辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（学生版+教师版）

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1. 在等差数列中，，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. 设随机变量服从正态分布，若，则等于（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
3. 设等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A 9B. 12C. 27D. 48
4. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层的球数构成数列，则（ ）

A. B. C. D.
5. 从集合中任意选出三个不同的数，若这三个数依次成等比数列，则这个等比数列公比为2的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 数列中前项和满足，若是递增数列，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 若某地区一种疾病流行，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为0.0688，则该地区疾病的患病率是（ ）
A. 0.02B. 0.98C. 0.049D. 0.05
8. 已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（ ）
A. 4050B. 2025C. 4052D. 2026
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知由样本数据（）组成的一个样本，得到经验回归方程为且，去除两个异常数据和后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则（ ）
A. 相关变量，具有正相关关系
B. 去除异常数据后，新的平均数
C. 去除异常数据后的经验回归方程为
D. 去除异常数据后，随值增加，的值增加速度变小
10. 已知事件，，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A. 如果，那么
B. 如果，那么，
C. 如果与互斥，那么
D. 如果与相互独立，那么
11. 设一个正方体，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个相邻顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行次，仍然在上底面的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的．若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为________.附，
13. 甲、乙两位同学进行象棋比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）.根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立.若甲以获胜的概率不高于甲以获胜的概率，则的取值范围为________.
14. 已知数列的首项为2，前项和为，．若数列的前项和为，则满足成立的的最小值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地，大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的球比球多，则答类题，否则答类题．
（1）设小张抽到球的个数为，求的分布列及．
（2）已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答．求小张回答论述题的概率；
16. 已知数列中，，设为前项和，，已知数列，设的前项和．
（1）求；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．
17. 当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计表．
（1）公司拟分别用①和②两种方案作为年销售量关于年投入额的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位）
（2）根据下表数据，用决定系数（只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为百万元时，产品的销售量是多少?
参考公式及数据：，，，，，，，， ．
18. 某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．比赛规则为：甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响．
（1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望；
（2）若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后乙得分高于甲得分的概率．
①求，，；
②规定，且有，请根据①中，，的值求出A、，并求出数列的通项公式．
19. 设数列满足：①；②所有项；
③．设集合，将集合中的元素的最小值记为．换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最小值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，2，2，3，3．
（1）请写出数列1，5，7的伴随数列；
（2）设，求数列的伴随数列的前30项之和；
（3）若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列的前项和．
0.05
001
3841
6.635
1
2
3
4
5
6
1
15
3
6
12
经验回归方程
残差平方和