2024年陕西省商洛市丹凤县中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年陕西省商洛市丹凤县中考数学二模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下面四个数中，最小的数是（ ）
A．4B．C．﹣3D．0
2．（3分）如图是由一个正方体，截去了一部分得到的几何体，则其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为25°，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b的夹角∠2的度数为（ ）
A．25°B．30°C．45°D．50°
4．（3分）直线y＝3x+b与y＝﹣3x相交于点A（a，9），则方程组的解为（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，△ABC的顶点A，B，C均在边长为1的正方形网格的格点上，则AC边上的高为（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，正方形ABCD的边长为8，⊙O经过A，B两点，且与边DC相切于点M，若点M为DC的中点，则⊙O的半径长为（ ）
A．B．C．D．5
7．（3分）下表中列出的是二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数y的几组对应值．
下列选项中，正确的是（ ）
A．m＝﹣1
B．这个函数的图象开口向下
C．当x＜3时，y随x增大而增大
D．当y＜0时，x的取值范围是0＜x＜2
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
8．（3分）已知点M在数轴上，且与原点相距个单位长度，则点M表示的数是 ．
9．（3分）计算：＝ ．
10．（3分）如图，用5个相同的△AOB（阴影部分）拼成一个正五边形ABCDE．若∠AOB＝120°，OA＝OB，则图中五角星（空白部分）中∠1的度数为 ．
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC边的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF，则DF的长为 ．
12．（3分）如图，点A，B分别在反比例函数和图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为5，则k的值为 ．
13．（3分）如图，菱形ABCD的边AB＝10，，E是AB的中点，F是边CD上一点，将四边形AEFD沿直线EF折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CF的长是 ．
三、解答题（共14小题，计81分．解答应写出过程）
14．（4分）计算：．
15．（4分）求不等式的正整数解．
16．（4分）（a﹣）÷．
17．（4分）如图，在△ABC中，BD为△ABC边BC上的中线，AC＝2AB．请用尺规作图法，在边BC上求作一点E，使BE＝DE．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（4分）如图，AB＝DC，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，CM＝BN，连接AN，DM．求证：∠B＝∠C．
19．（5分）某花店甲品种鲜花每盆的售价比乙品种鲜花多5元，买3盆甲品种鲜花和2盆乙品种鲜花共155元，求该花店甲品种鲜花每盆的售价．
20．（5分）如图是一个直角三角形支架，它的直角边分别为m，n（m＞n），分别以这个三角形支架的直角边所在直线为轴旋转一周，得到甲，乙两个圆锥．试猜想哪个圆锥的体积更大，并通过计算证明自己的猜想．（）
22．（6分）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方，某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD＝13m，设光线与地面夹角为α，测得．求点O，M之间的距离．
23．（7分）为了帮助经济相对薄弱村发展经济，将真正的实惠带给消费者，某市在各农贸市场开设了“爱心助农销售专区”，现从某村购进苹果和橙子进行销售，进价分别为每箱40元和60元，该专区决定苹果以每箱60元出售，橙子以每箱88元出售．
（1）若该专区从该村购进苹果和橙子各200箱，且全部售出，可获利 元；
（2）为满足市场需求，该专区需购进这两种水果共1000箱，设购进苹果m箱，获得的总利润为W元．
①请求出获利W（元）与购进苹果箱数m（箱）之间的函数表达式：
②若此次活动该专区获得总利润不低于25000元，求最多购进苹果的箱数．
24．（7分）实验中学团支部发起了以“完善自我，服务社会，关爱弱势，大写人生”为主题的志愿活动，鼓励和倡导大家在暑假期间积极参加志愿活动，开学后该校团支部抽取了部分学生进行调查，并对他们参加志愿活动的次数进行了统计，根据调查数据绘制成不完整的统计图如下：
被抽取学生参加志愿活动的次数频数分布直方图
被抽取学生参加志愿活动的次数扇形统计图
（1）补全频数分布直方图，这组数据的中位数是 次，众数是 次；
（2）求被抽取的这部分学生参加志愿活动次数的平均数；
（3）若该校九年级共有800名学生，请估计九年级中参加志愿活动在4次及以上的学生人数．
26．（8分）如图①，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图②是其示意图，开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，OA＝4m，若喷水口上升到P处，水线落地点为B，记OP长度为h，如图②，以OP所在直线为y轴，OB所在直线为x轴，O为原点，建立平面直角坐标系，若喷水口在P处，h＝1.5m，OB＝6m．
（1）求过点P的抛物线形水线最高点与点B之间的水平距离及水线所在抛物线的函数表达式；
（2）身高1.5m的小红要从该水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与点O的水平距离应满足什么条件？请说明理由．
27．（10分）如图①，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A（0，2），，点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连接BD，作DE⊥BD，交x轴于点E．
（1）当△DEC是等腰三角形时，∠DEC的度数为 ；
（2）若，求BD的长；
（3）如图②，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．设AD的长为x，矩形BDEF的面积为y，请求出y关于x的函数表达式，并求出当x取何值时，y有最小值？此时y的值是多少？
2024年陕西省商洛市丹凤县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分，每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）下面四个数中，最小的数是（ ）
A．4B．C．﹣3D．0
【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小进行求解即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴四个数中最小的数是，
故选：B．
【点评】本题主要考查了有理数比较大小，正确记忆相关知识点是解题关键．
2．（3分）如图是由一个正方体，截去了一部分得到的几何体，则其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】俯视图是从上边看，得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【解答】解：该几何体的俯视图如图所示：
故选：C．
【点评】此题考查了简单几何体的三视图，正确记忆相关知识点实际解题关键．
3．（3分）如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为25°，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b的夹角∠2的度数为（ ）
A．25°B．30°C．45°D．50°
【分析】先利用入射光线与反射光线的关系求得∠1＝25°，利用平行线的性质求得∠3＝∠1＝25°，据此求解即可．
【解答】解：∵入射角为25°，
∴∠1＝25°，
∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝25°，
∴∠2＝∠3＝25°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，入射光线与反射光线的关系，利用平行线的性质求解是解题的关键．
4．（3分）直线y＝3x+b与y＝﹣3x相交于点A（a，9），则方程组的解为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由交点A（a，9）和y＝﹣3x可求a＝﹣3，从而可得A（﹣3，9），据此即可求解．
【解答】解：∵直线y＝3x+b与y＝﹣3x相交于点A（a，9），
∴9＝﹣3a，
解得a＝﹣3，
∴A（﹣3，9），
∴是方程y＝3x+b与y＝﹣3x的解，
∴二元一次方程组的解是．
故选：A．
【点评】本题考查了两个一次函数图象交点与对应方程组解的关系；掌握两直线的交点坐标就是对应方程组解是关键．
5．（3分）如图，△ABC的顶点A，B，C均在边长为1的正方形网格的格点上，则AC边上的高为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先利用割补法和勾股定理求得三角形的面积和AC，再利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：根据网格特点，，
，
∴AC边长的高＝，
故选：B．
【点评】本题考查网格与勾股定理、网格中求三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
6．（3分）如图，正方形ABCD的边长为8，⊙O经过A，B两点，且与边DC相切于点M，若点M为DC的中点，则⊙O的半径长为（ ）
A．B．C．D．5
【分析】设⊙O与边DC相切于点M，延长MO交AB于点N，连接OA，可推出四边形ADMN是矩形，得MN⊥AB，MN＝AD＝8；根据ON2+AN2＝OA2即可求解．
【解答】解：延长MO交AB于点N，连接OA，如图所示：
∵∠D＝∠DAN＝∠DMN＝90°，
∴四边形ADMN是矩形，
∴MN⊥AB，MN＝AD＝8，
∴，
∵OA＝OM，
∴ON＝8﹣OA，
∴（8﹣OA）2+42＝OA2，
解得：OA＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质、正方形的性质以及垂径定理等知识点．
7．（3分）下表中列出的是二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数y的几组对应值．
下列选项中，正确的是（ ）
A．m＝﹣1
B．这个函数的图象开口向下
C．当x＜3时，y随x增大而增大
D．当y＜0时，x的取值范围是0＜x＜2
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，
【解答】解：由表格可得，x＝﹣1和3时，函数值都为3，
∴该函数的对称轴为直线，
∴x＝0和x＝2对应的函数值相等，
∴m＝0，故选项A错误，不符合题意；
∵x＜1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，故选项B错误，不符合题意；
x＜1时，y随x的增大而减小，1＜x＜3时，y随x的增大而增大，故选项C错误，不符合题意；
当y＜0时，x的取值范围是0＜x＜2，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
8．（3分）已知点M在数轴上，且与原点相距个单位长度，则点M表示的数是 ．
【分析】在数轴上到原点距离相等的点有两个，这两个数互为相反数．据此求解即可．
【解答】解：设数轴上与原点相距个单位长度的点所表示的数为a，
故，
解得．
∴点M表示的数是．
故答案为：．
【点评】本题考查了实数与数轴，解答本题的关键要明确：在数轴上到原点距离相等的点有两个，这两个数互为相反数．
9．（3分）计算：＝ ．
【分析】根据单项式乘单项式的乘法法法则进行计算，即可解答．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题考查了单项式乘单项式，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10．（3分）如图，用5个相同的△AOB（阴影部分）拼成一个正五边形ABCDE．若∠AOB＝120°，OA＝OB，则图中五角星（空白部分）中∠1的度数为 48° ．
【分析】首先求得正五边形的内角的度数，等腰三角形的性质求得∠OAB＝∠OBA＝30°，据此求解即可．
【解答】解：在正五边形ABCDE中，，
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴，
∴∠1＝108°﹣30°﹣30°＝48°，
故答案为：48°．
【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，掌握正多边形的内角和是解题的关键．
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC边的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF，则DF的长为 ．
【分析】证明△ABE∽△ECF，列出比例式求出CF的长，进而得到DF的长即可．
【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE＝3，
∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴，即：，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
12．（3分）如图，点A，B分别在反比例函数和图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为5，则k的值为 7 ．
【分析】根据点A，B分别在反比例函数和图象上，且AD⊥x轴，AC⊥y轴，BF⊥x轴，BE⊥y轴，由反比例函数比例系数的几何意义，得S矩形ACOD＝12，S矩形BEOF＝k，然后根据图中阴影部分的面积为5，得S矩形ACOD﹣S矩形BEOF＝5，则12﹣k＝5，由此解出k即可．
【解答】解：如图所示：
∵点A，B分别在反比例函数和图象上，且AD⊥x轴，AC⊥y轴，BF⊥x轴，BE⊥y轴，
∴四边形ACOD和四边形BEOF均为矩形，
∵点A，B在第一象限，
∴k＞0，
根据反比例函数比例系数的几何意义，得：S矩形ACOD＝12，S矩形BEOF＝k，
∵图中阴影部分的面积为5，
∴S矩形ACOD﹣S矩形BEOF＝5，
∴12﹣k＝5，
解得：k＝7．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，准确识图，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键．
13．（3分）如图，菱形ABCD的边AB＝10，，E是AB的中点，F是边CD上一点，将四边形AEFD沿直线EF折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CF的长是 ．
【分析】过点A作关于EF的对称点A′，连接AA′，EA′，过点C作CG⊥AB于点G，根据折叠的性质可知AE＝A′E＝5，∠AEF＝∠A′EF，根据三角形三边关系可得A′C＞CE﹣A′E，以此得到当点A′在CE上时，A′C取得最小值，此时A′C＝CE﹣A′E，设AA′交EF于点H，tan∠B＝，可设CG＝3x，BG＝4x，根据勾股定理建立方程，求得CG＝6，BG＝8，则EG＝3，再根据勾股定理求得，于是可得∠CFE＝∠AEF＝∠FEC，根据等边对等角即可解答．
【解答】解：如图，过点A作关于EF的对称点A′，连接AA′，EA′，过点C作CG⊥AB于点G，
∵四边形ABCD为菱形，AB＝10，
∴BC＝AB＝10，AB∥CD，
∵E是AB的中点，
∴BE＝AE＝AB＝5，
根据折叠的性质可知，AE＝A′E＝5，∠AEF＝∠A′EF，
在△A′CE中，A′C＞CE﹣A′E，
∴当点A′在CE上时，A′C取得最小值，此时A′C＝CE﹣A′E，
当点A′在CE上时，如图，设AA′交EF于点H，
在Rt△BGC中，BC＝10，tan∠B＝＝，
∴设CG＝3x，BG＝4x（x＞0），
在Rt△BCG中，BG2+CG2＝BC2，
∴（4x）2+（3x）2＝102，
解得：x1＝2，x2＝﹣2（舍去），
∴CG＝6，BG＝8，
∴EG＝BG﹣BE＝8﹣5＝3，
在Rt△CEG中，CE＝＝＝，
∵AB∥CD，
∴∠CFE＝∠AEF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CE＝CF＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查折叠的性质、菱形的性质、三角形三边关系、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，利用折叠的性质和三角形的三边关系推理论证出当点A′在CE上时，A′C取得最小值是解题关键．
三、解答题（共14小题，计81分．解答应写出过程）
14．（4分）计算：．
【分析】先计算算术平方根和零指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可．
【解答】解：
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，属于基础题．
15．（4分）求不等式的正整数解．
【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其正整数解即可．
【解答】解：
去分母得：3（x﹣2）≤x﹣2，
去括号得：3x﹣6≤x﹣2，
移项得：3x﹣x≤﹣2+6，
合并同类项得：2x≤4，
系数化为1得：x≤2，
∴不等式得正整数解为1和2．
【点评】本题主要考查了求不等式的正整数，熟练掌握不等式解法是关键．
16．（4分）（a﹣）÷．
【分析】做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分，有括号的先算括号里面的．
【解答】解：原式＝×
＝．
【点评】分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有括号，先算括号里面的，分子或分母是多项式时，通过分解因式，把分子分母中能够分解因式的部分，分解成乘积的形式，然后找到其中的公因式约去．
17．（4分）如图，在△ABC中，BD为△ABC边BC上的中线，AC＝2AB．请用尺规作图法，在边BC上求作一点E，使BE＝DE．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】由于BD为△ABC边BC上的中线，AC＝2AB，所以AD＝AB，作线段BD的垂直平分线，交边BC于点E，由线段垂直平分线的性质得到BE＝DE．
【解答】解：点E如图所示．
．
【点评】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质．
18．（4分）如图，AB＝DC，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，CM＝BN，连接AN，DM．求证：∠B＝∠C．
【分析】先证明CN＝BM，再证明Rt△ABM≌Rt△DCN（HL），即可证明∠B＝∠C．
【解答】证明：∵CM＝BN，
∴CM﹣MN＝BN﹣MN，即CN＝BM，
∵DN⊥BC，AM⊥BC，
∴∠AMB＝∠DNC＝90°，
又∵AB＝DC，
∴Rt△ABM≌Rt△DCN（HL），
∴∠B＝∠C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确记忆相关知识点是解题关键．
19．（5分）某花店甲品种鲜花每盆的售价比乙品种鲜花多5元，买3盆甲品种鲜花和2盆乙品种鲜花共155元，求该花店甲品种鲜花每盆的售价．
【分析】设该花店甲品种鲜花每盆的售价为x元，则该花店乙品种鲜花每盆的售价为（x﹣5）元，根据买3盆甲品种鲜花和2盆乙品种鲜花共155元，列出方程求解即可．
【解答】解：设该花店甲品种鲜花每盆的售价为x元，则该花店乙品种鲜花每盆的售价为（x﹣5）元，
由题意得，3x+2（x﹣5）＝155，
解得x＝33，
答：该花店甲品种鲜花每盆的售价为33元．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，理解题意是关键．
20．（5分）如图是一个直角三角形支架，它的直角边分别为m，n（m＞n），分别以这个三角形支架的直角边所在直线为轴旋转一周，得到甲，乙两个圆锥．试猜想哪个圆锥的体积更大，并通过计算证明自己的猜想．（）
【分析】分别求出甲、乙两个圆锥的体积，再进行比较即可．
【解答】解：以直角边m所在直线为轴旋转一周，得到的圆锥体积更大，
证明如下：
以直角边n所在直线为轴旋转一周，得到的圆锥体积为＝，
以直角边m所在直线为轴旋转一周，得到的圆锥体积为＝，
∵＝＜1，
∴＜，
∴以直角边m所在直线为轴旋转一周，得到的圆锥体积更大．
【点评】本题主要考查圆锥的体积，熟练掌握圆锥体积公式是解题的关键．
22．（6分）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方，某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD＝13m，设光线与地面夹角为α，测得．求点O，M之间的距离．
【分析】过点O作OH∥AC交CD于H，根据平行线分线段成比例得出点H是CD的中点，得出MH＝15m，再由正切函数求解即可．
【解答】解：（1）如图，过点O作OH∥AC交CD于H，
由题意可知，点O是AB的中点，AC⊥AB，BD⊥AB，
∴OH∥AC∥BD，
∴，
∴点H是CD的中点，
∵CD＝13m，
∴，
∴MH＝MC+CH＝8.5+6.5＝15（m），
又∵∠OHM＝∠BDC＝α，
∴，
∴，
解得OM＝10m，
∴点O、M之间的距离等于10m．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行线分线段成比例定理，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．
23．（7分）为了帮助经济相对薄弱村发展经济，将真正的实惠带给消费者，某市在各农贸市场开设了“爱心助农销售专区”，现从某村购进苹果和橙子进行销售，进价分别为每箱40元和60元，该专区决定苹果以每箱60元出售，橙子以每箱88元出售．
（1）若该专区从该村购进苹果和橙子各200箱，且全部售出，可获利 9600 元；
（2）为满足市场需求，该专区需购进这两种水果共1000箱，设购进苹果m箱，获得的总利润为W元．
①请求出获利W（元）与购进苹果箱数m（箱）之间的函数表达式：
②若此次活动该专区获得总利润不低于25000元，求最多购进苹果的箱数．
【分析】（1）根据售价减去进价乘以数量即可求解；
（2）①根据售价减去进价乘以数量列出函数关系式即可求解；
②根据题意列出不等式，即可求解．
【解答】解：（1）（60﹣40）×200+（88﹣60）×200＝9600（元），
∴该专区从该村购进苹果和橙子各200箱，且全部售出，可获利9600元，
故答案为：9600；
（2）①设购进苹果m箱，则购进橙子（1000﹣m）箱，
∴W＝（60﹣40）m+（88﹣60）（1000﹣m）＝28000﹣8m；
②依题意得：28000﹣8m≥25000，
解得：m≤375，
答：此次活动该专区获得总利润不低于25000元，则最多购进苹果375箱．
【点评】本题考查了有理数的运算，列函数关系式，一元一次不等式的应用，根据题意列出关系式是解题的关键．
24．（7分）实验中学团支部发起了以“完善自我，服务社会，关爱弱势，大写人生”为主题的志愿活动，鼓励和倡导大家在暑假期间积极参加志愿活动，开学后该校团支部抽取了部分学生进行调查，并对他们参加志愿活动的次数进行了统计，根据调查数据绘制成不完整的统计图如下：
被抽取学生参加志愿活动的次数频数分布直方图
被抽取学生参加志愿活动的次数扇形统计图
（1）补全频数分布直方图，这组数据的中位数是 4 次，众数是 4 次；
（2）求被抽取的这部分学生参加志愿活动次数的平均数；
（3）若该校九年级共有800名学生，请估计九年级中参加志愿活动在4次及以上的学生人数．
【分析】（1）利用活动次数为4次的学生的数量以及对应的百分比，即可得到抽取的学生数，进而求出活动次数为3次的学生数，再根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据加权平均数的定义求解即可；
（3）用800乘以样本中参加志愿活动在4次及以上的学生人数占比即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意得，被随机抽取的学生共有：6÷30%＝20（人），
∴活动次数为3次的学生数为：20﹣1﹣2﹣6﹣5﹣2＝4（人），
补全统计图如下：
∵这组数据的中，次数为4出现的次数最多，
∴众数是4次，
将20个数中按从小到大排列，第10个和第11个都是4次，
∴中位数是4次；
（2）解：（次），
∴被抽取的这部分学生参加志愿活动次数的平均数为3.9次；
（3）解：（名）．
∴估计九年级中参加志愿活动在4次及以上的学生人数约有520名．
【点评】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，求中位数，众数和平均数，用样本估计总体，从统计图获取有用的信息是解题的关键．
26．（8分）如图①，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图②是其示意图，开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，OA＝4m，若喷水口上升到P处，水线落地点为B，记OP长度为h，如图②，以OP所在直线为y轴，OB所在直线为x轴，O为原点，建立平面直角坐标系，若喷水口在P处，h＝1.5m，OB＝6m．
（1）求过点P的抛物线形水线最高点与点B之间的水平距离及水线所在抛物线的函数表达式；
（2）身高1.5m的小红要从该水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与点O的水平距离应满足什么条件？请说明理由．
【分析】（1）设过点P的抛物线形水线所在抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，先求出过点O的抛物线形水线所在抛物线的对称轴为直线x＝2，再由平移的性质可得，据此利用待定系数法求出对应的函数解析式，再化成顶点式求出对称轴即可得到答案；
（2）令y＝1.5，解出x，进而即可求解．
【解答】解：（1）设过点P的抛物线形水线所在抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵OA＝4m，
∴过点O的抛物线形水线所在抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵过点P的抛物线形水线所在抛物线是有过点O的抛物线形水线所在抛物线平移得到的，
∴，即b＝﹣4a
∵h＝1.5m，OB＝6m，
∴P（0，1.5），B（6，0），
∴
解得：，
∴过点P的抛物线形水线所在抛物线的解析式为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2
∴过点P的抛物线形水线最高点与点B之间的水平距离为6﹣2＝4m；
（2）该点与点O的水平距离要大于0小于4，理由如下：
令y＝1.5，
∴．
∴x＝0或x＝4，
∴为了不被水喷到，该点与点O的水平距离要大于0小于4．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
27．（10分）如图①，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A（0，2），，点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连接BD，作DE⊥BD，交x轴于点E．
（1）当△DEC是等腰三角形时，∠DEC的度数为 120°或15° ；
（2）若，求BD的长；
（3）如图②，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．设AD的长为x，矩形BDEF的面积为y，请求出y关于x的函数表达式，并求出当x取何值时，y有最小值？此时y的值是多少？
【分析】（1）先根据点的坐标求出OA＝2，，即可得出∠ACO＝30°，∠ACB＝60°，再分两种情况：当点E在线段CO上，△CDE是等腰三角形，则ED＝EC，当点E在OC的延长线上时，△CDE是等腰三角形，则CD＝CE，可得答案；
（2）作MN⊥AB，交AB于点M，交OC于点N，再设DN＝a，表示BM，然后说明△BMD∽△DNE，可得，再代入计算即可．
（3）作DH⊥AB，表示DH，AH，BH，再根据勾股定理表示BD2，然后结合（2）中，可根据矩形BDEF的面积y＝BD•DE配方讨论极值得出答案．
【解答】解：（1）存在，理由如下：
∵点A（0，2），，
∴OA＝2，．
∵，
∴∠ACO＝30°，∠ACB＝60°．
分两种情况：
①当点E在线段CO上，△CDE是等腰三角形，则ED＝EC，
∴∠EDC＝DCE＝30°，
∴∠DEC＝120°；
②当点E在OC的延长线上时，△CDE是等腰三角形，如图1，则CD＝CE，
∴∠DEC＝∠CDE＝15°．
所以∠DEC＝120°或15°．
故答案为：120°或15°；
（2）过点D作MN⊥AB，交AB于点M，交OC于点N，如图2所示．
设DN＝a，
∵∠ACO＝30°，
∴．
∵∠BDE＝90°，
∴∠BDM+∠NDE＝90°，∠BDM+∠DBM＝90°，
∴∠DBM＝∠EDN．
∵∠BMD＝∠DNE＝90°，
∴△BMD∽△DNE，
∴．
∵，
∴；
（3）作DH⊥AB于点H，如图3所示．
在Rt△ADH中，AD＝x，∠DAH＝∠ACO＝30°，
∴，，
∴．
在Rt△BDH中，．
由（2），得，
∴，
∴矩形BDEF的面积为．
∵，
∴当x＝3时，y有最小值为．
即当点D运动到A点的距离是3时，y有最小值．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了锐角三角函数，矩形的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，二次函数的性质等，解答本题的关键是分类讨论思想的运用．
x
•••
﹣1
0
1
2
3
•••
y
•••
3
0
﹣1
m
3
•••
x
•••
﹣1
0
1
2
3
•••
y
•••
3
0
﹣1
m
3
•••