微专题11 导数解答题之极最值问题 -2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

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1、利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作．
【典型例题】
例1．（2024·山东济南·一模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)讨论极值点的个数.
【解析】（1）当时，定义域为，
又，
所以，
由，解得，此时单调递增；
由，解得，此时单调递减，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）函数的定义域为，
由题意知，，
当时，，所以在上单调递增，
即极值点的个数为个；
当时，易知，
故解关于的方程得，，，
所以，
又，，
所以当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
即极值点的个数为个.
综上，当时，极值点的个数为个；当时，极值点的个数为个.
例2．（2024·湖南邵阳·二模）设函数.
(1)求的极值；
(2)若对任意，有恒成立，求的最大值.
【解析】（1）.
令，得，令，得.
故在单调递减，在单调递增.
在处取得极小值，无极大值.
（2）对恒成立，即对恒成立.
令，则只需即可.
.
易知均在上单调递增，
故在上单调递增且.
当时，单调递减；
当时，单调递增.
.故，故的最大值为.
例3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求证：的极大值恒为正数．
【解析】（1），
当时，，，
又，故曲线在处的切线方程为；
（2），
解得知，，
若，当或时，，当时，，
所以在，递减，递增，
故极大值为；
若，则，
所以函数单调递减，无极大值；
若，当或时，，当时，，
所以在，递减，递增，
故极大值，
综上，的极大值恒为正数．
例4．（2024·辽宁·一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线的方程；
(2)讨论的极值.
【解析】（1）当时，，求导得，则，而，
所以的方程为，即.
（2）函数的定义域为，求导得，
而，则当时，，当时，，
因此在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极大值，无极小值.
例5．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)当时，求函数的最小值．
【解析】（1）由，
得，
所以，，
函数在处的切线方程
（2）
令，
当时，，则，
所以 ，所以，
所以在单调递减；
当时，，则，
此时，
所以在单调递增，
所以当时，函数取得最小值；
所以当时，函数的最小值为
例6．（2024·高三·浙江·阶段练习）已知函数，其中.
(1)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值;
(2)是否存在实数，使得在上的最大值是?若存在，求出的值;若不存在，说明理由.
【解析】（1），则，
故曲线在处的切线为，
即，
当时，此时切线为，不符合要求
当时，令，有，
令，有，故，即，故
（2），
①当时，在上单调递增，
的最大值是，解得，舍去;
②当时，由，得，
当，即时，时，时，，
的单调递增区间是，单调递减区间是，
又在上的最大值为;
当，即时，在上单调递增，，
解得，舍去.
综上所述，存在符合题意，此时
例7．（2024·北京·模拟预测）已知函数.
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)讨论的单调区间；
(3)若对任意，都有，求的最大值.（参考数据：）
【解析】（1），，又，，
故的图象在点处的切线方程为，即.
（2），又，，
则时，当，，单调递增；当，，单调递减；
时，当，，单调递减；当，，单调递增；
当，，单调递减；
时，当，，在单调递减；
时，当，，单调递减；当，，单调递增；
当，，单调递减.
综上所述：当，的单调增区间为，单调减区间为；
当，的单调减区间为，单调增区间为；
当，的单调减区间为，没有单调增区间；
当，的单调减区间为，单调增区间为.
（3）若对任意，都有，则在上的最大值；
由（2）可知，当，在单调递增，在单调递减，
故；
令，则，
故在单调递增，又，则；
故当时，，
也即当时，对任意，都有.
故的最大值为.
例8．（2024·天津河东·一模）已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的最小值；
(3)函数，证明：．
【解析】（1）
，，切线斜率为
故切线方程为，即.
（2） ，令，可得，
当，；，，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故函数的最小值.
（3），由①
欲证明，只需要，
令，
令
在区间上单调递增，则，故；
则在区间上单调递增，只需证明，
由①可知，
由（2）可知，
只需证明，
化简为：成立即可，令，
则在区间上单调递增，
故，所以得证.
例9．（2024·北京石景山·一模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值与最小值；
(3)当时，求证：．
【解析】（1）
，，，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2），
当时，在区间上恒成立，在区间上单调递增，
所以函数的最小值为，最大值为，
当时，，得，
在区间小于0，函数单调递减，
在区间大于0，函数单调递增，
所以函数的最小值为，
，，显然，所以函数的最大值为，
综上可知，当时，函数的最小值为，最大值为，
当时，函数的最小值为，最大值为；
（3）当时，，即证明不等式，
设，，，
设，，，
所以在单调递增，并且，，
所以函数在上存在唯一零点，使，
即，则在区间，，单调递减，
在区间，，单调递增，
所以的最小值为，
由，得，且，
所以，
所以，即.
【过关测试】
1．（2024·广东汕头·一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，函数，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
求导得，
当时，，由，得，由，得，
则函数在上递增，在上递减，函数只有极大值，不合题意；
当时，由，得或，
①若，即，由，得或，由，得，
则函数在上递增，在上递减，
因此函数的极大值为，极小值为，符合题意；
②若，即，由，得或，由，得，
则函数在上递增，在上递减，
因此函数的极大值为，极小值为，符合题意；
③若，即，由在上恒成立，得在上递增，
函数无极值，不合题意，
所以的取值范围为.
2．（2024·高三·江苏苏州·阶段练习）已知函数有极值，与函数的极值点相同，其中是自然对数的底数.
(1)直接写出当时，函数在处的切线方程；
(2)通过计算用表示；
(3)当时，若函数的最小值为，证明：.
【解析】（1）当时，，，
从而，，
所以函数在处的切线方程为；
（2）因为，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故是函数的极小值点；
又因为，
所以，
整理得，
又当时，，
若要使得函数有极值，
则还需，即，
综上所述，，；
（3）因为，且由（2）可知，
所以，
令，则，
令，得到，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
所以，
从而令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
令，则，记，
则，
因为，
所以，单调递增，
所以，即.
3．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调递增区间；
(3)若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围.
【解析】（1）当时，，则，
所以，，，
故当时，曲线在点处的切线方程为，即.
（2）当时，，该函数的定义域为，，
由，即，解得或，
因此，当时，函数的单调递增区间为，
（3）法Ⅰ：因为，则，
令，因为函数在上有且只有一个极值点，
则函数在上有一个异号零点，
当时，对任意的，恒成立，无零点，故不符合题意；
当时，函数在上单调递增，
因为，只需，故符合题意；
当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线，
因为，只需，故不符合题意，舍去
综上所述，实数a的取值范围是.
法Ⅱ：令，
则有根，令，
设，，
又函数对称轴为，则时，单调递增，
所以，即，
.
4．（2024·四川成都·二模）已知函数的导函数为．
(1)当时，求的最小值；
(2)若存在两个极值点，求a的取值范围．
【解析】（1）
当时，，，，
令函数，，则有，
当时，，为减函数；当时，，为增函数，
所以，即的最小值为2；
（2）因为，有，
令，有，
①当时，因为，所以，即在上为增函数，
所以至多存在一个，使得，故不存在两个极值点，
②当时，解，得，
故当时，，为减函数，当时，，
为增函数，所以，
（ⅰ）．当，即时，，在上为增函数，
故不存在极值点，
（ⅱ）．当，即时，
又因为，所以，
又由第（1）问知，故，所以，
又因为，又，
所在，使得，
且在，上为增函数，在上为减函数，
所以，分别是的极大值点和极小值点，
综上所述，的取值范围为．
5．（2024·高三·浙江湖州·期末）已知函数.
(1)是否存在实数，使得函数在定义域内单调递增；
(2)若函数存在极大值，极小值，证明：.（其中是自然对数的底数）
【解析】（1）因为，则的定义域为，
进一步化简得：
令，则在上单调递增，
且，所以时，时，
要使得单调递增，则在上恒成立
当时，恒成立
当时，，当时，，不合题意
当时，，当时，，不合题意
综上：.
（2）由（1）可得且，极值点为与1，
所以
令
当时，单调递增
当时，单调递减，
所以，即成立.
6．（2024·云南大理·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，且是的极值点，证明：
（i）时，取得极小值；
（ii）.
【解析】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，在上单调递减，
当时，由，得，由，得，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）函数的定义域为，求导得，
由是的极值点，得，即，
（i），
而，则当时，单调递减，当时，单调递增，
所以当时，取得极小值.
（ii）设，求导得，
当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，所以.
7．（2024·高三·北京昌平·期末）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)判断极值点的个数，并说明理由．
【解析】（1）由题意知，定义域为，所以，
所以直线的斜率，，
所以切线方程为，即.
（2）由（1）知，所以，
令，即，解得或，
当，，
当，，
当，，
所以在，单调递增，在单调递减.
（3）个极值点，理由如下：
由（2）知当时，在区间上单调递增，
，，
所以存在唯一，使；
当时，在区间上单调递减，
，，
所以存在唯一，使；
当时，，，所以
所以在区间无零点；
综上，当，，
当，，
当，，
所以当时，取到极小值；当时，取到极大值；
故有个极值点.
8．（2024·高三·北京房山·期末）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调递增区间；
(3)若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围.
【解析】（1）当时，，则，所以，，，
故当时，曲线在点处的切线方程为，即.
（2）当时，，该函数的定义域为，
，
由，即，解得或，
因此，当时，函数的单调递增区间为、.
（3）因为，则，
令，因为函数在上有且只有一个极值点，
则函数在上有一个异号零点，
当时，对任意的，，不合乎题意；
当时，函数在上单调递增，
因为，只需，合乎题意；
当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线，
因为，只需，不合乎题意，舍去.
综上所述，实数的取值范围是.
9．（2024·高三·全国·专题练习）已知，，
(1)若在处取得极值，试求的值和的单调增区间；
(2)如图所示，若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用这条性质证明：函数图象上任意两点的连线斜率不小于．
【解析】（1）因为，则，
依题意，有，即．
所以，，
令，得或，
令，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以满足题意，同时，的单调增区间为和；
（2）猜想如下：
因为表示的两端点连线的斜率，
而由题可知，上必然存在点，使得其切线的斜率为，即，
所以一定定存在，使得；
证明如下：
因为，
则．
由猜想可知，对于函数图象上任意两点，
在之间一定存在一点，使得，
又，故有.
10．（2024·高二·浙江温州·阶段练习）已知函数有两个极值点为，.
(1)当时，求的值；
(2)若（为自然对数的底数），求的最大值.
【解析】（1）易知函数的定义域为，
则，
当时可得，，
因此可知当或时，；当时，；
所以在和上单调递增，在上单调递减；
可得和是函数的两个极值点，又，所以；
所以可得，
即当时，；
（2）易知，
又，所以是方程的两个实数根，
由韦达定理可得，
所以
，
设，由可得，令，
则，所以在上单调递减，
可得，
故可知的最大值为.
11．（2024·高三·河南周口·阶段练习）已知函数．
(1)当时，证明：函数在上单调递增；
(2)若是函数的极大值点，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为，所以，且知，
要证函数单调递增，即证在上恒成立，
设，则，注意，在上均为增函数，故在上单调递增，且，于是在上单调递减，在上单调递增，，即，
因此函数在上单调递增；
（2）由，有，
令，所以，
①当时，在上恒成立，
因此在上单调递减，
注意到，故函数的增区间为，减区间为，
此时是函数的极大值点；
②当时，与在上均为单调增函数，
故在上单调递增，注意到，
若，即时，此时存在，使，
因此在上单调递减，在上单调递增，
又知，则在上单调递增，在上单调递减，
此时为函数的极大值点，
若，即时，此时存在，使，因此在上单调递减，在上单调递增，又知，则在上单调递减，在上单调递增，此时为函数的极小值点．
当时，由（1）可知单调递增，因此非极大值点，
综上所述，实数的取值范围为．
12．（2024·高三·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若对，，且在处取得极小值，求的取值范围.
【解析】（1）当时，，定义域为.
，
令，可得，
当变化时，和的变化情况如下：
故函数的单调递减区间为，；单调递增区间为.
（2）因为对恒成立，所以对恒成立，
显然不恒成立，不合题意，则，解得.
令，可得或，
当时，，
因为，（当且仅当时，）
所以函数在上单调递增，无极值，不满足题意；
当时，，
和的变化情况如下：
函数在处取得极小值，满足题意；
当时，，和的变化情况如下：
函数在处取得极大值，不满足题意.
综上，实数的取值范围为.
13．（2024·海南·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数有最小值2，求的值.
【解析】（1）当时，的定义域为，
则，则，
由于函数在点处切线方程为，即.
（2）的定义域为，
，
当时，令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，，即
则令，设，
令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，解得：.
14．（2024·高三·湖南岳阳·开学考试）已知，函数，.
(1)判断函数在上的单调性；
(2)是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）
，
，
①若，则，在上单调递增；
②若，当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增；
③若，则，函数在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
（2），，
，由（1）易知，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
在上的最小值为，
即，，又，
，
曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解，
而，即方程无实数解，
故不存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直.
15．（2024·贵州·三模）已知函数的图象经过点，且是的极值点.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调区间和最值.
【解析】（1）由函数，可得，
因为函数过点，且是的极值点，
可得，解得，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）知，
令，解；令，解，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，函数取得最小值，最小值为，无最大值.
即函数的增区间为，减区间为，最小值为，无最大值.
16．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）已知，其中为自然对数底数．
(1)讨论的单调性；
(2)已知有极值，求的所有极值之和的最大值．
【解析】（1）函数的定义域为，
又，
令，解得或．
①当时，，则当或时，当时，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
②当时，，则恒成立，所以在上单调递增；
③当时，，
则当或时，当时，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
综上可得：当时在和上单调递增，在上单调递减；
当时在上单调递增；
当时在和上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）可得，当时，无极值，故舍去；
当时，有两个极值，
分别为，，
则，
令，，令，，
则，令，得，
所以当或时，当或时
在，上单调递减，
在，上单调递增，
当时，，，
，
即的所有极值之和的最大值为．
17．（2024·陕西西安·一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个极值点，，证明：.
【解析】（1）函数的定义域为，则函数的导数，
设，注意到，
①当时，恒成立，即恒成立，此时函数在上是减函数；
②当时，判别式，
（i）当时，，即，即恒成立，此时函数在上是减函数；
（ii）当时，令，得：，
令，得：或；
所以当时，在区间单调递增，在，单调递减；
综上所述，当时，在上是减函数，
当时，在，上是减函数，
在区间上是增函数.
（2）由（1）知，，，
则
，
则，则问题转为证明即可，
即证明，则，
即，即证在上恒成立，
设，，其中，
求导得，
则在上单调递减，
所以，即，
故，则成立.
18．（2024·河北唐山·一模）已知函数，，
(1)求曲线在点处的切线方程：
(2)当时，求的值域．
【解析】（1）由得，所以，
所以所求切线方程为，即
（2）时，，
，
当时，，此时，故单调递增，
当时，，
接下来证明：当时，，
令又，
故当单调递减，
当单调递增，
故有最小值，因此，即，
，
令，
故单调递增，即，
所以，故在单调递增，
综上可得在单调递增，，
当而，因此，
所以的值域为
19．（2024·四川泸州·二模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间内存在，，使得，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为，所以，
又，所以，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2）因为，又，
所以当时，当或时，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
则在区间内存在，，使得，
等价于在区间内存在，使得，
等价于在区间内存在，使得，
等价于在区间内，的最大值不小于，
不妨令，
①当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
且，，，
所以，符合题意；
②当，即时，在和上单调递增，在上单调递减，
显然在处取得极小值，此时极小值为，
而，，，
所以，
要使，则必有，解得，故，
综上可得的取值范围为.
20．（2024·高三·四川·阶段练习）已知函数的导函数为.
(1)当且时，求的最小值；
(2)当且时，若存在两个极值点，求的取值范围.
【解析】（1）当且时，，可得，
令函数，则有，
当时，为减函数；
当时，为增函数，
所以，即的最小值为2.
（2）当时，，可得，
则，令，可得，
①当时，因为，所以，
即在上为增函数，故不可能存在两个极值点；
②当时，解，得，显然，
故当时，为减函数，
当时，为增函数，
所以，
（i）当，即时，，在上为增函数，
故不存在极值点，
（ii）当，即时，
因为，所以，
又由第（1）问知：，所以，
则，所以，
又因为，所以，
因为，
所以存在使得，
且在上为增函数，在上为减函数，
所以分别是的极大值点和极小值点，
综上所述，的取值范围为.
0
-
-
0
+
单调递减
单调递减
单调递增
0
+
0
-
0
+
单调递增
单调递减
单调递增
0
+
0
-
0
+
单调递增
单调递减
单调递增