均为负数，其前项和满足，则（ ）
A. 数列的第项小于B. 数列不可能是等比数列
C. 数列为递增数列D. 数列中存在大于的项
【答案】BCD
【解析】由题知，因为，
所以当时，，可得，
当时，，可得，
又，且，
所以，A错误；
对于B，假设数列是等比数列，设其公比为，
由于，即，
变形可得，
必有，与等比数列定义矛盾，B正确；
对于C，当时，可得，
必有即，则是递增数列，C正确；
对于D，假设数列中不存在大于的项，
即对于，有，
则，
所以有，
变形得，
与假设矛盾，故D正确.
故选：BCD
10. 现有个数学课外兴趣小组，第一、二、三、四组分别有人、人、人、人，则下列说法正确的是（ ）
A. 选人为负责人的选法种数为
B. 每组选名组长的选法种数为
C. 若推选人发言，这人需来自不同的小组，则不同的选法种数为
D. 若另有名学生加入这个小组，加入的小组可自由选择，且第一组必须有人选，则不同的选法有种
【答案】AD
【解析】对于A，个数学课外兴趣小组共有（人），故选人为负责人的选法共有种，A对；
对于B，分四步：第一、二、三、四步分别为从第一、二、三、四组中各选名组长，
所以不同的选法共有（种），B错；
对于C，分六类：从第一、二组中各选人，有种不同的选法；
从第一、三组中各选人，有种不同的选法；
从第一、四组中各选人，有种不同的选法；
从第二、三组中各选人，有种不同的选法；
从第二、四组中各选人，有种不同的选法；
从第三、四组中各选1人，有种不同的选法.
所以不同的选法共有（种），C错；
对于D，若不考虑限制条件，每个人都有种选法，共有种选法，
其中第一组没有人选，每个人都有种选法，共有种选法，
所以不同的选法有（种），D对.
故选：AD．
11. 如图所示，是一个3×3九宫格，现从这9个数字中随机挑出3个不同的数字，记事件A1：恰好挑出的是1、2、3；记事件A2：恰好挑出的是1、4、7；记事件A3：挑出的数字里含有数字1.下列说法正确的是（ ）
A. 事件A1，A2是互斥事件
B. 事件A1，A2是独立事件
C. P(A1|A3)＝P(A2|A3)
D. P(A3)＝P(A1)＋P(A2)
【答案】AC
【解析】A.挑出的是1、2、3和挑出的是1、4、7不可能同时发生，正确；
B.事件A1，A2不是独立事件，错误；
C.，正确；
D. ，，错误.
故选：AC.
三、填空题（每题5分，共分）
12. 已知，则的值是______.
【答案】
【解析】令，则，即
令，则，
即，
两式相加可得.
故答案为：
13. 已知向量，，且，，则______
【答案】
【解析】由知，，解得，
故，又
则，解得，
故答案为：
14. 已知随机变量，若对，都有，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】由，得，
当，即时，；
当，即时，，
而，即，则当时，；
当时，，因此，
则，
所以的取值范围是．
故答案为：
四、解答题
15. 已知正项数列的前项和为是与的等比中项.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，数列的前项和为，求.
解：（1）由是与的等比中项，
得 .
当时，.
当时，，
，
即.
，即.
数列是等差数列.
（2）数列首项，公差，
通项公式为.
则，则①
两边同时乘以，得②
①-②，得
.
解得.
16. 某班级数学竞赛学习兴趣小组有9名学生，若从这9名学生中选取3人，则选取的3人中至少有1名女生的概率是.
（1）该小组中男女学生各多少人？
（2）若9名学生站成一排，要求男生必须两两站在一起（不能有3名男生站在一起），有多少种站队的方法？（要求用数字作答）
解：（1）设男生有人，则至少1名女生，
即，又，
且，解得，
故男生有人，女生有人.
（2）第一步：将6名男生分成3组，共有种方法；
第二步： 3组男生中每组男生站队方法共有种；
第三步： 3名女生站好队，然后将3组男生插入其中，共有种方法；
所以一共有种站队方法.
17. 已知正项数列，满足．
（1）求；
（2）若，求数列的前项和．
解：（1）由，可得，，
两式相减得，又，
，
即，，
又，解得，
所以数列是以3为首项，以2为公差的等差数列，
.
（2）由（1），，
所以
.
18. 为打赢脱贫攻坚战，解决脱贫问题，政府重点扶持扶贫工厂.当地对某扶贫工厂进行设备改造，为分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取100件产品作为样本，检测质量指标值.该产品为次品、合格品、优等品所对应的指标值范围分别为，，.设备改造前的样本的频率分布直方图如图所示，设备改造后的样本的频数分布表如下所示.
（1）根据以上数据，完成以下列联表，并判断是否有的把握认为设备改造与产品为次品有关？
（2）若工人的月工资是由基本工资1000元与效益工资两部分组成.效益工资实施细则如下：每生产一件产品是合格品的奖50元，是优等品的奖100元，是次品的扣20元.将频率视为概率，估计设备改造后，一个月生产60件产品的工人月工资为多少元？
附：
解：（1）根据图表得到列联表：
将列联表中的数据代入公式计算得：
.
∴有的把握认为设备改造与产品为次品有关.
（2）优等品效益工资：（元），
合格品效益工资：（元），
次品效益工资：（元），
工人的月工资约为（元），
设备改造后，一个月生产60件产品的工人月工资大约为4090元.
19. 根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：
（其中）
每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为，且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件B表示一个家庭的男孩比女孩多（若一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.
（1）若，求，并根据全概率公式求；
（2）是否存在值，使得，请说明理由.
解：（1）当时，，
则，解得.
由题意，得.
由全概率公式，得
又，所以.
（2）由，得.
假设存在，使.
将上述两式相乘，得，
化简，得.
设，则.
由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，
所以不存在使得.即不存在值，使得.
X
3
4
5
9
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
质量指标值
频数
1
4
47
38
10
次品
非次品
合计
改造前
改造后
合计
0.150
0.100
0.050
0025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
次品
非次品
合计
设备改造前
15
85
100
设备改造后
5
95
100
合计
20
180
200
1
2
3
0