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2024年山东省枣庄市山亭区中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2024年山东省枣庄市山亭区中考数学二模试卷（含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣的倒数是（ ）
A．﹣2B．C．2D．1
2．（3分）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是某种鼓的立体图形，其左视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．a3•a3＝2a3B．8a2﹣5a2＝3a2
C．a8÷a2＝a4D．（﹣3a2）3＝﹣9a6
5．（3分）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝30°，∠3＝150°，则∠2的度数为（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
6．（3分）定义运算：m☆n＝n2﹣mn﹣1，例如：5☆3＝32﹣5×3﹣1＝﹣7，则方程2☆x＝6的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
7．（3分）点A（a，﹣3），B（b，﹣2），C（c，1）在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c
8．（3分）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．（1）～（3）是其作图过程．
（1）作BD的垂直平分线交BD于点O；
（2）连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO；
（3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．一组对边平行且相等
9．（3分）如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（ ）
A．2B．C．1D．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
且当时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：①abc＞0；②m＝n；③﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；④．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本大题共6小题，满分18分．只填写最后结果，每小题填对得3分．
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点F，G，连接FG，过点A作AH⊥FG，垂足为H，将△ABC分割后可拼接成矩形BCDE．若AH＝FG＝4，则△ABC的面积是 ．
13．（3分）如图，在扇形AOB中，已知∠AOB＝90°，，过弧AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D、E，则图中阴影部分的面积为 ．
14．（3分）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，根据题意可列分式方程为 ．
15．（3分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体AB的高为12cm，实像CD的高度为8cm，则小孔O的高度OE为 cm．
16．（3分）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 mL．
三、解答题：本大题共8小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤．
17．（10分）（1）计算：．
（2）解不等式组：．
（3）先化简，再求值：，其中．
18．（8分）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度和服务质量得分统计表
（1）补全频数分布直方图，并求扇形统计图中圆心角α的度数；
（2）表格中的m＝ ； （填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由；
（4）如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率．
19．（8分）消防安全事关经济发展和社会和谐稳定，是惠及民生、确保民安的一项重要基础性工作，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆AB＝3m，∠BAC＝53°，∠DOC＝37°．
（1）求BO的长；
（2）消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O按顺时针方向旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3.2m，求云梯OD大约旋转了多少度．
（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin53°≈，tan53°≈，sin67°≈0.92cs67°≈0.39）
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b（k1，b为常数，且k1≠0）与反比例函数y＝（k2为常数，且k2≠0）的图象交于点A（m，6），B（4，﹣3）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当＞k1x+b＞0时，直接写出自变量x的取值范围；
（3）已知一次函数y＝k1x+b的图象与y轴交于点C，点P在x轴上，若△PAC的面积为8，求点P的坐标．
21．（8分）某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】如何设计纸盒？
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题．
22．（8分）如图，△ABC中，AB＝BC，以AC为直径的⊙O分别交边AB，BC于点D，E，过点A作⊙O的切线交CB的延长线于点F．
（1）求证：AB＝BF；
（2）若AF＝8，，求DE的长．
23．（10分）综合实践
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，分别取AB，AC的中点D，E，作△ADE．如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE．
（1）探究发现：旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
（2）性质应用：如图3，当DE所在直线首次经过点B时，求CE的长．
24．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将线段CA绕点C顺时针旋转90°，点A的对应点为A′，判断点A′是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）求PM+2BH的最大值；
（4）如果△PMC是等腰三角形，直接写出点P的横坐标m的值．
2024年山东省枣庄市山亭区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．
1．（3分）﹣的倒数是（ ）
A．﹣2B．C．2D．1
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【解答】解：﹣的倒数是﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．（3分）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（3分）先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是某种鼓的立体图形，其左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【解答】解：这个立体图形的左视图为：
．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图是解题的关键．
4．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．a3•a3＝2a3B．8a2﹣5a2＝3a2
C．a8÷a2＝a4D．（﹣3a2）3＝﹣9a6
【分析】根据同类项、合并同类项法则以及同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的计算方法进行计算即可．
【解答】解：A．a3•a3＝a3+3＝a6，因此选项A不符合题意；
B．8a2﹣5a2＝3a2，因此选项B符合题意；
C．a8÷a2＝a8﹣2＝a6，因此选项C不符合题意；
D．（﹣3a2）3＝﹣27a6，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项法则，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握合并同类项法则，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的计算方法是正确解答的前提．
5．（3分）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝30°，∠3＝150°，则∠2的度数为（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【分析】过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角即∠4、∠5，根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：如图所示，过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角∠4和∠5，
∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台，
∴直线l∥支撑平台∥工作篮底部，
∴∠1＝∠4＝30°，∠5+∠3＝180°，
∴∠5＝30°，
∴∠2＝∠4+∠5＝60°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
6．（3分）定义运算：m☆n＝n2﹣mn﹣1，例如：5☆3＝32﹣5×3﹣1＝﹣7，则方程2☆x＝6的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
【分析】先根据已知条件中的定义，把方程2☆x＝6化成一般形式，利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可．
【解答】解：∵m☆n＝n2﹣mn﹣1，
∴2☆x＝6，即x2﹣2x﹣1＝6，
∴x2﹣2x﹣7＝0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣7，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣7）＝4+28＝32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题主要考查了新定义和一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握利用根的判别式判断方程根的情况．
7．（3分）点A（a，﹣3），B（b，﹣2），C（c，1）在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c
【分析】根据反比例函数的性质解答即可．
【解答】解：∵（k2+1）＞0，
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
又∵点A（a，﹣3），B（b，﹣2），C（c，1）在反比例函数图象上，
∴点A（a，﹣3），B（b，﹣2）在第三象限，点C（c，1）在第一象限，
∴0＞a＞b，c＞0，
∴c＞a＞b．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
8．（3分）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．（1）～（3）是其作图过程．
（1）作BD的垂直平分线交BD于点O；
（2）连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO；
（3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．一组对边平行且相等
【分析】根据：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明．
【解答】解：由作图得：DO＝BO，AO＝CO，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故选：C．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
9．（3分）如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（ ）
A．2B．C．1D．
【分析】由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠BOD＝60°，在Rt△BOD中，利用特殊三角函数值易求OD．
【解答】解：∵OD⊥弦BC，
∴∠BDO＝90°，
∵∠BOD＝∠A＝60°，
∴OD＝OB＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、特殊角三角函数计算，解题的关键是熟记特殊角三角函数．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
且当时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：①abc＞0；②m＝n；③﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；④．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据表中的（0，﹣2），（1，﹣2）得到c＝﹣2，对称轴，得到b＝﹣a，判定①正确；根据抛物线的对称性，判定②、③都正确；根据①中的数据和时，y＞0，得到，得到，判定④不正确．
【解答】解：∵由表格可知，当x＝0和x＝1时的函数值相等，都为﹣2，
∴y＝c＝﹣2，抛物线的对称轴是直线，
∴c＜0，b＝﹣a，a、b异号，
∴abc＞0，
故①正确；
根据抛物线的对称性可知，当x＝﹣1和x＝2时的函数值相等，
∴m＝n，
故②正确；
∵根据抛物线的对称性可知，当x＝﹣2和x＝3时的函数值相等，都为t，
∴﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；
故③正确；
由①知，b＝﹣a，c＝﹣2，
∴二次函数为y＝ax2﹣ax﹣2，
∵当时，对应的函数值y＞0，
∴，
∴，
故④不正确．
∴正确的结论有①、②、③，共3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握表格信息，待定系数法求解析式，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系是解决问题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，满分18分．只填写最后结果，每小题填对得3分．
11．（3分）计算：＝ x+y ．
【分析】首先把两分式分母化成相同，然后进行加减运算．
【解答】解：原式＝＝＝x+y．故答案为x+y．
【点评】本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式．
12．（3分）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点F，G，连接FG，过点A作AH⊥FG，垂足为H，将△ABC分割后可拼接成矩形BCDE．若AH＝FG＝4，则△ABC的面积是 32 ．
【分析】由矩形的性质得BC＝DE，BE＝CD，再由题意可知，BE＝CD＝AH＝4，DG＝HG，EF＝HF，则BE+AH＝4+4＝8，DG+EF＝HG+HF＝FG＝4，进而得BC＝DE＝8，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形BCDE是矩形，
∴BC＝DE，BE＝CD，
由题意可知，BE＝CD＝AH＝4，DG＝HG，EF＝HF，
∴BE+AH＝4+4＝8，DG+EF＝HG+HF＝FG＝4，
∴BC＝DE＝4+4＝8，
∴S△ABC＝S矩形BCDE＝BC•BE＝8×4＝32，
故答案为：32．
【点评】本题考查了矩形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的性质，求出BC的长是解题的关键．
13．（3分）如图，在扇形AOB中，已知∠AOB＝90°，，过弧AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D、E，则图中阴影部分的面积为 2π﹣4 ．
【分析】用扇形的面积减去正方形的面积即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接OC，则：，
∵C为弧AB的中点，
∴∠COA＝∠COB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠COA＝∠COB＝45°，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO＝∠CEO＝90°，
∴四边形DOEC为矩形，∠OCD＝90°﹣∠COA＝45°，
∴OD＝CD，
∴四边形DOEC为正方形，
由勾股定理，得：OD2+CD2＝OC2，即：2OD2＝8，
∴OD2＝4，
即：正方形DOEC的面积为4，
∴阴影部分的面积＝；
故答案为：2π﹣4．
【点评】本题考查求阴影部分的面积．解题的关键是利用割补法将阴影部分的面积转化为规则图形的面积．
14．（3分）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，根据题意可列分式方程为 ．
【分析】根据实际问题列分式方程即可，关键是对“那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”的理解．
【解答】解：由题意可列方程：；
故答案为：．
【点评】本题考查根据题意列分式方程，解题关键是熟练运用单价计算公式：单价＝总价÷数量，结合题意即可得出分式方程．
15．（3分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体AB的高为12cm，实像CD的高度为8cm，则小孔O的高度OE为 3 cm．
【分析】由题意可得出△CDO∽△ABO，△CEO∽△CBA，再根据相似三角形的性质得出比例式求出OE的长即可．
【解答】解：∵AB⊥BC，OE⊥BC，CD⊥BC，
∴AB∥OE∥CD，
∴△CDO∽△ABO，△CEO∽△CBA，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴OE＝AB＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
16．（3分）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 20 mL．
【分析】设这个反比例函数的解析式为V＝，求得V＝，当p＝75kPa时，求得V＝＝80，当p＝100kPa时求得，V＝＝60于是得到结论．
【解答】解：设这个反比例函数的解析式为V＝，
∵V＝100ml时，p＝60kpa，
∴k＝pV＝100ml×60kpa＝6000，
∴V＝，
当p＝75kPa时，V＝＝80，
当p＝100kPa时，V＝＝60，
∴80﹣60＝20（mL），
∴气体体积压缩了20mL，
故答案为：20．
【点评】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键．
三、解答题：本大题共8小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤．
17．（10分）（1）计算：．
（2）解不等式组：．
（3）先化简，再求值：，其中．
【分析】（1）首先计算立方根，分母有理化，负整数指数幂，绝对值和特殊角的三角函数，然后计算加减；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；
（3）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝﹣4；
（2），
解不等式①得，x＞3，
解不等式②得，x＜4，
∴不等式组的解集为：3＜x＜4；
（3）
＝
＝
＝，
∵，
∴原式＝．
【点评】此题考查了立方根，分母有理化，负整数指数幂，绝对值和特殊角的三角函数，分式的混合运算，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则．
18．（8分）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度和服务质量得分统计表
（1）补全频数分布直方图，并求扇形统计图中圆心角α的度数；
（2）表格中的m＝ 7.5 ； ＜ （填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由；
（4）如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率．
【分析】（1）计算甲快递公司在配送速度得（9分）的人数可补全频数分布直方图；用360°乘（7分）的占比，即可求解；
（2）根据中位数与方差的定义即可求解；
（3）根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可；
（4）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出A，B，C三家农产品种植户选择同一快递公司的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）甲快递公司在配送速度得（9分）的人数为10﹣2﹣3﹣1﹣1＝3（人），
补全频数分布直方图如图，
扇形统计图中圆心角α的度数为360°×（1﹣10%﹣10%﹣20%﹣40%）＝72°；
（2）甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，7，8，9，9，9，10．
一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8，
所以中位数．
，
，
∴，
故答案为：7.5，＜；
（3）该农产品种植户应选择甲公司（答案不唯一），理由如下：
∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴应选择甲公司；
（4）画树状图如下：
由树状图可知共有8种可能结果，其中三家种植户选择同一快递公司的有2种结果，
∴三家种植户选择同一快递公司的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，方差，平均数、中位数．解答本题的关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析．
19．（8分）消防安全事关经济发展和社会和谐稳定，是惠及民生、确保民安的一项重要基础性工作，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆AB＝3m，∠BAC＝53°，∠DOC＝37°．
（1）求BO的长；
（2）消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O按顺时针方向旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3.2m，求云梯OD大约旋转了多少度．
（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin53°≈，tan53°≈，sin67°≈0.92cs67°≈0.39）
【分析】（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答；
（2）求出旋转前点D的高度DF，进而求出旋转后点D′的高度D′G，再根据锐角三角函数的定义求出∠D′OG的大小即可解答．
【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥OC于点E，
在Rt△ABE中，∠BAC＝53°，AB＝3m，
∴BE＝AB•sin∠BAE＝3×sin53°≈3×＝，
在Rt△BOE中，∠BOE＝37°，BE＝，
∵sin∠BOE＝，
∴OB＝＝＝4．
即OB＝4m．
（2）如图，过点D作DF⊥OC于点F，旋转后点D的对应点为D′，过点D′作D'G⊥OC于点G，过点D作DH⊥D′G于点H，
在Rt△FOD中，
OD＝OB+BD＝4+6＝10，∠DOF＝37°，
∴DF＝OD•sin37°≈10×＝6m，
∴D′G＝D′H+HG＝3.2+6＝9.2m，
在Rt△D'OG中，OD'＝10m，D'G＝9.2m，
∴sin∠D′OG＝＝＝0.92m，
∴∠D′OG≈67°，
∴∠D′OD＝67°﹣37°＝30°，
即云梯OD大约旋转了30°．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答本题的关键．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b（k1，b为常数，且k1≠0）与反比例函数y＝（k2为常数，且k2≠0）的图象交于点A（m，6），B（4，﹣3）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当＞k1x+b＞0时，直接写出自变量x的取值范围；
（3）已知一次函数y＝k1x+b的图象与y轴交于点C，点P在x轴上，若△PAC的面积为8，求点P的坐标．
【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）根据函数图象直接写出不等式＞k1x+b＞0的解集即可；
（3）根据S△PAC＝S△PAD﹣S△PCD＝8求得PD，进一步即可求得P点的坐标．
【解答】解：（1）∵B（4，﹣3）在反比例函数y＝（k2为常数，且k2≠0）的图象上，
∴k2＝4×（﹣3）＝﹣12，
∴反比例函数解析式为：y＝﹣，
∵点A（m，6）在y＝﹣图象上，
∴m＝﹣2，
∴A（﹣2，6），
∵点A（﹣2，6），B（4，﹣3）在一次函数y＝k1x+b（k1，b为常数，且k1≠0）的图象上，
∴，解得，
∴一次函数解析式为：y＝﹣x+3．
（2）观察函数图象，当＞k1x+b＞0时，自变量x的取值范围为：﹣2＜x＜0；
（3）由一次函数y＝﹣x+3可知C（0，3），D（2，0），
∵△PAC的面积为8，
∴S△PAC＝S△PAD﹣S△PCD＝8，即＝8，
∴PD＝，
∴P（﹣，0）或（，0）．
【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，三角形的面积，熟练掌握待定系数法、数形结合是解题的关键．
21．（8分）某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】如何设计纸盒？
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题．
【分析】（1）设剪掉的小正方形的边长为x cm，则折成的无盖纸盒的底面是边长为（40﹣2x）cm的正方形，根据折成的无盖纸盒的底面积为484cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，设剪掉的小正方形的边长为a cm，折成的无盖纸盒的侧面积为S cm2，利用长方体的侧面积公式，可得出S关于a的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设剪掉的小正方形的边长为x cm，则折成的无盖纸盒的底面是边长为（40﹣2x）cm的正方形，
根据题意得：（40﹣2x）2＝484，
解得：x1＝9，x2＝31（不符合题意，舍去）．
答：剪掉的小正方形的边长为9cm；
（2）折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，设剪掉的小正方形的边长为a cm，折成的无盖纸盒的侧面积为S cm2，
根据题意得：S＝4（40﹣2a）a，
即S＝﹣8a2+160a＝﹣8（a﹣10）2+800，
∵﹣8＜0，
∴当a＝10时，S取得最大值，最大值为800．
答：折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，最大值为800cm2，此时剪掉的小正方形的边长为10cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出S关于a的函数关系式．
22．（8分）如图，△ABC中，AB＝BC，以AC为直径的⊙O分别交边AB，BC于点D，E，过点A作⊙O的切线交CB的延长线于点F．
（1）求证：AB＝BF；
（2）若AF＝8，，求DE的长．
【分析】（1）由AB＝BC可得∠BAC＝∠BCA，由切线的性质可得∠CAF＝90°，从而得到∠F+∠ACF＝90°，∠FAB+∠BAC＝90°，推出∠F＝∠FAB，即可得证；
（2）连接AE、CD，由（1）可得∠F＝∠BAF，AB＝BF＝BC，，即可求出CF＝10，得到BF＝BC＝AB＝5，由勾股定理可得AC＝6，得到，由圆周角定理可得∠AEC＝∠ADC＝90°，证明∠ACD＝∠F，得到，求出，同理可得，，证明△DBE∽△ABC，即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵AF是⊙O的切线，
∴OA⊥AF，
∴∠CAF＝90°，
∴∠F+∠ACF＝90°，∠FAB+∠BAC＝90°，
∴∠F＝∠FAB，
∴AB＝BF；
（2）解：如图，连接AE、CD，
，
由（1）可得∠F＝∠BAF，AB＝BF＝BC，
∴，
∵AF是⊙O的切线，
∴OA⊥AF，
∴∠CAF＝90°，
∴，
∴CF＝10，
∴，，
∴，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC＝∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠DAC+∠FAB＝90°，∠F＝∠FAB，
∴∠ACD＝∠F，
∴，即，
∴，
∴，
同理可得：，，
∴，
∵∠DBE＝∠ABC，
∴△DBE∽△ABC，
∴，即，
∴．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
23．（10分）综合实践
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，分别取AB，AC的中点D，E，作△ADE．如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE．
（1）探究发现：旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
（2）性质应用：如图3，当DE所在直线首次经过点B时，求CE的长．
【分析】（1）根据中点的定义得出，进而得出，易得，通过证明△ABD∽△ACE，即可得出结论；
（2）根据题意推出DE当所在直线经过点B时，AD⊥BE，根据勾股定理可得，根据（1）可得，即可求解．
【解答】解：（1）猜想，证明如下：
∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，AB，AC的中点分别为D，E，
∴，，
∴，则，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝4，
∴∠BAC＝45°，
∴，
∴，
将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE，
根据旋转的性质可得：
∠BAD＝∠CAE，
∵，
∴△ABD∽△ACE，
∴，
∴；
（2）∵AB＝BC＝4，分别取AB，AC的中点D，E，
∴DE∥BC，，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠ADE＝∠ABC＝90°，
∴当DE所在直线经过点B时，AD⊥BE，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，
根据勾股定理可得：，
由（1）可得：，
∵，
解得：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤．
24．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将线段CA绕点C顺时针旋转90°，点A的对应点为A′，判断点A′是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）求PM+2BH的最大值；
（4）如果△PMC是等腰三角形，直接写出点P的横坐标m的值．
【分析】（1）两点式设出解析式，将点C代入求出解析式即可；
（2）根据旋转的性质，求出A′的坐标，进行判断即可；
（3）设P点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则M点坐标为（m，m﹣3），H点坐标为（m，0），将PM+2BH转化为二次函数求最值即可；
（4）分CP＝CM，CM＝PM，CP＝PM，三种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，﹣3），代入，得：﹣3＝a（0+1）（0﹣3），
∴a＝1，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；
（2）A′不在抛物线上；理由如下：
过点A′作A′D⊥y轴，∠AOC＝∠CDA′＝90°，
∵旋转，
∴AC＝A′C，∠ACA′＝90°，
∴∠ACO＝∠CA′D＝90°﹣∠A′CD，
∴△ACO≌△CA′D，
∴OA＝CD，OC＝A′D，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴OA＝CD＝1，OC＝A′D＝3，
∴OD＝2，
∴A′（3，﹣2），
∵y＝x2﹣2x﹣3，当x＝3时，y＝32﹣2×3﹣3＝0，
∴A′（3，﹣2）不在抛物线上；
（3）∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴设直线BC：y＝kx﹣3，将B（3，0）代入，得：k＝1，
∴y＝x﹣3；
设P点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则M点坐标为（m，m﹣3），H点坐标为（m，0）．
∴PM＝（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，BH＝3﹣m．，BH＝3﹣m．
∴．
当时，PM+2BH取最大值，最大值为．
（4）∵P（m，m2﹣2m﹣3），M（m，m﹣3），C（0，﹣3），
∴PM＝m﹣3﹣m2+2m+3＝﹣m2+3m，CM2＝2m2，CP2＝m2+（m2﹣2m）2，
当△PMC是等腰三角形时，分三种情况，
①PM＝CM时，则：（﹣m2+3m）2＝2m2，
解得：（舍），m＝0（舍），；
②PM＝CP时，则：（﹣m2+3m）2＝m2+（m2﹣2m）2，
解得：m＝0（舍），m＝2；
③CM＝CP时，则：2m2＝m2+（m2﹣2m）2，
解得：m＝0（舍），m＝3（舍），m＝1；
综上：m＝1，m＝2，．
【点评】本题考查待定系数法求解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，二次函数的综合应用．本题的综合性强，属于常见的中考压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
项目
统计量
快递公司
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
平均数
方差
甲
7.8
m
7
乙
8
8
7
素材1
利用一边长为40cm的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒．
素材2
如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．
【尝试解决问题】
任务1
初步探究：折一个底面积为484cm2无盖纸盒．
（1）求剪掉的小正方形的边长为多少？
任务2
折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？
（2）如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
项目
统计量
快递公司
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
平均数
方差
甲
7.8
m
7
乙
8
8
7
素材1
利用一边长为40cm的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒．
素材2
如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．
【尝试解决问题】
任务1
初步探究：折一个底面积为484cm2无盖纸盒．
（1）求剪掉的小正方形的边长为多少？
任务2
折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？
（2）如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由．
1．（3分）﹣的倒数是（ ）
A．﹣2B．C．2D．1
2．（3分）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是某种鼓的立体图形，其左视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．a3•a3＝2a3B．8a2﹣5a2＝3a2
C．a8÷a2＝a4D．（﹣3a2）3＝﹣9a6
5．（3分）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝30°，∠3＝150°，则∠2的度数为（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
6．（3分）定义运算：m☆n＝n2﹣mn﹣1，例如：5☆3＝32﹣5×3﹣1＝﹣7，则方程2☆x＝6的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
7．（3分）点A（a，﹣3），B（b，﹣2），C（c，1）在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c
8．（3分）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．（1）～（3）是其作图过程．
（1）作BD的垂直平分线交BD于点O；
（2）连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO；
（3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．一组对边平行且相等
9．（3分）如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（ ）
A．2B．C．1D．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
且当时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：①abc＞0；②m＝n；③﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；④．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本大题共6小题，满分18分．只填写最后结果，每小题填对得3分．
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点F，G，连接FG，过点A作AH⊥FG，垂足为H，将△ABC分割后可拼接成矩形BCDE．若AH＝FG＝4，则△ABC的面积是 ．
13．（3分）如图，在扇形AOB中，已知∠AOB＝90°，，过弧AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D、E，则图中阴影部分的面积为 ．
14．（3分）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，根据题意可列分式方程为 ．
15．（3分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体AB的高为12cm，实像CD的高度为8cm，则小孔O的高度OE为 cm．
16．（3分）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 mL．
三、解答题：本大题共8小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤．
17．（10分）（1）计算：．
（2）解不等式组：．
（3）先化简，再求值：，其中．
18．（8分）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度和服务质量得分统计表
（1）补全频数分布直方图，并求扇形统计图中圆心角α的度数；
（2）表格中的m＝ ； （填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由；
（4）如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率．
19．（8分）消防安全事关经济发展和社会和谐稳定，是惠及民生、确保民安的一项重要基础性工作，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆AB＝3m，∠BAC＝53°，∠DOC＝37°．
（1）求BO的长；
（2）消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O按顺时针方向旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3.2m，求云梯OD大约旋转了多少度．
（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin53°≈，tan53°≈，sin67°≈0.92cs67°≈0.39）
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b（k1，b为常数，且k1≠0）与反比例函数y＝（k2为常数，且k2≠0）的图象交于点A（m，6），B（4，﹣3）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当＞k1x+b＞0时，直接写出自变量x的取值范围；
（3）已知一次函数y＝k1x+b的图象与y轴交于点C，点P在x轴上，若△PAC的面积为8，求点P的坐标．
21．（8分）某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】如何设计纸盒？
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题．
22．（8分）如图，△ABC中，AB＝BC，以AC为直径的⊙O分别交边AB，BC于点D，E，过点A作⊙O的切线交CB的延长线于点F．
（1）求证：AB＝BF；
（2）若AF＝8，，求DE的长．
23．（10分）综合实践
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，分别取AB，AC的中点D，E，作△ADE．如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE．
（1）探究发现：旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
（2）性质应用：如图3，当DE所在直线首次经过点B时，求CE的长．
24．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将线段CA绕点C顺时针旋转90°，点A的对应点为A′，判断点A′是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）求PM+2BH的最大值；
（4）如果△PMC是等腰三角形，直接写出点P的横坐标m的值．
2024年山东省枣庄市山亭区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．
1．（3分）﹣的倒数是（ ）
A．﹣2B．C．2D．1
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【解答】解：﹣的倒数是﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．（3分）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（3分）先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是某种鼓的立体图形，其左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【解答】解：这个立体图形的左视图为：
．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图是解题的关键．
4．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．a3•a3＝2a3B．8a2﹣5a2＝3a2
C．a8÷a2＝a4D．（﹣3a2）3＝﹣9a6
【分析】根据同类项、合并同类项法则以及同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的计算方法进行计算即可．
【解答】解：A．a3•a3＝a3+3＝a6，因此选项A不符合题意；
B．8a2﹣5a2＝3a2，因此选项B符合题意；
C．a8÷a2＝a8﹣2＝a6，因此选项C不符合题意；
D．（﹣3a2）3＝﹣27a6，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项法则，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握合并同类项法则，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的计算方法是正确解答的前提．
5．（3分）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝30°，∠3＝150°，则∠2的度数为（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【分析】过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角即∠4、∠5，根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：如图所示，过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角∠4和∠5，
∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台，
∴直线l∥支撑平台∥工作篮底部，
∴∠1＝∠4＝30°，∠5+∠3＝180°，
∴∠5＝30°，
∴∠2＝∠4+∠5＝60°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
6．（3分）定义运算：m☆n＝n2﹣mn﹣1，例如：5☆3＝32﹣5×3﹣1＝﹣7，则方程2☆x＝6的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
【分析】先根据已知条件中的定义，把方程2☆x＝6化成一般形式，利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可．
【解答】解：∵m☆n＝n2﹣mn﹣1，
∴2☆x＝6，即x2﹣2x﹣1＝6，
∴x2﹣2x﹣7＝0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣7，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣7）＝4+28＝32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题主要考查了新定义和一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握利用根的判别式判断方程根的情况．
7．（3分）点A（a，﹣3），B（b，﹣2），C（c，1）在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c
【分析】根据反比例函数的性质解答即可．
【解答】解：∵（k2+1）＞0，
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
又∵点A（a，﹣3），B（b，﹣2），C（c，1）在反比例函数图象上，
∴点A（a，﹣3），B（b，﹣2）在第三象限，点C（c，1）在第一象限，
∴0＞a＞b，c＞0，
∴c＞a＞b．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
8．（3分）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．（1）～（3）是其作图过程．
（1）作BD的垂直平分线交BD于点O；
（2）连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO；
（3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．一组对边平行且相等
【分析】根据：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明．
【解答】解：由作图得：DO＝BO，AO＝CO，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故选：C．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
9．（3分）如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（ ）
A．2B．C．1D．
【分析】由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠BOD＝60°，在Rt△BOD中，利用特殊三角函数值易求OD．
【解答】解：∵OD⊥弦BC，
∴∠BDO＝90°，
∵∠BOD＝∠A＝60°，
∴OD＝OB＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、特殊角三角函数计算，解题的关键是熟记特殊角三角函数．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
且当时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：①abc＞0；②m＝n；③﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；④．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据表中的（0，﹣2），（1，﹣2）得到c＝﹣2，对称轴，得到b＝﹣a，判定①正确；根据抛物线的对称性，判定②、③都正确；根据①中的数据和时，y＞0，得到，得到，判定④不正确．
【解答】解：∵由表格可知，当x＝0和x＝1时的函数值相等，都为﹣2，
∴y＝c＝﹣2，抛物线的对称轴是直线，
∴c＜0，b＝﹣a，a、b异号，
∴abc＞0，
故①正确；
根据抛物线的对称性可知，当x＝﹣1和x＝2时的函数值相等，
∴m＝n，
故②正确；
∵根据抛物线的对称性可知，当x＝﹣2和x＝3时的函数值相等，都为t，
∴﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；
故③正确；
由①知，b＝﹣a，c＝﹣2，
∴二次函数为y＝ax2﹣ax﹣2，
∵当时，对应的函数值y＞0，
∴，
∴，
故④不正确．
∴正确的结论有①、②、③，共3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握表格信息，待定系数法求解析式，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系是解决问题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，满分18分．只填写最后结果，每小题填对得3分．
11．（3分）计算：＝ x+y ．
【分析】首先把两分式分母化成相同，然后进行加减运算．
【解答】解：原式＝＝＝x+y．故答案为x+y．
【点评】本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式．
12．（3分）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点F，G，连接FG，过点A作AH⊥FG，垂足为H，将△ABC分割后可拼接成矩形BCDE．若AH＝FG＝4，则△ABC的面积是 32 ．
【分析】由矩形的性质得BC＝DE，BE＝CD，再由题意可知，BE＝CD＝AH＝4，DG＝HG，EF＝HF，则BE+AH＝4+4＝8，DG+EF＝HG+HF＝FG＝4，进而得BC＝DE＝8，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形BCDE是矩形，
∴BC＝DE，BE＝CD，
由题意可知，BE＝CD＝AH＝4，DG＝HG，EF＝HF，
∴BE+AH＝4+4＝8，DG+EF＝HG+HF＝FG＝4，
∴BC＝DE＝4+4＝8，
∴S△ABC＝S矩形BCDE＝BC•BE＝8×4＝32，
故答案为：32．
【点评】本题考查了矩形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的性质，求出BC的长是解题的关键．
13．（3分）如图，在扇形AOB中，已知∠AOB＝90°，，过弧AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D、E，则图中阴影部分的面积为 2π﹣4 ．
【分析】用扇形的面积减去正方形的面积即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接OC，则：，
∵C为弧AB的中点，
∴∠COA＝∠COB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠COA＝∠COB＝45°，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO＝∠CEO＝90°，
∴四边形DOEC为矩形，∠OCD＝90°﹣∠COA＝45°，
∴OD＝CD，
∴四边形DOEC为正方形，
由勾股定理，得：OD2+CD2＝OC2，即：2OD2＝8，
∴OD2＝4，
即：正方形DOEC的面积为4，
∴阴影部分的面积＝；
故答案为：2π﹣4．
【点评】本题考查求阴影部分的面积．解题的关键是利用割补法将阴影部分的面积转化为规则图形的面积．
14．（3分）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，根据题意可列分式方程为 ．
【分析】根据实际问题列分式方程即可，关键是对“那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”的理解．
【解答】解：由题意可列方程：；
故答案为：．
【点评】本题考查根据题意列分式方程，解题关键是熟练运用单价计算公式：单价＝总价÷数量，结合题意即可得出分式方程．
15．（3分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体AB的高为12cm，实像CD的高度为8cm，则小孔O的高度OE为 3 cm．
【分析】由题意可得出△CDO∽△ABO，△CEO∽△CBA，再根据相似三角形的性质得出比例式求出OE的长即可．
【解答】解：∵AB⊥BC，OE⊥BC，CD⊥BC，
∴AB∥OE∥CD，
∴△CDO∽△ABO，△CEO∽△CBA，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴OE＝AB＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
16．（3分）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 20 mL．
【分析】设这个反比例函数的解析式为V＝，求得V＝，当p＝75kPa时，求得V＝＝80，当p＝100kPa时求得，V＝＝60于是得到结论．
【解答】解：设这个反比例函数的解析式为V＝，
∵V＝100ml时，p＝60kpa，
∴k＝pV＝100ml×60kpa＝6000，
∴V＝，
当p＝75kPa时，V＝＝80，
当p＝100kPa时，V＝＝60，
∴80﹣60＝20（mL），
∴气体体积压缩了20mL，
故答案为：20．
【点评】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键．
三、解答题：本大题共8小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤．
17．（10分）（1）计算：．
（2）解不等式组：．
（3）先化简，再求值：，其中．
【分析】（1）首先计算立方根，分母有理化，负整数指数幂，绝对值和特殊角的三角函数，然后计算加减；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；
（3）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝﹣4；
（2），
解不等式①得，x＞3，
解不等式②得，x＜4，
∴不等式组的解集为：3＜x＜4；
（3）
＝
＝
＝，
∵，
∴原式＝．
【点评】此题考查了立方根，分母有理化，负整数指数幂，绝对值和特殊角的三角函数，分式的混合运算，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则．
18．（8分）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度和服务质量得分统计表
（1）补全频数分布直方图，并求扇形统计图中圆心角α的度数；
（2）表格中的m＝ 7.5 ； ＜ （填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由；
（4）如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率．
【分析】（1）计算甲快递公司在配送速度得（9分）的人数可补全频数分布直方图；用360°乘（7分）的占比，即可求解；
（2）根据中位数与方差的定义即可求解；
（3）根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可；
（4）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出A，B，C三家农产品种植户选择同一快递公司的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）甲快递公司在配送速度得（9分）的人数为10﹣2﹣3﹣1﹣1＝3（人），
补全频数分布直方图如图，
扇形统计图中圆心角α的度数为360°×（1﹣10%﹣10%﹣20%﹣40%）＝72°；
（2）甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，7，8，9，9，9，10．
一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8，
所以中位数．
，
，
∴，
故答案为：7.5，＜；
（3）该农产品种植户应选择甲公司（答案不唯一），理由如下：
∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴应选择甲公司；
（4）画树状图如下：
由树状图可知共有8种可能结果，其中三家种植户选择同一快递公司的有2种结果，
∴三家种植户选择同一快递公司的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，方差，平均数、中位数．解答本题的关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析．
19．（8分）消防安全事关经济发展和社会和谐稳定，是惠及民生、确保民安的一项重要基础性工作，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆AB＝3m，∠BAC＝53°，∠DOC＝37°．
（1）求BO的长；
（2）消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O按顺时针方向旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3.2m，求云梯OD大约旋转了多少度．
（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin53°≈，tan53°≈，sin67°≈0.92cs67°≈0.39）
【分析】（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答；
（2）求出旋转前点D的高度DF，进而求出旋转后点D′的高度D′G，再根据锐角三角函数的定义求出∠D′OG的大小即可解答．
【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥OC于点E，
在Rt△ABE中，∠BAC＝53°，AB＝3m，
∴BE＝AB•sin∠BAE＝3×sin53°≈3×＝，
在Rt△BOE中，∠BOE＝37°，BE＝，
∵sin∠BOE＝，
∴OB＝＝＝4．
即OB＝4m．
（2）如图，过点D作DF⊥OC于点F，旋转后点D的对应点为D′，过点D′作D'G⊥OC于点G，过点D作DH⊥D′G于点H，
在Rt△FOD中，
OD＝OB+BD＝4+6＝10，∠DOF＝37°，
∴DF＝OD•sin37°≈10×＝6m，
∴D′G＝D′H+HG＝3.2+6＝9.2m，
在Rt△D'OG中，OD'＝10m，D'G＝9.2m，
∴sin∠D′OG＝＝＝0.92m，
∴∠D′OG≈67°，
∴∠D′OD＝67°﹣37°＝30°，
即云梯OD大约旋转了30°．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答本题的关键．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b（k1，b为常数，且k1≠0）与反比例函数y＝（k2为常数，且k2≠0）的图象交于点A（m，6），B（4，﹣3）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当＞k1x+b＞0时，直接写出自变量x的取值范围；
（3）已知一次函数y＝k1x+b的图象与y轴交于点C，点P在x轴上，若△PAC的面积为8，求点P的坐标．
【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）根据函数图象直接写出不等式＞k1x+b＞0的解集即可；
（3）根据S△PAC＝S△PAD﹣S△PCD＝8求得PD，进一步即可求得P点的坐标．
【解答】解：（1）∵B（4，﹣3）在反比例函数y＝（k2为常数，且k2≠0）的图象上，
∴k2＝4×（﹣3）＝﹣12，
∴反比例函数解析式为：y＝﹣，
∵点A（m，6）在y＝﹣图象上，
∴m＝﹣2，
∴A（﹣2，6），
∵点A（﹣2，6），B（4，﹣3）在一次函数y＝k1x+b（k1，b为常数，且k1≠0）的图象上，
∴，解得，
∴一次函数解析式为：y＝﹣x+3．
（2）观察函数图象，当＞k1x+b＞0时，自变量x的取值范围为：﹣2＜x＜0；
（3）由一次函数y＝﹣x+3可知C（0，3），D（2，0），
∵△PAC的面积为8，
∴S△PAC＝S△PAD﹣S△PCD＝8，即＝8，
∴PD＝，
∴P（﹣，0）或（，0）．
【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，三角形的面积，熟练掌握待定系数法、数形结合是解题的关键．
21．（8分）某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】如何设计纸盒？
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题．
【分析】（1）设剪掉的小正方形的边长为x cm，则折成的无盖纸盒的底面是边长为（40﹣2x）cm的正方形，根据折成的无盖纸盒的底面积为484cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，设剪掉的小正方形的边长为a cm，折成的无盖纸盒的侧面积为S cm2，利用长方体的侧面积公式，可得出S关于a的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设剪掉的小正方形的边长为x cm，则折成的无盖纸盒的底面是边长为（40﹣2x）cm的正方形，
根据题意得：（40﹣2x）2＝484，
解得：x1＝9，x2＝31（不符合题意，舍去）．
答：剪掉的小正方形的边长为9cm；
（2）折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，设剪掉的小正方形的边长为a cm，折成的无盖纸盒的侧面积为S cm2，
根据题意得：S＝4（40﹣2a）a，
即S＝﹣8a2+160a＝﹣8（a﹣10）2+800，
∵﹣8＜0，
∴当a＝10时，S取得最大值，最大值为800．
答：折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，最大值为800cm2，此时剪掉的小正方形的边长为10cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出S关于a的函数关系式．
22．（8分）如图，△ABC中，AB＝BC，以AC为直径的⊙O分别交边AB，BC于点D，E，过点A作⊙O的切线交CB的延长线于点F．
（1）求证：AB＝BF；
（2）若AF＝8，，求DE的长．
【分析】（1）由AB＝BC可得∠BAC＝∠BCA，由切线的性质可得∠CAF＝90°，从而得到∠F+∠ACF＝90°，∠FAB+∠BAC＝90°，推出∠F＝∠FAB，即可得证；
（2）连接AE、CD，由（1）可得∠F＝∠BAF，AB＝BF＝BC，，即可求出CF＝10，得到BF＝BC＝AB＝5，由勾股定理可得AC＝6，得到，由圆周角定理可得∠AEC＝∠ADC＝90°，证明∠ACD＝∠F，得到，求出，同理可得，，证明△DBE∽△ABC，即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵AF是⊙O的切线，
∴OA⊥AF，
∴∠CAF＝90°，
∴∠F+∠ACF＝90°，∠FAB+∠BAC＝90°，
∴∠F＝∠FAB，
∴AB＝BF；
（2）解：如图，连接AE、CD，
，
由（1）可得∠F＝∠BAF，AB＝BF＝BC，
∴，
∵AF是⊙O的切线，
∴OA⊥AF，
∴∠CAF＝90°，
∴，
∴CF＝10，
∴，，
∴，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC＝∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠DAC+∠FAB＝90°，∠F＝∠FAB，
∴∠ACD＝∠F，
∴，即，
∴，
∴，
同理可得：，，
∴，
∵∠DBE＝∠ABC，
∴△DBE∽△ABC，
∴，即，
∴．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
23．（10分）综合实践
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，分别取AB，AC的中点D，E，作△ADE．如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE．
（1）探究发现：旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
（2）性质应用：如图3，当DE所在直线首次经过点B时，求CE的长．
【分析】（1）根据中点的定义得出，进而得出，易得，通过证明△ABD∽△ACE，即可得出结论；
（2）根据题意推出DE当所在直线经过点B时，AD⊥BE，根据勾股定理可得，根据（1）可得，即可求解．
【解答】解：（1）猜想，证明如下：
∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，AB，AC的中点分别为D，E，
∴，，
∴，则，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝4，
∴∠BAC＝45°，
∴，
∴，
将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE，
根据旋转的性质可得：
∠BAD＝∠CAE，
∵，
∴△ABD∽△ACE，
∴，
∴；
（2）∵AB＝BC＝4，分别取AB，AC的中点D，E，
∴DE∥BC，，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠ADE＝∠ABC＝90°，
∴当DE所在直线经过点B时，AD⊥BE，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，
根据勾股定理可得：，
由（1）可得：，
∵，
解得：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤．
24．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将线段CA绕点C顺时针旋转90°，点A的对应点为A′，判断点A′是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）求PM+2BH的最大值；
（4）如果△PMC是等腰三角形，直接写出点P的横坐标m的值．
【分析】（1）两点式设出解析式，将点C代入求出解析式即可；
（2）根据旋转的性质，求出A′的坐标，进行判断即可；
（3）设P点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则M点坐标为（m，m﹣3），H点坐标为（m，0），将PM+2BH转化为二次函数求最值即可；
（4）分CP＝CM，CM＝PM，CP＝PM，三种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，﹣3），代入，得：﹣3＝a（0+1）（0﹣3），
∴a＝1，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；
（2）A′不在抛物线上；理由如下：
过点A′作A′D⊥y轴，∠AOC＝∠CDA′＝90°，
∵旋转，
∴AC＝A′C，∠ACA′＝90°，
∴∠ACO＝∠CA′D＝90°﹣∠A′CD，
∴△ACO≌△CA′D，
∴OA＝CD，OC＝A′D，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴OA＝CD＝1，OC＝A′D＝3，
∴OD＝2，
∴A′（3，﹣2），
∵y＝x2﹣2x﹣3，当x＝3时，y＝32﹣2×3﹣3＝0，
∴A′（3，﹣2）不在抛物线上；
（3）∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴设直线BC：y＝kx﹣3，将B（3，0）代入，得：k＝1，
∴y＝x﹣3；
设P点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则M点坐标为（m，m﹣3），H点坐标为（m，0）．
∴PM＝（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，BH＝3﹣m．，BH＝3﹣m．
∴．
当时，PM+2BH取最大值，最大值为．
（4）∵P（m，m2﹣2m﹣3），M（m，m﹣3），C（0，﹣3），
∴PM＝m﹣3﹣m2+2m+3＝﹣m2+3m，CM2＝2m2，CP2＝m2+（m2﹣2m）2，
当△PMC是等腰三角形时，分三种情况，
①PM＝CM时，则：（﹣m2+3m）2＝2m2，
解得：（舍），m＝0（舍），；
②PM＝CP时，则：（﹣m2+3m）2＝m2+（m2﹣2m）2，
解得：m＝0（舍），m＝2；
③CM＝CP时，则：2m2＝m2+（m2﹣2m）2，
解得：m＝0（舍），m＝3（舍），m＝1；
综上：m＝1，m＝2，．
【点评】本题考查待定系数法求解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，二次函数的综合应用．本题的综合性强，属于常见的中考压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
项目
统计量
快递公司
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
平均数
方差
甲
7.8
m
7
乙
8
8
7
素材1
利用一边长为40cm的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒．
素材2
如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．
【尝试解决问题】
任务1
初步探究：折一个底面积为484cm2无盖纸盒．
（1）求剪掉的小正方形的边长为多少？
任务2
折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？
（2）如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
项目
统计量
快递公司
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
平均数
方差
甲
7.8
m
7
乙
8
8
7
素材1
利用一边长为40cm的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒．
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如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．
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初步探究：折一个底面积为484cm2无盖纸盒．
（1）求剪掉的小正方形的边长为多少？
任务2
折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？
（2）如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由．
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