2023-2024学年浙江省强基联盟高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省强基联盟高二（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x||x|<3}，B={x∈N|x2<11}，则A∩B=( )
A. {−2,−1,0,1,2,3}B. {0,1,2}
C. {1,2,3}D. {1,2}
2.双曲线E：x29−y236=1的渐近线方程为( )
A. y=±14xB. y=±12xC. y=±2xD. y=±4x
3.已知向量a=(1,2)，b=(3,m)，若a⊥(a+b)，则m的值为( )
A. −4B. 4C. −6D. 6
4.i为虚数单位，则1+i+i2+i3+⋯+i2024=( )
A. −iB. iC. −1D. 1
5.已知正数x，y满足x+y=2，则x2+y2−xy的取值范围是( )
A. [1,4]B. [0,4]C. [1,4)D. [1,3)
6.圆台的上底面面积为π，下底面面积为9π，母线长为4，则圆台的侧面积为( )
A. 10πB. 20πC. 8πD. 16π
7.对于数列{an}，设甲：{an}为等差数列，乙：a1+(n−1)an+1=nan，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.袋子中装有5张编号分别为1，2，3，4，5的卡片，从袋子中随机选择3张卡片，记抽到的3张卡片编号之和为S，编号之积为T，则下列说法正确的是( )
A. S是3的倍数的概率为0.4B. S是3的倍数的概率为0.6
C. T是3的倍数的概率为0.2D. T是3的倍数的概率为0.8
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线y=kx与圆(x−2)2+(y+1)2=9相交于A，B两点，则|AB|的长度可能等于( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
10.已知α，β∈R，则下列等式成立的是( )
A. cs(α+β)⋅cs(α−β)=cs2α−cs2β
B. cs(α+β)⋅cs(α−β)=cs2α−sin2β
C. sin(α+β)⋅sin(α−β)=cs2α−sin2β
D. sin(α+β)⋅sin(α−β)=sin2α−sin2β
11.下列定义在(0,+∞)上的函数f(x)中，满足∀x∈(0,+∞)，f(x)+f(1x)≥2f(1)的有( )
A. f(x)= xB. f(x)=x1+x2C. f(x)=csπxD. f(x)=ex
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(x+2y)5的展开式中含x3y2项的系数为______．
13.如图，已知过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点A(−a,0)作直线1交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且PQ=2QA，则椭圆的离心率为______．
14.若不等式xy+y2+z2≥k(x+y)z对任意满足y+z≥x的正实数x，y，z均成立，则实数k的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=x2g(x)=ex．
(1)求函数y=f(x)+g(x)在x=0处的切线方程；
(2)求函数y=f(x)g(x)的单调区间和极值．
16.(本小题15分)
已知盒中有2个黑球和2个白球，每次从盒中不放回地随机摸取1个球，只要摸到白球就停止摸球．
(1)求摸球三次后刚好停止摸球的概率；
(2)记摸球的次数为随机变量X，求X的分布列和期望．
17.(本小题15分)
如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，E为侧棱BB1的中点．
(1)求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1；
(2)若AA1=A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角的大小．
18.(本小题17分)
如图，抛物线P：y2=2px(p>0)，M(2,1)是抛物线内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线l1，l2，设l1与抛物线Γ相交于点A，B，l2与抛物线P相交于点C，D，当M恰好为线段AB的中点时，|AB|=2 6．
(1)求抛物线Γ的方程；
(2)求AC⋅DB的最小值．
19.(本小题17分)
对于正整数m，n，存在唯一的自然数a，b，使得m=an+b，其中a∈N，0≤b(1)求D(2024,9)和M(2024,9)．
(2)求{T(100)n}的前3项．
(3)存在n0，使得T(i)n0≠0，且对任意n>n0，T(i)n=0成立.考虑T(i )n0的值：
当T(i )n0=1时，
定义数列{T(i)n}的变换数列{T′(i)n}的通项公式为T′(i)n=2,n=n0,T(i)n−1,n≠n0.
当T(i )n0=2时，
定义数列{T(x)n}的变换数列T′(t)n}的通项公式为T′(i)n=1,n=n0+1,T(i)n−1,1n0+1.
若数列{T′(i)n}和数列{T(j)n}相同，则定义函数f(i)=j，其中函数f(i)的定义域为正整数集．
(Ⅰ)求证：函数f(i)是增函数．
(Ⅱ)求证：f(f(i))=3i．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A={x||x|<3}=(−3,3)，
B={x∈N|x2<11}={0,1,2,3}，
故A∩B={0,1,2}．
故选：B．
解出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由双曲线的方程可得a2=9，b2=36，∴a=3，b=6，
∴双曲线的渐近线方程为y=±2x．
所以选：C．
根据双曲线渐近线方程即可计算．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：向量a=(1,2)，b=(3,m)，
则a+b=(4,m+2)，
a⊥(a+b)，
则4×1+2(m+2)=0，解得m=−4．
故选：A．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为1+i+i2+i3+⋯+i2024=1−i20251−i=1−(i4)5061−i=1−i1−i=1．
故选：D．
由已知结合复数的四则运算及等比数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为0所以x2+y2−xy=(x+y)2−3xy=4−3xy∈[1,4)，
故x2+y2−xy的取值范围是[1,4)．
故选：C．
根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意，圆台的上底面面积为π，下底面面积为9π，
则该圆台的上、下底面的半径分别为1和3，
又由其母线长为4，
则圆台的侧面积为S=2π×(1+3)2×4=16π．
故选：D．
根据题意，求出圆台的上、下底面的半径，由圆台的侧面积公式计算可得答案．
本题考查圆台的侧面积计算，涉及圆台的结构特征，属于基础题，
7.【答案】C
【解析】解：若{an}是等差数列，
则a1+(n−1)an+1=a1+(n−1)(a1+nd)=na1+n(n−1)d=nan，充分性成立，
若a1+(n−1)an+1=nan，则a1+nan+2=(n+1)an+1，两式相减得nan+2=(n−1)an+1=(n+1)an+1−nan，即nan+2+nan=2nan+1，
所以{an}是等差数列，必要性成立．
故选：C．
根据已知条件，依次判断充分性、必要性，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：首先n(Ω)=C53=10，
S是3的倍数的情况包括{3,4,5}，{2,3,4}，{1,3,5}，{1,2,3}，
所以概率为p=410=0.4，故A正确，B错误；
T是3的倍数的情况数为C11C42=6，
所以概率为P=610=0.6，故CD均错误．
故选：A．
利用古典概率、列举法求解．
本题考查古典概率、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】BCD
【解析】解：根据题意，可得直线y=kx经过原点O(0,0)，
圆C：(x−2)2+(y+1)2=9，圆心为C(2,−1)，半径r=3．
当直线经过点C时，直线被圆截得的弦长为圆的直径2r=6，此时弦长达到最大值；
|OC|= 22+12= 5，当直线与OC垂直时，
直线被圆截得的弦长为2 r2−|OC|2=2 9−5=4，此时弦长达到最小值．
综上所述，直线y=kx被圆C截得弦长的取值范围是[4,6]，对照各项，可知BCD符合题意．
故选：BCD．
因为直线y=kx经过原点O(0,0)，圆(x−2)2+(y+1)2=9的圆心为C(2,−1)，所以当直线与OC垂直时，直线被圆截得的弦最短，直线经过圆心时，直线被圆截得的弦最长，由此算出弦长的取值范围，进而可得正确答案．
本题主要考查直线的方程、圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A，取α=0，左边=cs2β，
右边=1−cs2β，故错误；
对于C，取β=0，左边=sin2α≠cs2α=右边，故错误；
对于B，左边=(csαcsβ−sinαsinβ)(csαcsβ+sinαsinβ)
=cs2αcs2β−sin2αsin2β
=(1−sin2α)(1−sin2β)−sin2αsin2β
=1−sin2β−sin2α+sin2βsin2α−sin2αsin2β
=1−sin2β−sin2α
=cs2β−sin2α=右边，故正确；
对于D，左边=(sinαcsβ+csαsinβ)(sinαcsβ−csαsinβ)
=sin2αcs2β−cs2αsin2β
=(1−cs2α)(1−sin2β)−cs2αsin2β
=1−sin2β−cs2α+sin2βcs2α−cs2αsin2β
=1−sin2β−cs2α
=sin2α−sin2β=右边，故正确．
故选：BD．
对于A，取α=0，即可判断；
对于C，取β=0，即可判断；
对于B，利用两角和与差的余弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解；
对于D，利用两角和与差的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了两角和与差的余弦公式，同角三角函数基本关系式以及两角和与差的正弦公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，f(x)= x，则f(x)+f(1x)= x+1 x≥2=2f(1)，当且仅当x=1时，等号成立，满足条件；
对于B，f(x)=x1+x2，则f(x)+f(1x)=x1+x2+1x1+1x2=2x1+x2=2x+1x≤1=2f(1)，
当且仅当x=1时，等号成立，不满足条件；
对于C，f(x)=csπx，f(x)min=−1=f(1)，所以f(x)+f(1x)≥2f(1)，显然成立；
对于D，f(x)=ex，因为x∈(0,+∞)，
所以x+1x≥2，1x≥2−x．
所以f(x)+f(1x)=ex+e1x≥ex+e2−x≥2e=2f(1)，当且仅当x=1时，等号成立，满足条件．
故选：ACD．
利用函数性质与基本不等式判断A，B，D；利用余弦函数的性质判断C．
本题考查了指数函数、幂函数、余弦函数的性质，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
12.【答案】40
【解析】解：二项式(x+2y)5的展开式的通项为Tr+1=2rC5rx5−ryr，
令r=2，可得含x3y2的项的系数是22C52=40．
故答案为：40．
利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令r=2，可得含x3y2的项的系数
本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，是基础题．
13.【答案】2 55
【解析】解：∵△AOP是等腰三角形，A(−a,0)∴P(0,a)．
设Q(x0,y0)，∵PQ=2QA，∴(x0,y0−a)=2(−a−x0,−y0).
∴x0=−2a−2x0y0−a=−2y0，解得x0=−23ay0=13a．
代入椭圆方程得49a2a2+19a2b2=1，化为b2a2=15．
∴e=ca= 1−b2a2=2 55．
故答案为2 55．
利用等腰三角形的性质和向量相等运算即可得出点Q的坐标，再代入椭圆方程即可．
熟练掌握等腰三角形的性质和向量相等运算、“代点法”等是解题的关键．
14.【答案】 2−12
【解析】解：因为不等式xy+y2+z2≥k(x+y)z对任意满足y+z≥x的正实数x，y，z均成立，
所以k≤y(x+y)+z2(x+y)z=yz+zx+y，
因为2y+z2z+z2y+z≥2 2y+z2z⋅z2y+z= 2，当且仅当2y+z= 2z时取等号，
所以yz+zx+y≥yz+z2y+z=2y+z2z+z2y+z−12≥ 2−12．
故答案为： 2−12．
由已知不等恒成立先分离参数，然后结合基本不等式可求．
本题主要考查了不等式恒成立与最值关系的转化，属于中档题．
15.【答案】解：(1)函数y=ex+x2，导函数y′=ex+2x，
当x=0时，y=1，y′=1，
则切点为(0,1)，切线斜率为1，
所以切线方程为y=x+1．
(2)函数y=x2ex，导函数y′=x(2−x)ex，
当x<0或x>2时，y′<0，当00，
所以函数y=x2ex的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(−∞,0)，(2,+∞)．
所以当x=0时，函数y=x2ex取得极小值为0，当x=2时，函数y=x2ex取得极大值为4e2．
【解析】(1)求出函数y=f(x)+g(x)解析式，求导，求出切点及切线斜率，从而可得切线方程；
(2)求出函数y=f(x)g(x)的解析式，利用导数与单调性的关系可得单调区间，进而可得极值．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】解：(1)由题当且仅当前两次摸到2个黑球即可停止，
故所求概率为P=C22C42=16；
(2)由题，X的所有可能取值为1，2，3，
则P(X=1)=24=12，
P(X=2)=24×23=13，
P(X=3)=16，
所以X的分布列为：
则E(X)=1×12+2×13+3×16=53．
【解析】(1)由题当且仅当前两次摸到2个黑球即可满足题意，然后结合题目所给数据即可求解；
(2)由题，X的所有可能取值为1，2，3，然后结合题意求出每个取值对应的概率即可得解．
本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题．
17.【答案】(1)证明：连接AC1，交A1C于点M，再连接EM，
则M为A1C的中点，
因为E为BB1的中点，所以A1E=CE，
所以EM⊥A1C，同理可证EM⊥AC1，
又因为AC1∩A1C=M，AC1，A1C⊂平面ACC1A1，
所以EM⊥平面ACC1A1，又EM⊂平面A1EC，
所以平面A1EC⊥平面ACC1A1；
(2)解：由(1)知，EM⊥A1C，A1C⊥AC1，
EM∩A1C=M，EM，A1C⊂平面A1EC，
故AC ​1⊥平面A1EC，即C1A为平面A1EC的一个法向量，
又C1C显然为平面A1B1C1的一个法向量，
由AA1=A1B1可知，=45°，
由图可知，平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角为锐二面角，
所以平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角的大小为45°．
【解析】(1)连接AC1，交A1C于点M，再连接EM，可证EM⊥平面ACC1A1，由面面垂直的判定定理即可证得结论；
(2)可判定C1A为平面A1EC的一个法向量，C1C为平面A1B1C1的一个法向量，由向量夹角即可得二面角大小．
本题考查面面垂直的判定，考查二面角的求法，属中档题．
18.【答案】解：(1)由题意，设直线AB：x−2=m(y−1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x−2=m(y−1)y2=2px，得y2−2pmy+2pm−4p=0，
所以y1+y2=2pm，y1y2=2pm−4p，
又因为M(2,1)是线段AB中点，所以y1+y22=pm=1，
故|AB|= (1+m2)|y1−y2|= 1+m2⋅ (y1+y2)2−4y1y2= 1+m2 16p−4=2 6，
代入化简得(p−1)(4p2−3p+1)=0，解得p=1，
故抛物线Γ的方程为y2=2x；
(2)由题意，AC⋅DB=(MC−MA)⋅(MB−MD)
=−MC⋅MD−MA⋅MB=|MC|⋅|MD|+|MA|⋅|MB|，
因为||MA|⋅|MB|= (1+m2)|y1−1|⋅ (1+m2)|y2−1|
=(1+m2)|y1y2−(y1+y2)+1|=3(1+m2)，
同理可得|MC|⋅|MD|=3(1+1m2)，
所以AC⋅DB=3(1+m2)+3(1+1m2)=3(2+m2+1m2)≥12，
当且仅当m=±1时，等号成立，
即AC⋅DB的最小值为12．
【解析】(1)设直线AB：x−2=m(y−1)，联立直线方程与抛物线方程，由韦达定理结合弦长公式列方程求得p值即可；
(2)根据平面向量的数量积运算，结合弦长公式及基本不等式，即可求得结论．
本题考查直线与抛物线的综合应用，属中档题．
19.【答案】解：(1)对于正整数m，n，存在唯一的自然数a，b，使得m=an+b，其中a∈N，0≤b记a=D(m,n)，b=M(m,n)，
∵2024=224×9+8，
∴D(2024,9)=224，M(2024,9)=8．
即D(2024,9)和M(2024,9)的值分别为224和8．
(2)对任意正整数i，定义i的生成数列为{T(i)n}，其中T(i)n=M(i,3n)−M(i甲3n−1)3n−1，
∴T(100)1=M(100.3)−M(100,1)1=1，
T(100)2=M(100,9)−M(100,3)3=0，
T(100)3=M(100.27)−M(100.9)9=2．
∴{T(100)n}的前3项分别为1，0，2．
(3)证明：(Ⅰ)存在n0，使得T(i)n0≠0，且对任意n>n0，T(i)n=0成立，
当T(i )n0=1时，数列{T(i)n}的变换数列{T′(i)n}的通项公式为T′(i)n=2,n=n0,T(i)n−1,n≠n0.
当T(i )n0=2时，数列{T(x)n}的变换数列T′(t)n}的通项公式为T′(i)n=1,n=n0+1,T(i)n−1,1n0+1．
数列{T′(i)n}和数列{T(j)n}相同，则定义函数f(i)=j，其中函数f(i)的定义域为正整数集，
对任意正整数i，总有M(i,1)=0，且一定存在H2，使得3x0−1>i，
此时有M(i,3%)=M(i,3n0−1)=i，即当n>n0时，T(i)m=0．
∵0≤M(i,3n)<3n，∴D(M(x,3°)3n−1)又M(M(i,3°)，3n−1)=M(i，3n−1)，
∴M(i,3°)=3+D(M(i,3°).3n−1)+M(i，3n−1)，
∴T(i)n=D(M(d,3°),3n−1)∈{0,1,2}，
∵i=M(i,3°)=(M(i,3°)−M(i,3°−1))+(M(i,3%−1)−M(i,3°−2))+…+(M(i,9)−M(i,3))+(M(i,3)−M(i,1))
=3%−T(i)+3°−2T(i)−+…+3T(i)+T(i)．
{T(i1)u}和{T(i2)n}的变换数列分别为{T(j1)n}和(T(j2)m}，且i1数列(T(G1)n}满足T(i1)n≠0，且当n>n1时，T(i1)n=0，
数列{T(i2)8}满足T(i2)nan≠0，且当n>n2时，T(x2)n=0．
当n1则j<3″+2(3°−1+…+9+3+1)=2×3″−1<2×3°≤2×3%−1当n1=n2时，若T(i1)n=T(i2)n1=1，
i1=3n1−1+3n1−2T(i1)n1−1+⋅⋅⋅+3T(i1)2+T(i1)1，
i2=3n2−1+3n2−2T(a2)n2−1+⋯+3T(i2)2+T(i2)1，
j1=2×3n1−1n1T(i1)n−1+⋯+3T(i1)2+T(i1)，
j2=2×3n2−1n2−2T(i2)n−1+⋯+3T(i2)3+T(i2)1，
则j2−j1=i2−i1>0．
若T(i1)n=T(i2)n2=2，
i1=2×3n1−1+3n1−2T(i1)14+⋯+3T(i1)2+T(i1)1，
i2=2×3n2−1+3n2−2T(i2)n2−1+3T(i2)2+T(i2)1，
j1=3n1+3n1−1T(i1)n1−1+⋅⋅⋅+32T(i1)2+3T(i1)1+0，
j2=3n2+3n2−1T(i2)n2−1+⋯+32T(i2)2+3T(d2)1+0．
∴j2−j1=3(i2−i1)>0，∴f(i)是增函数．
若T(i1)ni=2，T(i2)n=1，
则i≥2×3n>3n1+2×3n1+⋅⋅⋅+2×31+2≥i2，与i1若T(i1)n=1，T(i2)n1=2，则ji≤2×3n1=2×3n2<3n2+1∴函数f(i)是增函数．
(Ⅱ)数列{T(x)n}的变换数列为{T(j)n}，数列{T(j)n}的变换数列为{T(k)n}.
∴证明f(f(i))=3i，即证k=3i．
数列{T(x)n}满足T(i)n≠0，且当n>n0时，T(x)n=0．
若T(i)n=1
则i=3n0−1+3n0−2T(i)n−1+⋯+3T(i)2+T(i)2．
j=2×3n1+3x0−3T(i)u+1+⋯+3T(i)2+T(i)1⋅
k=3s1+3n1T(i)n,−1+⋯+3≥T(i)2+3T(i)1+0=3．
若T(i)n=2，
则i=2×3n−1+3an−2T(i)n2−1+⋯+3T(i)2+T(i)1，
j=3n0+3n0−1T(i)n0−1+⋅⋅⋅+32T(i)2+3T(i)1+0，
k=2×3m1+3s1T(i)n−1+⋯+32T(i)2+3T(i)1+0=3i，
综上，f(f(i))=3i．
【解析】(1)由2024=224×9+8，利用新定义能求出D(2024,9)，M(2024,9)．
(2)利用新定义能求出{T(100)n}的前3项．
(3)(Ⅰ)对任意正整数i，总有M(i,1)=0，且一定存在H2，使得3x0−1>i，当n>n0时，T(i)m=0.由0≤M(i,3n)<3n，得D(M(x,3°)3n−1)n1时，T(i1)n=0，数列{T(i2)8}满足T(i2)nan≠0，且当n>n2时，T(x2)n=0.由此能证明f(i)是增函数．
(Ⅱ)若数列{T(x)n}的变换数列为{T(j)n}，数列{T(j)n}的变换数列为{T(k)n}.即证k=3i.数列{T(x)n}满足T(i)n≠0，且当n>n0时，T(x)n=0.由此能证明f(f(i))=3i．
本题考查新定义、数列的应用、变换数列、数列的单调性、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，是难题．X
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