决战2024高考押题卷 数学（北京卷03）

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2024年高考押题预测卷03【北京卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．在等差数列中，，，则=（ ）
A．2022B．2023C．4043D．4044
3．已知双曲线的离心率为，则双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．2
4．若的展开式中x的系数为13，则的系数为（ ）．
A．31B．40C．31或40D．不确定
5．若向量，，则点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．2021年11月24日，贵阳市修文县发生了4.6级地震，所幸的是没有人员伤亡和较大财产损失，在抗震分析中，某结构工程师提出：由于实测地震记录的缺乏，且考虑到强震记录数量的有限性和地震动的不可重复性，在抗震分析中还需要人工合成符合某些指定统计特征的非平稳地震波时程，其中地震动时程强度包络函数，（单位：秒）分别为控制强震平稳段的首末时刻；（单位：秒）表示地震动总持时；是衰减因子，控制下降段衰减的快慢．在一次抗震分析中，地震动总持时是20秒，控制强震平稳段的首末时刻分别是5秒和10秒，衰减因子是0.2，则当秒时，地震动时程强度包络函数值是（ ）
A．B．1C．9D．
7．已知直线与圆相交于，两点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．下列命题中，真命题是（ ）
A．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为.
B．，且，则
C．“”的一个充分不必要条件是“，”
D．“”的必要不充分条件是“”
9．已知三棱锥满足，．则其外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
10．已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，给出下列四个结论：
①的第2项小于3；②为等比数列；③为递减数列；④中存在小于的项
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11．设，若复数(是虚数单位)的实部为，则 ．
12．已知，且，则 .
13．若抛物线的焦点到直线的距离为1，则实数的值为 ．
14．已知 ，则 ．
15．若数列满足：，则定义数列为函数的“切线——零点数列”．已知，数列为函数的“切线——零底数列”，，若数列满足，则数列的前n项和 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．
16．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点．
(1)求证：平面平面PAD；
(2)若G为PD的中点，，是否存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
17．已知函数，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间．
18．踢毽子在我国流传很广，有着悠久的历史，是一项传统民间体育活动.某次体育课上，甲、乙、1丙、丁四人一起踢毽子.毽子在四人中传递，先从甲开始，甲传给乙、丙、丁的概率均为；当乙接到毽子时，乙传给甲、丙、丁的概率分别为，，；当丙接到毽子时，丙传给甲、乙、丁的概率分别为，，；当丁接到毽子时，丁传给甲、乙、丙的概率分别为，，.假设毽子一直没有掉地上，经过次传毽子后，毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分别为，，，，已知.
(1)记丁在前2次传毽子中，接到毽子的次数为，求的分布列；
(2)证明为等比数列，并判断经过150次传毽子后甲接到毽子的概率与的大小.
19．已知椭圆：的左焦点为，点，三等分椭圆的短轴，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作与轴不垂直的直线与椭圆交于点，，椭圆上是否存在点，使得恒有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
20．已知函数，.
（Ⅰ）求证：曲线与在处的切线重合；
（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
21．记，，存在正整数n，且.若集合满足，则称集合A为“谐调集”.
(1)分别判断集合、集合是否为“谐调集”；
(2)已知实数x、y，若集合为“谐调集”，是否存在实数z满足，并且使得为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z，若不存在，请说明理由；
(3)若有限集M为“谐调集”，且集合M中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合M.
参考答案：
1．D
【分析】根据并集的运算可得答案．
【详解】因为，，
所以.
故选：D
2．C
【分析】由等差数列的通项公式代入方程组可求得首项和公差，代入求解即可.
【详解】∵为等差数列，
∴
∴，
∴
故选：C.
3．B
【分析】根据双曲线离心率的公式，结合双曲线的渐近线方程、点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】由离心率，解出；
由，所以渐近线方程为，焦点坐标为．
所以焦点到渐近线的距离为．
故选：B
4．C
【分析】分别求解与中x的系数再求和等于13以及即可得的值，再求解的系数即可.
【详解】由题可知，，即，又，故或.
当时，，则的系数为；
当时，，则的系数为.
故的系数为31或40.
故选：C
【点睛】本题主要考查了二项式的展开式求系数的问题，需要根据题意确定两项中各自的系数再求和即可.属于中档题.
5．B
【分析】根据向量的坐标运算得到，得到答案.
【详解】，故.
故选：.
【点睛】本题考查了向量的坐标运算，意在考查学生的计算能力.
6．A
【分析】由题可得当时，，即得.
【详解】由题可知，，，
∴当时，，
∴当秒时，地震动时程强度包络函数值是.
故选：A.
7．C
【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，利用弦长公式求解即可.
【详解】因为直线方程为：，整理得，
故该直线恒过定点，又，
故点在圆内，
又圆的圆心为
则，此时直线过圆心；
当直线与直线垂直时，取得最小值，
此时.
故的取值范围为.
故选：.
8．C
【分析】分与讨论，即可判断A，当时，即可判断B，由命题的充分性以及必要性，即可判断CD.
【详解】对A，当时，即时，原不等式变为，显然成立，符合题意；
当时，即，因为对于任意实数x，不等式
恒成立，
则，
解得；
综上可得，故A错误；
对B，当时，，则，
当且仅当时，即时，取等号，故B错误；
对C，因为可以推出，故充分性满足，
由推不出，比如，故必要性不满足；
所以“”的一个充分不必要条件是“，”，故C正确；
对D，由不能推出，比如，
反之，由可以推出，
所以“”的充分不必要条件是“”，故D错误；、
故选：C
9．C
【分析】利用正弦定理求得外接圆半径，根据三棱锥图像，分别表示出，，然后利用勾股定理，解得，进而利用球体的体积公式即可得出答案.
【详解】在中，，，
根据三角形的外接圆半径公式，
可得的外接圆半径，
如图所示．
设点在平面内的投影的为，则，
在中，
因为，解得，
设三棱锥的外接球半径，
即，，
在中，由勾股定理得，
即，解得，
故三棱锥的外接球半径，
根据球体的体积公式.
故选：C
10．C
【分析】令求出，进而令，求出，①正确；
假设为等比数列，得到，代入验证，故②错误；
逻辑分析及反证可得，③④正确.
【详解】当时，，
因为数列的各项均为正数，所以，
当时，，
由数列的各项均为正数，解得：，①正确；
若为等比数列，则，解得：，
将代入，
故不是等比数列，②错误；
因为数列的各项均为正数，故必单调递增，而，
所以单调递减，③正确；
假设的所有项大于等于，取，则，，
则与已知矛盾，故④正确.
故选：C
11．2
【分析】直接利用复数除法的运算法则，化简复数，根据实部的定义即可得结果.
【详解】因为，复数的实部为，
，解得.
故答案为:.
12．
【分析】利用同角三角函数的基本关系式及角所在的象限求出正弦函数值，求解即可．
【详解】∵第四象限角，，∴，
故答案为.
【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．
13．
【分析】先求得抛物线的焦点为，根据题意，列出方程，即可求解.
【详解】由抛物线可化为，可得其焦点为，
因为抛物线的焦点到直线的距离为，可得，
解得或（舍去），故实数的值为．
故答案为：.
14．
【分析】换元令,进而得函数解析式，再求解函数值即可..
【详解】解：令，则,
故,即
所以
故答案为：
15．
【分析】由已知得，则有，可得数列为等比数列，求和即可.
【详解】，则，
依题意可知，
所以，
故，即，
且，所以（常数），
故是以为首项，以2为公比的等比数列，
所以．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用导数求出数列的递推公式后，关键点是由，研究数列的性质，从而得到数列的性质.
16．(1)证明见解析
(2)存在；或
【分析】（1）根据底面菱形的特点得到，再由线面垂直得到，平面，进而得到面面垂直；
（2）建立空间坐标系得到线面角的表达式，求解即可.
【详解】（1）证明：连接，
因为底面为菱形，，
所以是正三角形，
是的中点，
，
又，
平面，平面，
又平面，
又平面，
所以平面平面．
（2）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以为坐标原点，直线AE，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，
所以，，．
设平面的法向量，则即
令，得平面的一个法向量．
设与平面所成的角为，则
，
解得或，
即存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且或．
17．（Ⅰ）；（Ⅱ），
【分析】（Ⅰ）因为，直接令，即可求得的值；
（Ⅱ）由正弦函数的和差公式化简得，再由诱导公式得，由三角函数的周期公式即可求得函数的最小正周期，令，即可得函数的单调递增区间．
【详解】（Ⅰ）因为，
所以，
．
（Ⅱ）因为，
所以
，
所以周期 ．
令，
解得：，
所以的单调递增区间为：
18．(1)分布列见解析
(2)证明见解析，经过150次传毽子后甲接到毽子的概率大于
【分析】（1）根据相互独立事件概率计算求得的分布列.
（2）利用凑配法证得是等比数列，从而求得，进而判断出
【详解】（1）的所有可能取值为0，1，
，
，
所以的分布列为
（2）当时，.
当时，，，，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
因为，，所以，所以.
所以是首项为，公比的等比数列，
所以，即，
所以，
故经过150次传毽子后甲接到毽子的概率大于.
19．（1）；（2）存在点.
【分析】（1）由，三等分椭圆的短轴，解得，由，推出，解得，，解得，进而写出椭圆的方程．
（2）设，，，，直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，消去得关于的一元二次方程，由韦达定理可得，，设，，则用坐标表示，化简得，满足，解得，，进而解出答案．
【详解】（1）由点，三等分椭圆的短轴，得，
由，得，
即，
又，
所以椭圆的方程为．
（2）设，，，，直线的方程为，
由，整理得，
所以，，
△，
设，，则，，，，
，
，
首先满足，即，
当时，，且点在椭圆上，
所以椭圆上存在点，使得恒有．
【点睛】方法点睛：解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.
20．（Ⅰ）见证明（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）分别对两函数求导，求出两函数在处切线的斜率，再利用点斜式求出切线的直线方程，就可以证明曲线与在处的切线重合；
（Ⅱ）方法1：构造 对求导得到，对进行分类讨论，利用函数的单调性，综合分析，最后求出实数的取值范围．
方法2：可得（），构造新函数
设，求导，对进行分类讨论，利用函数的单调性，综合分析，最后求出实数的取值范围．
【详解】证明:(Ⅰ)
在处的切线方程为
在处的切线方程为
所以切线重合.
（Ⅱ）（方法1）：令
①当时，，当且仅当时取“”，
在递减，，不恒成立.
②当时，，
（i）当时，时，，递减，
，在递减，
，不恒成立.
（ii）当时，，在递增，
，在递增，
，恒成立.
综上，.
（Ⅱ）（方法2）：
，
（），
设，
，，在递减， ，与已知矛盾
，
①，， 在递增，满足题意
②当时， ，，在递减，，
不满足题意
综上，
【点睛】本题考查了求曲线切线方程．重点考查了应用构造新函数，利用导数来求解不等式恒成立问题．
21．(1)E不是，F是
(2)不存在，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据新定义计算即可判断；
（2）若存在符合题意的实数z，根据题意可得，求解后，检验，进而可判断；
（3）不妨设A中所有元素满足，从而可得，进而可得，再分、、三种情况求解即可.
【详解】（1）因为，所以E不是“谐调集”，
因为，所以F是“谐调集”；
（2）若存在符合题意的实数z，则，
所以，即，解得或或，
当时，则，，不符合题意；
当时，，，
由此，x、y是方程的实数解.
但，方程无实数解，所以不符合题意；
当时，同理，可得不符合题意，
综上，不存在符合题意的实数z；
（3）不妨设A中所有元素满足，
则，
于是，，
即，
当时，则，∴，但无解，所以不存在符合题意的“谐调集”，
当时，则，∴，，，∴，
当时，∵，，，均为正整数，∴，，，.
∴，
又，∴，即，
但当时，，矛盾.
所以不存在符合题意的“谐调集”
综上，符合题意的“谐调集”为.
【点睛】关键点睛：
本题第三问关键是能够由，结合正整数的特点得到，再分、、三种情况求解.
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