渑池县第二高级中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份渑池县第二高级中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．已知向量，满足，，则( )
A.8B.4C.2D.1
3．如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），，，则的面积为( )
A.B.C.24D.48
4．已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的表面积为( )
A.B.C.D.
5．某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是( )
A.该几何体的面是等边三角形或正方形
B.该几何体恰有12个面
C.该几何体恰有24条棱
D.该几何体恰有12个顶点
6．蒙古包(Mnglianyurts)是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐、毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，则该蒙古包(含底面)的表面积为( )
A.B.C.D.
7．正方形的边长为2，E是的中点，F是的中点，则( )
A.4B.3C.-4D.-3
8．在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A.，，
B.，，
C.，，
D.，，
二、多项选择题
9．已知向量,,则下列说法不正确的是( )
A.当时,
B.当时,
C.与夹角为钝角时,则t的取值范围为
D.当时,在上的投影向量为
10．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下说法正确的是( )
A.平面B.平面
C.平面平面D.平面平面
11．若复数z满足,则可能为( )
A.2B.4C.6D.8
三、填空题
12．已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，
则的形状是________.
13．已知向量，满足，，，则向量与的夹角为________.
14．已知向量，，（其中，），若与共线，则的最小值为________.
四、解答题
15．如图，在菱形ABCD中，,
（1）若，求的值；
（2）若，求.
16．现需要设计一个仓库，由上下两部分组成，如图所示，上部分的形状是，下部分的形状是正四棱柱，要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.
（1）若，，则仓库的容积（含上下两部分）是多少？
（2）若上部分正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且.
（1）求C的大小；
（2）求的面积.
18．如图，在正三棱柱中，E，F，G，H分别是，，，的中点.
（1）求证：B，D，H，G四点共面
（2）求证：平面；
（3）若底面边长为2，，求三棱锥的体积.
19．已知为中边上的中线，，.
（1）若，求的长；
（2）若，求的值及的值.
参考答案
1．答案：B
解析：
2．答案：C
解析：因为，，
所以，所以
所以即，
故选：C
3．答案：D
解析：
由直观图可得如上平面图形：
其中，，，轴，且，
所以.
故选：D
4．答案：B
解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由圆锥的侧面展开图是一个半圆可得，得.由圆锥的高为3可得，则，故，则球O的半径，球O的表面积为.
5．答案：B
解析：据图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；
该几何体恰有14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正确.
故选：B.
6．答案：A
解析：根据题意，设圆雉的底面半径为r，圆雉的母线长为l，则圆柱的底面半径也为r，
由于底面圆的面积为平方米，即，解可得，
故，
故圆锥的侧面积，
圆柱的侧面积
底面圆的面积为，
故该蒙古包（含底面）的表面积
平方米
故选：A.
7．答案：D
解析：设，，则，
由题意得
，
所以
所以
故选：D.
8．答案：B
解析：A.由，，，满足两边之和大于第三边，
由余弦定理可得：
则C为锐角，可得三角形只有一解，故A错误；
B.由，，，可得，则三角形有两解，故B正确；
C.由，，，可得，则三角形有一解，故C错误；
D.由，，，可得，则，B为锐角，可得三角形只有一解，故D错误.
故选：B.
9．答案：ACD
解析：A：由,则,不正确;
B．由题意,则,正确;
C：当时,即向量,反向共线,此时夹角不为钝角,不正确;
D：时,在上的投影向量为,不正确．
故选：ACD.
10．答案：ABCD
解析：以为下底还原正方体，如图所示，则有平面，平面，选项A，B正确；
在正方体中，，平面，平面，所以平面，同理平面，，平面，所以平面平面，同理平面平面，选项C，D正确，
故选：ABCD.
11．答案：BC
解析：设
表示以为圆心,1为半径的圆
表示点到点之间的距离
连接交圆A于点C,延长线交圆A于点D
,
即
故选：BC.
12．答案：直角三角形
解析：由题意，，
由余弦定理得，
，
即，
即
即，
即
即
即，
即，
因为，
所以，
即，
所以是以A为直角的三角形.
13．答案：30°
解析：向量满足，，，
则
则，
则向量与的夹角为，即为.
14．答案：3
解析：由、共线得：
，
当且仅当即时“=”成立.
15．答案：(1)-1
(2)-9
解析：（1）因为在菱形ABCD中，,.
故，
故，所以.
（2）显然，
所以
①，
因为菱形ABCD，且，，
故，.
所以.
故①式.
故.
16．答案：（1）；
（2）当时，正四棱柱侧面积最大，最大为
解析：（1）因为，正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍，
所以，所以仓库的容积.
（2）若正四棱锥的侧棱长为，设，
则，，，
正四棱柱侧面积为：
，
所以，
当且仅当，即时，.
所以当时，正四棱柱侧面积最大，最大为.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，
所以由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以
（2）由余弦定理得
，
所以，
所以，解得，
所以
18．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）
解析：（1）G，H分别是，的中点，
GH是的中位线，，
又在三棱柱中，，
，B，C，H，G四点共面.
（2）在三棱柱中，，，
，，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，平面
（3）由题意，知.
19．答案：（1）；
（2），.
解析：（1）设，，则，，.
因为，，所以，
所以，所以，
所以，且为中$AB$边上的中线，所以，则为正三角形，所以.
（2）依题意可得，设，，
因为，可得
由余弦定理得，则，
整理得，即.
由正弦定理得，，
即，，整理得，
则，则.
在，由余弦定理得，则，整理得，即.