决战2024高考押题卷 数学（上海卷01）

这是一份决战2024高考押题卷 数学（上海卷01），共20页。

数学
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，
1．集合，则 ．
2．已知为虚数单位，复数的共轭复数为 ．
3．已知等差数列满足，，则 .
4．展开式中的常数项为 ．
5．已知随机变量服从正态分布，且，则 .
6．已知函数为奇函数，为偶函数，且当时，，则 ．
7．某班为了响应“学雷锋”活动，将指定的6名学生随机分配到3个不同的校办公室打扫卫生，要求每个办公室至少分配1人，6名学生中甲、乙两人关系最好，则恰好甲、乙两人（仅有两人）打扫同一个办公室的概率为 .
8．设与相交于两点，则 ．
9．已知，则不等式的解集为 .
10．圆台母线长为3，下底直径为10，上底直径为5，过圆台两条母线作截面，则该截面面积最大值是
11．已知直线与双曲线：的两条渐近线分别交于点，（不重合）线段的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为 ．
12．正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的最大值为 .
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分.
13．已知直线，直线，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
14．若，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．6D．
15．如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高（长的中位数散点图，下列可近似刻画身高随年龄变化规律的函数模型是（ ）
A．B．
C．D．
16．已知函数，若等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．-4048B．0C．2024D．4048
三、解答题（本大题78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17．已知函数，其中.
(1)求在上的解；
(2)已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围.
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，点在上，点为的中点，且平面．
(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．
19．某微信群群主为了了解微信随机红包的金额拆分机制，统计了本群最近一周内随机红包（假设每个红包的总金额均相等）的金额数据（单位：元），绘制了如下频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图估计红包金额的平均值与众数；
(2)群主预告今天晚上7点将有3个随机红包，每个红包的总金额均相等且每个人都能抢到红包.小明是该群的一位成员，以频率作为概率，求小明至少两次抢到10元以上金额的红包的概率.
(3)在春节期间，群主为了活跃气氛，在群内发起抢红包游戏规定：每轮“手气最佳”者发下一轮红包，每个红包发出后，所有人都参与抢红包.第一个红包由群主发.根据以往抢红包经验，群主自己发红包时，抢到“手气最佳”的概率为；其他成员发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为.设前轮中群主发红包的次数为，第轮由群主发红包的概率为.求及的期望.
20．已知椭圆：与抛物线：在第一象限交于点，，分别为的左、右顶点.
(1)若，且椭圆的焦距为2，求的准线方程；
(2)设点是和的一个共同焦点，过点的一条直线与相交于，两点，与相交于，两点，，若直线的斜率为1，求的值；
(3)设直线，直线分别与直线交于，两点，与的面积分别为，，若的最小值为，求点的坐标.
21．已知有穷等差数列的公差d大于零．
(1)证明：不是等比数列；
(2)是否存在指数函数满足：在处的切线的交轴于，在处的切线的交轴于，…，在处的切线的交轴于？若存在，请写出函数的表达式，并说明理由；若不存在，也请说明理由；
(3)若数列中所有项按照某种顺序排列后可以构成等比数列，求出所有可能的m的取值．
参考答案：
1．
【分析】解对数不等式和一元二次不等式可分别求得集合A、B，根据交集定义可得结果.
【详解】因为，
，
所以.
故答案为：.
2．
【分析】根据复数的运算结合共轭复数的概念求解.
【详解】由题意可得：，
所以复数的共轭复数为.
故答案为：.
3．5
【分析】由等差数列的性质可得.
【详解】因为是等差数列，所以，
则有，解得.
故答案为：.
4．240
【分析】利用二项式定理，求出通项公式进行求解.
【详解】展开式的通项公式为：，令，解得：，则.
故答案为：240
5．
【分析】根据正态分布的对称性求解.
【详解】，则，
所以由得，，
，．
故答案为：．
6．1
【分析】由已知可得，，从而得，可解.
【详解】由函数为奇函数，为偶函数，
则，为偶函数，
所以得图象关于对称，且关于对称，
即，，
则，
所以，即函数的周期为4，
则.
故答案为：1.
7．
【分析】首先分三种情况讨论求出所有的安排方法数，再求出满足条件的安排方法，最后由古典概型的概率公式计算可得.
【详解】将指定的6名学生随机分配到3个不同的校办公室打扫卫生，要求每个办公室至少分配1人，
则有①：两个办公室安排人，另外一个办公室安排人，则有种安排方法；
②三个办公室安排的人数为、、，则有种安排方法；
③三个办公室均安排人，则有种安排方法；
综上可得一共有种安排方法.
其中甲、乙两人（仅有两人）打扫同一个办公室的有种安排方法，
所以恰好甲、乙（仅有两人）打扫同一个办公室的概率.
故答案为：
8．
【分析】先求出两圆的公共弦所在的直线方程，然后求出其中一个圆心到该直线的距离，再根据弦长、半径以及弦心距三者之间的关系求得答案.
【详解】将和两式相减：
得过两点的直线方程： ，
则圆心到的距离为，
所以 ，
故答案为：
9．
【分析】利用函数的单调性脱去法则，再解不等式即得.
【详解】函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数，
不等式，则，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
10．
【分析】求出轴截面时所补成的等腰三角形的顶角的余弦值，则判断其为钝角，再计算出截面积的表达式，得到最值．
【详解】由题意作出轴截面，并将其补充成等腰三角形，

则，，，
因为，，
所以为三角形的中位线，则，
在中利用余弦定理得，，
因为，所以，
过圆台两条母线所作截面也为等腰梯形，并将其补成的等腰三角形，设其顶角为，
则，
因为，且，则当时，的最大值为．
故答案为：．
11．
【分析】由已知结合直线垂直的斜率关系和直线过的点根据直线的点斜式方程得出线段的垂直平分线的方程，即可联立两直线得出的中点坐标为，设，，分别代入双曲线方程后作差整理得出，再根据线段中点与端点坐标关系与两点的斜率公式得出，，，即可得出，在根据双曲线离心率公式变形后代入即可得出答案.
【详解】直线与线段的垂直平分线垂直，
则线段的垂直平分线的斜率为，
线段的垂直平分线过点
线段的垂直平分线为：，即，
联立，解得：
即的中点坐标为，
设，，则，两式作差可得，
的中点坐标为，的斜率为1，
，，，
则，
所以双曲线C的离心率．
故答案为：.
12．4
【分析】利用向量运算化简变形，设，将向量等式转化为两动点轨迹为均为球面，再利用球心距求两球面上任意两点间距离最大值即可.
【详解】已知正三棱锥，则，且，
由化简得，
由化简得.
设，代入，，
分别化简得，且，
故点在以为直径的球面上，半径；
点在以为直径的球面上，半径
分别取线段、的中点、，
则，
故.
故答案为：4
【点睛】将向量的代数关系转化为动态的几何表达，借助几何意义求解动点间的距离最值是解决本类题型的关键所在.
13．C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可.
【详解】若，则两直线方程分别为和，
满足两直线平行，即充分性成立，
若，
当时，两直线分别为和，
此时两直线不平行，不满足条件.
当时，若两直线平行则，
由得，即，
所以或，
当时，，不满足条件.
则，即，
则“”是“”的充要条件，
故选：C
14．B
【分析】根据对数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】由，
因为，，所以，即，
所以，
当且仅当时取等号，即时取等号，
故选：B
15．B
【分析】根据图象是否是线性增长，指数函数的图象与性质，对数函数的性质判断ACD，再由选项B中函数的性质判断后可得．
【详解】对于A，由散点图知身高随时间变化不是线性增长，故A错误；
对于C，指数函数模型中随增长越来越快，与图象不符合，故C错误；
对于D，对数函数模型在时没有意义，故D错误；
对于B：在定义域上单调递增，且增长速度越来越慢，
符合散点图中随增长越来越慢，且在时有意义，故B正确．
故选：B．
16．D
【分析】先得到，从而得到，利用等差数列的性质和公式求出答案.
【详解】令，定义域为R，
且
，
故为奇函数，
即，，
又，
所以，即，
故选：D
17．(1)或
(2)
【分析】（1）根据题意得方程，然后通过的范围解方程即可；
（2）代入，然后利用三角公式化简，再将方程有解问题转化为函数值域问题，利用正弦函数的性质求值域即可.
【详解】（1）由已知，
又，所以，
所以或，
所以或，
即在上的解为或；
（2）由已知
，
则在时有解，即在时有解，
因为，所以，
所以，
所以.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交与点，根据题意证得且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；
（2）取的中点，证得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：连接交与点，连接，可得平面与平面的交线为，
因为平面，平面，所以，
又因为为的中点，所以点为的中点，
取的中点，连接，可得且，
又因为为的中点，可得且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，且平面，所以平面．
（2）解：取的中点，连结，
因为，可得，且，
又因为，且，
所以，所以，
又因为，且平面，所以平面，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，
因为为的中点，为的中点，可得，
则，
设是平面的法向量，则，
取，可得，所以，
设是平面的法向量，则，
取，可得，所以；
设平面与平面的夹角为，则，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
19．(1)平均值9.05，众数2.5
(2)；
(3)，
【分析】（1）根据频率分布直方图的信息和平均值计算的规定列式计算即得，众数可根据定义从图中直接读取；
（2）先由图中信息求得每个红包抢到10元以上金额的概率，因3次抢红包相互独立，且每次抢只有抢到10元以上或以下两种情况，故满足独立重复试验模型，运用其概率公式计算即得；
（3）由题意分析得到与的递推式，再根据其特征构造等比数列，求得的表达式；再设为第轮发红包时群主抢到“手气最佳”的次数，分析知服从两点分布，由此求得，因前轮中群主发红包的次数为，则，于是求即是求数列的前项和，计算即得.
【详解】（1）由频率分布直方图可得,红包金额的平均值为:
；
众数为最高矩形的中点坐标，即为2.5；
（2）由题可知，每个红包抢到10元以上金额的概率为，且3次红包相互独立，
由独立重复试验概率公式，至少两次抢到10元以上金额的概率为；
（3）由题意，，，
由，又，
∴是以为首项，为公比的等比数列，∴.
∴
设为第轮发红包时群主抢到“手气最佳”的次数，
故服从两点分布：，.，
∴.
由已知，则
【点睛】关键点点睛：解决此类题目的关键在于弄清随机变量的特征、要求，判断其属于哪种分布，才能运用公式推导计算；其次，对于常见的递推公式，如，要掌握构造等比数列的方法过程，才能运用相关通项公式和求和公式解决问题.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据焦距和求出椭圆方程和，从而得到，求出准线方程；
（2）先得到，和直线方程，分别联立后，得到相应的弦长，从而分两向量方向相同和相反求出答案；
（3）由三点共线得到和，从而表达出，得到，换元后得到，结合二次函数图象性质求出最小值，得到方程，求出，进一步求出点的坐标.
【详解】（1）由题意得，故，则，解得，
故椭圆：，
因为在第一象限，，所以，
所以，将其代入中，即，解得，
故的准线方程为；
（2）由题意得，解得，
故，，
直线的方程为，联立得，，
设，则，，
故，
联立与得，，
设，则，，
故，
若方向相同，，
若方向相反，，
所以；
（3）由，，三点共线，可得
，故，
同理，由，，三点共线，可得
，
则
，
因为，所以，
所以，
又，
故，
因为，令，
则，
所以，
其中，
因为，所以的开口向下，
对称轴为，
其中，
故当时，取得最大值，
最大值为，
故的最小值为，
令，解得，负值舍去，
故，解得，
，
又，故，
则点的坐标为.
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
21．(1)证明见解析
(2)存在指数函数满足条件，理由见解析
(3)3
【分析】（1）计算，得到证明；
（2）计算切线方程，令得，即，满足条件.
（3）举例说明时成立，考虑时，确定不可能所有项均为正数或均为负数，的前三项即为中最小的三项，确定，考虑，两种情况，根据等比数列性质得到，整理得到，，，验证不成立，得到答案.
【详解】（1），故不是等比数列.
（2）在处的切线方程为，
令得，因此，欲使满足条件，只需使，
令，则，满足条件， 故存在指数函数满足条件．
（3）取，则成等比数列，故满足条件．
考虑，
首先，不可能所有项均为正数或均为负数，
否则，对应的等比数列的公比为正，等比数列严格增或严格减，
从而即为等比数列，不可能．
其次，因为是等比数列，所以也是等比数列，不妨设严格增，
则的前三项即为中最小的三项，
则一定对应于中的连续三项，
不妨设，则．
①若，则，则成等比数列，不可能；
②若，则，则成等比数列，
，即，得，，，
而除了这三项外，最小值为或，
但和均无法与构成等比数列，因此不符合条件．
综上所述：所有可能的的值是3．
【点睛】关键点睛：本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据特殊例子确定满足条件，再考虑时不成立，是解题的关键.