2024年广东省湛江市高考数学二模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年广东省湛江市高考数学二模试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|1<|x|<4}，B={x|x>−2}，则A∩B=( )
A. (1,4)B. (−1,0)∪(0,4)C. (−2,4)D. (−2,−1)∪(1,4)
2.如图，这是一件西周晚期的青铜器，其盛酒的部分可近似视为一个圆台(设上、下底面的半径分别为a厘米，b厘米，高为c厘米)，则该青铜器的容积约为(取π=3)( )
A. c(a2+ac+b2)立方厘米
B. c(a2−ac+b2)立方厘米
C. c(a2−ab+b2)立方厘米
D. c(a2+ab+b2)立方厘米
3.函数f(x)=4sin(5x−π6)在[0,π5]上的值域为( )
A. [−2,2]B. [−2,4]C. [−2 3,4]D. [−2 3,2]
4.若复数z=(2x+yi)(2x−4yi)(x,y∈R)的实部为4，则点(x,y)的轨迹是( )
A. 直径为2的圆B. 实轴长为2的双曲线C. 直径为1的圆D. 虚轴长为2的双曲线
5.已知(1−2x)9=a0+a1x+…+a9x9，则a0+i=29ai=( )
A. −2B. −19C. 15D. 17
6.当x>0，y>0时x+y2≥ xy，这个基本不等式可以推广为当x，y>0时，λx+μy≥xλyμ，其中λ+μ=1且λ>0，μ>0.考虑取等号的条件，进而可得当x≈y时，λx+μy≈xλyμ.用这个式子估计 10可以这样操作：1012×912≈12×10+12×9=192，则 10≈196≈3.167.用这样的方法，可得328的近似值为( )
A. 3.033B. 3.035C. 3.037D. 3.039
7.已知函数f(x)=|2x−1|−a，g(x)=x2−4|x|+2−a，则( )
A. 当g(x)有2个零点时，f(x)只有1个零点
B. 当g(x)有3个零点时，f(x)有2个零点
C. 当f(x)有2个零点时，g(x)有2个零点
D. 当f(x)有2个零点时，g(x)有4个零点
8.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，∠ABD=60∘，PB，PC与底面ABCD所成的角分别为α，β，且α+β=45∘，则PAAB=( )
A. 17−22B. 17−32C. 15−22D. 15−32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.广东省湛江市2017年到2022年常住人口变化图如图所示，则( )
A. 湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万
B. 湛江市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势
C. 湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万
D. 湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的中位数为717.02万
10.已知函数f(x)的定义域为R，f(x)不恒为零，且f(x+y)+f(x−y)=2f(x)f(y)，则( )
A. f(0)=1B. f(x)为偶函数
C. f(x)在x=0处取得极小值D. 若f(a)=0，则f(x)=f(x+4a)
11.下列命题为真命题的是( )
A. x2−4x−8 −x+4+|x−1|的最小值是2
B. x2−4x−8 −x+4+|x−1|的最小值是 5
C. x2−4x−8 −x+4+ x2−2x−4 −x+2的最小值是 2
D. x2−4x−8 −x+4+ x2−2x−4 −x+2的最小值是 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量a=(−3,−1)，b=(x,x−6)，a//b，则x=______，lg 33x=______.
13.财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B，C与O在同一水平面上，他测得BC=102 7米，∠BOC=120∘，在点B处测得点A的仰角为θ(tanθ=2)，在点C处测得点A的仰角为45∘，则财富汇大厦的高度OA=______米.
14.已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足|PF1|2=19|PF2|2，则C的离心率的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
甲、乙两人进行中国象棋比赛，采用五局三胜制，假设他们没有平局的情况，甲每局赢的概率均为23，且每局的胜负相互独立.
(1)求该比赛三局定胜负的概率；
(2)在甲赢第一局的前提下，设该比赛还需要进行的局数为X，求X的分布列与数学期望.
16.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1C1=B1C1=3，A1B1=4 2，D为A1B1的中点.(1)证明：B1C//平面AC1D.
(2)若以AB1为直径的球的表面积为48π，求二面角C−AD−C1的余弦值.
17.(本小题15分)
在n个数码1，2，…，n(n∈N,n≥2)构成的一个排列j1j2…jn中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序(例如j2>j5，则j2与j5构成逆序)，这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为T(j1j2…jn)，例如，T(312)=2.
(1)计算T(51243)；
(2)设数列{an}满足an+1=an⋅T(51243)−T(3412)，a1=2，求{an}的通项公式；
(3)设排列j1j2…jn(n∈N,n≥2)满足ji=n+1−i(i=1,2,…，n)，bn=T(j1j2…jn)，Sn=1b2+1b3+⋯+1bn+1，求Sn.
18.(本小题17分)
双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上一点D(6, 3)到左、右焦点的距离之差为6.
(1)求C的方程；
(2)已知A(−3,0)，B(3,0)，过点(5,0)的直线l与C交于M，N(异于A，B)两点，直线MA与NB交于点P，试问点P到直线x=−2的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex+xlnx.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若a>0，b>0，且a2+b2=1，证明：f(a)+f(b)答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为A=(−4,−1)∪(1,4)，
所以A∩B=(−2,−1)∪(1,4).
故选：D.
由已知结合集合的交集运算即可求解．
本题考查集合的交集，考查数学运算的核心素养．
2.【答案】D
【解析】解：根据圆台的体积公式V=13πh(r2++rR+R2)，其中圆台的上、下底面的半径分别是r，R，高是h，
由已知盛酒的部分可近似视为一个圆台，上、下底面的半径分别为a厘米，b厘米，高为c厘米，
所以该青铜器的容积为π3c(a2+ab+b2)立方厘米，
因为取π=3，
所以该青铜器的容积约为c(a2+ab+b2)立方厘米．
故选：D.
利用圆台的体积公式，直接代入即可求解．
本题考查中国古代数学文化与圆台的体积，考查应用意识，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为x∈[0,π5]，所以5x−π6∈[−π6,5π6]，
所以sin(5x−π6)∈[−12,1]，
所以f(x)=4sin(5x−π6)在[0,π5]上的值域为[−2,4].
故选：B.
根据正弦型函数的图象与性质，求解即可．
本题考查了求三角函数的值域问题，也考查了逻辑推理与数学运算的核心素养，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为(2x+yi)(2x−4yi)=4x2+4y2−6xyi，
所以4x2+4y2=4，即x2+y2=1，
所以点(x,y)的轨迹是直径为2的圆．
故选：A.
由以知结合复数的基本概念即可求解．
本题考查复数的运算与圆的方程，考查数学运算的核心素养，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：令x=1，得a0+a1+a2+⋯+a9=−1，因为a1=(−2)×C91=−18，
所以a0+i=19ai=−1−(−18)=17.
故选：D.
直接利用赋值法求出结果．
本题考查的知识点：赋值法，二项式的展开式，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由题意，得32 28≈32×283=14，所以328≈143≈4.667.又因为328≈3.037.
故选：C.
根据题意给的关系式可求得结果．
本题主要考查函数的定义域、单调性、值域等基础知识，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：分别令函数f(x)=|2x−1|−a=0，g(x)=x2−4|x|+2−a=0，
即|2x−1|=a，x2−4|x|+2=a，它们的根为y=a分别与y=|2x−1|和y=x2−4|x|+2交点的横坐标，
作出y=|2x−1|和y=x2−4|x|+2的大致图象，如图所示：
由图可知，当g(x)有2个零点时，f(x)无零点或只有1个零点，A错误；
当g(x)有3个零点时，f(x)只有1个零点，B错误；
当f(x)有2个零点时，g(x)有4个零点，C错误，D正确．
故选：D.
做出函数y=|2x−1|y=x2−4|x|+2的大致图象，问题转化为y=a与这两个函数图象交点的个数问题．
本题考查函数的零点个数的判断，考查直观想象与逻辑推理的核心素养，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：设AB=a，PA=b，因为∠ABD=60∘，所以AC=BD=2a，
所以tanα=tan∠PBA=ba，tanβ=tan∠PCA=b2a.
因为α+β=45∘，所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=ba+b2a1−ba×b2a=1，
解得ba= 17−32(负根已舍去).
故选：B.
分别找到PB，PC与底面ABCD所成的角的平面角，计算其正切值，再利用两角和的正切公式即可得．
本题考查线面角与三角恒等变换，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：由图可知，这6年的常住人口不是呈递增趋势，故B错误；
湛江市2017年到2022年这6年的常住人口按照从小到大的顺序排列为：
698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，
则极差为736−698.12≈38万，故A正确；
因为6×0.6=3.6，所以第60百分位数为730.50万，故C正确；
中位数为703.54+730.502=717.02万，故D正确．
故选：ACD.
由统计图可判定人口变化趋势，通过数据排列，可求得极差、第60百分位数和中位数，从而判定各选项．
本题考查统计图表分析，考查数据处理能力，属基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：令x=y=0，得2f(0)=2f2(0)，解得f(0)=0或f(0)=1，
当f(0)=0时，令y=0，则2f(x)=2f(x)f(0)，则f(x)=0，这与f(x)不恒为零矛盾，所以f(0)=1，A正确．
令x=0，则f(0+y)+f(0−y)=2f(y)f(0)，即f(y)=f(−y)，f(x)为偶函数，B正确．
取f(x)=csx，满足题意，此时x=0不是f(x)的极小值点，C错误．
令y=a，得f(x+a)+f(x−a)=2f(x)f(a)，
若f(a)=0，则f(x+a)=−f(x−a)，
则f(x)=−f(x+2a)，则f(x+4a)=−f(x+2a)=f(x)，D正确．
故选：ABD.
令x=y=0，先求出f(0)，检验选项A；
令x=0，结合函数奇偶性定义检验选项B；
举出反例检验选项C；
令y=a，结合f(a)=0检验选项D.
本题考查抽象函数，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：设A(0,2)，B(−1,1)，F(−1,0)，P(x, −4x)，
易知点P的轨迹是抛物线y2=−4x的上半部分，
抛物线y2=−4x的准线为直线x=1，
P到准线的距离d=|x−1|，
F为抛物线y2=−4x的焦点，
所以 x2−4x−8 −x+4+|x−1|= x2+( −4x−2)2+|x−1|=|PA|+d=|PA|+|PF|≥|AF|= 5，
所以 x2−4x−8 −x+4+|x−1|的最小值为 5，故A错误，B正确；
x2−4x−8 −x+4+ x2−2x−4 −x+2= x2+( −4x−2)2+ (x+1)2+( −4x−1)2=|PA|+|PB|≥ 2，
所以 x2−4x−8 −x+4+ x2−2x−4 −x+2的最小值为 2，
因此C正确，D错误．
故选：BC.
设A(0,2)，B(−1,1)，F(−1,0)，P(x, −4x)，易知点P的轨迹是抛物线y2=−4x的上半部分，由 x2−4x−8 −x+4+|x−1|= x2+( −4x−2)2+|x−1|=|PA|+d，判断AB；由 x2−4x−8 −x+4+ x2−2x−4 −x+2= x2+( −4x−2)2+ (x+1)2+( −4x−1)2=|PA|+|PB|，判断CD.
本题考查了转化思想、抛物线的性质，属于中档题．
12.【答案】9−4
【解析】解：向量a=(−3,−1)，b=(x,x−6)，a//b，
则−3(x−6)+x=0，解得x=9，
lg 33x=−lg 39=−4.
故答案为：9；−4.
根据已知条件，结合向量共线的性质，以及对数的运算，即可求解．
本题考查平面向量的共线问题与对数的运算，属于基础题．
13.【答案】204
【解析】解：设OA=h米，因为在点B处测得点A的仰角为θ(tanθ=2)，
所以OAOB=2，
则OB=12米，
因为在点C处测得点A的仰角为45∘，
所以OC=h米，
由余弦定理，得BC2=OB2+OC2−2OB⋅OCcs∠BOC，即1022×7=14h2+h2+12h2=74k2，
解得h=204.
故答案为：204.
设OA=h米，由在点B处测得点A的仰角为θ(tanθ=2)，可求OB=12米，由在点C处测得点A的仰角为45∘，可求OC=h米，进而利用余弦定理即可求解．
本题考查解三角形的实际应用，考查直观想象与数学运算的核心素养，属于中档题．
14.【答案】[10− 199,1)
【解析】解：因为|PF1|2=19|PF2|2，所以|PF1|= 19|PF2|，
由椭圆的定义知，|PF1|+|PF2|=( 19+1)|PF2|=2a，
所以|PF2|=( 19−1)a9∈[a−c,a+c]，
所以 19−19∈[1−ca,1+ca]，
解得离心率e=ca≥10− 199，
又0故答案为：[10− 199,1).
结合椭圆的定义与几何性质，求解即可．
本题考查椭圆离心率取值范围的求法，熟练掌握椭圆的定义与几何性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)因为甲、乙两人进行中国象棋比赛，采取五局三胜制，假设他们没有平局，甲每局赢的概率均为23，
则乙每局赢的概率均为1−23=13，
若比赛三局定胜负，说明甲前三局都赢，或是乙前三局都赢，概率为P=(23)3+(13)3=13；
(2)甲赢在第一局的前提下，设该比赛还需要进行的局数为X，则X的取值为2，3，4，
当X=2，表示后面两局甲都赢，比赛结束，甲获胜，因此P(X=2)=(23)2=49，
当X=3，若甲获胜，则后面3局中甲赢2局，乙赢1局，且最后一局甲赢；若乙获胜，则后面3局中，乙赢3局，
因此P(X=3)=C21⋅(23)2×13+(13)3=13，
当X=4，P(X=4)=1−P(X=2)−P(X=3)=1−49−13=29，
所以X的分布列为：
所以E(X)=2×49+3×13+4×29=259.
【解析】(1)先求出乙每局赢的概率，若比赛三局定胜负，说明甲前三局都赢，或是乙前三局都赢，再利用独立事件的概率乘法公式求解；
(2)由题意可知X的取值为2，3，4，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，得到X的分布列，再结合期望公式求解．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
16.【答案】解：(1)证明：连接A1C交AC1于点E，则E为A1C的中点，
因为D为A1B1的中点，所以DE//B1C，
又因为DE⊂平面AC1D，B1C⊄平面AC1D，
所以B1C//平面AC1D；
(2)因为A1C1=B1C1，D为A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1，且C1D= 32−(2 2)2=1.
因为以AB1为直径的球的表面积为48π，所以4π×[ AA12+(4 2)22]2=48π，解得AA1=4，
以D为坐标原点，DC1的方向为y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0),C1(0,1,0),A(−2 2,0,4),C(0,1,4).
设平面AC1D的法向量为m=(x,y,z),DC1=(0.1,0),DA=(−2 2,0,4)，
则m⊥DC1,m⊥DA，所以m⋅DC1=y=0m⋅DA=−2 2x+4z=0，
令z=1，得m=( 2,0,1).
设平面ACD的法向量为n=(x′,y′,z′),DC=(0,1,4)，
则n⊥DC,n⊥DA，所以n⋅DC=y′+4z′=0n⋅DA=−2 2x′+4z′=0，
令z′=1，得n=( 2,−4,1).
因为cs=m⋅n|m||n|=3 3× 19= 5719，
由图可知，二面角C−AD−C1为锐二面角，
所以二面角C−AD−C1的余弦值为 5719.
【解析】(1)由线面平行的判断定理即可证明；
(2)由题设条件和球的表面积公式计算可求得AA1=4，建立空间直角坐标系，由向量法即可求解．
本题考查线面平行的证明和二面角的求法，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由逆序的定义可得T(51243)=4+1=5；
(2)由逆序的定义可得an+1=an⋅T(51243)−T(3412)=5an−4，
即为an+1−1=5(an−1)，
可得数列{an−1}是首项为a1−1=1，公比为5的等比数列，
则an−1=5n−1，即有an=5n−1+1；
(3)由逆序的定义可得bn=T(j1j2…jn)=1+2+...+(n−2)+(n−1)=12n(n−1)，
Sn=1b2+1b3+⋯+1bn+1=22×1+23×2+...+2(n+1)n
=2(1−12+12−13+...+1n−1n+1)=2(1−1n+1)=2nn+1.
【解析】(1)由逆序的定义，计算可得所求值；
(2)由逆序的定义，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；
(3)由逆序的定义求得bn=12n(n−1)，再由数列的裂项相消求和，可得所求和．
本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为双曲线C上一点D(6, 3)到左、右焦点的距离之差为6，
所以2a=636a2−3b2=1，
解得a=3，b=1，
则C的方程为x29−y2=1；
(2)易知直线l的斜率存在且不为0，
不妨设直线l的方程为x=my+5，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x=my+5x29−y2=1，消去x并整理得(m2−9)y2+10my+16=0，
此时满足m2−9≠0，
由韦达定理得y1+y2=−10mm2−9，y1y2=16m2−9，
所以直线AM的方程为y=y1x1+3(x+3)，直线BN的方程为y=y2x2−3(x−3)，
联立y=y1x1+3(x+3)y=y2x2−3(x−3)，
消去y并整理得x+3x−3=y2(x1+3)y1(x2−3)=y2(my1+8)y1(my2+2)=my1y2+8y2my1y2+2y1
=my1y2+8(y1+y2)−8y1my1y2+2y1=16mm2−9−80mm2−9−8y116mm2−9+2y1=−64mm2−9−8y116mm2−9+2y1=−4，
解得x=95，
所以点P在定直线x=95上，
因为直线x=95与直线x=−2之间的距离为195，
所以点P到直线x=−2的距离为定值，定值为195.
【解析】(1)由题意，根据题目所给信息列出等式求出a和b的值，进而可得C的方程；
(2)设出直线l的方程和M，N两点的坐标，将直线l的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理得到y1+y2=−10mm2−9，y1y2=16m2−9，推出直线AM和BN的方程，将两直线方程联立，解得点P在定直线x=95上，进而即可求解．
本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由f(x)=ex+xlnx，得f′(x)=ex+lnx+1，f(1)=e，
则f(x)在点(1,f(1))处的切线切线斜率k=f′(1)=e+1.
∴切线方程为(e+1)x−y−1=0.
(2)证明：由a>0，b>0，且a2+b2=1，
设a=csx，b=sinx，x∈(0,π2)，
则证明f(a)+f(b)即证ecsx+csx⋅ln(csx)+esinx+sinx⋅ln(sinx)令g(x)=x−lnx−1，则g′(x)=x−1x，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，此时g(x)单调递减，
∴g(csx)>g(1)=0，g(sinx)>g(1)=0，
∴ln(csx)则ecsx+csx⋅ln(csx)+esinx+sinx⋅ln(sinx)要证ecsx+csx⋅ln(csx)+esinx+sinx⋅ln(sinx)只需证ecsx+esinx−csx−sinx令h(x)=ecsx+esinx−csx−sinx，则h′(x)=sinxcsx(esinx−1sinx−ecsx−1csx).
令h′(x)=0，则esinx−1sinx=ecsx−1csx.
令φ(x)=ex−1x，x∈(0,1)，则φ′(x)=(x−1)ex+1x2
令m(x)=(x−1)ex+1，x∈(0,1)，则m′(x)=xex>0在(0,1)上恒成立，
则m(x)>m(0)=0，则φ′(x)>0在(0,1)上恒成立，则φ(x)单调递增．
当x∈(π4,π2)时，sinx>csx，则φ(sinx)>φ(csx)，
∴h′(x)>0，此时h(x)单调递增；
当x∈(0,π4)时，sinx∴h′(x)<0，此时h(x)单调递减．
∵h(0)=h(π2)=e，∴h(x)即ecsx+esinx−csx−sinx∴f(a)+f(b)【解析】(1)对f(x)求导，求出切线的斜率，再求出切线方程即可；
(2)要证明f(a)+f(b)本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想，属难题．X
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