2024年湖北省恩施州宣恩县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年湖北省恩施州宣恩县中考数学一模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）2024的相反数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
2．（3分）如所示4个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．（﹣a）2a＝a3D．（a+1）2＝a2+1
4．（3分）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝50°，则∠2的大小是（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
5．（3分）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2的值为（ ）
A．2B．3C．D．
8．（3分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝28°，则∠P的度数是（ ）
A．56°B．58°C．50°D．55°
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形OABC的顶点A的坐标为（1，﹣2），则点C的坐标为（ ）
A．（1，2）B．（2，3）C．（2，1）D．（2，﹣1）
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜8a；④；⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①③④B．①③⑤C．②④⑤D．①③④⑤
二、填空题（本大题共有5个小题，每小题3分，共15分.不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
11．（3分）x3﹣x因式分解的结果是 ．
12．（3分）若一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为4，则x1+2，x2+2，x3+2，x4+2，x5+2的平均数为 ．
13．（3分）关于x的一元一次不等式组的两个不等式的解集在数轴上表示如图，则a﹣b的值为 ．
14．（3分）图1是某地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，AC＝40cm，则双翼边缘端点C与D之间的距离为 cm（用含α的三角函数表示）．
15．（3分）已知整数a1，a2，a3，a4，…，满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，依此类推，则a2024的值为 ．
三、解答题（本大题共有9个小题，共75分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明.证明过程或演算步骤）
16．（6分）计算：．
17．（6分）先化简，再求值：•﹣，其中a＝．
18．（6分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．
19．（8分）为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内；
（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
20．（8分）如图，已知反比例函数的图象与直线y2＝k2x+b相交于A（﹣1，3），B（3，n）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当y1＞y2时，对应的x的取值范围．
21．（8分）已知四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD，若BD是⊙O的直径，AC平分∠BCD，过A作∠BAE＝∠BDA，AE与CB的延长线交于点E．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
22．（10分）某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：
（1）根据表中的数据在如图中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；
（2）设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本）．
①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w＝240（元）时的销售单价．
23．（11分）在△ABC中，AC＝BC．
（1）特例证明：如图1，点D，E分别在线段AC，BC上，DE∥AB，求证：AD＝BE；
（2）探索发现：将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，点D在△ABC内部，当∠ACB＝90°时，若∠ADC＝135°，AD＝1，CD＝2，求线段BD的长．
24．（12分）如图①，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C（0，4），与x轴正半轴交于点D（4，0），设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最大值？请说明理由；
（3）如图②，连接CA，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QCA＝45°，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由．
2024年湖北省恩施州宣恩县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1．（3分）2024的相反数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【解答】解：2024的相反数是﹣2024，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（3分）如所示4个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．（﹣a）2a＝a3D．（a+1）2＝a2+1
【分析】根据二次根式的运算法则，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，进行求解后，判断即可．
【解答】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、（﹣a）2•a＝a3，选项正确，符合题意；
D、（a+1）2＝a2+2a+1，选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的运算法则，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，解题的关键是掌握相关运算法则，正确的计算．
4．（3分）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝50°，则∠2的大小是（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【分析】根据平角的定义求出∠4，再利用平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：如图：
由题意得，∠3＝60°，
∵∠1＝50°，
∴∠4＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠4＝70°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5．（3分）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图表示出所有等可能得情况和恰好选中《算学启蒙》的情况，然后利用概率公式求解即可．
【解答】解：将四部名著《周髀算经》，《算学启蒙》，《测圆海镜》，《四元玉鉴》分别记为A，B，C，D，
根据题意可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，
其中恰好选中《算学启蒙》的情况有6种
∴恰好选中《算学启蒙》的概率是．
故选：B．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
6．（3分）用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从左面看，所得到的图形即可．
【解答】解：该几何体的左视图为
．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2的值为（ ）
A．2B．3C．D．
【分析】直接根据一元二次方程的根与系数的关系作答即可．
【解答】解：∵x2﹣3x+2＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握，是解题的关键．
8．（3分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝28°，则∠P的度数是（ ）
A．56°B．58°C．50°D．55°
【分析】由PA、PB分别与⊙O相切于点A、点B，得PA＝PB，PA⊥AC，则∠PAC＝90°，所以∠PBA＝∠PAB＝∠PAC﹣∠BAC＝62°，则∠P＝180°﹣∠PBA﹣∠PAB＝56°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、点B，
∴PA＝PB，
∴AC是⊙O的直径，
∴PA⊥AC，
∴∠PAC＝90°，
∵∠BAC＝28°，
∴∠PBA＝∠PAB＝∠PAC﹣∠BAC＝90°﹣28°＝62°，
∴∠P＝180°﹣∠PBA﹣∠PAB＝180°﹣62°﹣62°＝56°，
故选：A．
【点评】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、三角形内角和定理等知识，证明∠PAC＝90°及∠PBA＝∠PAB是解题的关键．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形OABC的顶点A的坐标为（1，﹣2），则点C的坐标为（ ）
A．（1，2）B．（2，3）C．（2，1）D．（2，﹣1）
【分析】先过点A，C分别作AF⊥y轴，CE⊥x轴，再证明△AOF≌△COE，根据全等三角形的对应边相等且A的坐标为（1，﹣2），即可作答．
【解答】解：如图：过点A，C分别作AF⊥y轴，CE⊥x轴，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∵∠AOF+∠AOE＝90°，∠COE+∠AOE＝90°，
∴∠AOF＝∠COE
∵AF⊥y轴，CE⊥x轴，
∴∠AFO＝∠CEO＝90°，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴CE＝AF＝1，OE＝OF＝2，
∵点C的坐标在第一象限，
∴点C的坐标为（2，1）．
故选：C．
【点评】考查了图形与坐标，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜8a；④；⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①③④B．①③⑤C．②④⑤D．①③④⑤
【分析】根据对称轴为直线x＝1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，可判断②；利用 ＜﹣1，可判断③；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对④⑤作判断．
【解答】解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧，
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故②错误；
③∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴的交点在（0，﹣1）的下方，对称轴在y轴右侧，a＞0，
∴＜﹣1，
∵a＞0，
∴4ac﹣b2＜﹣4a＜8a，
∴③成立，
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1，
∵x1x2＝
＝﹣3，
∴c＝﹣3a，
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＜a＜；
故④正确；
⑤∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a＝b﹣c，
∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正确；
综上所述，正确的有①③④⑤，
故选：D．
【点评】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题（本大题共有5个小题，每小题3分，共15分.不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
11．（3分）x3﹣x因式分解的结果是 x（x+1）（x﹣1） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（x2﹣1）
＝x（x+1）（x﹣1）．
故答案为：x（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（3分）若一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为4，则x1+2，x2+2，x3+2，x4+2，x5+2的平均数为 6 ．
【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．先求数据x1，x2，x3，x4，x5的和，然后再用平均数的定义求新数据的平均数．
【解答】解：一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是4，
∴，
∴x1+x2+x3+x4+x5＝20，
那么x1+2，x2+2，x3+2，x4+2，x5+2的平均数为：
．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是算术平均数的求法及运用，解题的关键是掌握算术平均数的定义．
13．（3分）关于x的一元一次不等式组的两个不等式的解集在数轴上表示如图，则a﹣b的值为 3 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，结合数轴求出a、b的值，代入计算即可．
【解答】解：由2x﹣a≥0得：x≥，
由b﹣x＜0得：x＞b，
结合数轴知b＝﹣1，＝1，即a＝2，
则a﹣b＝2﹣（﹣1）＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14．（3分）图1是某地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，AC＝40cm，则双翼边缘端点C与D之间的距离为 （60﹣80sinα） cm（用含α的三角函数表示）．
【分析】连接CD并向两方延长交AG于点E，交BH于点F，根据题意可得：EF⊥AG，EF⊥BH，EF＝60cm，CE＝DF，然后在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：连接CD并向两方延长交AG于点E，交BH于点F，
由题意得：EF⊥AG，EF⊥BH，EF＝60cm，CE＝DF，
在Rt△ACE中，∠EAC＝α，AC＝40cm，
∴CE＝AC•sinα＝40sinα（cm），
∴CE＝DF＝40sinα cm，
∴CD＝EF﹣CE﹣DF＝（60﹣80sinα）cm，
∴双翼边缘端点C与D之间的距离为（60﹣80sinα）cm，
故答案为：（60﹣80sinα）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．（3分）已知整数a1，a2，a3，a4，…，满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，依此类推，则a2024的值为 ﹣1012 ．
【分析】根据题意，可以写出这列数的前几个数，从而可以发现数字的变化特点，从而可以得到a2024的值．
【解答】解：由题意可得，
a1＝0，
a2＝﹣|a1+1|＝﹣1，
a3＝﹣|a2+2|＝﹣1，
a4＝﹣|a3+3|＝﹣2，
a5＝﹣|a4+4|＝﹣2，
……，
∴a2023＝﹣＝﹣1011，
a2024＝﹣|﹣1011+2023|＝﹣1012．
故答案为：﹣1012．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应项的值．
三、解答题（本大题共有9个小题，共75分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明.证明过程或演算步骤）
16．（6分）计算：．
【分析】利用有理数的乘方法则，绝对值的性质，零指数幂及算术平方根计算即可．
【解答】解：
＝1+2+1﹣3
＝1．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17．（6分）先化简，再求值：•﹣，其中a＝．
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝
＝，
当a＝时，
原式＝
＝﹣1．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
18．（6分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．
【分析】直接利用平行四边形的判定方法得出四边形OCED是平行四边形，再利用矩形的性质以及菱形的判定方法得出答案．
【解答】证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵矩形ABCD，
∴AO＝OC＝OB＝OD＝AC＝BD，
∴四边形OCED是菱形．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及菱形判定方法，正确掌握相关四边形判定与性质是解题关键．
19．（8分）为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 72 度，本次调查数据的中位数落在 C 组内；
（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
【分析】（1）用条形统计图中C的人数除以扇形统计图中C的百分比可得抽取的学生人数，进而可得D组的学生人数，补全条形统计图即可．
（2）用360°乘以B组的人数所占的百分比，可得扇形统计图中B组的圆心角度数；根据中位数的定义可得答案．
（3）根据用样本估计总体，用1800乘以样本中不超过90分钟的学生人数所占的百分比，即可得出答案．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为25÷25%＝100（人），
∴D组的学生人数为100﹣10﹣20﹣25﹣5＝40（人）．
补全条形统计图如图所示．
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是360°×＝72°．
将抽取的100个数据按照从小到大的顺序排列，排在第50个和第51个数据都落在C组，
∴本次调查数据的中位数落在C组内．
故答案为：72；C．
（3）1800×＝1710（人）．
∴估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数约1710人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体、中位数的定义是解答本题的关键．
20．（8分）如图，已知反比例函数的图象与直线y2＝k2x+b相交于A（﹣1，3），B（3，n）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当y1＞y2时，对应的x的取值范围．
【分析】（1）反比例函数的图象过点A（﹣1，3）得k1＝﹣3，即可得反比例函数为，根据反比例函数的图象过点B（3，n）得n＝﹣1，则B（3，﹣1），根据直线y2＝k2x+b过点A（﹣1，3），B（3，﹣1）得，进行计算即可得；
（2）令一次函数与y轴交于点C，与x轴交于点D，在y2＝﹣x+2中，令x＝0，则y＝2，令y＝0，即C（0，2），令y＝0，则﹣x+2＝0，计算得x＝2，即D（2，0），根据S△AOB＝S△AOC+S△COD+S△ODB进行计算即可得；
（3）观察函数图象即可得；
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象过点A（﹣1，3），
∴k1＝（﹣1）×3＝﹣3，
∴反比例函数为，
∵反比例函数的图象过点B（3，n），
∴，
∴B（3，﹣1），
∵直线y2＝k2x+b过点A（﹣1，3），B（3，﹣1），
∴，
解得，
∴一次函数的解析式y2＝﹣x+2；
（2）如图所示，令一次函数与y轴交于点C，与x轴交于点D，
在y2＝﹣x+2中，令x＝0，则y＝2，令y＝0，即C（0，2），
令y＝0，则﹣x+2＝0，
x＝2，
即D（2，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△COD+S△ODB
＝
＝4；
（3）根据函数图象得，当y1＞y2时，﹣1＜x＜0或x＞3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的图象，掌握反比例函数的性质，一次函数的性质是解题的关键．
21．（8分）已知四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD，若BD是⊙O的直径，AC平分∠BCD，过A作∠BAE＝∠BDA，AE与CB的延长线交于点E．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）连接OA，根据角平分线的定义，圆周角与弦、弧之间的关系可得AD＝AB，进而证明△ABD是等腰直角三角形，可得OA⊥BD，∠ADB＝∠ABD，结合已知条件可得AE∥BD，进而证明OA是⊙O的切线；
（2）结合（1）可得∠ACB＝∠ADB＝45°，过点B作BF⊥AC，根据已知条件求得AB的长，进而求得半径，根据阴影部分面积等于扇形OAD减去△AOD的面积，即可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵AC平分∠BCD，
∴∠DCA＝∠BCA，
∴AD＝AB，
∵DB是⊙O的直径，
∴∠DAB＝90°，
∴△DAB是等腰直角三角形，
∴AO⊥BD，
∵∠BAE＝∠BDA，
∴AE∥DB，
∴OA⊥AE，
∵OA为⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点B作BF⊥AC，
∵∠ACB＝∠ADB＝45°，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴BC＝CF，
∵BC＝，
∴BF＝CF＝1，
∴AF＝AC﹣CF＝1+2﹣1＝2，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得：
AB＝＝＝3，
∴BD＝AB＝3，
∴OA＝，
∴阴影部分的面积＝S扇形OAD﹣S△AOD＝×（）2﹣（）2＝﹣．
【点评】本题考查了切线的判定，扇形面积，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角相等，正确的添加辅助线是解题的关键．
22．（10分）某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：
（1）根据表中的数据在如图中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；
（2）设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本）．
①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w＝240（元）时的销售单价．
【分析】（1）描点，用平滑曲线连接这些点即可得出函数图象是一次函数，待定系数法求解可得；
（2）①根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况；
②根据题意列方程，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，
设y＝kx+b，
把（20，30）和（25，25）代入y＝kx+b中得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+50；
（2）①w＝（x﹣18）（﹣x+50）＝﹣x2+68x﹣900＝﹣（x﹣34）2+256，
∵﹣1＜0，
∴当x＝34时，w有最大值，
即超市每天销售这种商品获得最大利润时，销售单价为34元；
②当w＝240时，﹣（x﹣34）2+256＝240，
（x﹣34）2＝16，
∴x1＝38，x2＝30，
∵超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，
∴x＝30．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
23．（11分）在△ABC中，AC＝BC．
（1）特例证明：如图1，点D，E分别在线段AC，BC上，DE∥AB，求证：AD＝BE；
（2）探索发现：将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，点D在△ABC内部，当∠ACB＝90°时，若∠ADC＝135°，AD＝1，CD＝2，求线段BD的长．
【分析】（1）根据等边对等角和平行的性质得∠CDE＝∠CED，证出CD＝CE，即可证出；
（2）通过证明△ACD≌△BCE即可得出；
（3）通过把线段CD绕点C逆时针旋转90°至CE，连接DE，BE，可证出∠DEB＝90°即可求出结论．
【解答】（1）证明：∵DE∥AB，
∴∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CD＝CE，
∴AC﹣CD＝BC﹣CE，
∴AD＝BE；
（2）解：AD＝BE成立，理由如下：
由旋转可知，∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（3）解：把线段CD绕点C逆时针旋转90°至CE，连接DE，BE，如图，
则CD＝CE，∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴CE＝CD＝2，BE＝AD＝1，∠CEB＝∠CDA＝135°，
∴DE2＝CD2+CE2＝8，
∵∠DEB＝∠CEB﹣∠CED＝90°，
∴．
【点评】此题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三点共线等知识，熟练掌握旋转的性质和等腰直角三角形的性质及添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
24．（12分）如图①，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C（0，4），与x轴正半轴交于点D（4，0），设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最大值？请说明理由；
（3）如图②，连接CA，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QCA＝45°，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，连接CD，MC，MD，过点M作ME∥y轴交CD于E，过点M作MG⊥AB分别交直线AB，CD于G、F，先求出直线BC的解析式为y＝﹣x+4，进而得到直线AB于直线CD平行，则点M在运动过程中FG的长保持不变，故要使△MAB的面积最大，则MG最大，即要使MF最大，进一步推出当S△CDM最大时，MF最大，即此时△MAB的面积最大，求出M（m，﹣m2+3m+4），E（m，﹣m+4），则ME＝﹣m2+4m，求出，据此求解即可；
（3）分图3﹣1和图3﹣2两种情况过点A作AP⊥AC使得AP＝AC，过点P作PT⊥x轴于T，连接CP，可证明∠ACP＝45°，则CP与抛物线的交点即为点Q，利用一线三垂直模型求出点P的坐标，进而求出直线PC的解析式，再联立直线PC的解析式和抛物线解析式求出点Q的坐标即可．
【解答】解：（1）把C（0，4），D（4，0）代入抛物线解析式中得：，
∴，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）如图所示，连接CD，MC，过点M作ME∥y轴交CD于E，过点M作MG⊥AB分别交直线AB，CD于G、F，
设直线CD的解析式为y＝kx+b'，
∵直线CD过点（4，0），（0，4），
∴
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4，
∴直线AB与直线CD平行，
∵MG⊥AB，
∴MG⊥CD，
∴点M在运动过程中FG的长保持不变，
要使△MAB的面积最大，则MG最大，即要使MF最大，
∵S△CDM＝CD•MF，
∴当S△CDM最大时，MF最大，即此时△MAB的面积最大，
∵M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m，
∴M（m，﹣m2+3m+4），E（m，﹣m+4），
∴ME＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，
∴S△CDM＝S△CME+S△DME＝＝＝﹣2（m﹣2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴当m＝2时，S△CDM最大，即此时△MAB的面积最大；
（3）如图所示，过点A作AP⊥AC使得AP＝AC，过点P作PT⊥x轴于T，连接CP，
∴∠PTA＝∠AOC＝∠CAP＝90°，
∴∠TAP+∠TPA＝90°＝∠TAP+∠OAC，
∴∠TPA＝∠OAC，
又∵AC＝PA，
∴△TPA≌△OAC（AAS），
∴AT＝OC，PT＝OA，
在y＝﹣x+3中，令y＝0，则x＝3，
∴A（3，0），
∵C（0，4），
∴AT＝OC＝4，PT＝OA＝3，
∴OT＝7，
∴P（7，3）；
∵AC＝AP，∠CAP＝90°，
∴∠ACP＝45°，
同（2）法可求出直线PC的解析式为，
∵抛物线为y＝﹣x2+3x+4，
对称轴为x＝，
当x＝时，y＝﹣×+4＝，
∴点Q的坐标（，）；
如图所示过点A作AP⊥AC使得AP＝AC，过点P作PT⊥x轴于T，连接CP，这时点Q在AC的上方，这时候构成的∠QCA为135°，不成立（舍去），
综上所述，点Q的坐标为（，）．
【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
销售单价x（元/千克）
…
20
22.5
25
37.5
40
…
销售量y（千克）
…
30
27.5
25
12.5
10
…
c
a
销售单价x（元/千克）
…
20
22.5
25
37.5
40
…
销售量y（千克）
…
30
27.5
25
12.5
10
…