2024年江苏省南京市联合体中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年江苏省南京市联合体中考数学二模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）4的算术平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．16D．﹣16
2．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a6﹣a3＝a3B．a6•a3＝a9C．a6÷a3＝a2D．（a3）2＝a5
3．（2分）与最接近的整数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2分）若第一组数据a，b，c，d，e（a，b，c，d，e各不相等）的平均数为m，则第二组数据a，b，c，d，e，m与第一组数据相比（ ）
A．平均数变小，方差变小
B．平均数不变，方差变小
C．平均数变小，方差变大
D．平均数不变，方差变大
5．（2分）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，∠B＝∠C＝90°，若，则∠AED的度数为（ ）
A．110°B．115°C．120°D．125°
6．（2分）小华参加植树活动，当太阳光线与地面成30°夹角时，直立的树苗AB在地面的影长AC为6m．由于培土不足，树苗AB栽种后即刻沿太阳光线方向倒下，此过程中树苗AB的影长的最大值为（ ）
A．12mB．9mC．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写答题卡相应位置上）
7．（2分）一粒大米的质量约为0.000021千克，数据0.000021用科学记数法可表示为 ．
8．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
9．（2分）计算的结果是 ．
10．（2分）若关于x的方程x2+kx+2＝0有一个根为2，则k的值为 ．
11．（2分）因式分解2x3﹣8x结果是 ．
12．（2分）若反比例函数的图象经过点（2，3），（6，m），则m＝ ．
13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（6，0），顶点B，C都在第一象限．若∠B＝60°，则顶点B的坐标为 ．
14．（2分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠1＝72°，若∠3＝3∠2，则∠4＝ °．
15．（2分）如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，点D在上，AE⊥CD于点E．若∠1＝30°，BD＝6，则CE的长为 ．
16．（2分）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8，点E在边AD上，且AE＝1，点F在边BC上，把▱ABCD沿EF折叠，若点B恰好落在边CD上，则BF的长为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）解不等式，并在数轴上表示解集．
18．（7分）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．
（1）求证：△ADF≌△CBE；
（2）连接AC，若AC＝AD，求证：四边形AECF是矩形．
20．（8分）如图，将边长为8cm的正方形扩大成面积为120cm2的矩形．若其一边增加的长度是另一边增加的长度的一半，求矩形的长和宽．
21．（8分）某共享单车停放点有3辆黄色单车、2辆蓝色单车，甲、乙两人分别从中随机选择1辆结伴骑行．
（1）甲选择蓝色单车的概率是 ；
（2）求甲、乙两人选择同一种颜色单车的概率．
22．（7分）某车站抽样调查了部分旅客的等车时间，并列出如下频数分布表．
（1）本次抽样调查的样本容量是 ；
（2）关于此样本的结论：
①等车时间的众数是13min；
②等车时间的中位数可能是20min；
③等车时间的极差小于30min．其中所有正确结论的序号是 ；
（3）车站称“旅客等车的平均时间不超过14min”，你认为这个说法正确吗？请说明理由．
23．（8分）如图，小亮和小刚为测量某建筑物AB的高度，他们都从C处出发．小亮沿着水平方向步行48m到达D处，测得顶部A的仰角为56°；小刚沿着坡角为14°的坡道行至E处，分别测得他沿垂直方向上升的高度EF为9m、顶部A的仰角为37°，求该建筑物AB的高度．（参考数据：tan14°≈0.25，tan37°≈0.75，tan56°≈1.50．）
24．（8分）甲、乙两人沿同一直道从A处跑步到B处．图①、②分别表示甲跑步的路程y（单位：m）、甲乙两人之间的距离s（单位：m）与甲出发的时间x（单位：min）的函数关系．若乙先出发2min．
（1）甲的跑步速度是 m/min，乙的跑步速度是 m/min；
（2）求甲到达B处所用的时间；
（3）直接写出甲、乙两人之间的距离不超过100m的总时间．
25．（8分）二次函数y＝a（x﹣h）2+4的图象过点（﹣3，m），（5，m）．
（1）h的值为 ；
（2）若（0，y1），（n，y2）是该函数图象上的两点，当a＜0，n＞2时，试说明：y1＞y2；
（3）若关于x的方程a（x﹣h）2+4＝2a+5有一个正根和一个负根，直接写出a的取值范围．
26．（9分）如图，在半径为的⊙O中，AB是直径，点P在⊙O上，且，弦PD（非直径）交AB于点C．
（1）如图①，若PC＝CD，
（Ⅰ）连接AD，AP，求证：AD＝AP；
（Ⅱ）OC的长为 ．
（2）如图②，若PC＝2CD（AC＜BC），求OC的长．
27．（10分）几何图形中，两条线段乘积关系的构造往往可以借助相似三角形的比例关系去关联…
【模型认识】
（1）如图①，在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AC，AE，△ABC∽△AED．
（Ⅰ）求证：AC•AE＝AB•AD；
（Ⅱ）∠BCD与∠CAD满足的数量关系为 ；
【初步理解】
（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在△ABC外，AD＝AB，连接DA并延长到点E，AE＝AD，点N在AC上，DN交AB于点M，∠DNE＝∠BAD＝45°．
求证：S△AMN＝．
【问题解决】
（3）如图③，在△ABC中，∠A＝90°，点D在△ABC外，D到A的距离等于AB．过点D作直线l，使l分别交AB，AC于点M，N，且平分△ABC的面积．
（要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．）
2024年江苏省南京市联合体中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）4的算术平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．16D．﹣16
【分析】利用算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：∵22＝4，
∴4的算术平方根是2．
故选：A．
【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解本题的关键．
2．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a6﹣a3＝a3B．a6•a3＝a9C．a6÷a3＝a2D．（a3）2＝a5
【分析】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项的方法进行解题即可．
【解答】解：A、a6与a3不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；
B、a6•a3＝a9，故该项正确，符合题意；
C、a6÷a3＝a3，故该项不正确，不符合题意；
D、（a3）2＝a6，故该项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（2分）与最接近的整数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】利用夹逼法估算的取值范围，即可进行判断．
【解答】解：∵，
∴，
∴与最接近的整数是4，
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．
4．（2分）若第一组数据a，b，c，d，e（a，b，c，d，e各不相等）的平均数为m，则第二组数据a，b，c，d，e，m与第一组数据相比（ ）
A．平均数变小，方差变小
B．平均数不变，方差变小
C．平均数变小，方差变大
D．平均数不变，方差变大
【分析】根据算术平均数和方差的定义解答即可．
【解答】解：由题意可知，第二组数据a，b，c，d，e，m与第一组数据相比，平均数不变，
设第一组数据的方差为，第二组数据的方差为，
则＝[（a﹣m）2+（b﹣m）2+（c﹣m）2+（d﹣m）2+（e﹣m）2]，＝[（a﹣m）2+（b﹣m）2+（c﹣m）2+（d﹣m）2+（e﹣m）2+（m﹣m）2]，
∴＝＝，
∴＝，
∴若第一组数据a，b，c，d，e（a，b，c，d，e各不相等）的平均数为m，则第二组数据a，b，c，d，e，m与第一组数据相比平均数不变，方差变小．
故选：B．
【点评】本题主要考查了算术平均数和方差，解题的关键是熟练掌握算术平均数的公式以及方差的定义．
5．（2分）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，∠B＝∠C＝90°，若，则∠AED的度数为（ ）
A．110°B．115°C．120°D．125°
【分析】连接AC，AD，由tan∠BAC＝＝，求出∠BAC＝60°，判定AB∥CD，推出∠ACD＝∠BAC＝60°，由圆内接四边形的性质推出∠AED+∠ACD＝180°，即可求出∠AED＝120°．
【解答】解：连接AC，AD，
∵∠B＝90°，，
∴tan∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝60°，
∵∠B+∠BCD＝90°+90°＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝60°，
∵四边形ACDE是圆内接四边形，
∴∠AED+∠ACD＝180°，
∴∠AED＝120°．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，关键是由圆内接四边形的性质推出∠AED+∠ACD＝180°．
6．（2分）小华参加植树活动，当太阳光线与地面成30°夹角时，直立的树苗AB在地面的影长AC为6m．由于培土不足，树苗AB栽种后即刻沿太阳光线方向倒下，此过程中树苗AB的影长的最大值为（ ）
A．12mB．9mC．D．
【分析】根据正切值求出树高AB，以点A为圆心，以AB为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点D为切点，DE⊥AD交AC于E点，求出AE的值即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∵tanC＝
∴AB＝AC•tanC＝6×＝2，
以点A为圆心，以AB为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，
点D为切点，DE⊥AD交AC于E点，
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠E＝30°，
∴AE＝2AD＝2×2＝4（米）．
故选：D．
【点评】此题主要是运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题．分析以点A为圆心，以AB为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写答题卡相应位置上）
7．（2分）一粒大米的质量约为0.000021千克，数据0.000021用科学记数法可表示为 2.1×10﹣5 ．
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得到答案．
【解答】解：0.000021用科学记数法可表示为2.1×10﹣5．
故答案为：2.1×10﹣5．
【点评】本题考查科学记数法—表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示较小数的方法．
8．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥﹣4 ．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴x+4≥0，解得x≥﹣4．
故答案为：x≥﹣4．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．
9．（2分）计算的结果是 ．
【分析】先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝2+
＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简与性质，二次根式的加减法，熟练掌握二次根式的性质和二次根式的加减法法则是解题的关键．
10．（2分）若关于x的方程x2+kx+2＝0有一个根为2，则k的值为 k＝﹣3 ．
【分析】先把方程的一个根代入方程中，得到关于k的一元一次方程，再求出k的值即可．
【解答】•解：把x＝2代入方程x2+kx+2＝0，
得：4+2k+2＝0，
解得k＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是运用方程根的代入法表示出关于k的方程．
11．（2分）因式分解2x3﹣8x结果是 2x（x+2）（x﹣2） ．
【分析】原式提取2x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2x（x2﹣4）＝2x（x+2）（x﹣2），
故答案为：2x（x+2）（x﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（2分）若反比例函数的图象经过点（2，3），（6，m），则m＝ 1 ．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（2，3），（6，m），
∴2×3＝6m，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．
13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（6，0），顶点B，C都在第一象限．若∠B＝60°，则顶点B的坐标为 （9，3） ．
【分析】过点B作BD⊥OA于D，由菱形的性质和直角三角形的性质可求AD，BD，即可求解．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥OA于D，
∵四边形OABC是菱形，点O（0，0），A（6，0），
∴OA＝AB＝6，AB∥OC，
∴∠BAD＝∠AOC＝60°，
∵BD⊥OA，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝3，BD＝AD＝3，
∴DO＝9，
∴点D坐标为（9，3），
故答案为：（9，3）．
【点评】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识，求出AD，BD的长是解题的关键．
14．（2分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠1＝72°，若∠3＝3∠2，则∠4＝ 78 °．
【分析】利用等腰三角形性质和三角形内角和定理，求出∠4的度数．
【解答】解：设∠2＝x°，则∠3＝3∠2＝3x°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝＝54°，
∴∠ABD＝（54﹣x）°，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝（54﹣x）°，
∴∠ADC＝（54+2x）°，
∵AC＝AD，
∴∠4＝∠ADC＝（54+2x）°，
∵∠2+∠BCD+∠3＝180°，
∴x+54+54+2x+3x＝180，
6x＝72，
x＝12，
∴∠4＝78°，
故答案为：78．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，通过列一元一次方程求出∠2的度数，从而得到∠4的度数．
15．（2分）如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，点D在上，AE⊥CD于点E．若∠1＝30°，BD＝6，则CE的长为 3 ．
【分析】连接AD，∠ADB＝90°，∠ADB＝∠AEC，利用同弧所对的圆周角相等，∠ABD＝∠ACE，可得三角形相似，再找到对应线段成比例即可求出．
【解答】解：连接AD．
∵∠ACB＝90°，若∠1＝30°，
∴AC＝AB．
∵∠ACB＝90°，
∴AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵∠ABD＝∠ACE，
∴△ADB∽△AEC，
∴，
∵BD＝6，
∴CE＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了圆周角的性质，相似三角形的判定和性质．关键是添加适当的辅助线，构造相似．
16．（2分）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8，点E在边AD上，且AE＝1，点F在边BC上，把▱ABCD沿EF折叠，若点B恰好落在边CD上，则BF的长为 4或 ．
【分析】作出如图的辅助线，求得EH＝BE＝，设BF＝FH＝x，CK＝a，在Rt△EHL中，由勾股定理列式计算求得a＝0或a＝，当a＝0时，点H、C重合，此时BF＝FH＝BC＝4；当a＝时，Rt△FKH中，由勾股定理列式计算即可求解．
【解答】解：过点A、E、H分别作BC的垂线，连接BE、EH、BH，如图，
则四边形AIJE、EJKL都是矩形，
∵∠B＝60°，AB＝6，
∴BI＝AB＝3，AI＝BI＝3＝EJ，
∵AE＝1，
∴IJ＝1，BJ＝4，
∴BE＝＝，
由折叠的性质得BF＝FH，EH＝BE＝，
设BF＝FH＝x，CK＝a，
∵∠HCK＝∠B＝60°，
∴HK＝CK•tan60°＝a，
∴HL＝LK−HK＝3−a，
∵EL＝JK＝BC+CK−BJ＝8+a−4＝4+a，
在Rt△EHL中，由勾股定理得（4+a）2+（3−a）2＝（）2，
整理得4a2−10a＝0，
解得a＝0或a＝，
当a＝0时，点H、C重合，此时BF＝FH＝BC＝4；
当a＝时，Rt△FKH中，FK＝BC−BF+CK＝8−x+＝−x，HK＝，
由勾股定理得（−x）2+（）2＝x2，
解得x＝，
综上，BF的长为4或．
故答案为：4或．
【点评】本题考查了菱形及其折叠问题，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）解不等式，并在数轴上表示解集．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项，系数化为1解出解集，再在数轴上表示即可．
【解答】解：，
去分母，得2x+4≥4x﹣1，
移项，得2x﹣4x≥﹣1﹣4，
合并同类项，得﹣2x≥﹣5，
系数化为1，得x≤2.5，
在数轴上表示：．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力及在数轴上表示不等式的解集，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
18．（7分）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将a的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
＝÷
＝•
＝，
当a＝﹣1时，原式＝＝1．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．
（1）求证：△ADF≌△CBE；
（2）连接AC，若AC＝AD，求证：四边形AECF是矩形．
【分析】（1）直接利用平行四边形的性质得出AB＝DC，BC＝AD，∠B＝∠D，进而利用全等三角形的判定与性质得出答案；
（2）利用平行四边形的判定得出四边形AECF是平行四边形，进而利用矩形的判定方法得出答案．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，BC＝AD，∠B＝∠D，
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴BE＝FC，
在△ADF和△CBE中
，
∴△ADF≌△CBE（SAS）；
（2）如图所示：连接EF，
∵AE＝CF，且AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC＝AD，BC＝AD，
∴AC＝BC＝EF，
∴四边形AECF是矩形．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定与性质以及矩形的判定等知识，正确掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
20．（8分）如图，将边长为8cm的正方形扩大成面积为120cm2的矩形．若其一边增加的长度是另一边增加的长度的一半，求矩形的长和宽．
【分析】设矩形的宽为（8+x）cm，则矩形的长为（8+2x）cm，根据矩形的面积为120cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值分别代入（8+2x）及（8+x）中，即可求出结论．
【解答】解：设矩形的宽为（8+x）cm，则矩形的长为（8+2x）cm，
根据题意得：（8+2x）（8+x）＝120，
整理得：x2+12x﹣28＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣14（不符合题意，舍去），
∴8+2x＝8+2×2＝12（cm），8+x＝8+2＝10（cm）．
答：矩形的长为12cm，宽为10cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．（8分）某共享单车停放点有3辆黄色单车、2辆蓝色单车，甲、乙两人分别从中随机选择1辆结伴骑行．
（1）甲选择蓝色单车的概率是 ；
（2）求甲、乙两人选择同一种颜色单车的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案．
【解答】解：（1）∵共5辆单车，有3辆黄色单车、2辆蓝色单车，
∴甲选择蓝色单车的概率是；
故答案为：；
（2）黄色单车用A表示、蓝色单车用B表示，
列表如下：
由表可知，共有20种等可能结果，其中甲、乙两人选择同一种颜色单车的有8种结果，
∴甲、乙两人选择同一种颜色单车的概率为．
【点评】本题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数m，再找出某事件所占有的可能数n，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率＝．
22．（7分）某车站抽样调查了部分旅客的等车时间，并列出如下频数分布表．
（1）本次抽样调查的样本容量是 50 ；
（2）关于此样本的结论：
①等车时间的众数是13min；
②等车时间的中位数可能是20min；
③等车时间的极差小于30min．其中所有正确结论的序号是 ②③ ；
（3）车站称“旅客等车的平均时间不超过14min”，你认为这个说法正确吗？请说明理由．
【分析】（1）将各分组人数相加即可得；
（2）分别根据众数、中位数和极差的定义解答即可；
（3）求出加权平均数可得答案．
【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量是：5+6+9+10+13+7＝50，
故答案为：50；
（2）等车时间的众数是20＜t≤25min，故①结论错误；
等车时间的中位数位于“15＜t≤20min”，即可能是20min，故②结论正确；
等车时间的极差小于30min，故③结论正确；
故答案为：②③；
（3）车站的说法错误，理由如下：
旅客等车的平均时间大约为：（2.5×5+7.5×6+12.5×9+17.5×10+22.5×13+25.5×7）＝16.6（min），
∵16.6＞14，
∴车站的说法错误．
【点评】本题主要考查了频数分布表，极差、中位数和众数，掌握相关统计量的计算是本题的关键．
23．（8分）如图，小亮和小刚为测量某建筑物AB的高度，他们都从C处出发．小亮沿着水平方向步行48m到达D处，测得顶部A的仰角为56°；小刚沿着坡角为14°的坡道行至E处，分别测得他沿垂直方向上升的高度EF为9m、顶部A的仰角为37°，求该建筑物AB的高度．（参考数据：tan14°≈0.25，tan37°≈0.75，tan56°≈1.50．）
【分析】在Rt△CEF中，根据三角函数的定义得到CF＝＝＝36（m），过E作EH⊥AB于H，则BH＝EF＝9m，EH＝BF，在Rt△ABD中，设AB＝x m，根据三角函数的定义得到BD＝x，求得AH＝（x﹣9）m，EH＝BC﹣CF＝（x+48﹣36）m，在Rt△AEH中，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：在Rt△CEF中，
∵∠C＝14°，EF＝9m，
∴CF＝＝＝36（m），
过E作EH⊥AB于H，
则BH＝EF＝9m，EH＝BF，
在Rt△ABD中，设AB＝x m，
∵∠ADB＝56°，
∴＝＝tan56°＝1.5，
∴BD＝x，
∴AH＝（x﹣9）m，EH＝BC﹣CF＝（x+48﹣36）m，
在Rt△AEH中，∵∠AEH＝37°，
∴＝＝tan37°≈0.75，
∴x＝36，
∴AB＝36m，
答：该建筑物AB的高度约为36m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24．（8分）甲、乙两人沿同一直道从A处跑步到B处．图①、②分别表示甲跑步的路程y（单位：m）、甲乙两人之间的距离s（单位：m）与甲出发的时间x（单位：min）的函数关系．若乙先出发2min．
（1）甲的跑步速度是 150 m/min，乙的跑步速度是 100 m/min；
（2）求甲到达B处所用的时间；
（3）直接写出甲、乙两人之间的距离不超过100m的总时间．
【分析】（1）根据图1中的数据，可以计算出甲的速度，然后根据图2中的数据，可以计算出乙的速度；
（2）根据图象可知乙到达B地所用时间，然后求出A、B两地之间的距离，再用A、B两地之间的距离除以甲的速度即可得出结论；
（3）分三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）由图①可知，甲的速度为＝150（m/min），
由图②知，甲出发4分钟，甲追上乙，
∴甲4min走的路程＝乙6min走的路程，
∴乙的速度为＝100（m/min），
故答案为：150，100；
（2）由图②知，乙在甲出发22分钟到达B处，
∴乙从A到B用时24min，
∴AB两地之间的距离为100×24＝2400（m），
∴甲到达B处所用的时间为＝16（min）；
（3）①甲没有出发时，甲、乙两人相距100m，
＝1（min），
②设甲出发x分钟时，两人相距100m，
则100（x+2）﹣150x＝100或150x﹣100（x+2）＝100，
解得x＝2或x＝6；
③当甲到达B地，甲、乙两人相距100m，
100÷100＝1（min）．
综上，甲、乙两人之间的距离不超过100m的总时间为1+（6﹣2）+1＝6（min）．
【点评】本题考查了一次函数的应用，把一次函数和行程问题结合在一起，关键是明确三个量的关系：路程＝时间×速度，利用数形结合的思想解答．
25．（8分）二次函数y＝a（x﹣h）2+4的图象过点（﹣3，m），（5，m）．
（1）h的值为 1 ；
（2）若（0，y1），（n，y2）是该函数图象上的两点，当a＜0，n＞2时，试说明：y1＞y2；
（3）若关于x的方程a（x﹣h）2+4＝2a+5有一个正根和一个负根，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）依据题意，由二次函数y＝a（x﹣h）2+4的图象过点（﹣3，m），（5，m），则对称轴是直线x＝h＝，进而可以判断得解；
（2）依据题意，由a＜0，故抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，结合（1）对称轴是直线x＝1，又n＞2，从而n﹣1＞2﹣1＝1，故n﹣1＞1﹣0，又（0，y1），（n，y2）是该函数图象上的两点，故可判断得解；
（3）依据题意，由h＝1，即方程为a（x﹣1）2+4＝2a+5，又a≠0，则（x﹣1）2＝2+≥0，从而≥﹣2，又x＝1±，根据方程有一个正根和一个负根，从而1﹣＜0，故＞1，求出＞﹣1，再分类讨论即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵二次函数y＝a（x﹣h）2+4的图象过点（﹣3，m），（5，m），
∴对称轴是直线x＝h＝．
∴h＝1．
故答案为：1．
（2）由题意，∵a＜0，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．
由（1）对称轴是直线x＝1．
∵n＞2，
∴n﹣1＞2﹣1＝1．
又1﹣0＝1，
∴n﹣1＞1﹣0．
又（0，y1），（n，y2）是该函数图象上的两点，
∴y1＞y2．
（3）由题意，h＝1．
∴方程为a（x﹣1）2+4＝2a+5．
又a≠0，
∴（x﹣1）2＝2+≥0．
∴≥﹣2．
∴x＝1±．
∵方程有一个正根和一个负根，
∴1﹣＜0．
∴＞1．
∴2+＞1．
∴＞﹣1．
①若a＜0，
∴1＜﹣a．
∴a＜﹣1．
②若a＞0，
∴1＞﹣a．
∴a＞﹣1．
∴此时a＞0．
综上，a＜﹣1或a＞0．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
26．（9分）如图，在半径为的⊙O中，AB是直径，点P在⊙O上，且，弦PD（非直径）交AB于点C．
（1）如图①，若PC＝CD，
（Ⅰ）连接AD，AP，求证：AD＝AP；
（Ⅱ）OC的长为 1 ．
（2）如图②，若PC＝2CD（AC＜BC），求OC的长．
【分析】（1）（Ⅰ）根据垂径定理以及线段中垂线的性质即可得出结论；
（Ⅱ）利用圆周角定理，直角三角形的边角关系进行计算即可；
（2）根据垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理进行计算即可．
【解答】证明：（1）（Ⅰ）连接AP＝AD，
∵PC＝CD，AB是⊙O的直径，
∴PD⊥AB，
即AB是PD中垂线，
∴AP＝AD；
（Ⅱ）连接OP，
∵AB是直径，点P在⊙O上，且，
∴∠POC＝＝45°，
∵PD⊥AB，
∴OC＝PC，
在Rt△POC中，OP＝，PC＝OC，
∴OC＝OP＝1，
故答案为：1；
（2）如图②，连接AD，PB，OP，过点P作PE⊥AB，垂足为E，
由（1）可得PE＝OE＝1，OP＝，
设OC＝x，
∵∠B＝∠D，∠A＝∠BPC，
∴△ACD∽△PCB，
∴＝，
即＝，
∴PC2＝4﹣2x2，
在Rt△PCE中，由勾股定理得，PC2＝1+（1+x）2，
∴4﹣2x2＝1+（1+x）2，
解得x＝或x＝＜0舍去，
∴OC＝．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握垂径定理，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的关键．
27．（10分）几何图形中，两条线段乘积关系的构造往往可以借助相似三角形的比例关系去关联…
【模型认识】
（1）如图①，在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AC，AE，△ABC∽△AED．
（Ⅰ）求证：AC•AE＝AB•AD；
（Ⅱ）∠BCD与∠CAD满足的数量关系为 ∠BCD+∠CAD＝180° ；
【初步理解】
（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在△ABC外，AD＝AB，连接DA并延长到点E，AE＝AD，点N在AC上，DN交AB于点M，∠DNE＝∠BAD＝45°．
求证：S△AMN＝．
【问题解决】
（3）如图③，在△ABC中，∠A＝90°，点D在△ABC外，D到A的距离等于AB．过点D作直线l，使l分别交AB，AC于点M，N，且平分△ABC的面积．
（要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．）
【分析】（1）（Ⅰ）根据相似三角形的性质可得，即可得出结论；
（Ⅱ）根据相似三角形的性质可得∠BAC＝∠EAD，∠B＝∠AED，从而可得∠BAE＝∠CAD，∠B+∠AEC＝180°，再根据四边形的内角和可得∠BCD+∠BAE＝180°，即可得出结论；
（2）证明△DMA∽△NEA，可得，即，再根据三角形面积公式及AD＝AB，即可得出结论；
（3）作AB垂直平分线，交AB于点E，连接EC并延长作直线l，再以点A为圆心，AB为半径作弧，交直线l于点D，作图即可．
【解答】解：（1）（Ⅰ）∵△ABC∽△AED，
∴，
∴AC•AE＝AB•AD；
（Ⅱ）∵△ABC∽△AED，
∴∠BAC＝∠EAD，∠B＝∠AED，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE＝∠CAD，∠AED+∠AEC＝180°，
∴∠B+∠AEC＝180°，
又∵∠B+∠AEC+∠BCD+∠BAE＝360°，
∴∠BCD+∠BAE＝180°，
∴∠BCD+∠CAD＝180°，
故答案为：∠BCD+∠CAD＝180°．
（2）∵∠BAC＝90°，∠DNE＝∠BAD＝45°，
∴∠NAE＝∠DAM＝45°，∠DAN＝45°+90°＝135°，
∵∠D+∠DNA＝180°﹣135°＝45°，∠DAN+∠ANE＝∠DNE＝45°，
∴∠D＝∠ANE，
∴△DMA∽△NEA，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，作AB的垂直平分线，交AB于点E，连接EC并延长作直线l，再以点A为圆心，AB为半径作弧，交直线l于点D，理由如下：
∵点E是AB的中点，
∴，
∴，
又∵点D、B在⊙A上，
∴AD＝AB．
【点评】本题考查相似形的综合应用，主要考查尺规作图﹣垂直平分线及圆、相似三角形的判定与性质、四边形的内角和，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
等车时间t（min）
0＜t≤5
5＜t≤10
10＜t≤15
15＜t≤20
20＜t≤25
25＜t≤30
频数
5
6
9
10
13
7
A
A
A
B
B
A
（A，A）
（A，A）
（B，A）
（B，A）
A
（A，A）
（A，A）
（B，A）
（B，A）
A
（A，A）
（A，A）
（B，A）
（B，A）
B
（A，B）
（A，B）
（A，B）
（B，B）
B
（A，B）
（A，B）
（A，B）
（B，B）
等车时间t（min）
0＜t≤5
5＜t≤10
10＜t≤15
15＜t≤20
20＜t≤25
25＜t≤30
频数
5
6
9
10
13
7