2024年湖南省长沙市雅礼中学高考数学模拟试卷（二）（含详细答案解析）

这是一份2024年湖南省长沙市雅礼中学高考数学模拟试卷（二）（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数f(x)= 4−x2− x2−4的定义域是( )
A. [−2,2]B. (−2,2)
C. {x|x<−2或x>2}D. {−2,2}
2.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
A.
B.
C.
D.
3.中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为( )
A. y=±54xB. y=±45xC. y=±43xD. y=±34x
4.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对x∈R都有f(x+1)=f(1−x)，当f(−3)=−2时，则f(2023)等于( )
A. −2B. 2C. 0D. −4
5.将函数f(x)=2sin(2x+π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，所得图象关于直线x=π4对称，则φ的最小值为( )
A. 34πB. 12πC. 38πD. 18π
6.为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为( )
A. 0.96B. 0.94C. 0.79D. 0.75
7.在等腰△ABC中，∠BAC=120∘，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量BD在BA上的投影向量为( )
A. 32BAB. 34BAC. 32BAD. 34BA
8.如图，点P在正方体ABCD−A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论一定成立的是( )
A. 三棱锥A−A1PD的体积大小与点P的位置有关
B. A1P与平面ACD1相交
C. 平面PDB1⊥平面A1BC1
D. AP⊥D1C
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有( )
A. c20
10.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.则下列说法正确的是( )
A. 此人第二天走了九十六里路
B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C. 此人第三天走的路程占全程的18
D. 此人后三天共走了42里路
11.三棱锥A−BCD的侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=2，三棱锥A−BCD的体积VA−BCD=43，则( )
A. 三棱锥A−BCD的四个面都是直角三角形
B. CD=2
C. ∠CDA=π2
D. 三棱锥A−BCD外接球的体积4 3π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复数范围内，方程x2+x+1=0的根是______.
13.已知圆N：x2+y2−6y+5=0，直线y=−1，圆M与圆N外切，且与直线y=−1相切，则点M的轨迹方程为______.
14.若m，n∈N*，m≥3，n≥m+2，则Anm=Am2An−2m−2+C21Am1An−2m−1+______.(请用一个排列数来表示)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，已知2sin2A+B2+cs2C=1，外接圆半径R=2.
(1)求角C；
(2)求△ABC面积的最大值．
16.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60∘，AB=2，AD=1，PD⊥底面ABCD.
(1)证明：PA⊥BD；
(2)若PD=AD，求二面角A−PB−C的余弦值.
17.(本小题15分)
已知椭圆G：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 63，右焦点为(2 2,0)，斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(−3,2).
(Ⅰ)求椭圆G的方程；
(Ⅱ)求△PAB的面积．
18.(本小题17分)
某手机App为了答谢新老用户，设置了开心大转盘抽奖游戏，制定了如下中奖机制：
每次抽奖中奖的概率为p，n次抽奖仍未中奖则下一次抽奖时一定中奖.每次中奖时有12的概率中积分奖，有12的概率中现金奖.若某一次中奖为积分奖，则下一次抽奖必定中现金奖，抽到现金奖后抽奖结束.
(1)若n=2，p=12，试求直到第3次才抽到现金奖的概率；
(2)若n=19，p=0.01，X表示抽到现金奖时的抽取次数.
(ⅰ)求X的分布列(用p表示即可)；
(ⅱ)求X的数学期望E(X).(0.9918≈0.8345,结果四舍五入精确到个位数)
19.(本小题17分)
极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域(包含该点的开区间)内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大(小)，这函数在该点处的值就是一个极大(小)值.
对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+Δx，当Δx>0，Δx→0limf(x0+Δx)−f(x0)Δx是一个确定的值，则称函数y=f(x)在点x0处右可导；当Δx<0，Δx→0limf(x0+Δx)−f(x0)Δx是一个确定的值，则称函数y=f(x)在点x0处左可导.当函数y=f(x)在点x0处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数y=f(x)在点x0处可导.
(1)请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；
(2)已知函数f(x)=x2eax2+1−x3sinx−ex2.
(ⅰ)求函数g(x)=eax2+1−xsinx−e在x=0处的切线方程；
(ⅱ)若x=0为f(x)的极小值点，求a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：f(x)= 4−x2− x2−4，
则4−x2≥0x2−4≥0，解得x=2或−2，
故所求定义域为{−2,2}.
故选：D.
根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
2.【答案】B
【解析】解：由导数的图象可得，导函数f′(x)的值在[−1,0]上的逐渐增大，
故函数f(x)在[−1,0]上增长速度逐渐变大，故函数f(x)的图象是下凹型的．
导函数f′(x)的值在[0,1]上的逐渐减小，
故函数f(x)在[0,1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，
故选B.
根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．
本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查双曲线的简单几何性质，根据离心率导出a 与c的比值是正确求解的关键．
根据双曲线中心在原点，焦点在y轴上，双曲线的离心率为53能够得到ca=53，由此能够推导出双曲线的渐近线方程．
【解析】
解：∵离心率为53 ，即ca=53，
设c=5k，则a=3k，
又∵c2=a2+b2，
∴b=4k，
又∵双曲线的焦点在y轴上，
∴双曲线的渐近线方程为y=±abx=±34x，
故选D.
4.【答案】B
【解析】解：定义在R上的函数f(x)是奇函数，可得f(−x)=−f(x)，
对x∈R都有f(x+1)=f(1−x)，即为f(−x)=f(x+2)，
所以f(x+2)=−f(x)，即有f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，
所以f(x)的最小正周期为4，
则f(2023)=f(505×4+3)=f(3)=−f(−3)=2.
故选：B.
由奇函数的定义和周期函数的定义，推得f(x)的最小正周期为4，计算可得所求值．
本题考查函数的奇偶性和周期性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．
由题意根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得所得图象对应的函数为y=2sin(4x+π4−2φ)，再利用正弦函数的图象的对称性，求得φ=−kπ2+3π8，k∈Z，由此求得φ的最小值．
【解答】解：将函数f(x)=2sin(2x+π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，
可得y=2sin[2(x−φ)+π4]=2sin(2x+π4−2φ)的图象；
再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，
所得图象对应的函数为y=2sin(4x+π4−2φ).
再根据所得图象关于直线x=π4对称，
可得4×π4+π4−2φ=kπ+π2，k∈Z，
即φ=−kπ2+3π8，且φ>0，
故φ的最小值为3π8，
故选：C.
6.【答案】B
【解析】解：该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：8001200+800×9+12001200+800×8=8.4(小时)，
该地区中学生每天睡眠时间的方差为：8001200+800×[1+(9−8.4)2]+12001200+800×[0.5+(8−8.4)2]=0.94.
故选：B.
根据方差的计算公式求得正确答案．
本题主要考查了分层随机抽样的定义，考查了方差公式，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：如图，根据题意，∠B=30∘，AD⊥BC，
∴BD在BA上的投影向量为：|BD|⋅cs30∘⋅BA|BA|=(cs30∘)2BA=34BA.
故选：B.
可画出图形，据题意即可得出∠B=30∘，AD⊥BC，然后即可得出BD在BA上的投影向量为|BD|⋅cs30∘⋅BA|BA|，然后化简即可．
本题考查了投影向量的定义及求法，直角三角形的边角关系，考查了计算能力，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查锥体的体积，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
对于选项A:VA−A1PD=VP−AA1D，BC1//平面AA1D，P到平面AA1D的距离不变，三棱锥P−AA1D的高不变，△AA1D的面积不变，从而得到三棱锥A−A1PD的体积与点P的位置无关；
对于选项B：由BC1//AD1，得BC1//平面ACD1，同理可证BA1//平面ACD1，从而得到平面BA1C1//平面ACD1，进而得到A1P//平面ACD1；
对于选项C：推导出A1C1⊥平面BB1D，得到A1C1⊥B1D；同理A1B⊥B1D，从而得到B1D⊥平而A1BC1，进而得到平面PDB1⊥平面A1BC1；
对于选项D：当B与P重合时，AP与D1C的夹角为π4.
【解答】
解：对于选项A:VA−A1PD=VP−AA1D.
在正方体中，BC1//平面AA1D，所以P到平面AA1D的距离不变，
即三棱锥P−AA1D的高不变，又△AA1D的面积不变，
因此三棱锥P−AA1D的体积不变，
即三棱锥A−A1PD的休积与点P的位置无关，故A不成立．
对于选项B：由于BC1//AD1，AD1⊂平面ACD1，BC1⊄平面ACD1，
所以BC1//平面ACD1，同理可证BA1//平面ACD1，又BA1∩BC1=B，
所以平面BA1C1//平面ACD1，因为A1P⊂平面BA1C1，
所以A1P//平面ACD1，故B不成立．
对于选项C：因为A1C1⊥BD，A1C1⊥BB1，BD∩BB1=B，
所以A1C1⊥平面BB1D，则A1C1⊥B1D；同理A1B⊥B1D，
又A1C1∩A1B=A1，所以B1D⊥平而A1BC1，
又B1D⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面A1BC1，故C成立．
对于选项D：当B与P重合时，AP与D1C的夹角为π4，故D不成立．
故选：C.
9.【答案】AD
【解析】解：对于A，∵a>b>0>c>d，
∴a>b>0，d∵c<0，c−d>0，
∴c2−cd=c(c−d)<0，即c2对于B，令a=2，b=1，c=−1，d=−2，则a−c=3，b−d=3，故B错误，
对于C，令a=2，b=1，c=−1，d=−2，则ac=−2，bd=−2，故C错误，
对于D，∵ad<0，bc<0，
∵a>b>0，d∴ad∴ca−db=cb−adab>0，故D正确．
故选：AD.
根据已知条件，利用不等式的性质，即可判断A，D选项，利用特殊值法，即可判断B，C选项．
本题主要考查不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：设此人第n天走an里路，则{an}是首项为a1，公比为q=12的等比数列，
由等比数列前n项和公式得S6=a1(1−126)1−12=378，解得a1=192，
在A中，a2=192×12=96，∴此人第二天走了九十六里路，故A正确；
在B中，378−192=186，192−186=6，∴此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，故B正确；
在C中，a3=192×14=48，48378>18，故C错误；
在D中，a4+a5+a6=192×(18+116+132)=42，故D正确．
故选：ABD.
设此人第n天走an里路，则{an}是首项为a1，公比为q=12的等比数列，由S6=378求得首项，然后逐一分析四个选项得答案．
本题考查等比数列的性质，考查等比数列的前n项和，是基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A：因为三棱锥A−BCD的侧棱AB⊥底面BCD，
所以AB⊥BC，AB⊥BD，
即△ABC，△ABD均为直角三角形，
又因为BC⊥CD，所以△BCD是直角三角形，
根据AB⊥底面BCD，CD⊂平面BCD，
所以AB⊥CD，而AB∩BC=B，
所以CD⊥平面ABC，
而AC⊂平面ABC，
所以AC⊥CD，即△ACD是直角三角形，故A正确；
对于B：构造如图所示的长方体，则AD为三棱锥A−BCD的外接球的直径，
设外接球的半径为R.
因为VA−BCD=13×12×BC×CD×AB=16×2×CD×2=43，
所以CD=2，故B正确；
对于C：若∠CDA=π2，即AD⊥CD，显然与AC⊥CD矛盾，故C错误；
对于D：由于CD=2，∴该长方体为正方体，
所以AD=2 3，
所以R= 3，
所以外接球体积为V=43πR3=4 3π，故D正确．
故选：ABD.
根据已知条件构造长方体，逐个对选项分析判断即可．
本题考查线面垂直的判定与性质定理的应用以及外接球体积的计算，属于中档题．
12.【答案】−12± 32i
【解析】解：∵x2+x+1=0
∴x=−1± 1−42=−1± 3i2
故答案为：−1± 3i2
结合一元二次方程的求根公式，结合i2=−1即可求解
本题主要考查了一元二次实系数方程的根的求解，解题的关键是i2=−1的应用
13.【答案】x2=12y
【解析】解：圆N：x2+y2−6y+5=0，标准方程为：x2+(y−3)2=4，
由题意得，直线l：y=−1，设点M到直线l的距离为r，则点M到l′：y=−3与点M到点N的距离相等，都是r+2，
故点M的轨迹是以N为焦点，以l′为准线的抛物线，故方程为x2=12y.
故答案为：x2=12y.
求解圆的圆心与半径，判断M的轨迹，然后求解即可．
本题考查轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
14.【答案】An−2m
【解析】解：由实际意义可得，从n个元素中选取m个元素排列到m个位置上去，
对于两个指定的元素a，b进行分类，
a，b都被选出来，有Am2An−2m−2种排法，
a，b中有一个被选出来，有C21Am1An−2m−1种排法，
a，b都没有被选出来，有An−2m种排法，
所以Anm=Am2An−2m−2+C21Am1An−2m−1+An−2m.
故答案为：An−2m.
根据排列组合计算公式即可求解．
本题考查了排列组合计算公式，属于中档题．
15.【答案】解：(1)∵在△ABC中，已知2sin2A+B2+cs2C=1
∴由三角函数公式可得1−cs(A+B)+cs2C=1，
∵A+B+C=π，∴cs(A+B)=−csC，
∴2cs2C+csC−1=0，
解得csC=−1(舍)，或csC=12，
∴C=π3；
(2)由正弦定理可得csinC=2R=4，
∴c=4sinC=4× 32=2 3，
由余弦定理可得12=c2=a2+b2−2abcsC≥2ab−ab=ab，当且仅当a=b=2 3时取等号，
∴ab≤12，
∴S△ABC=12absinC≤12×12× 32=3 3，
故△ABC面积的最大值为3 3.
【解析】(1)由三角函数公式和已知条件可得csC的一元二次方程，解方程可得；
(2)由正弦定理和已知条件易得c值，由余弦定理和基本不等式求出ab的最大值，由三角形的面积公式可得面积的最大值．
本题考查正弦定理余弦定理，涉及三角形的面积公式和三角函数公式公式和基本不等式的应用，属中档题．
16.【答案】(1)证明：因为∠DAB=60∘，AB=2AD=2，
由余弦定理得BD= 3，从而BD2+AD2=AB2，∴BD⊥AD，
∵PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PD⊥BD，又AD∩PD=D，AD、PD⊂平面PAD，
∴BD⊥平面PAD，PA⊂平面PAD，所以PA⊥BD.
(2)解：以D为坐标原点，DA，DB，DP分别为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系D−xyz，
则A(1,0,0)，B(0, 3,0)，C(−1, 3,0)，P(0,0,1)，
AB=(−1, 3,0)，PB=(0, 3,−1)，BC=(−1,0,0)，
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AB=0n⋅PB=0，
即−x+ 3y=0 3y−z=0因此，令y=1，则n=( 3,1, 3)，
设平面PBC的法向量为m=(x0,y0,z0)
则m⋅BP=0m⋅BC=0，即 3y0−z0=0−x0=0，可取m=(0,1, 3)，
则cs⟨m,n⟩=m⋅n|m||n|=42 7=2 77.
由图知二面角A−PB−C为钝角，
故二面角A−PB−C的余弦值为−2 77.
【解析】(1)证明BD⊥AD，PD⊥BD，推出BD⊥平面PAD，即可证明PA⊥BD.
(2)以D为坐标原点，DA，DB，DP分别为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系D−xyz，求出平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A−PB−C的余弦值即可．
本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)由已知得，c=2 2，ca= 63，
解得a=2 3，又b2=a2−c2=4，
所以椭圆G的方程为x212+y24=1.
(Ⅱ)设直线l的方程为y=x+m，
由y=x+mx212+y24=1得4x2+6mx+3m2−12=0.①
设A，B的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)(x1则x0=x1+x22=−3m4，
y0=x0+m=m4，
因为AB是等腰△PAB的底边，
所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k=2−m4−3+3m4=−1，
解得m=2.
此时方程①为4x2+12x=0.
解得x1=−3，x2=0，
所以y1=−1，y2=2，
所以|AB|=3 2，此时，点P(−3,2).
到直线AB：y=x+2距离d=|−3−2+2| 2=3 22，
所以△PAB的面积s=12|AB|d=92.
【解析】(Ⅰ)根据椭圆离心率为 63，右焦点为(2 2,0)，可知c=2 2，可求出a的值，再根据b2=a2−c2求出b的值，即可求出椭圆G的方程；
(Ⅱ)设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．
此题是个中档题．考查待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
18.【答案】解：(1)设抽到现金奖时共抽取了3次为事件A，
则事件A包括第一次未中奖第二次未中奖第三次中了现金奖或第一次未中奖第二次中了积分奖第三次中现金奖，
则P(A)=12×12×12+12×14×1=14；
(2)(ⅰ)由题意可知，X的所有可能取值为1，2，3，…，19，20，21，
P(X=1)=12p，
P(X=i)=(1−p)i−2⋅12p+(1−p)i−1⋅12p=12p(2−p)(1−p)i−2，i=2，3，…，19，
P(X=20)=(1−p)18⋅12p+(1−p)19⋅12=12(1−p)18，
P(X=21)=(1−p)19⋅12×1=12(1−p)19，
所以X的分布列为：
其中i=2，3，…，19；
(ⅱ)由X的分布列可知，
E(X)=1×12p+2×12p(2−p)+3×12p(2−p)(1−p)1+⋯+i×12p(2−p)(1−p)i−2+⋯+19×12p(2−p)(1−p)17+20×12(1−p)18+21×12(1−p)19
=12p+12p(2−p)[2+3(1−p)+4(1−p)2+⋯+19(1−p)17]+10(1−p)18+212(1−p)19，
令S=2+3(1−p)+4(1−p)2+⋯+19(1−p)17，
则(1−p)S=2(1−p)+3(1−p)2+4(1−p)3+⋯+19(1−p)18，
作差得pS=2+(1−p)+(1−p)2+…+(1−p)17−19(1−p)18=2+(1−p)[1−(1−p)17]p−19(1−p)18，
所以12p(2−p)S=12pS(2−p)=12[2+(1−p)[1−(1−p)17]p−19(1−p)18](2−p)=2−p+(2−p)[1−p−(1−p)18]2p−192(2−p)(1−p)18，
所以E(X)=12p+2−p+(2−p)[1−p−(1−p)18]2p−192(2−p)(1−p)18+10(1−p)18+212(1−p)19=12+1p+(1−p)18(2−p−1p)≈19，
即X的数学期望E(X)约为19.
【解析】(1)利用独立事件的概率乘法公式求解；
(2)(i)由题意可知，X的所有可能取值为1，2，3，…，19，20，21，求出相应的概率，进而得到X的分布列；
(i)利用期望公式，结合错位相减法求解．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
19.【答案】解：(1)y=|x|，x=0为该函数的极值点，该函数在x=0处的左导数为−1，右导数为1，
∴该函数在x=0处不可导．
(2)(ⅰ)g(x)=eax2+1−xsinx−e，则g′(x)=2axeax2+1−sinx−xcsx，
g′(0)=0，又g(0)=0，∴切线方程为y=0.
(ⅱ)f(x)=x2eax2+1−x3sinx−ex2=x2(eax2+1−xsinx−e)，
∵当x≠0时，x2>0，∴f(x)与g(x)同号，g(x)=eax2+1−xsinx−e，现考察g(x)的性质，
由于g(x)为偶函数，只需分析其在(0,+∞)上的性质即可，
g′(x)=2axeax2+1−sinx−xcsx，g′(0)=0，g′′(x)=(2a+4a2x2)eax2+1−2csx+xsinx，g′′(0)=2ae−2，
则必有g′′(0)=2ae−2≥0，即a≥1e.
①否则，若g′′(0)=2ae−2<0，即a<1e，
则必存在一个区间(0,m)，使得g′′(x)<0，
则g′(x)在(0,m)单调递减，又g′(0)=0，
则g′(x)在区间(0,m)内小于0，则g(x)在(0,m)单调递减，
又g(0)=0，∴g(x)在区间(0,m)内小于0，
∴f(x)在区间(0,m)内小于0，
则x=0不可能为f(x)的极小值点．
②当a≥1e时，g(x)=eax2+1−xsinx−e≥e1ex2+1−xsinx−e，
令h(x)=e1ex2+1−xsinx−e，h′(x)=2xee1ex2+1−sinx−xcsx，h′′(x)=(2e+4e2x2)e1ex2+1−2csx+xsinx，
易知y=(2e+4e2x2)e1ex2+1在区间(0,+∞)上单调递增，
对y=−2csx+xsinx，y′=2sinx+sinx+xcsx=3sinx+xcsx，
则y′=3sinx+xcsx在区间(0,π2)上大于0，
∴y=−2csx+xsinx在区间(0,π2)上单调递增．
∴h′′(x)=(2e+4e2x2)e1ex2+1−2csx+xsinx在区间(0,π2)上单调递增．
又h′′(0)=0，∴h′′(x)≥0，
∴h′(x)在区间(0,π2)上单调递增，
∴h′(x)≥h′(0)=0，∴h(x)在区间(0,π2)上单调递增，
∴h(x)>h(0)=0，x∈(0,π2)，
则g(x)=eax2+1−xsinx−e≥h(x)>0，x∈(0,π2)，
∴当x∈(0,π2)时，f(x)>0，
由偶函数知x∈(−π2,0)时，f(x)>0，
∴x=0为f(x)的极小值点，
∴a的取值范围为a≥1e，即a∈[1e,+∞).
【解析】(1)y=|x|，根据可导函数的定义即可得解；
(2)(ⅰ)对g(x)求导，求出g′(0)，g(0)，即可求解切线方程；
(ⅱ)整理f(x)解析式，可以发现故f(x)与g(x)同号，考察g(x)的性质，由于g(x)为偶函数，只需分析其在(0,+∞)上的性质即可，对g(x)求导，利用导数研究函数的极值，从而可得a的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，导数的几何意义，考查运算求解能力，属于难题．X
1
2
…
i
…
20
21
P
12p
12p(2−p)
…
12p(2−p)(1−p)i−2
…
12(1−p)18
12(1−p)19