广西壮族自治区北海市合浦县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（学生版+教师版）

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（考试时间：120分钟，满分：120分） 2024年5月
一、选择题（每小题3分，共36分）
1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且未知数的次数为1的方程组，据此逐项分析判断，即可作答．
【详解】解：A、次数为2，故该选项是错误的；
B、满足含有两个未知数，并且未知数的次数为2的方程组，故该选项是正确的；
C、次数为2，故该选项是错误的；
D、含有三个未知数，故该选项是错误的；
故选：B
2. 下列各式计算正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂乘法和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
故选；B．
3. 若，则（ ）
A. 9B. 8C. 6D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键．
把化为，然后把已知条件代入计算即可．
【详解】解：，
，
故答案为：C．
4. 下列算式中能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式为两数和乘以两数差，进行判断即可．
【详解】解：A、不能用平方差公式计算；不符合题意；
B、不能用平方差公式计算；不符合题意；
C、不能用平方差公式计算；不符合题意；
D、能用平方差公式计算；符合题意；
故选D．
5. 在方程组中，①②，得（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法解答即可．
【详解】解：，
①②得：，
故选：C．
6. 若关于 x，y 的二元一次方程组的解也是二元一次方程 x-2y=10 的解，则k 的值为( )．
A. 2B. -2C. 0.5D. -0.5
【答案】A
【解析】
【分析】将k看做已知数，表示出x与y，根据题意代入方程x-2y=10中计算，即可求出k的值．
【详解】，
①+②得：x=3k，
将x=3k代入①得：y=−k，
将x=3k，y=−k代入x−2y=10中得：3k+2k=10，
解得：k=2.
故选A.
【点睛】此题考查二元一次方程组的解，解题关键在于掌握运算法则.
7. 分解因式：（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】解：
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
8. 将提出公因式后，另一个因式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握提公因式的方法．首先提取公因式，可得，从而可得答案．
【详解】解：，
将提出公因式后，另一个因式是，
故选：D．
9. 若多项式可以表示为的形式．则的值是（ ）
A. 9B. 7C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用x2+3x-2=（x-1）2+a（x-1）+b，将原式进行化简，得出a，b的值，进而得出答案．
【详解】解：∵x2+3x-2
=（x-1）2+a（x-1）+b
=x2+（a-2）x+（b-a+1），
∴a-2=3，
∴a=5，
∵b-a+1=-2，
∴b-5+1=-2，
∴b=2，
∴a+b=5+2=7，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算与化简，根据已知得出x2+3x-2=x2+（a-2）x+（b-a+1）是解题关键．
10. 已知正方形的面积是，则正方形的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式，先求出正方形的边长是，进而可得出答案．
【详解】解：∵，
∴正方形的边长是，
∴正方形的周长是，
故选：D．
11. 已知，，则的值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式，运用完全平方公式变形代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选A．
12. 某校运动员分组训练，若每组6人，余3人；若每组7人，则缺5人；设运动员人数为 人，组数为组，则列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据关键语句“若每组6人，余3人”可得方程；“若每组7人，则缺5人”可得方程，联立两个方程可得方程组．
【详解】解：设运动员人数为人，组数为组，由题意得
．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程．
二、填空题（每小题2分，共12分）
13. 将方程变形为用含x的代数式表示y，结果是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用一个未知数表示另一个未知数，将一个未知数当作参数，解方程即可．
【详解】解：，
∴；
故答案为：．
14 计算______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，根据同底数幂乘法计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
15. 计算______．
【答案】##
【解析】
【分析】单项式乘单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，即可求解，
本题考查了单项式乘单项式，解题的关键是：掌握单项式乘单项式计算法则．
【详解】解：
，
故答案为：．
16. 将因式分解______．
【答案】
【解析】
【分析】因式分解的步骤：1、提公因式；2、运用平方差公式或完全平方公式．
【详解】
故答案为：
【点睛】本题主要考查因式分解，解题关键是熟练用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．
17. 如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角各剪去一个边长为b的正方形，若a=3.6，b=0.8，则剩余部分的面积为________
【答案】10.4
【解析】
【分析】直接利用已知图形，用总面积减去4个正方形面积进而得出答案．
【详解】由题意可得：
剩余部分的面积为：−4=(a+2b)(a−2b)，
将a=3.6，b=0.8代入上式可得：
原式=(3.6+2×0.8)(3.6−2×0.8)=10.4.
故答案为10.4.
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景．
18. =___________；
【答案】
【解析】
【分析】利用平方差公式简便计算即可．
【详解】原式=(1−)(1+)(1−)(1+)…(1−)(1+)(1−)(1+)
=××××…××××
=．
【点睛】此题考查了数字的变化规律，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 分解因式：（a2+1）2－4a2
【答案】(a+1)2(a-1)2
【解析】
【分析】先用平方差公式进行因式分解，然后根据完全平方公式进行因式分解．
【详解】解：（a2+1）2－4a2
=（a2+1+2a）（a2+1-2a）
=(a+1)2(a-1)2
【点睛】本题考查公式法进行因式分解，掌握平方差公式和完全平方公式的结构正确进行因式分解是本题的解题关键．
20. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，掌握消元法是解题关键．
【详解】解方程组：
解：由②3×①得：
将代入①得：
∴此方程组的解为：．
21. 先化简，再求值：
，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】此题主要考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式根据多项式乘以多项式法则及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当，时原式．
22. 已知关于x，y的方程组与有相同的解，求a和b的值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查同解方程组，将两个方程组中没有参数的两个方程，组成新的方程，求出未知数的方程，再代入带参数的方程中，求出参数的值即可．
【详解】解：∵关于x，y的方程组和的解相同，
∴，①+②得，解得，
把代入②，得，
∴方程组的解为：，
∴，
∴，．
23. 小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程．
【答案】9千米
【解析】
【分析】设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可解答．
【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米，
根据题意得：，
解得：，
则（千米），
答：从出发点到景区的路程是9千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
24. 阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
例：用换元法对多项式进行因式分解．
解：设，则
原式
根据上述材料，请你用“换元法”对多项式进行因式分解．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，利用换元法进行因式分解即可．掌握换元法，是解题的关键．
【详解】解：设，
将代入，得：
∴原式．
25. 李老师刚买了一套2室2厅的新房，其结构如图所示(单位：米)．施工方已经把卫生间和厨房根据合同约定铺上了地板砖，李老师打算把卧室1铺上地毯，其余铺地板砖．问：
(1)他至少需要多少平方米地板砖？
(2)如果这种地板砖每平方米m元，那么李老师至少要花多少钱？
【答案】（1）17ab；（2）17abm.
【解析】
【分析】（1），根据题意列出代数式5b5a-(5b-3b)×(5a-3a)-(5a-3a)2b，利用整式混合运算法则进行化简即可；
（2），结合上步求得的结果，根据题意即可解答．
【详解】解：(1)用总面积减去厨房和卫生间的面积，再减去卧室1的面积即是所铺地板砖的面积，列式为：5b·5a－(5b－3b)×(5a－3a)－(5a－3a)·2b＝25ab-4ab-4ab=17ab ；
(2)所花钱数：17ab×m＝17abm元.
故答案为（1）17ab；（2）17abm.
【点睛】本题考查整式的混合运算，熟记运算法则是关键.
26. 阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：______；
（2）解决问题：如果，，求的值；
（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积．
【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2
（2）76 （3）8
【解析】
【分析】（1）根据图形的面积的两种不同计算方法得到完全平方公式；
（2）根据完全平方公式变形即可求解；
（3）根据矩形的周长和面积公式以及完全平方公式即可得到结论．
【小问1详解】
解：（1）用大正方形面积公式求得图形的面积为：（a+b）2；用两个小正方形面积加两个长方形面积和求出图形的面积为：a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
【小问2详解】
解：（2）∵a+b＝10，ab＝12，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣24＝76；
【小问3详解】
解：（3）设8﹣x＝a，x﹣2＝b，
∵长方形的两邻边分别是8﹣x，x﹣2，
∴a+b＝8﹣x+x﹣2＝6，
∵（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2ab＝20，
∴ab＝8，
∴这个长方形的面积＝（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．