四川省成都市树德中学2024届高三下学期高考适应性考试数学（理） 试题

这是一份四川省成都市树德中学2024届高三下学期高考适应性考试数学（理） 试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数满足，则复数的共轭复数（ ）
A.B.C.iD.
3.“”是“直线和直线垂直”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知向量的夹角为，若，，则（ ）
A.B.C.D.
5.设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A.32B.26C.18D.14
6.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）
A.5B.4C.3D.2
7.随机变量的概率分布为，其中是常数，则（ ）
A.B.C.D.
8.已知A、B是球的球面上两点，，过AB作互相垂直的两个平面截球得到圆和圆，若，则球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
9.算盘是我国一类重要的计算工具.如图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动.设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050”，则（ ）
A.B.C.D.
10.若正数x，y满足，则的最小值是（ ）
A.B.C.D.
11.设点分别为双曲线的左、右焦点，点A，B分别在双曲线的左、右支上，若，，且，则双曲线的离心率为（ ）
A.B.C.D.
12.已知数列共有9项，，，且满足：（，），则符合条件的数列共有（ ）个.
A.16B.40C.70D.80
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若关于的二项式的展开式中各项的系数和为，则__________.
14.已知定义在上的函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为__________.
15.已知抛物线，圆，点，若A，B分别是，上的动点，则的最小值为__________.
16.的外接圆半径为1，，则的面积为__________；
当角达到最大时，__________.
三、解答题：共70分.解答应写出相应的文字说明、证明过程或者演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题12分）
在平行六面体中，，.
（1）若空间有一点满足：，求；
（2）求平面与平面所成夹角的余弦值.
18.（本小题12分）
设，.
（1）若x，y均为锐角且，求的取值范围；
（2）若且，求的值.
19.（本小题12分）
设椭圆的左焦点，长轴长为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于P，Q和E，F，求的取值范围.
20.（本小题12分）
BMI指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当BMI数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm时，我们说身高较高，身高小于170cm时，我们说身高较矮，某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：
（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程为.利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值（保留两位有效数字）
（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误.已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58（kg）.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程.
【参考公式】
，，，
【参考数据】
，，，，，，.
21.（本小题12分）
已知函数，为的导函数.
（1）当时，若在上的最大值为，求；
（2）已知是函数的两个极值点，且，若不等式恒成立，求正数的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分
22.（本小题10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的方程为.
（1）求曲线的普通方程；
（2）若曲线与直线交于A，B两点，且，求直线的斜率.
23.（本小题10分）
已知a，b，c都是正数，且，证明：
（1）若，则；
（2）.
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高（cm）
166
167
160
173
178
169
158
173
体重（kg）
57
58
53
61
66
57
50
66
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高（cm）
166
167
160
173
178
169
158
173
体重（kg）
57
58
53
61
66
57
50
66
残差
0.1
0.3
0.9
树德中学高2021级高考适应性考试数学（理科）试题答案
1.【答案】C
由，解得，则，
又，且，则，故实数的取值范围为.
2.【答案】B
由题知，，可得，则.故选：B.
3.【答案】A
当时，直线的斜率是，直线的斜率是1，
满足：，即.而由，可得，解得
“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故选：A.
4.【答案】C
的夹角为，且，，，则.故选：C.
5.【答案】B
因为为等比数列，为前项和，，所以，，，成等比数列，
则，所以，.故选B.
6.【答案】C
作出不等式组对应的对应的平面区域如图：（阴影部分）.
则由，可知，
则目标函数在处达到最大为3.故选C.
7.【答案】A
由题意得，则，
，，，则故选A.
8.【答案】D
取线段AB的中点，连接、、、，如图所示：
由球的几何性质可知平面，平面，
因为，，则是边长为2的等边三角形，
因为为AB的中点，则，且，
同理可知，因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
因为平面，所以，同理，
因为平面，所以，所以四边形为正方形，故，
所以球的半径为，因此，球的表面积为.故选：D.
9.【答案】A算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动，基本事件为：1000，1001，1005，1010，1050，1100，1500，5000，5001，5005，5010，5050，5100，5500共14种，
事件“表示的四位数为偶数”，则，
事件“表示的四位数大于5050”，则，
所以.故选：A.
10.【答案】B
由可得，当且仅当时取等号，
所以，
所以当时，取到最小值，
此时或，故选：B
11.【答案】D
，、B、三点共线，
设，由双曲线定义得，，
所以，，，
即，解得或，
由，则，得，所以，
，解得.故选D.
12.【答案】C
因为，所以，或，
①时，与的取法均只有1种；
②时，与的取法有种；
③时，与的取法有种；
④时，与的取法有种；
⑤时，与的取法有1种.
所以满足条件的数列共有个.
13.【答案】
令，可得关于的二项式的展开式中各项的系数和为，，，故答案为：.
14.【答案】
令，则，
因为当时，，即
所以当时，单调递减，
不等式成立时，，则，
所以，解得，，
综上，不等式的解集为.
15.【答案】4
抛物线的焦点，准线为，点到准线的距离为，
.
16.【答案】；
因为，
则，
所以，
令，
因为
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以存在，，使得，
则时，，的最大为，
且达到最大时，且，
则.
17.（1）由，可知，，
因为，.，所以.
（2）连接，，，，设，由，，可得，从而三棱锥为正四面体，故顶点在底面的射影落在直线上，且垂足为底面外心，可求得.结合面面垂直的判定定理得平面平面，在平面内引直线，结合面面垂直的性质得平面，又由菱形可知，以为原点建立空间直角坐标系，则：，，，，
可得，，，
设平面的法向量为，
则
令得为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
则令得为平面的一个法向量，
设平面与平面所成夹角为，则.
所以平面与平面所成夹角的余弦值为.
18.（1）由可知，，，
所以
而，函数在上单调递减，则，
的取值范围是.
（2），且，
则：，整理得：，则：，
整理得：，
所以：.
19.（1），，所以.
则椭圆的方程为.
（2）①当直线PQ与直线EF中有一条直线斜率为0时，，
②
当直线PQ与直线EF的斜率均不为0时，设，
由，可知，，
设，则，，
用换，可知，，
则，
令，则，则.
综上，的取值范围是.
20.（1）完善残差表如下：
，
所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值约为0.91；
（2）由（1）可知，第八组数据的体重应为58，
此时，又，，，，.
重新采集数据后，男体育特长生的身高与体重的线性回归方程为.
21.解：（1）当时，，其定义域为，
且，所以，
所以，令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
①当，即时，在上单调递增，
所以；
②当，，即时，；
③当时，在上单调递减，所以.
综上所述，；
（2）因为，所以，
由题意知的定义域为，，
故，是关于的方程的两个根，
所以，，即，，
所以等价于.
因为，，所以原式等价于，
又，，作差，得，即，
所以原式等价于，因为，所以恒成立，
令，则，故不等式在上恒成立，
令，又因为，
当时，得时，，所以在上单调递增，
又，所以在上恒成立，符合题意；
当时，可得时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去，
综上所述，若不等式恒成立，只需满足，又，故，
即正数m的取值范围为.
22.解：（1）曲线的参数方程为（为参数），转换为普通方程为，
（2）根据，得把转换为极坐标方程为；
由于，故，
所以，，故；所以，；
故；故直线的斜率.
23.证明：（1）因为，，则，
，当且仅当时取等号.
（2）a，b，c都是正数，，
故成立，当且仅当取等号.
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高（cm）
166
167
160
173
178
169
158
173
体重（kg）
57
58
53
61
66
57
50
66
残差
0.1
0.3
0.9
3.5