2024年广东省深圳市罗湖区翠园中学中考模拟数学试题（学生版+教师版）

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1. 火星白天地面温度零上5℃记作℃，夜间温度零下123℃记作（ ）
A. ℃B. ℃C. ℃D. ℃
【答案】D
【解析】
【分析】根据具有相反意义的量的表示方法即可求得．
【详解】解：火星白天地面温度零上5℃记作℃，夜间温度零下123℃记作℃．
故选D．
【点睛】本题考查了正负数的表示具有相反意义的量，理解具有相反意义的量的表示方法是解题的关键．
2. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，如果一个图形绕一个点旋转，能和自身完全重合，则这个图形是中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，两部分能完全重合，则这个图形是轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键．
3. 长江干流上的葛洲坝、三峡向家坝、溪洛渡、白鹤滩、乌东德6座巨型梯级水电站，共同构成目前世界上最大的清洁能源走廊，总装机容量71695000千瓦，将71695000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解∶ ．
故选∶A．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（ ）
A. 70°B. 75°C. 80°D. 85°
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角形外角性质或者三角形内角和以及平行线的性质解题即可．
【详解】解：如图
，
，
直尺上下两边互相平行，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一副三角板多对应的角度以及平行线的性质，本题难度小，解法比较灵活．
5. 萌萌是一个书法爱好者，她对楷书四大家的书法都情有独钟，如图，若萌萌从这四本大家的字帖中随机取一本，则抽取的恰好是《胆巴碑》的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率的计算方法是解题的关键．
共有4种等可能结果，抽取恰好是《胆巴碑》的结果有1种，结合概率的计算方法即可求解．
【详解】解：根据题意，共有4种等可能结果，抽取的恰好是《胆巴碑》的结果有1种，
∴抽取的恰好是《胆巴碑》的概率是，
故选：C ．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. x2＋x＝2x3B. （﹣2x3）2＝4x6
C. x2•x3＝x6D. （x＋1）2＝x2 ＋1
【答案】B
【解析】
【分析】利用合并同类项法则、积的乘方法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式逐个计算得结论．
【详解】A：x2与x不是同类项，不能合并，故此选项错误；
B：（﹣2x3）2＝4x6，故此选项正确；
C：x2•x3＝x5≠x6，故此选项错误；
D：（x＋1）2＝x2＋2x＋1≠x2＋1，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了幂的运算性质、完全平方公式等知识，熟练掌握这些知识是解决本题的关键．
7. 如图，直线，直线依次交于点A，B，C，直线依次交于点D、E，F，若，，则的长为（ ）
A. 8B. 5C. 4D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
8. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，驽马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析】设快马天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解．
【详解】解：设快马天可追上慢马，由题意得
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
9. 中国的风筝已有多年的历史．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．如图是一个风筝骨架的示意图，已知，且，，与的夹角为，则该骨架中的长度应为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据的余弦值解直角三角形可求得的长度，再根据等腰三角形的性质可求的长度．
本题考查解直角三角形的应用和等腰三角形的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键．
【详解】且，
，
，
且，
．
故选C．
10. 如图，在中，，，，于点，点、、分别是边、、的中点，连接、，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点方向运动（点运动到的中点时停止）；过点作直线与线段交于点，以为斜边作，点在上，设运动的时间为，与矩形重叠部分的面积为，则与之间的函数关系图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查几何动点问题的函数图象，正确分段并分析是解题的关键．根据题意先分段，分为，，三段，分别列出三段的函数解析式便可解决，本题也可只列出，两段，用排除法解决．
【详解】分析平移过程，
①从开始出发至与点重合，由题意可知，如图，

则，
过点作于点，
∵，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴与的函数关系是正比例函数；
②当，即从与重合至点与点重合，如图，
由①可得，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
此函数图象是开口向下的二次函数；
③当，即从点与点重合至点到达终点，如图，
由①可得，，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与的函数关系是一次函数，
综上，只有选项A的图象符合，
故选：A．
二．填空题（每题3分，共15分）
11. 因式分解：__．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，再利用公式法解决即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 _____．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了相似图形的性质，理解题意，掌握相似的性质是解题的关键．
根据即可求解．
【详解】解：根据题意，设蜡烛火焰高度为，
∴，
解得，，
∴蜡烛火焰高度为，
故答案为： ．
13. 若，是方程的两个根，则的值为__．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记公式，是解题关键．先求出，，再整体代入即可求值．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：．
14. 如图，是反比例函数在第一象限图象上一点，连接，过作轴，截取（在右侧），连接，交反比例函数的图象于点．则的面积为 _____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查求反比例函数解析式，勾股定理，平移求点坐标．要求的面积，可以转化为的面积减去的面积，关键是求出点和点的坐标，具体见详解．
【详解】将代入得，
，
所在直线为：
由可得
．
故答案为：5．
15. 如图，点为等边三角形外一点，连接、且，过点作分别交、于点、，若，，则线段的长 __．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等的判定与性质，菱形的判定与性质，利用图形性质作出辅助线构造全等和菱形是解题的关键．过点作交于点，证，可证四边形是菱形，再证是等边三角形，再利用，设，利用边的关系列式求解即可．
【详解】解：如图，过点作交于点，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
设，
则，，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
三．解答题（共55分）
16. 计算：．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查乘方，二次根式的化简，零次幂的运算，特殊角的三角函数的综合，掌握实数的混合运算是解题的关键．
先算乘方，二次根式的化简，零次幂，特殊角的三角函数值，再根据实数的混合运算法则即可求解．
【详解】解：
．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，5
【解析】
【分析】利用完全平方公式和平方差公式先对分式化简，然后求值即可.
【详解】解：
，
当时，原式.
【点睛】本题主要考查了分式的化简和因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
18. 2024年是总体国家安全观提出10周年，为全面贯彻习近平总书记关于国家安全的重要论述，切实推动国家安全教育进校园，使总体国家安全观深入人心，某校对七、八两个年级学生进行了国家安全教育知识测试，所有学生的测试成绩均不低于80分（满分100分）．现从这两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行分析（数据分组为A组：，B组：，C组：，D组：，x表示测试的成绩）．并绘制成了如下不完整的统计图：
（1）补全图①中的条形统计图，图②中C组所在扇形的圆心角度数为 °；
（2）若八年级B组测试成绩为94，91，92，93，92，90．八年级B组成绩的平均数为 ，八年级这20名学生成绩的中位数为 分；
（3）若95分以上为“国家安全教育知识达人”，该校七年级各有800名学生，估计七年级的学生中“国家安全教育知识达人”共多少名？
【答案】（1）72，图见解析
（2）92，
（3）120人
【解析】
【分析】（1）先求出七年级B组学生的人数，用乘八年级C组学生的百分比，得出圆心角度数即可；
（2）根据平均数公式求出八年级B组成绩的平均数，根据中位数定义求出八年级这20名学生成绩的中位数即可；
（3）用样本估计总体即可．
【小问1详解】
解：七年级B组学生的人数为：（人），补全条形统计图，如图所示：
图②中C组所在扇形的圆心角度数为：
．
【小问2详解】
解：八年级B组成绩的平均数为：，
八年级组学生人数为：，
八年级20名学生的成绩从大到小进行排序，排在中间的两个学生成绩为93，92，
∴八年级这20名学生成绩的中位数为；
【小问3详解】
解：（人），
答：估计七年级的学生中“国家安全教育知识达人”共120名．
【点睛】此题考查了扇形统计图，条形统计图，根据样本估计总体，求中位线和平均数，读懂统计图，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19. 党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，该校计划从体育用品商场购买乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课间”和学生社团活动．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍多元，且用元购买乒乓球拍的数量和用元购买羽毛球拍的数量一样．
（1）求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；
（2）学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共计副，且乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的倍，求最多购买乒乓球拍多少副．
【答案】（1）每副乒乓球拍的价格是元，每副羽毛球拍的价格是元
（2）最多购买乒乓球拍副
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，
（1）设每副乒乓球拍的价格是元，则每副羽毛球拍的价格是元，利用数量总价单价，根据“用元购买乒乓球拍的数量和用元购买羽毛球拍的数量一样”可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出每副乒乓球拍的价格，再将其代入中，即可求出每副羽毛球拍的价格；
（2）设购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副，根据“乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的倍”可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值即可；
解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【小问1详解】
解：设每副乒乓球拍的价格是元，则每副羽毛球拍的价格是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解且符合题意，
∴（元）．
答：每副乒乓球拍的价格是元，每副羽毛球拍的价格是元；
【小问2详解】
设购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副，
根据题意得：，
解得：，
又∵为正整数，
∴的最大值为．
答：最多购买乒乓球拍副．
20. 如图，内接于，为直径，作的角平分线交于点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据直径所对圆周角是直角，可得，根据角平分线的性质，圆周角定理可得，根据平行线的性质可得，由此即可求解；
（2）如图，过作于，可证四边形为正方形，根据解直角三角形可的的值，，根据平行可得，运用解直角三角形可得的值，由此即可求解．
【小问1详解】
证明：∵为直径，
∴，
∵是的平分线，
∴，
由圆周角定理可知，，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：如图，过作于，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，，，
设，则，
∴，即，
解得，（负值舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆的基础知识，勾股定理，平行线的性质，圆周角定理，解直角三角形的方法，正方形的判定和性质的综合是解题的关键．
21. 请阅读信息，并解决问题：
【答案】任务1：；任务2：琴弦与拱端的水平距离为8米，的值为4米；任务3：该艺术品顶部应该安装在第5根和第6根琴弦之间
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的表达式及性质是解题的关键．
任务1：以桥所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则点为原点，令抛物线的解析式为，将点代入中即可得出答案；
任务2：将代入即可得出的长度，再根据线段的和差即可得出的长度，进而求出的值；
任务3：将代入出的值，再进行判断该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间．
【详解】解：任务
如图，以桥所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，
则点为原点，
由题意得，，，
则点坐标为，
令抛物线的解析式为，
将点代入中得，
，
解得：，
则抛物线的解析式为．

任务（米），
将代入得，
，（舍），
（米，
（米），（米），
琴弦与拱端的水平距离为8米，的值为4米．
任务3：将代入得，
，（舍），
，
该艺术品顶部应该安装在第5根和第6根琴弦之间．
22. 综合与实践
【问题提出】数学课上，老师给出了这样一道题：如图，在正方形中，E是对角线上一动点，过点D作的垂线，过点C作的垂线，两垂线相交于点F，作射线，分别交边，于点G，H．试探究线段与的数量关系．
小明在解决这道题时，借助“从特殊到一般”的方法进行了探究，过程如下．
【观察猜想】
小明先对点E在特殊位置时的图形进行了探究．
（1）如图1，若E是对角线的中点，则线段与的数量关系为______．
【推理验证】
（2）小明认为当点E是对角线AC上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，请你就图2的情形判断他的说法是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）已知正方形的边长为3，以点E为线段的三等分点时，请直接写出线段的长．

【答案】（1）；（2）正确．理由见解析；（3）或．
【解析】
【分析】（1）先证得四边形是正方形，得到，再通过“”证得，得到，从而得证；
（2）根据正方形的性质和垂直的定义证得，得到，根据，，得到，证得，从而得证；
（3）由正方形的边长为3可求得，由点E是的三等分点，得到或．分两种情况讨论：①当时，，在中，，从而，根据得到，从而求得，进而即可解答；②当时，同①思路即可解答．
【详解】（1）∵在正方形中，，又点E是的中点，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∵在正方形中，，又点E是的中点，
∴，，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
（2）正确．
理由如下：过点E作于点M，过点F作于点P，如图所示．

∵四边形ABCD是正方形，
∴，，，．
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
（3）∵在正方形中，，，
∴
∵点E是的三等分点，
∴或．
①当时，由（2）可得，
∵，
∴在中，，
∵，
∴，即，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当时，由（2）可得，
∵，
∴在中，，
∵，
∴，即，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查正方形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，综合运算相关知识是解题的关键．
问题
芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品
查询信息
深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米．

处理信息
如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，，分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端，位于线段上，且．一根琴弦固定在拱的对称轴处，其余16根琴弦对称固定在两侧，每侧各8根．记离拱端最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，为第9根，
测量数据
测得上桥起点与拱端水平距离为20米，最靠近拱端的“琴弦” 高9米，与之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为米．
解决问题
任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
任务2：求琴弦与拱端的水平距离及的值．
任务3：若需要在琴弦与之间垂直安装一个如图所示高为的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？