重庆市永川中学校2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

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一、 单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．复数z=i(3+i)在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知向量，，．若，则（ ）
A. B. 0C. D. 8
3“设、是不同的两条直线，、是不同的两个平面，下列说法正确的有（ ）
A. ，，则 B. ，，，则
C. 且则 D 则
4直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
5. 已知四边形是矩形，，，则（ ）
A. B. -7C. D. -25
6 某居民小区户主人数和户主对住房户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用比例分配的分层随机抽样方法抽取的户主作为样本进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ）

A. 400，32B. 400，36C. 480，32D. 480，36
7. 已知圆台上、下底面半径分别为1，2，侧面积为，则这个圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
8 . 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分。）
9. 已知平面向量，，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. 向量在上的投影向量为 D. 向量与的夹角为
10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，且，则有（ ）
A. B. C. D.
11如图，直四棱柱的底面是梯形，，，，，P是棱的中点．Q是棱上一动点（不包含端点），则（ ）
与平面BPQ有可能平行
B. 与平面BPQ有可能平行
C. 三角形BPQ周长的最小值为
D. 三棱锥的体积为定值
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填写在答题卡相应位置上.）
12. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，，5，10，其中，已知该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的标准差为___________．
13 已知的内角所对的边分别，角．若AM是的平分线，交BC于M，且，则的最小值为______________.
14. 在三棱锥中，底面为边长为3的正三角形，侧棱底面，若三棱锥的外接球的体积为，则该三棱锥的体积为__________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15 .在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求角B的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
16．2022年4月16日，神舟13号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这趟神奇之旅意义非凡，尤其是“天宫课堂”在广大学生心中引起强烈反响，激起了他们对太空知识的浓厚兴趣．某中学在进行太空知识讲座后，从全校学生中随机抽取了200名学生进行笔试（试卷满分100分），并记录下他们的成绩，将数据分成5组：，并整理得到如下频率分布直方图．
（1）求这部分学生成绩的中位数、平均数（同组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）为了更好的了解学生对太空知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生，进行第二轮面试，最终从这6名学生中随机抽取2人参加市太空知识竞赛，求90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率．
17. 已知四棱锥满足：四边形ABCD为正方形，△PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，，E为PA的中点．
（1）证明：平面BDE；
（2）求直线PC和平面ABCD所成角的正切值．
18. 如图，在四棱锥 QUOTE P­ABCD P­ABCD中， QUOTE PA⊥ PA⊥平面 QUOTE ABCD ABCD，四边形 QUOTE ABCD ABCD为菱形， QUOTE ∠ADC=60° ∠ADC=60°， QUOTE PA=AD=4 PA=AD=4， QUOTE E E为 QUOTE AD AD的中点．
(1)求证：平面 QUOTE PCE⊥ PCE⊥平面 QUOTE PAD PAD；
(2)求二面角 QUOTE A-PD-C A-PD-C的平面角的正弦值．
19 . 由于某地连晴高温，森林防灭火形势严峻，某部门安排了甲、乙两名森林防火护林员对该区域开展巡查．现甲、乙两名森林防火护林员同时从A地出发，乙沿着正西方向巡视走了3km后到达D点，甲向正南方向巡视若干公里后到达B点，又沿着南偏西60°的方向巡视走到了C点，经过测量发现．设，如图所示．

（1）设甲护林员巡视走过的路程为，请用表示S，并求S的最大值；
（2）为了强化应急应战准备工作，有关部门决定在区域范围内储备应急物资，求区域面积的最大值．