广东省高州市2023-2024学年高一下学期5月质量监测数学试题

这是一份广东省高州市2023-2024学年高一下学期5月质量监测数学试题，共11页。试卷主要包含了本卷主要考查内容等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册第六章～第八章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数与的图象（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称
2．设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，满足，，，则（ ）
A．B．C．8D．40
4．已知，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．已知一个正棱台（正棱台的两底而是两个相似正多边形，侧而是全等的等腰梯形）的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为，则该棱台的表面积为（ ）
A．72B．82C．92D．112
6．如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得，，CD＝37.9米，在点C处测得塔顶A的仰角为，则该铁塔的高度约为（ ）（参考数据：，，，）
A．40米B．14米C．48米D．52米
7．已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为奇函数
8．已知中，，，若最短边的长度为，则最长边的长度是（ ）
A．3B．8C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，在4×4方格中，向量，，的起点和终点均为小正方形的顶点，则（ ）
A．B．
C．D．
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题中正确的有（ ）
A．若，则B．若，则A＝B
C．若，且，，则
D．若A＜B，则
11．在正方体中，，点P在线段上运动，点Q在线段上运动，则下列说法中正确的有（ ）
A．当P为中点时，三棱锥的外接球半径为
B．线段PQ长度的最小值为2
C．三棱锥的体积为定值
D．平面BPQ截该正方体所得截面可能为三角形、四边形、五边形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．命题“，”的否定为______．
13．已知，，则______．
14．如图，已知，在平面内，OA是平面的斜线，且OA＝2，OB＝OC＝1，，则直线OA与平面所成的角的大小为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知复数 （i是虚数单位）．
（1）求复数z的共轭复数和模；
（2）若．求a，b的值．
16．（本小题满分15分）
如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，F是CD上靠近点C的三等分点．
（1）设，求的值；
（2）若AB＝3，BC＝2，求的值．
17．（本小题满分15分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求的值；
（2）已知，△ABC的面积为，求a的值．
18．（本小题满分17分）
已知函数．
（1）若的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若，使得在区间上单调递增，且值域为，求a的取值范围．
19．（本小题满分17分）
如图，在三棱锥D－ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF＝3FC．
（1）求证：平面ACD⊥平面DEF；
（2）求三棱锥A－BDF的体积；
（3）若M为DB的中点，是否存在N在棱AC上，，且平面DEF?若存在，求的值并说明理由；若不存在，给出证明．
高州市2023~2024学年第二学年高一阶段性教学质量监测试卷
数学参考答案、提示及评分细则
1．C 由指数函数的图象可知，函数与的图象关于原点对称，故选C．
2．B ，，，故选B．
3．B 因为向量，满足，，，
所以，
则，故选B．
4．A ．当且仅当，即x＝1时，等号成立．故选A．
5．C 棱台的侧面是等腰梯形，高，
所以一个侧面积，
所以该棱台的表面积10×4＋4×4＋6×6＝92．故选C．
6．C 在△CDB中，由题意可得，
则，
，
由正弦定理可得．
在中，可得，
所以该铁塔的高度约为48米．故选C．
7．C 令x＝y＝1，则，故，A选项错误；
令x＝y＝－1，则，故，B选项错误；
令，则，故为偶函数，C选项正确；
因为为偶函数，又函数是定义在上不恒为零的函数，D选项错误．故选C．
8．C 由题意，△ABC中，由，
故A，B为锐角，，，，
又，解得，
，解得，
且
由于，结合正弦定理可得
又，
代入可得：．故选C．
9．BCD 设每个方格的边长为1，则，，，，
，A选项错误；
，B选项正确；
，，所以C选项正确；
，，，所以D选项正确．故选BCD．
10．ABD 设R为三角形外接圆的半径．
在中，若a＞b，则，，从而故A正确；
若，则，故a＝b，所以A＝B，故B正确；
当，时，A＞B成立，
但，，故C错误；
若A＜B，故a＜b，故，
故，从而，即，，
所以，故D正确．故选ABD．
11．ABC 当P为中点时，三棱锥P－ABB1的外接球的球心在中点，故A正确；
线段PQ长度的最小值为AB，故B正确；
因为与平行，故点P到平面的距离不变，故C正确；
平面BPQ截该正方体所得截面不可能为五边形，故D错误．故选ABC．
12．， 命题“，”的否定为“，”．
13． 由，有，有，可得．
14． 取线段BC的中点D，连接AD，OD，并延长OD，作AE⊥OE，如图，
因，OA＝2，OB＝OC＝1，，则由余弦定理得AB＝AC＝，
∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，，
而，即，因此，，
∵，，∴，
又∵，∴
是直线OA与平面所成的角，，
∵线面角的范围为，∴，
所以直线OA与平面所成的角的大小为．
15．解：（1），
所以z的共轭复数，
；
（2）因为，
即，
也即，所以．
16．解：（1）∵，
∴，，∴；
（2）由（1）知：，
∵，
∴
．
17．解：（1）由已知及正弦定理有：，
有，
利用，有．
再利用正弦定理有：bc＝2ac，可得b＝2a，
由上知的值为2；
（2）由余弦定理有：，
又由，有，
又由，有，
整理为，因式分解为，
解得a＝1或，
故a＝1或．
18．解：（1）依题意，因为的定义域为R，因此恒成立，
即恒成立，
而，
从而；
（2）由在上单调递增，则，
即，即
令，，则
因为在上单调递增，
故在上单调递增，因而且，
因此在上有两个不等的正实数根，
则有．解得．
综上所述，实数a的取值范围为．
19．（1）证明：取AC的中点H，连接BH，
因为AB＝BC，可得BH⊥AC，
又因为AF＝3FC，可得F为CH的中点，因为E为BC的中点，所以，
则EF⊥AC，又因为是正三角形，所以DE⊥BC，
因为AB⊥平面BCD，平面BCD，所以AB⊥DE，
又因为，平面ABC，所以DE⊥平面ABC，
又平面ABC，所以DE⊥AC，
因为且平面DEF，所以AC⊥平面DEF，
平面ACD，所以平面ACD⊥平面DEF；
（2）解：∵AB⊥平面BCD，是正三角形，E为BC的中点，
∴平面BCD⊥平面ABC，DE⊥BC，DE⊥平面ABC，
又∵AF＝3CF，；
（3）存在这样的点N，当时，平面DEF，
当时，即，连接CM，设，连接OF，
由条件知O为的重心，所以，所以当时，，
因为平面DEF，平面DEF，所以平面DEF，
即时，平面DEF．