微专题10导数解答题之零点问题 -2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分（原卷版）

这是一份微专题10导数解答题之零点问题 -2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分（原卷版），共8页。

1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．
【典型例题】
例1．（2024·河南·一模）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若有两个零点，求实数a的取值范围.
例2．（2024·湖南·二模）已函数，其图象的对称中心为.
(1)求的值；
(2)判断函数的零点个数.
例3．（2024·高三·四川雅安·开学考试）已知函数．
(1)若，当时，证明：．
(2)若，证明：恰有一个零点．
例4．（2024·全国·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的图象在点处的切线方程；
(2)若函数有2个零点，求的取值范围.
例5．（2024·高三·河南·阶段练习）已知函数.
(1)判断的单调性；
(2)当时，求函数的零点个数.
例6．（2024·广东·模拟预测）已知．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个零点，证明：存在三个零点，且
(3)在（2）的条件下，证明：．
例7．（2024·江苏·模拟预测）已知函数，其中，为自然对数的底数．
(1)函数，求的最小值；
(2)若为函数的两个零点，证明：．
例8．（2024·高三·河南濮阳·开学考试）已知函数.
(1)若，讨论的零点个数；
(2)若是函数（为的导函数）的两个不同的零点，且，求证：.
【过关测试】
1．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则.
2．（2024·青海·一模）已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)若有两个零点，，证明：．
3．（2024·河北·一模）已知函数．
(1)若函数有3个不同的零点，求a的取值范围；
(2)已知为函数的导函数，在上有极小值0，对于某点，在P点的切线方程为，若对于，都有，则称P为好点．
①求a的值；
②求所有的好点．
4．（2024·全国·一模）已知
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设是的两个零点（），求证：①；②.
5．（2024·北京门头沟·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求的极值；
(3)当时，判断零点个数，并说明理由．
6．（2024·山东潍坊·一模）已知函数（）．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：（，）；
(3)若函数有三个不同的零点，求的取值范围．
7．（2024·高三·江西·开学考试）已知函数，且的极值点为.
(1)求；
(2)证明：；
(3)若函数有两个不同的零点，证明：.
8．（2024·山西·一模）已知，且，函数.
(1)记为数列的前项和.证明：当时，；
(2)若，证明：；
(3)若有3个零点，求实数的取值范围.
9．（2024·陕西宝鸡·二模）已知函数
(1)若和的图象有公共点，且在公共点处有相同的切线，求值；
(2)求证：当时，的图象恒在的图象的上方；
(3)令，若有2个零点，试证明
10．（2024·安徽阜阳·一模）已知函数．
(1)讨论的单调性．
(2)已知是函数的两个零点．
（ⅰ）求实数的取值范围．
（ⅱ）是的导函数．证明：．
11．（2024·北京丰台·一模）已知函数，曲线在点处的切线为，记．
(1)当时，求切线的方程；
(2)在（1）的条件下，求函数的零点并证明；
(3)当时，直接写出函数的零点个数．（结论不要求证明）
12．（2024·江西赣州·一模）已知函数.
(1)求的单调区间，
(2)已如.若函数有唯一的零点.证明，.
13．（2024·山东聊城·一模）已知函数，，.
(1)求的单调递增区间；
(2)求的最小值；
(3)设，讨论函数的零点个数.
14．（2024·内蒙古包头·一模）设函数．
(1)当时，讨论的单调性，并证明；
(2)证明：①当时，；
②当时，，当时，；
③当时，函数存在唯一的零点．
15．（2024·高三·陕西安康·阶段练习）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数.
(1)若在上为“凸函数”，求的取值范围；
(2)若，判断在区间上的零点个数.
16．（2024·高三·广东广州·阶段练习）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)讨论函数在上的零点个数．（参考数据：，）
17．（2024·高三·天津南开·阶段练习）已知函数．（注：是自然对数的底数）．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，函数在区间内有唯一的极值点．
①求实数a的取值范围；
②求证：在区间内有唯一的零点，且．
18．（2024·山东淄博·一模）已知函数
(1)讨论函数在区间上的单调性;
(2)证明函数在区间上有且仅有两个零点.
19．（2024·福建莆田·二模）已知函数．
(1)证明：当时，；
(2)若函数有两个零点．
①求的取值范围；
②证明：．
20．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当且时，讨论在上的零点个数.