2024年安徽省蚌埠市高考数学第三次质检试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年安徽省蚌埠市高考数学第三次质检试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={1,3,5,7,9}，B={3,6,9,12}，则A∩B=( )
A. {3,9}B. {1,3,5,6,7,9,12}
C. {1,5,7}D. {6,12}
2.已知平面向量a=(1,m),b=(−2,4)，且a//b，则m=( )
A. 2B. 12C. −12D. −2
3.已知曲线C：x24+y2m=1(m≠0)，则“m∈(0,4)”是“曲线C的焦点在x轴上”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知a=acsB+bcsA=1，sinC= 22，则( )
A. b=1B. b= 2C. c= 2D. c= 3
5.记数列{an}的前n项和为Sn，若{Snn}是等差数列，S2=−8，S6=0，则a3+a4=( )
A. −8B. −4C. 0D. 4
6.(1−x+x2)2⋅(1+x)3的展开式中，x4的系数为( )
A. 1B. 2C. 4D. 5
7.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且i=14pi=1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是( )
A. p1=0.1，p2=0.2，p3=0.3，p4=0.4
B. p1=0.4，p2=0.3，p3=0.2，p4=0.1
C. p1=p4=0.1，p2=p3=0.4
D. p1=p4=0.4，p2=p3=0.1
8.已知抛物线C：y2=4x，过其焦点F的直线交C于A，B两点，M为AB中点，过M作准线的垂线，垂足为N，若|AF|=4，则|NF|=( )
A. 43B. 4 33C. 83D. 8 33
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)在区间(π6,π2)上单调递增，则ω的值可以是( )
A. 23B. 1C. 43D. 32
10.科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的.如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度θ0℃保持不变，则t分钟后物体的温度θ(单位： ℃)满足：θ=θ0+(θ1−θ0)e−0.05t.若空气温度为10℃，该物体温度从θ1℃(90⩽θ1⩽100)下降到30℃，大约所需的时间为t1，若该物体温度从70℃，50℃下降到30℃，大约所需的时间分别为t2，t3，则(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1)( )
A. t2=20B. 28≤t1≤30C. t1≥2t3D. t1−t2≤6
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱DD1上的动点(包括点D，D1)，已知MN=4，P为MN中点，则下列结论正确的是( )
A. 无论M，N在何位置，AP，CC1为异面直线
B. 若M是棱DD1中点，则点P的轨迹长度为 32π
C. M，N存在唯一的位置，使A1P//平面AB1C
D. AP与平面A1BCD1所成角的正弦最大值为12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)= 1−xlgx的定义域为______.
13.已知曲线C：x2+(y−m)2=2和C1：y=x+2，C2：y=|x|+2，若C与C1恰有一个公共点，则实数m=______；若 C与C2恰有两个公共点，则实数m的取值范围是______.
14.已知△ABC的角A，B，C满足tanAtanBtanC≤[tanA]+[tanB]+[tanC]，其中符号[x]表示不大于x的最大整数，若A≤B≤C，则tanC−tanB=______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点是A(−1,0)，一条渐近线的方程为y=x.
(1)求双曲线E的离心率；
(2)设直线y=12x−12与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长.
16.(本小题15分)
寒假期间小明每天坚持在“跑步3000米”和“跳绳2000个”中选择一项进行锻炼，在不下雪的时候，他跑步的概率为60%，跳绳的概率为40%，在下雪天，他跑步的概率为20%，跳绳的概率为80%.若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为50%，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为40%.已知寒假第一天不下雪，跑步3000米大约消耗能量330卡路里，跳绳2000个大约消耗能量220卡路里.记寒假第n天不下雪的概率为Pn.
(1)求p1，p2，p3的值，并证明{pn−611}是等比数列；
(2)求小明寒假第n天通过运动锻炼消耗能量的期望.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是以PD为底的等腰三角形，AB=PB=2PA=4，AC=2 7，E在PD上，AE⊥BD.
(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)求二面角P−BC−A的余弦值.
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=asinxx,a∈R.
(1)当a=1,x∈(0,π2)时，证明：tanx>x>xf(x)；
(2)若∀x∈(−π2,0)∪(0,π2),xtanx0)在区间(π6,π2)上单调递增，
A选项中，ω=23时，ωx−π6∈(−π18,−π12)单调递增，所以A正确；
B中，ω=1时，ωx−π6∈(0,π3)单调递增，所以B正确；
C中，ω=43时，ωx−π6∈(π18,π2)单调递增，所以C正确；
D中，ω=32时，ωx−π6∈(π12,7π12)不单调，所以D不正确．
故选：ABC.
分别由ω的值，可得ωx−π6的范围，由题意判断出所给命题的真假．
本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：有题意可知，θ=10+(θ1−10)e−0.05t，
当θ=30，则30=10+(θ1−10)e−0.05t1，
即e−0.05t1=20θ1−10,−0.05t1=ln20θ1−10，
则t1=20lnθ1−1020，
其是关于θ1的单调递增函数，
当θ1=70时，t2=20ln70−1020=20ln3≈22，故A错误；
当θ1=90时，t1=20ln90−1020=20ln4=40ln2≈28，
当θ1=100时，t1=20ln100−1020=20ln92=20(2ln3−ln2)≈30，则28≤t1≤30，故B正确；
当θ1=50时，t3=20ln50−1020=20ln2≈14，此时满足t1≥2t3，t1−t2≥6，故C正确，D错误．
故选：BC.
当θ=30时，可求得t1=20lnθ1−1020，继而求得t2，t3，逐项判定即可．
本题考查了指数式与对数式的互化，指数函数模型的应用，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：由于AP，AA1相交，而AA1//CC1，因此AP，CC1为异面直线，A正确，
当M是棱DD1中点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设P(x,y,z)，M(0,0,2)，A(4,0,0)，C(0,4,0)，C1(0,4,4)，B1(4,4,4)，
故N(2x,2y,2z−2)，0≤2x≤4，0≤2y≤4且2z−2=0，
由于MN=4，故(2x)2+(2y)2+(2z−2−2)2=16，
化简得x2+y2=3，由于0≤2x≤4，0≤2y≤4，
所以点P的轨迹长度为半径为 3的圆的14，故长度为 32π，B正确，
设M(0,0,a)，A1(4,0,4)，则N(2x,2y,2z−a)，0≤2x≤4，0≤2y≤4且2z−a=0，
A1P=(x−4,y,z−4)，AB1=(0,4,4)，AC=(−4,4,0)，设平面AB1C的法向量为m=(m,n,k)，
则AB1⋅m=4n+4k=0AC⋅m=−4m+4n=0，令m=1，则m=(1,1,−1)，
A1P⋅m=(x−4)+y−(z−4)=0，故x+y−z=0，
由于MN=4，故(2x)2+(2y)2+(2z−2a)2=16，
化简得x2+y2+z2=4，联立x+y−z=0x2+y2+z2=4⇒x2+y2+xy=2，故解不唯一，比如取x=0.y= 2，则或取y=0.x= 2，故C错；
由于A1D1⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，故A1D1⊥AB1，
又四边形ABB1A1为正方形，所以A1B⊥AB1，A1B∩A1D1=A1，
A1D1，A1B，A1D1⊂平面A1BCD1，所以AB1⊥平面A1BCD1，
故平面A1BCD1的法向量为AB1=(0,4,4)，
AP=(x−4,y,z)，
设AP与平面A1BCD1所成角为θ，
则sinθ=|cs|=|AP⋅AB1||AP||AB1|=y+z 2 (x−4)2+y2+z2，
则sin2θ=12y2+z2+2yz(x−4)2+y2+z2≤122(y2+z)2(x−4)2+y2+z2，当且仅当y=z时取等号，sin2θ≤y2+z2(x−4)2+y2+z2=4−x2(x−4)2+4−x2=4−x220−8x，
x∈[0,2]时，令20−8x=t>0，则x=20−t8，
故4−x220−8x=4−(20−t8)2t=−(144t+t)+4064，
由于144t+t≥2 144tt=24，当且仅当144t=t，即t=12时等号成立，此时x=1，
由x2+y2+z2=4且y=z可得y=z= 62，
因此sin2θ≤−(144t+t)+4064≤−24+4064=14，
由于θ∈[0,π2]，sinθ>0，
故sinθ的最大值为12，故D正确．
故选：ABD.
根据AP，AA1相交，而AA1//CC1即可判断A，建立空间直角坐标系，利用坐标运算可判断P的轨迹长度为半径为 3的圆的14，即可判断B，根据法向量与方向向量垂直即可判断C，根据线面角的向量法，结合基本不等式即可求解．
本题考查空间向量的应用，涉及与正方体相关的轨迹问题，属于中档题．
12.【答案】(0,1)
【解析】解：由题意可得，1−x≥0x>0x≠1，解得0sinx，记h(x)=x−sinx,x∈(0,π2)，
则h′(x)=1−csx>0，可知h(x)在(0,π2)上单调递增，
则h(x)>h(0)=0，即x>sinx,x∈(0,π2)；
综上，当a=1,x∈(0,π2)时，tanx>x>xf(x).
(2)由题意，可知xtanx0，所以x2csx−asin2x>x2csx−ax2=x2(csx−a)，
又因为0xcsx,x∈(0,π2)，
所以G(x)=2xcsx−x2sinx−2sinxcsx0，
由(1)可得x2>sinx2>0，则(x2)2>sin2x2>0，
所以G′(x)=−4sinx[(x2)2−sin2x2]