河北省邯郸市部分示范性高中2024届高三下学期三模数学试卷(含答案)

这是一份河北省邯郸市部分示范性高中2024届高三下学期三模数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若复数，则( )
A.5B.C.D.
2．已知，是椭圆的两个焦点，M为C的顶点，若的内心和重心重合，则C的离心率为( )
A.B.C.D.
3．若，则( )
A.4B.3C.2D.1
4．我国铁路百年沧桑巨变，从尚无一寸高铁，到仅用十几年高铁建设世界领先，见证了中华民族百年复兴伟业.某家庭两名大人三个孩子乘坐高铁出行，预定了一排五个位置的票（过道一边有三个座位且相邻，另一边两个座位相邻）则三个孩子座位正好在过道同一侧的概率为( )
A.B.C.D.
5．已知平面，和直线m，n，若，，则“，”是“”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6．平行四边形ABCD中，，，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形ABCD内部任意一点，，若，则角A的范围为( )
A.B.C.D.
7．已知偶函数与其导函数定义域均为R.为奇函数，若2是的极值点，则在区间内解的个数最少有( )个.
A.7B.8C.9D.11
8．已知数列满足，，，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知随机变量，则( )
A.B.C.D.
10．已知方程的正根构成等差数列，则( )
A.B.C.2D.4
11．函数有三个不同极值点，，，且.则( )
A.B.
C.的最大值为3D.的最大值为1
三、填空题
12．抛物线上的动点P到点的距离等于它到C的准线距离，则P到焦点距离为______.
13．下图装满水的圆台形容器内放进半径分别为1和3的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为______.
14．已知点，则点P到动直线的最大距离的最小值为______.
四、解答题
15．已知数列的前n项和，且满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）数列的前n项和为，比较和的大小.
16．如图所示，在等腰直角中，，点E，F分别为AB，AC的中点，将沿EF翻折到位置.
（1）证明：平面平面BDE；
（2）若，求平面DEF与平面DEC夹角的余弦值.
17．2021年教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间，每天统一安排30分钟的大课间体育活动，一学校某体育项目测试有40%的人满分，而该校有20%的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为50%.
（1）从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列和期望；
（2）现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率；
（3）体育测试前甲、乙、丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，第1次由甲将球传出，求第n次传球后球在乙手中的概率.
18．函数.
（1）求的单调区间；
（2）若只有一个解，则当时，求使成立的最大整数k.
19．函数是我们最熟悉的函数之一，它是奇函数，且y轴和直线是它的渐近线，在第一象限和第三象限存在图象，其图象实质是圆锥曲线中的双曲线.
（1）函数的图象不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，求其对称轴l的方程；
（2）若保持原点不动，长度单位不变，只改变坐标轴的方向的坐标系的变换，叫坐标系的旋转，简称转轴.
（ⅰ）请采用适当的变换方法，求函数变换后所对应的双曲线标准方程；
（ⅱ）已知函数图象上任一点到平面内定点A、B的距离差的绝对值为定值，以线段AB为直径的圆与的图象一个交点为P，求的面积.
参考答案
1．答案：D
解析：设，则
，
即，，解得，或
者，
则.
故选：D
2．答案：C
解析：，是椭圆的两个焦点，M为C的顶点，的内心和重心重合，可知是正三角形，所以，所以.
故选：C
3．答案：A
解析：由题意，令，
，
又项只在中，系数为
，
所以.
故选：A
4．答案：A
解析：某家庭两名大人三个孩子乘坐高铁出行，预定了一排五个位置的票（过道一边有三个座位且相邻，另一边两个座位相邻)，
五个人随便坐基本事件总数，三个孩子座位正好在过道同一侧包含的基本事件个数，
则三个孩子座位正好在过道同一侧的概率为
故选：A
5．答案：B
解析：由題意可知：
当，时，与可能平行，也可能相交，故充分性不成立;
当时，，成立，故必要性成立：
所以“，”是“”的必要不充分条件，
故选：B
6．答案：B
解析：由，当P在直线BD上时，，当圆C与DB的切点在DB延长线上时，圆C落在四边形ABCD内部部分与直线DB没有公共点，此时，得，，故答案为.
7．答案：D
解析：为偶函数，所以，，所以为奇函数.
.因为为奇函数，所以，得，即关于点对称，所以，
即，①
所以，②
得，的周期为3.
故为周期为3的奇函数..
又2是的极值点，得，，，，.
，又为奇函数，，得，
所以关于点对称，故，且，
由①，又
由②，又
故在内解最少有，1，，2，，3，，4，，5，最少有11个.
8．答案：C
解析：由，得，
所以，，，…，
，得.
设①
则②
①-②得
.
9．答案：BD
解析：随机变量，
，，
，.
故选：BD
10．答案：ACD
解析：【法一】由得
.
由的图象可知，的值为0，1，时，
的正根构成等差数列，得，4，，故选ACD.
【法二】
其周期为，设
则，其图象如图所示.
的正根构成等差数列，得、时成立，故CD正确；
且，，，，…y值也满足题意，
，
得，故A正确.
11．答案：BCD
解析：有三个不同极值点，，，
则有三个不等实根为，，，，则定有三个解.
设，
当，，得单调递增，
不会有三个解，所以，，
得在单调递增，在单调递减，在单调递增.
定有三个解恒成立，
因为，所以恒成立.
即，得，故A错误；
设
，
故，，，故，故D正确；
又
，故B正确；
又，，
则，
又，故，
的最大值为3，故C正确.
12．答案：3
解析：
13．答案：
解析：
14．答案：
解析：由，得，
又，
当时，，
当时，，
由函数与图象可知点P位于图中阴影部分区域，
则点P到直线最大距离的最小值为函数上切线斜率为1的点到直线的距离的一半.
，
设，得，
点到的距离为.
故答案为.
15．答案：（1），n；（2）答案见解析
解析：（1）因为
当时，
又因为时，也满足上式
所以当时，
（2）由，得
当时，
当时.
综上所述：当时，，当时，.
16．答案：（1）答案见解析；（2）
解析：（1）等腰直角中，，得
点E、F分别为AB，AC的中点，，
所以.
将沿翻折到位置后，，，
面BDE，面BDE，，
所以面BDE.
又，得面BDE，又面BCD，所以平面平面BDE
（2）【法一】由（1）知面BDE，所以面面BDE.
又因为，所以为等边三角形，
设EB的中点为O，则面ABC，过O作交AC于M.以O为坐标原点，OM，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设，
得，，，，
所以，，
设平面DEF的一个法向量为，
则
可取，
设平面DEC的一个法向量为，
则
可取，
则，
平面DEF与平面DEC夹角的余弦值为.
【法二】点E、F分别为AB，AC的中点，，面DEB，所以面DEB，
面面DEB，且面面，
不妨设，则点B到面DEF的距离为，
故点C到面DEF的距离为.
设EB的中点为O，则面ABC，
，，，
中，，
所以为等腰三角形，且，得点C到DE的距离为，
又C到面DEF的距离为，
所以平面DEF与平面DEC夹角的正弦值为，
得平面DEF与平面DEC夹角的余弦值为.
17．答案：（1）答案见解析；（2）；（3）
解析：（1）该校随机抽取三人，每个人满分的概率为.
设抽取的三人中满分人数为X，则，1，2，3，.
则，
则X的分布列为
，
数学期望.
（2）【法一】设该校总人数为N人，则体育项目测试满分的有人，每天运动时间超过两个小时的人数有人，
超过两个小时的人体育项目测试满分率约为，则其中测试满分的有个个人，
因此每天运动时间不超过两个小时的学生有个人中，测试满分的有个人，任取1名学生，他体育测试满分的概率为.
【法二】用A表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”，则，.
用B表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”，
则，且.
又
故.
.
（3）【法一】记表示事件“经过n次传球后，球在乙的手中”，
设n次传球后球在乙手中的概率为，，2，3，…，n
则有，，
所以
，
即，，2，3，…
所以，且，
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以.
即n次传球后球在乙手中的概率是.
【法二】记表示事件“经过n次传球后，球在甲的手中”，
设n次传球后球在甲手中的概率为，，2，3，…，n
所以
，
即，，2，3，…，
所以，且，
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以
即n次传球后球在甲手中的概率是，因为由甲先传球，则n次传球后球在乙和丙手中的概率相等为
18．答案：（1）答案见解析；（2）2
解析：
因为，设，，
则
当时，，单调递增.
当时，，单调递减.
当时，，单调递增.
综上所述：的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）若即只有一个解，
因为使方程成立，所以只有0是的解.
时，无非零解.
设，则，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
所以最小值为，
当时，，当时，，故定有零点，又因为无非零解，有零点应还是0.
所以，则，
得，，得
设
令得
因为，在上单调递增，
又，，
所以使得，且.
，单调递减，
，单调递增，
所以最小值
且，得
又因为，所以，
故整数k的最大值为2.
19．答案：（1）和；（2）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）
解析：（1）函数的图象是圆锥曲线中的双曲线，且y轴和直线是它的渐近线可知，对称轴为直线和.
，得
解得，
所以得，
，
所以对称轴l的方程为和.
（2）（ⅰ）【法一】在转轴下，设坐标轴的旋转角为，平面上任一点P在旧坐标系xOy与新坐标系内的坐标分别为与，作，，再设，则
，，
，
由（1）可知将坐标轴逆时针旋转，函数将变为双曲线标准方程，由公式可得
代入整理得.
【或将代入，
得
得】
【法二】考虑将函数顺时针转，可得双曲线标准方程C.
任取C上一点，，，
则点在上.
即
得
（ⅱ）由题意知A、B为双曲线的两个焦点
所以
又因为为直角三角形，所以
由双曲线性质可知||
得
所以
得的面积为
X
0
1
2
3
P