专题03 抽象函数单调性的证明及解不等式（期末大题2）-2023~2024年高一上学期期末数学大题秒杀技巧及专项练习（原卷版）

这是一份专题03 抽象函数单调性的证明及解不等式（期末大题2）-2023~2024年高一上学期期末数学大题秒杀技巧及专项练习（原卷版），共11页。试卷主要包含了 已知定义在上的函数满足，函数的定义域为，并满足以下条件，设函数对任意，定义域为的函数满足等内容，欢迎下载使用。

题型 抽象函数单调性的证明及解不等式
抽象函数的单调性（正规解法）
使用前提：题中没有给出具体函数的解析式，只给出函数的性质，需要利用所给的性质证明函数的单调性.
解题步骤：
第一步：确定函数的奇偶性，取值定大小：设任意，且；
第二步：结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性.
抽象函数具体化（秒杀）
使用前提：题中没有给出具体函数的解析式，但是可以根据所给的函数特征确定函数模型，属于抽象函数的内容延伸和实例化.
解题步骤：
第一步：由函数的解析式确定函数所属的模型；
常见函数模型包括：
Ⅰ：若，可认为函数为幂函数(的范围或数值需要其他条件确定)；
Ⅱ：若，可认为函数为对数函数(的范围或数值需要其他条件确定)；
Ⅲ：若，可认为函数为指数函数(的范围或数值需要其他条件确定)；
Ⅳ：若，可认为函数为正比例函数或
Ⅵ：若，可认为是余弦函数.
Ⅶ：若，可认为函数为一次函数或
第二步：结合函数模型和函数的单调性的定义确定函数的单调性.
模型1、 已知定义在上的函数满足：
① 对任意，，有.
②当时，.试判定函数的单调性.
解：第一步：确定函数的奇偶性，取值定大小：设任意，且；；
令，，，
令，，.
则函数是奇函数.设，则，
第二步：结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性.
为上减函数.
模型2、函数的定义域为，并满足以下条件：①对任意，有；②对任意，有；③.
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求证：在上是单调增函数；
（Ⅲ）若，且，求证：.
解：正规方法：
(Ⅰ)令得： 因为，所以；
（Ⅱ）第一步：确定函数的奇偶性，取值定大小：设任意，且；
任取且设则
第二步：结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性.
因为，所以，所以在上是单调增函数；
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，因为
又，
所以
所以
秒杀方法：
(Ⅰ)因为对任意，有，且对任意，
所以，当时故．
（Ⅱ）因为，所以
所以在上是单调增函数，即在上是单调增函数
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，
而，所以
所以
模型3、已知定义域为,对任意,都有,当时, ,.
（1）求; （2）试判断在上的单调性,并证明;
（3）解不等式:.
解：（1）由题意，令，得，解得
令，得，所以.
（2）函数在上单调递减，证明如下：
第一步：确定函数的奇偶性，取值定大小：设任意，且；
任取，且，
第二步：结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性.
可得
，因为，所以，所以
即，所以在上单调递减.
（3）令，得，∴
∴
∴，又在上的单调且
∴，∴.
∴，即不等式解集为.
模型4、设函数对任意、都有，且当时，.
（1）证明为奇函数；（2）证明在R上是减函数；
（3）若，求在区间上的最大值和最小值.
解：（1）第一步：确定函数的奇偶性
由于函数对任意、都有，
该函数的定义域为，令，可得，
再令，可得，即，，
因此，函数为奇函数；
⑵第二步：取值定大小：设任意，且；
设，则，
，则，所以，，
因此，函数在上是减函数；
（3）第二步：结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性.
因为函数在上是减函数，所以，函数在上也是减函数，
所以，函数在上的最大值和最小值分别为和，
而，，
因此，函数在上的最大值为，最小值为.
模型5、设是定义在R上的函数,对任意的,恒有，且当时, .
(1)求的值;(2)求证:对任意,恒有.(3)求证:在R上是减函数.
解：(1) 令,有,当时,,所以有,于是有；
(2)当时,有,因为,所以,已知当时,,所以,由(1)可知,所以有；已知当时,；
由(1)可知,故对任意,恒有；
(3)第一步：确定函数的奇偶性，取值定大小：设任意，且；
设且,所以有,而已知当时,,因此有
,
第二步：结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性.
而,由(2)的证明过程可知：,
于是由可得,所以有,根据(2)的性质可知：,所以有,因此在R上是减函数.
模型6、定义域为的函数满足：，若时，.试证明：
(1)，(2)是的奇函数，(3)在上单调递增.
解：第一步：由函数的解析式确定函数所属的模型；
联想符合的一个原型，
时，，故，结合它性质尝试有下解：
第二步：结合函数模型和函数的单调性的定义确定函数的单调性.
(1)，即
(2)，即，所以，是上的奇函数.
(3)任取且，则.由已知得，，
又因为即f(x)在R上单调递减.
1．已知函数的定义域为，对，总有成立.若时，.
(1)判断并证明函数的单调性；
(2)若，求解关于的不等式的解集.
2．已知函数在定义域上恒为正，，对任意的，都有，当时，.
(1)求，的值；
(2)用定义证明：为上的减函数；
(3)求不等式的解集.
3．已知定义域为，对任意x，，都有，当时，，且.
(1)求和的值；
(2)证明：函数在上单调递增；
(3)求不等式的解集.
4．若非零函数对任意x，y均有，且当时，.
(1)求，并证明；
(2)求证：为上的减函数；
(3)当时，对时恒有，求实数的取值范围.
5．设函数的定义域是，且对任意的正实数x、y都有恒成立，已，且时，
(1)求与的值；
(2)求证：函数在上单调递减；
(3)解不等式
6．已知函数满足，当时，，且.
(1)求的值；
(2)判断的单调性并证明；
(3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
7．已知函数的定义域为，当时，．
(1)求的值；
(2)证明：函数在上为单调减函数；
(3)解不等式．
8．设函数是定义在上的减函数，且满足，
(1)求的值；
(2)如果，求的取值集合．
9．已知在上有意义，单调递增且满足，.
(1)求的值；
(2)求不等式的的解集.
10．定义在上的函数，对任意的，都有成立，且当时，．
(1)求的值；
(2)证明：在上为增函数；
(3)当时，解不等式．
11．已知定义在上的函数满足、，；，.
(1)求的值；
(2)证明是上的增函数；
(3)若，求的取值范围.
12．设函数的定义域是，且对任意的正实数都有恒成立，当时，.
(1)判断并证明函数在上的单调性：
(2)若，求不等式的解集.
13．定义在上的函数，满足．且当时，．
(1)求证：在上是增函数；
(2)若，解不等式．
14．已知为定义在上不恒为的函数，对定义域内任意，满足：，．且当时，．
(1)证明：；
(2)证明：在单调递减；
(3)解关于的不等式：．
15．已知函数的定义域为，满足对总有成立，且当时，．
(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；
(2)若，求解关于x的不等式的解集．
16．函数满足对一切有，且；当时，有.
(1)求的值;
(2)判断并证明在R上的单调性；
(3)解不等式
17．已知定义在上的函数满足对任意的，恒成立.当时，，且.
(1)判断的单调性并证明，
(2)求不等式的解集.
18．已知函数满足，当时，，且.
(1)求，的值，并判断的单调性并证明；
(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
19．函数的定义域为，对于，，，且当时，．
(1)证明：为减函数；
(2)若，求不等式的解集．
20．定义在R上的函数对任意，都有，当时，.
(1)求的值；
(2)试判断在R上的单调性，并说明理由；
(3)解不等式.