精品解析：北京东城区2022届高三一模数学试题（原卷版）

这是一份精品解析：北京东城区2022届高三一模数学试题（原卷版），共6页。
数学
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列函数中，定义域与值域均为R的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知复数满足，则的虚部为（ ）
A. 2B. －2C. 1D. －1
4. 已知数列的前项和，则是（ ）
A. 公差为2的等差数列B. 公差为3的等差数列
C. 公比为2的等比数列D. 公比为3的等比数列
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知正方体棱长为1，为上一点，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首.北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，则这3个节气中含有“立春”的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知、，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
10. 李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过天后，用户人数，其中为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（ ）（本题取）
A. 31B. 32C. 33D. 34
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在的展开式中，常数项为________.（用数字作答）
12. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格上小正方形的边长为1，则________.
13. 已知抛物线过点，则________；若点，在上，为的焦点，且，，成等比数列，则________.
14. 已知函数若，则不等式的解集为________；若恰有两个零点，则的取值范围为________.
15. 某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图1所示，线段表示角楼的高，，，为三个可供选择的测量点，点，在同一水平面内，与水平面垂直.现设计能计算出角楼高度的测量方案，从以下六组几何量中选择三组进行测量，则可以选择的几何量的编号为________.（只需写出一种方案）
①，两点间的距离；
②，两点间的距离；
③由点观察点的仰角；
④由点观察点的仰角；
⑤和；
⑥和.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．
（1）求的解析式；
（2）设，求函数在上的单调递增区间.
条件①：；
条件②：为偶函数；
条件③：的最大值为1；
条件④：图象相邻两条对称轴之间的距离为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17. 如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.
18. 根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例（精确到0.01）如下表所示：
（1）已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占比例约为85%，从全市常住人口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率；
（2）从Z市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别记为0年、6年、9年、12年、16年，设Z市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为年和年，依据表中的数据直接写出与的大小关系.（结论不要求证明）
19. 已知函数．
（1）若曲线在点处切线斜率为，求的值；
（2）若在上有最大值，求的取值范围.
20. 已知椭圆的离心率为，焦距为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于，两点.是否存在常数，使得直线与直线的交点在，之间，且总有？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
21. 设数列.如果，且当时，，则称数列A具有性质.对于具有性质的数列A，定义数列，其中.
（1）对，写出所有具有性质的数列A；
（2）对数列，其中，证明：存在具有性质的数列A，使得与为同一个数列；
（3）对具有性质的数列A，若且数列满足，证明：这样的数列A有偶数个.受教育程度
性别
未上学
小学
初中
高中
大学
专科
大学
本科
硕士
研究生
博士
研究生
男
0.00
0.03
0.14
0.11
0.07
0.11
0.03
0.01
女
001
0.04
0.11
0.11
0.08
0.12
003
0.00
合计
0.01
0.07
0.25
0.22
0.15
0.23
0.06
0.01