江苏省扬州中学2024届高三下学期全真模拟数学试卷

这是一份江苏省扬州中学2024届高三下学期全真模拟数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．设，在复平面内所对应的点关于虚轴对称，若，则（ ）
A．B．8C．D．10
2．已知单位向量，满足，则与的夹角等于（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
3．6人站成一排，其中甲、乙两人中间恰有1人的站法有（ ）
A．96种B．144种C．192种D．240种
4．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．6D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．记等比数列的前n项之积为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．过双曲线C：的右焦点F作与其中一条渐近线垂直的直线l，l分别与两条渐近线交于A，B两点，若，则该双曲线的焦距为（ ）
A．2B．3C．D．4
8．在一次数学模考中，从甲、乙两个班各自抽出10人的成绩，甲班的10人成绩分别为，，…，，乙班的10人成绩分别为，，…，．若这两组数据的中位数相同、方差也相同，则把这20个数据合并后（ ）
A．中位数一定不变，方差可能变大B．中位数可能改变，方差可能变大
C．中位数一定不变，方差可能变小D．中位数可能改变，方差可能变小
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．函数（，）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．的图象关于直线对称
D．若方程在上有且只有5个根，则
10．将正数x用科学记数法表示为，，，则把n，分别叫做的首数和尾数，分别记为，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，m，，则
B．若，，m，，则
C．若，，m，，则
D．若，，m，，则
11．在四棱锥P−ABCD中，，正方形ABCD的边长为2，平面ABCD，则下列选项正确的是（ ）
A．该四棱锥的外接球表面积为
B．若点E为PA的中点，则平面PDC
C．若点Q在△PDC内（含边界），且，则BQ长度的最大值为
D．若点M在正方形ABCD内（不含边界），且，则四棱锥P−AMCD的体积的最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知，函数是奇函数，则 ．
13．已知圆C与两坐标轴及直线都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为 ．
14．记，，表示k个元素的有限集，表示非空数集E中所有元素的和，若集合，则；若，则m的最小值为 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
15．（13分）
记△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）证明：；
（2）若，求．
16.（15分）
某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为．
（1）若学生甲摸球2次，其总得分记为X，求随机变量X的分布列与期望；
（2）学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率．
17.（15分）
如图，在五面体ABCDEF中，，，，平面ABCD，平面平面ABCD，二面角A-DC-F的大小为60°．
（1）求证：四边形ABCD是梯形；
（2）点P在线段AB上，且，求二面角P-FC-B的余弦值．
18.（17分）
已知椭圆E：（）的焦距为，直线：与E在第一象限的交点P的横坐标为3．
（1）求E的方程；
（2）设直线：与椭圆E相交于两点M，N，试探究直线PM与直线PN能否关于直线对称．若能对称，求此时直线的斜率；若不能对称，请说明理由．
19．（17分）
帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．
注：，，，，…
已知在处的阶帕德近似为．
（1）求实数a，b的值；
（2）当时，试比较与的大小，并证明；
（3）已知正项数列满足：，，求证：．
江苏省扬州中学⾼三年级全真模拟试卷
数学参考答案
1．C2．B3．C4．D5．A6．D7.B8．A
【8详解】不妨设，，
则、、…、的中位数为，、、…、的中位数为，
因为，所以或，
则合并后的数据中位数是或者，所以中位数不变.
设第一组数据的方差为，平均数为，第二组数据的方差为，平均数为，合并后平均数为，方差为，.
9．ABD
【提示】，，．
10．AC11．ACD12．013．
14．21
【14详解】当，时，，表示3个元素的有限集，
由可知：或或或，
故；
由题，，由，
即，解得或（舍去），
由，故m的最⼩值为21.
15．【详解】
（1）因为，
又．
所以，
又．
所以．
所以．
所以，
又，
所以．
（2）因为．
所以，
所以．
所以，
所以．
16.【详解】
（1）由题意知学⽣甲摸球2次总得分X的取值为2，3，4，
则，，，
所以X的分布列为：
所以．
（2）记“甲最终得分为m分”，，9，10；“乙获得奖励”．
，．
当甲最终得9分时，乙获得奖励需要最终得10分，则；
当甲最终得8分时，乙获得奖励需要最终得10分或9分，则；
故
．
即乙获得奖励的概率为．
17.【详解】
（1）在五面体ABCDEF中，平面ABCD，面CDEF，
面面，所以
同理可证，
所以且；
所以四边形ABCD是梯形.
（2）取AD中点O，BC中点M，连接OE，OM.
因为面面ABCD，交线为AD，面ABCD，，
所以面ADE，所以，
所以∠ADE是二面角A-DC-F的平面角.
即，又，
所以△ADE为正三角形，
以O为原点，以，，分别为x，y，z轴
建立空间直角坐标系O-xyz，设，
则，，，
，，，
，，.
设面BCF的一个法向量为，
由，，得，
取，得，，
所以
设面PCF的一个法向量为，
由，，得，
取，得，，所以
所以
所以二面角P-FC-B的平面角的余弦值为.
18.【⼩问1详解】
由已知，，所以．
而在E上，所以．
于是，．则，
故椭圆E的方程为．
【⼩问2详解】
可知，将代⼊得．
由，有．
设，，易知．
则，．
因为直线PM与直线PN关于直线对称，
则直线PM与PN存在斜率，且斜率互为相反数．
所以，
即，
即，
所以，
则，
即，所以或．
当时，MN的方程为，经过P点，与题意不符，故舍去．
故直线PM与直线PN能够关于直线对称，此时直线的斜率为，
同时应有．
19．【详解】
（1）由题意得，，
，故，，
解得，.
（2）由上可得，要比较与的⼤⼩，
，只需比较1与的⼤⼩，
令，，
所以，从而可得在上单调递增，
所以，即，
所以.
（3）设，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故，即，当且仅当时等号成立；
由题意知
，令，，
故该函数在上递减，
故可得，即，可得；
一方面：由（2）可得，
又因为，
所以可得，即，即，
即，
故，
即，所以.
另一方面：，
令，，
所以在单调递增，
所以，得证.
X
2
3
4
P