2024年湖南省衡阳市祁东县高考数学第三次联考试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年湖南省衡阳市祁东县高考数学第三次联考试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若集合A={x| x≤3}，B={x|x=3n−1,n∈N}，则A∩B=( )
A. ⌀B. {3,6,9}C. {2,5,8}D. {−1,2,5,8}
2.双曲线y24m−x22m=1的渐近线方程为( )
A. y=± 22xB. y=± 2xC. y=±2xD. y=±12x
3.已知cs(π5−α)=13，则sin(11π10+2α)=( )
A. 79B. −79C. 4 29D. −4 29
4.在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x5,y5)，(6,28)，(0,28)，利用此样本数据求得的经验回归方程为y =107x+1667，现发现数据(6,28)和(0,28)误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为y =4x+m，且i=15yi=140，则m=( )
A. 8B. 12C. 16D. 20
5.函数f(x)= 11csπx−2x+1零点的个数为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
6.如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程F(x,y)=0中，把y看成x的函数y=y(x)，则方程可看成关于x的恒等式F(x,y(x))=0，在等式两边同时对x求导，然后解出y′(x)即可，例如，求由方程x2+y2=1所确定的隐函数的导数y′，将方程x2+y2=1的两边同时对x求导，则2x+2y⋅y′=0(y=y(x)是中间变量，需要用复合函数的求导法则)，得y′=−xy(y≠0)，那么曲线xy+lny=2在点(2,1)处的切线方程为( )
A. x−3y+1=0B. x+3y−5=0C. 3x−y−5=0D. 2x+3y−7=0
7.如图，正四棱台ABCD−A1B1C1D1容器的的高为12cm，AB=10cm，A1B1=2cm，容器中水的高度为6cm，现将57个大小相同，质地均匀的小铁球放入容器中(57个小铁球均被淹没)，水位上升了3cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为( )
A. 31πcm
B. 32πcm
C. 33πcm
D. 34πcm
8.设F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，若AF2⊥BF2，|AB|=5a3，则C的离心率为( )
A. 2 55B. 35C. 25D. 55
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z，z1，z2均不为0，则下列说法正确的是( )
A. 若复数z满足z2∈R，且z2>0，则z∈R
B. 若复数z满足1z∈R，则z∈R
C. 若z1+z2∈R，则z1z2∈R
D. 若复数z1，z2满足z1z2−∈R，则z1−z2∈R
10.已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O为△ABC的重心，csA=15，AO=2，则( )
A. AO=14AB+14ACB. AB⋅AC≤3
C. △ABC的面积的最大值为3 6D. a的最小值为2 5
11.已知函数f(x)和函数g(x)的定义域均为R，若f(2x−2)的图象关于直线x=1对称，g(x)=f(x+1)+x−1，g(x+1)+f(−x)=x+2，且f(0)=0，则下列说法正确的是( )
A. f(x)为偶函数
B. g(x+4)=g(x)
C. 若f(x)在区间(0,1)上的解析式为f(x)=lg2(x+1)，则f(x)在区间(2,3)上的解析式为f(x)=1−lg2(x−1)
D. i=120g(i)=210
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a>0，过点A(a,a)恰好只有一条直线与圆E：x2+y2−4x+2y=0相切，则a=______，该直线的方程为______.
13.4名男生和2名女生随机站成一排，每名男生至少与另一名男生相邻，则不同的排法种数为______.
14.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，平面α//平面A1ABB1，则α截四面体ACD1B1所得截面面积的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且{Sn+n2}也是等差数列.
(1)求数列{an}公差；
(2)若a1=−1，求数列{1anan+1}的前n项和Tn，
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ABB1A1⊥平面ABC，平面CBB1C1⊥平面ABC.
(1)证明：BB1⊥平面ABC.
(2)若AB⊥BC，AB=BC=CC1，求直线BC与平面A1BC1所成角的正弦值.
17.(本小题15分)
小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张回答A类题正确的概率为0.9，小张回答B类题正确的概率为0.45.已知题库中B类题的数量是A类题的两倍.
(1)求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；
(2)已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题目中恰好回答正确k个(k=0,1,2,…，10)的概率为Pk，则当k为何值时，Pk最大？
18.(本小题17分)
设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，已知点F到圆E：(x+3)2+y2=1上一点的距离的最大值为6.
(1)求抛物线C的方程.
(2)设O是坐标原点，点设抛物线P(2,4)，A，B是抛物线C上异于点P的两点，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点(异于点O)，且O是线段MN的中点，试判断直线AB是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−mx，g(x)=x−mlnx.
(1)是否存在实数m，使得f(x)和g(x)在(0,+∞)上的单调区间相同？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
(2)已知x1，x2是f(x)的零点，x2，x3是g(x)的零点.
(i)证明：m>e.
(ii)证明：1答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：依题得：A={x| x≤3}=[0,9]，B={x|x=3n−1,n∈N}，则A∩B={2,5,8}.
故选：C.
解集合中的不等式，得到这两个集合，再由交集的定义求解．
本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：当m>0时，双曲线的焦点在y轴上，可得渐近线方程为y=±2 m 2mx，即y=± 2x；
当m<0时，双曲线的焦点在x轴上，可得渐近线方程为y=±2 −m −2mx，即y=± 2x.
则双曲线y24m−x22m=1的渐近线方程为y=± 2x.
故选：B.
可分别讨论m>0，m<0时双曲线的焦点位置，求得渐近线方程，可得所求．
本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：令π5−α=t，则α=π5−t，
故cst=13，
所以cs2t=2cs2t−1=2×19−1=−79，
sin(11π10+2α)=sin[11π10+2(π5−t)]=sin(3π2−2t)=−cs2t=1−2cs2t=79=−cs2t=79.
故选：A.
由已知结合二倍角公式，诱导公式进行化简即可求解．
本题主要考查了二倍角公式及诱导公式的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵i=15yi=140，
∴y1+y2+y3+y4+y5+28+28=140+28+28=196，
∴y−=17×(y1+y2+y3+y4+y5+28+28)=28，
又∵(x−,y−)在经验回归方程y =107x+1667上，
∴28=107x−+1667，解得x−=3，
∴i=15xi=3×7−6−0=15，
∴x−′=i=15xi5=3，y−′=i=15yi5=1405=28，
又∵(x−′,y−′)在经验回归方程y =4x+m上，
∴28=4×3+m，
解得m=16.
故选：C.
由题意求出y−=28，根据点(x−,y−)在经验回归方程y =107x+1667上求出x−，进而求出x−′，再结合点(x−′,y−′)在经验回归方程y =4x+m上即可求出m的值．
本题主要考查了经验回归方程的性质，考查了平均数的计算，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：令f(x)= 11csπx−2x+1=0，
则有 11csπx=2x−1，
则函数y=f(x)的零点个数即为函数y= 11csπx与y=2x−1图象的交点个数，
作出两函数的图象，如图所示：
由此可得两函数图象有5个交点，
所以函数f(x)有5个零点．
故选：C.
将问题转化函数y= 11csπx与y=2x−1图象的交点个数，作出两函数的图象，结合图象即可得答案．
本题考查了函数的零点、转化思想及数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：在xy+lny=2的两边，对x求导数，可得y+xy′+1yy′=0，
代入x=2，y=1，可得切线的斜率为1+2k+k=0，即k=−13，
则切线的方程为y−1=−13(x−2)，
化为x+3y−5=0.
故选：B.
求得导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程可得切线的方程．
本题考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：如图作出正四棱台的轴截面，
根据已知可得：E1T=F1S=12，AB=EF=10，A1B1=E1F1=2，
水面高度RT=KS=6，HR=GK=3，
所以E1H=E1T−HR−RT=12−3−6=3，同理：F1G=3，
且E1R=F1K=6，ET=ST=EF−TS2=10−22=4，
易知△E1MH∽△E1ET，
所以MHET=E1HE1T，
即MH4=312，解得MH=1，同理：GN=1，
所以MN=MH+HG+GN=1+2+1=4，
同理：△E1PR∽△E1ET，
所以PRET=E1RE1T，
即PR4=612，解得PR=2，同理：KQ=2，
所以PQ=PR+RK+KQ=2+2+2=6，
由题意知57个大小相同，质地均匀的小铁的体积等于高为3cm，上底边长4cm，下底边长6的正四棱台的体积，
设小球的半径为r，
则57×43πr3=13×3×(42+62+ 42×62)，
即76πr3=76，
所以r=31πcm.
故选：A.
利用57个大小相同，质地均匀的小铁球的体积就是水面上升高度的正四棱台的体积即可求解．
本题考查空间几何体的体积，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：不妨设|AF1|=m，|BF1|=n，m由椭圆的定义可得：|AF2|=2a−m，|BF2|=2a−n，
又AF2⊥BF2，所以(2a−x)2+(2a−y)2=(x+y)2，
化简得mn+2a(m+n)=4a2，显然m+n=|AB|=5a3，
所以mn=2a23，解得m=2a3，n=a，
所以|AF2|=4a3，|BF2|=a，可得B为椭圆的短轴的顶点，
所以cs∠AF1F2=−cs∠BF1F2=−ca=|AF1|2+|F1F2|2−|AF2|22|AF1||F1F2|=(2a3)2+(2c)2−(4a3)22⋅2a3⋅2c，
解得a= 5c，
故C的离心率为 55.
故选：D.
设|AF1|=m，|BF1|=n，由椭圆的定义可得|AF2|=2a−m，|BF2|=2a−n，又AF2⊥BF2，可得m，n的值，即求出|AF1|，|BF1|，|AF2|，|BF2|的值，由余弦定理可得cs∠AF1F2的表达式，进而求出a，c的关系，即求出离心率的大小．
本题考查椭圆的性质的应用，余弦定理的应用，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A选项，令z=a+bi，a，b∈R，则z2=a2−b2+2abi，因为z2∈R，且z2>0，
所以ab=0a2−b2>0，则b=0，a≠0，故z∈R，故A正确；
对于B选项，令z=a+bi(a,b∈R)，则由1z=1a+bi=a−bia2+b2∈R，得b=0，所以z∈R，故B正确；
对于C选项，令z1=1+i，z2=2−i，此时z1+z2∈R，z1z2∉R，故C错误；
对于D选项，令z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)，
则z1z2−=(a+bi)(c−di)=ac+bd+(bc−ad)i∈R，
所以bc−ad=0，
z1−z2=(a−bi)(c+di)=ac+bd+(ad−bc)i=ac+bd∈R，故D正确．
故选：ABD.
由已知结合复数的四则运算及复数的概念检验各选项即可判断．
本题主要考查了复数的四则运算及基本概念的应用，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：取BC的中点D，连接AD，则AO=23AD=23×12(AB+AC)=13AB+13AC，故A错误；
由AO=13AB+13AC，得3AO=AB−+AC，得9AO2=AB2+AC2+2AB⋅AC，
则36=c2+b2+25bc≥2bc+25bc=125bc，即bc≤15，当且仅当b=c= 15时，等号成立，
所以AB⋅AC=bccsA=15bc≤3，故B正确；
由csA=15，得sinA=2 65，所以S△ABC=12bcsinA= 65bc≤3 6，故C正确；
由36=c2+b2+25bc，得c2+b2=36−25bc，
所以a2=b2+c2−2bccsA=36−45bc≥24，得a≥2 6，D错误．
故选：BC.
由平面向量的线性运算可得AO=13AB+13AC，结合基本不等式和余弦定理，平面向量的数量积逐一判定各选项即可．
本题考查平面向量的应用和解三角形知识的应用，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：由f(2x−2)的图象关于直线x=1对称，可知f(2x−2)=f(2(2−x)−2)即f(2x−2)=f(2−2x)所以f(x)图象关于y轴对称，故A正确；
由g(x)=f(x+1)+x−1，可得g(x−1)=f(x+2)+x又g(x+1)+f(−x)=x+2，
所以f(x+2)+f(−x)=2，可知f(x)的图象关于(1,1)对称，
所以f(x)=f(−x)=2−f(x+2)=2−[2−f(x+4)]=f(x+4)，
所以f(x)是周期为4的周期函数，
则g(x+4)=f(x+5)+x+3=f(x+1)+x+3=g(x)+4，故B错误；
当x∈(2,3)时，4−x∈(1,2)，2−(4−x)=x−2∈(0,1)，
又因为f(x)=f(−x)=f(4−x)，f(4−x)=2−f(x−2)，
所以f(x)=f(4−x)=2−f(x−2)=2−lg2(x−1)，
即f(x)在区间(2,3)上的解析式为f(x)=2−lg2(x−1)，故C错误；
因为f(0)=0，f(x+2)+f(−x)=2，f(x)=f(−x)，
所以f(2)+f(0)=2，f(1)+f(−1)=2f(1)=2，f(−x)+f(3)=f(1)+f(3)=2，
所以f(0)=0，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=1，
所以i=120g(i)=0+1+...+19+f(2)+f(3)+...+f(21)=190+5×(0+1+2+1)=210，故D正确．
故选：AD.
利用函数对称性的定义判断A；
利用周期性的定义判断B；
利用给定区间的函数解析式求解未知解析式判断C；
利用周期性对函数求和判断D即可．
本题主要考查抽象函数的应用，属于中档题．
12.【答案】1x−2y+1=0
【解析】解：由条件过点A(a,a)恰好只有一条直线与圆E：x2+y2−4x+2y=0相切知点A在圆E上，
∴a2+a2−4a+2a=0，
∴a=1或0，
又a>0，
所以a=1，
则A(1,1)，
圆E：x2+y2−4x+2y=0可化为(x−2)2+(y+1)2=5，
圆心E(2,−1)，kAE=−1−12−1=−2，
此时切线方程为：y−1=12(x−1)，即x−2y+1=0，
∴所求的切线方程为x−2y+1=0.
故答案为：1；x−2y+1=0.
由题意可得A点在圆上，故满足圆的方程，则易求A点坐标，然后代入圆的切线方程，整理即可得到答案．
本题考查圆的方程和运用，考查直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于基础题．
13.【答案】288
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①4名男生先排，共有A44=24种，
②男生排好后，有最左边，中间，最右边的3个空位可用，
若两名女生不相邻，有A32=6种情况，
若两名女生相邻，有3A22=6种情况，
则女生有6+6=12种安排方法，
则有24×12=288种排法．
故答案为：288.
根据题意，分2步进行分析：①4名男生先排，②男生排好后，有最左边，中间，最右边的3个空位可用，分情况讨论两名女生的排法，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
14.【答案】10
【解析】解：平面α截四面体ACD1B1的截面如图所示，
设B1TB1C1=λ，则TRTW=TMTU=VNVU=VSVW=λ，
所以四边形NSRM为平行四边形，
且MR//UW，MN//TV，
在矩形UVWT中，UV=4，VW=5，TM=5λ，MU=5(1−λ)，
TR=4λ，RW=4(1−λ)，
则S平行四边形NSRM=S平行四边形UVWT−2S△NVS−2S△SWR=20−20[λ2+(1−λ)2]，
∵0<λ<1，∴1−λ>0，
由基本不等式可得λ2+(1−λ)2≥[λ+(1−λ)]22=12，
∴20−20[λ2+(1−λ)2]≤20−20×12=10，
当且仅当λ=1−λ，即λ=12时，等号成立．
故答案为：10.
利用平行线法先找到截面，再用割补法求截面的面积．
本题考查立体几何中的截面问题，属于中档题．
15.【答案】解：(1)设数列{an}的公差为d，则an+1=dn+a1，
因为{Sn+n2}是等差数列，所以Sn+1+(n+1)2−Sn−n2为常数，
又Sn+1+(n+1)2−Sn−n2=an+1+2n+1=nd+a1+2n+1=(d+2)n+a1+1，
所以d+2=0，解得d=−2；
(2)因为a1=−1，所以an=a1+(n−1)d=−2n+1，
∴1anan+1=1(−2n+1)(−2n−1)=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
∴Tn=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1.
【解析】(1)利用Sn+1+(n+1)2−Sn−n2为常数，求公差；
(2)利用裂项相消法求数列的和．
本题考查等差数列的定义，通项公式，以及裂项相消求数列的和，属于中档题．
16.【答案】解：(1)证明：取O为△ABC内一点，作OE垂直AB，交AB于点E，作OF垂直BC，交BC于点F，
因为平面ABB1A1⊥平面ABC且相交于AB，
∴OE⊥平面ABB1A1，
∵BB1⊥平面ABB1A1，∴OE⊥BB1，
同理OF⊥BB1，
∵OE∩OF=O，∴BB1⊥平面ABC.
(2)∵BC，BA，BB1两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
令AB=1，则A1(0,1,1)，B(0,0,0)，C(1,0,0)，C1(1,0,1)，
则BC=(1,0,0)，BA1=(0,1,1)，BC1=(1,0,1)，
设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z)，
则BA1⋅n=y+z=0BC1⋅n=x+z=0，令x=1，得n=(1,1,−1)，
设直线BC与平面A1BC1所成的角为α，
则sinα=|cs|=|n⋅BC||n|⋅|BC|=1 3= 33，
∴直线BC与平面A1BC1所成角的正弦值为 33.
【解析】(1)取O为△ABC内一点，作OE垂直AB，交AB于点E，作OF垂直BC，交BC于点F，推导出OE⊥BB1，OF⊥BB1，由此证明BB1⊥平面ABC.
(2)BC，BA，BB1两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC与平面A1BC1所成角的正弦值．
本题考查线面垂直的判定与性质、线面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)设小张回答A类题正确的概率为P(A)，
小张回答B类题正确的概率为P(B)，
小张在题中任选一题，回答正确的概率为P，
由题意可得P(A)=0.9，P(B)=0.45，
∴P=13P(A)+23P(B)=13×0.9+23×0.45=0.6，
∴小张在题库中任选一题，回答正确的概率为0.6.
(2)由(1)可得Pk=C10k×0.6k×0.410−k，
设Pk≥Pk+1Pk≥Pk−1，即C10k×0.6k×0.410−k≥C10k+1×0.6k+1×0.49−kC10k×0.6k×0.410−k≥C10k−1×0.6k−1×0.411−k，
∴2×10!k!(10−k)!≥3×10!(k+1)!(9−k)!3×10!k!(10−k)!≥2×10!(k−1)!(11−k)!，即2(k+1)≥3(10−k)3(11−k)≥2k，
解得285≤k≤335，
∵k∈Z，∴k=6时，Pk最大．
【解析】(1)由独立事件的乘法公式能求出结果；
(2)由二项分布中最大值的计算求出即可，可设Pk≥Pk+1Pk≥Pk−1，利用组合数的性质求出k即可．
本题考查独立事件的乘法公式、二项分布、组合数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：(1)易知抛物线C的焦点F(p2,0)，
因为点F到圆E上一点的距离的最大值为p2+3+1=6，
解得p=4，
则抛物线C的方程为y2=8x；
(2)不妨设直线AB的方程为x=ty+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x=ty+my2=8x，消去x并整理得y2−8ty−8m=0，
此时Δ=64t2+32m>0，
由韦达定理得y1+y2=8t，y1y2=−8m，
易知直线PA的方程为y−4=y1−4x1−2(x−2)，
令x=0，
解得yM=4x1−2y1x1−2，
同理得yN=4x2−2y2x2−2，
因为O是线段MN的中点，
所以4x1−2y1x1−2+4x2−2y2x2−2=0，
整理得8x1x2−8(x1+x2)−2(x1y2+x2y1)+4(y1+y2)=0，
即(y1y2)28−(y1+y2)2+2y1y2−14y1y2(y1+y2)+4(y1+y2)=0，
因为y1+y2=8t，y1y2=−8m，
所以m2−8t2−2m+2tm+4t=0，
整理得(m−2t)(m+4t−2)=0，
若m+4t−2=0，
此时直线AB经过点P，不符合题意；
若m−2t=0，
此时直线AB的方程为x=ty+2t，经过定点(0,−2).
【解析】(1)由题意，根据题目所给信息列出等式求出p的值，进而可得抛物线的方程；
(2)设出直线AB的方程和A，B两点的坐标，将直线AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y1+y2=8t，y1y2=−8m，推出直线PA的方程，令x=0，求出点M的纵坐标，同理得点N的纵坐标，根据O是线段MN的中点，列出等式再进行求解即可．
本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19.【答案】(1)解：函数f(x)=ex−mx，g(x)=x−mlnx，
则f′(x)=ex−m，g′(x)=1−mx=x−mx.
当m≤0时，f′(x)≥0，g′(x)≥0，
∴f(x)和g(x)都在(0,+∞)上单调递增，符合题意．
当m>0时，若f(x)和g(x)都在(0,+∞)上的单调区间相同，
则f(x)和g(x)有相同的极值点，
由f′(x)=0，可得x=lnm，由g′(x)=0，可得x=m，
∴lnm=m.
令h(m)=lnm−m，则h′(m)=1m−1=1−mm，
∴h(m)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
则h(m)≤h(1)=−1，∴lnm=m无解．
综上，存在m，使得f(x)和g(x)在(0,+∞)上的单调区间相同，
m的取值范围是(−∞,0].
(2)证明：(i)由题意，f(x)有两个零点，f′(x)=ex−m.
若m≤0，则f′(x)≥0，∴f(x)在R上单调递增，不符合题意．
若m>0，当xlnm时，f′(x)>0，
所以f(x)在(−∞,lnm)上单调递减，在(lnm,+∞)上单调递增，
且当x→−∞时，f(x)→−∞，当x→+∞时，f(x)→+∞，
∴f(lnm)=m−mlnm<0，解得m>e，得证．
(ii)令f(x)=0，g(x)=0，得ex=mx，x=mlnx，
即exx=m>0，xlnx=m>0.令m(x)=exx(x>0)，n(x)=xlnx(x>1)，
则m′(x)=ex(x−1)x2，n′(x)=lnx−1(lnx)2.
当x∈(0,1)时，m′(x)<0，m(x)单调递减，
当x∈(1,+∞)时，m′(x)>0，m(x)单调递增．
当x∈(1,e)时，n′(x)<0，n(x)单调递减，
当x∈(e,+∞)时，n′(x)>0，n(x)单调递增．
在同一坐标平面内作出函数m(x)=exx(x>0)与函数n(x)=xlnx(x>1)的图象，
它们有公共点A(x2,y2)，如图，
故0由ex1x1=x2lnx2，得ex1x1=elnx2lnx2，即m(x1)=m(lnx2)，又0由ex2x2=x3lnx3，得ex2lnex2=x3lnx3，即m(ex2)=n(x3)，又ex2>e，∴x3=ex2.
由ex2x2=x2lnx2，得x22=ex2⋅lnx2=x3x1，即x1x3=x22，
故x1x2x3=x23∈(1,e3).
【解析】(1)对f(x)，g(x)求导，再对m分类讨论，结合两函数有相同的单调区间，求解m的取值范围即可；
(2)(i)由f(x)有两个零点，利用导数可求出f(x)的最小值，由最小值小于0即可证明m>e；
(ii)由f(x)=0和g(x)=0可得exx=m>0，xlnx=m>0.令m(x)=exx(x>0)，n(x)=xlnx(x>1)，利用导数分别判断两函数的单调性，作出两函数图象，数形结合，转化求解即可得证．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查数形结合思想与运算求解能力，属于难题．