2024年浙江省舟山市中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年浙江省舟山市中考数学一模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.舟山市体育中考，女生立定跳远的测试中，以1.97m为满分标准，若小贺跳出了2.00m，可记作+0.03m，则小郑跳出了1.90m，应记作( )
A. −0.07mB. +0.07mC. +1.90mD. −1.90m
2.数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.如图，⊙O的切线PA交半径OB的延长线于点P，A为切点，若∠P=30°，则∠AOB的度数为( )
A. 30°
B. 45°
C. 50°
D. 60°
4.下列运算正确的是( )
A. a+2a2=3a3B. a2⋅a3=a6C. (2a2)3=8a6D. a6÷a2=a3
5.舟山少体校要从甲、乙、丙、丁四位运动员中
选拔一位成绩较为稳定的选手参加省射击比赛.测得的四位选手10次射击平均成绩和方差数据如右表所示，判断哪位学生参加比赛较为合适( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
6.如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm，他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为4cm的像，蜡烛与纸筒的距离应该为( )
A. 60cmB. 65cmC. 70cmD. 75cm
7.小红带着数学兴趣小组研究分式xx+1，下列说法正确的是( )
A. 当x=2时，xx+1=34
B. 当xx+1=56时，x=6
C. 当x>3时，xx+1<34
D. 当x越来越大时，xx+1的值越来越接近于1
8.如图，是1个纸杯和n个叠放在一起的纸杯示意图，n个纸杯叠放所形成的高度为h，设杯子底部到杯沿底边高H，杯沿高a(H,a均为常量)，h是n的函数，h随着n的变化规律可以用表达式描述．( )
A. h=H+(n−1)aB. h=H+na
C. h=H+(n+1)aD. h=na
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为BC，AB的中点，将△EDB绕点B顺时针旋转α(0<α<90°)形成△E′D′B，连结AE′.若BC=2AC，AE′//BC时，则AE′BC为( )
A. 23B. 34C. 22D. 55
10.已知一次函数y=kx+3(k≠0)，当k≤x≤m时，a≤y≤b，若a+b的最小值为2，则m的值为( )
A. ±2B. 2C. ±4D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知220=IR，则I关于R的函数为______．
12.如图天平左盘放3个乒乓球，右盘放5g砝码，天平倾斜，设每个乒乓球的质量为x(g)，请写出x与5之间的关系：______.(用不等式表示)
13.已知100瓶饮料中有3瓶已过保质期.从中任取1瓶，取到已过保质期饮料的概率为______．
14.如图，在平面直角坐标系中，边长为12的等边三角形AOB的一边OB在x轴上，点A在第一象限.若反比例函数y=kx的图象在第一象限内经过OA的中点C，则k= ______．
15.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，BD=4，BE⊥AD于点E，交AC于点F，则S△AEF= ______．
16.许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式，某日小明与小红戴着智能运动手表相约在舟山滨海大道上晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，请提取以下相关信息并解决问题．
信息一：两人佩戴某款智能运动手表中的若干数据如下：

信息二：小明每步比小红每步多跑0.2米，小明每分钟比小红多跑20步，
问题：(1)起点与终点的距离为______米；
(2)跑步结束他们相约去吃早饭，请问小明要在终点处等小红______分钟．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算：38− 4+20240，
(2)因式分解：x2−9．
18.(本小题8分)
解一元二次方程x2−2x−3=0时，两位同学的解法如下：
(1)判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”．
(2)请选择合适的方法求解此方程．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=25°，过点A作AD⊥BC，垂足为D，延长DA至E.使得AE=AC.在边AC上截取AF=AB，连结EF．
(1)求∠EAF的度数．
(2)求证：EF=BC．
20.(本小题8分)
科技创新综合指数由科技创新总量指数和科技创新效率指数组成(以下简称：综合指数、总量指数和效率指数).某研究中心对2021年中国城市综合指数得分排名前40的城市有关数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息：
信息一.综合指数得分的频数分布直方图(数据分成6组：65.0≤x<70.0，70.0≤x<75.0，75.0≤x<80.0，80.0≤x<85.0，85.0≤x<90.0，90.0≤x<95.0)：

信息二.综合指数得分在70.0≤x<75.0这一组的是：70.0，70.4，70.6，70.7，71.0，71.0，71.4，71.2，71.8，71、9，72.5，73.8，74.0，74.4，74.5，74.6．
信息三.40个城市的总量指数与效率指数得分情况统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)综合指数得分在80.0≤x<85.0的城市个数为______个；
(2)40个城市综合指数得分的中位数为______
(3)以下说法正确的是______．
①某城市创新效率指数得分排名第1，该城市的总量指数得分大约是86.2分；
②大多数城市效率指数高于总量指数，可以通过提升这些城市的总量指数来提升城市的综合指数．
21.(本小题8分)
某小区一种折叠拦道闸如图1所示，由道闸柱AB，EF，折叠栏BC，CD构成，折叠栏BC绕点B转动从而带动折叠栏CD平移，将其抽象为如图2所示的几何图形，其中BA⊥AE，EF⊥AE垂足分别为A，E，CD//AE.已知BC=1.8米，CD=2.7米，AB=EF=1.2米，AE=4.5米，请完成以下计算(参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7)
(1)若∠ABC=135°，求点C距离地面的高度.(结果精确到0.1米)
(2)若∠ABC=150°，请问一辆宽为3米，高为2.5米的货车能否安全通过此拦道闸，请计算说明．
22.(本小题10分)
综合与实践
23.(本小题10分)
如图，二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，C为顶点．
(1)请求出二次函数的表达式及图象的顶点C的坐标．
(2)若点E为抛物线对称轴左侧一点，过点E作x轴平行线交对称轴于点D，若ED=m，试用m的代数式表示CD．
(3)连结EC，过点C作CF⊥EC交抛物线于点F，过点F作x轴的平行线交对称轴于点G，证明：GF⋅DE=1．
24.(本小题12分)
小舟同学在复习浙教版九上93页第1题后进行变式拓展与思考，如图1，△ABC为⊙O的内接三角形，其中AB=AC，请完成以下探究：
(1)【直观感受】：①请在图2中用圆规和直尺画出满足条件的所有等腰三角形ABC；
【复习回顾】：②若⊙O的半径为5，BC的度数为120°，请计算BC的长；
(2)如图3，连结BO并延长交AC于点E，交⊙O于点F，过点B作BD⊥AC于点D，记BDAB=x，BCOB=y，
【思考探究】：①求y与x的函数关系式(不必写自变量取值范围)；
【感悟应用】：②若点E为AC的三等分点，求tan∠C．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：以1.97m为满分标准，若小贺跳出了2.00m，可记作+0.03m，则小郑跳出了1.90m，应记作：1.90−1.97=−0.07(m)．
故选：A．
根据多于标准的记为正，少于标准的即为负，直接解答即可．
本题考查了正数和负数，理解正负数表示相反意义的量是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、该图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、该图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、该图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
直接根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握将某一个图形旋转180°后，仍与原图形重合，这就是中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形．
3.【答案】D
【解析】解：∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=30°，
∴∠AOB=90°−30°=60°，
故选：D．
根据切线的性质得到∠OAP=90°，
本题考查了切线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、a与2a2不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；
B、a2⋅a3=a5，故该项不正确，不符合题意；
C、(2a2)3=8a6，故该项正确，符合题意；
D、a6÷a2=a4，故该项不正确，不符合题意；
故选：C．
根据同底数幂的乘除法法则、合并同类项的方法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵甲，乙，丙，丁四个人的平均数都相等，且甲的方差最小，
∴甲的成绩最稳定，
∴甲参加比赛较为合适．
故选：A．
根据算术平均数和方差的意义解答即可．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6.【答案】D
【解析】解：如图，AB=20cm，OF=15cm，CD=4cm，
∵AB/​/CD，EF⊥AB
∴EF⊥CD，
∴△OAB∽△ODC，
∴CDAB=OFOE，即420=15OE，
解得OE=75cm．
故选：D．
先根据题意得出相似三角形，再利用三角形相似的性质得到相似比，然后根据比例性质计算．
本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A、当x=2时，xx+1=23，原计算错误，不符合题意；
B、当xx+1=56时，x=5，原计算错误，不符合题意；
C、当x>3时，xx+1>34，原计算错误，不符合题意；
D、当x越来越大时，xx+1的值越来越接近于1，正确；
故选：D．
根据分式的运算法则逐项分析判断即可．
本题考查了分式的值，熟练掌握分式的运算是关键．
8.【答案】B
【解析】解：由题可知，H=h+an，
因为h，a是常量，n，H是变量，
因此此情景中变量之间的函数关系为一次函数．
故选：B．
根据题意列出解析式，h，a是常量，n，H是变量，直接判断即可．
此题考查一次函数的定义，根据题意列出解析式是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵BC=2AC，
∴令AC=a，BC=2a．
在Rt△ABC中，
AB= a2+(2a)2= 5a．
又∵点D，E分别为BC和AB的中点，
∴BD=a，BE= 52a．
由旋转可知，
D′E′=DE=a，BE′=BE= 52a．
过点B作AE′的垂线，垂足为M，
∵AE′//BC，
∴∠E′AC+∠C=180°，
又∵∠C=90°，
∴∠E′AC=90°，
∴四边形ACBM为矩形，
∴BM=AC=a，AM=BC=2a．
在Rt△BE′M中，
ME′= ( 52a)2−a2=12a，
∴AE′=2a−12a=32a，
∴AE′BC=32a2a=34．
故选：B．
根据BC=2AC，可设出BC及AC的长，过点B作AE′的垂线，垂足为M，利用勾股定理表示出E′M的长，进而可表示出AE′的长，据此可解决问题．
本题考查旋转的性质及三角形中位线定理，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：当k>0时，x=k，y=kx+3=k2+3=a，当x=m，y=km+3=b，
∴a+b=km+k2+6，
当k<0时，x=k，y=kx+3=k2+3=b，当x=m，y=km+3=a，
∴a+b=km+k2+6，
∵a+b的最小值为2，
∴km+k2最小值为−4，
∴y=km+k2=(k+12m)2−14m2，
当k=−12m时，y取得最小值−4，即−14m2=−4，
∴m=±4，
由题意知k≤x≤m，所以k当m=−4时，k=2，k>m，不符合题意舍去，
当m=4时，k=−2，满足题意，
故选：D．
先分析k>0和k<0时导出a+b=km+k2+6，根据最小值可得km+k2最小值为−4，通过配方得到y=km+k2=(k+12m)2−14m2，再根据k≤x≤m确定m的取值．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是解答本题的关键．
11.【答案】I=220R
【解析】解：∵220=IR，
∴I关于R的函数为I=220R．
故答案为：I=220R．
等式两边除以R即可得出答案．
本题考查函数的概念，解题的关键是理解函数的概念．
12.【答案】3x>5
【解析】解：由题意知3x>5，
故答案为：3x>5．
根据天平倾斜方向知左侧托盘质量大于右边，据此可得答案．
本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于(小于)、不超过(不低于)、是正数(负数)”、“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
13.【答案】3100
【解析】解：∵100瓶饮料中有3瓶已过保质期，
∴从中任取1瓶，取到已过保质期饮料的概率为3100，
故答案为：3100．
直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
14.【答案】9 3
【解析】解：∵边长为12的等边三角形AOB的一边OB在x轴上，点A在第一象限．
∴A(6,6 3)，
∵点C为线段OA中点，
∴C(3,3 3)，
∵点C在反比例函数图象上，
∴k=9 3．
故答案为：9 3．
根据等边三角形的性质得到点A坐标，根据中点坐标公式得到点C坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k值即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握等边三角形性质是关键．
15.【答案】95
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=12AC，OB=12BD，AD=AB，
∵AC=8，BD=4，
∴OA=4，OB=2，
∴AB= OB2+OA2=2 5，
∵BE⊥AD，
∴菱形ABCD的面积=AD⋅EB=12AC⋅BD，
∴2 5BE=12×8×4，
∴BE=8 55，
∴AE= AB2−BE2=6 55，
∵∠AOD=90°，OA=4，OB=2，
∴△AOD的面积=12OA⋅OD=4，
∵∠AEF=∠AOD=90°，
∵∠EAF=∠OAD，
∴△AEF∽△AOD，
∴S△AEFS△AOD=(AEAO)2=920，
∴S△AEF=95．
故答案为：95．
由菱形的性质推出AC⊥BD，OA=12AC，OB=12BD，AD=AB，由勾股定理求出AB= OB2+OA2=2 5，由菱形ABCD的面积=AD⋅EB=12AC⋅BD，求出BE=8 55，由勾股定理求出AE= AB2−BE2=6 55，求出△AOD的面积=12OA⋅OD=4，由△AEF∽△AOD，推出S△AEFS△AOD=(AEAO)2=920，即可求出S△AEF=95．
本题考查菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是由菱形的性质，勾股定理求出BE的长，由△AEF∽△AOD，推出S△AEFS△AOD=(AEAO)2=920．
16.【答案】4000 709
【解析】解：(1)设小红每步跑x米，则小明每步跑(x+0.2)米，
根据题意得：(5340−340)x=(4690−690)(x+0.2)，
解得：x=0.8，
∴(5340−340)x=(5340−340)×0.8=4000(米)，
∴起点与终点的距离为4000米．
故答案为：4000；
(2)根据题意得：小明每分钟跑的步数为4690−69020=200(步)，
∴小红每分钟跑的步数为200−20=180(步)，
∴小红跑完全程所需时间为(5340−340)÷180=2509(分钟)，
∴2509−20=709(分钟)，
∴明要在终点处等小红709分钟．
故答案为：709．
(1)设小红每步跑x米，则小明每步跑(x+0.2)米，利用距离=每步跑的距离×步数，结合起点到终点的距离不变，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入(5340−340)x中，即可求出结论；
(2)利用小明每分钟跑的步数=(跑完全程的步数−出发时刻的步数)÷跑完全程的时间，可求出小明每分钟跑的步数，结合小明每分钟比小红多跑20步，可求出小红每分钟跑的步数，利用小红跑完全程所需时间=小红跑完全程的步数÷小红每分钟跑的步数，再利用小明要在终点处等小红的时间=小红跑完全程所需时间−小明跑完全程所需时间，即可求出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=2−2+1=1；
(2)原式=(x+3)(x−3)．
【解析】(1)利用立方根及算术平方根的定义，零指数幂计算即可；
(2)利用平方差公式因式分解即可．
本题考查实数的运算及因式分解，熟练掌握相关运算法则及因式分解的方法是解题的关键．
18.【答案】解：(1)两位同学的解题过程都不正确．
(2)x2−2x−3=0，
(x−3)(x+1)=0，
x−3=0或x+1=0，
所以x1=3，x2=−1．
【解析】(1)利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据根的判别式的计算可判断解法二进行判断；
(2)利用因式分解法把方程转化为x−3=0或x+1=0，然后解两个一次方程．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程．
19.【答案】(1)解：∵AD⊥BC．
∴∠ADC=90°．
∵∠C=25°，
∴∠EAF=∠ADC+∠C=115°；
(2)证明：在△ABC中，∠B=40°，∠C=25°，
∴∠CAB=180°−∠B−∠C=115°．
∴∠EAF=∠CAB．
在△EAF和△CAB中，
AE=AC∠EAF=∠CABAF=AB，
∴△EAF≌△CAB(SAS)，
∴EF=CB．
【解析】(1)由三角形外角的性质可得出答案；
(2)证明△EAF≌△CAB(SAS)，得出EF=CB．
此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
20.【答案】5 73.9 ②
【解析】解：(1)综合指数得分在80.0≤x<85.0的城市个数为：40−8−16−8−2−1=5(个)，
故答案为：5；
(2)40个城市综合指数得分从小到大排列，排在第20和21位的两个数分别为73.8，74.0，故中位数为73.8+74.02=73.9，
故答案为：73.9；
(3)由题意可知，某城市创新效率指数得分排名第1，该城市的总量指数得分大约是84分，故①说法错误；
大多数城市效率指数高于总量指数，可以通过提升这些城市的总量指数来提升城市的综合指数，故②说法正确．
故答案为：②．
(1)用总数减去其它各组频数即可；
(2)根据中位数的定义判断即可，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；
(3)根据图表数据判断即可．
本题考查了频数分布表、统计图、中位数；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键．
21.【答案】解：(1)过点C作CM⊥AE于点M，过点B作BN⊥CM于点N，

∴四边形ABNM为矩形，
∴AB=MN，∠ABN=90°，
∵∠ABC=135°，
∴∠CBN=45°，
在Rt△BCN中，
CN= 22BC≈1.3(米)，
∴CM=CN+MN=1.3+1.2=2.5(米)，
∴点C距离地面的高度为2.5米；
(2)根据题意四边形ABNM为矩形，
∴AB=HG，∠ABN=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBN=60°，
在Rt△BCN中，
CN= 32BC≈1.5(米)，BN=12BC=0.9(米)，
∴CM=CN+MN=1.5+1.2=2.7(米)，
2.7>2.5，
BN=AM=0.9米，
ME=AE−AM=4.5−0.9=3.6(米)，
3.6>3，
∴一辆宽为3米，高为2.5米的货车能安全通过此拦道闸．
【解析】(1)过点C作CM⊥AE于点M，过点B作BN⊥CM于点N，在Rt△BCN中，根据三角函数求出CN，再根据CM=CN+MN，即可作答；
(2)当∠ABC=150°，在Rt△BCN中，根据三角函数求出CN和BN，再根据CM=CN+MN，比较高度和宽度即可作答；
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线．
22.【答案】 5 5
【解析】解：(1)将纸片折叠，使得AB与AD重合，折痕为AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴AB=AD，∠B=A∠DC=90°，∠BAC=∠DAC=45°，
∴∠B=∠BAC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形，
∵将纸片折叠，使得AB与CD重合，折痕为EF，
∴点E，F为AD，BC的中点，
∴FC=ED=1，
∴FD= DC2+FC2= 22+12= 5，
∵将矩形沿着FK折叠，使得ED的对应边FG落在直线BC，
∴DF=FG= 5，
故答案为： 5， 5；
(2)∵DF=FG= 5，
∴CG= 5−1，
由图4折叠可知，四边形ABGH为矩形，
∵CG= 5−1，HG=2，
∴CGHG= 5−12，
∴四边形DCGH为黄金矩形，
∵HG=2，BG= 5+1，
∴HGBG=2 5+1= 5−12，
∴四边形ABGH为黄金矩形，
∴四边形DCGH和四边形ABGH为黄金矩形；
(3)将纸片折叠，使得AB与AD重合，折痕为AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴AB=AD，∠B=∠ADC=90°，∠BAC=∠DAC=45°，
∵∠B=∠BAC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形，
由图5折叠可知，EA=EG=1，BG= 5−1，
∵纸片沿着BM折叠，点G对应点H落在AB上，过点H沿着HP折叠，折出矩形HBCP，
BH= 5−1，四边形HBCP是矩形，
∵BH= 5−1，BC=2，
∴BHBC= 5−12，
∴四边形HBCP为黄金矩形；
(4)小组一证明方法如下：
将纸片折叠，使得AB与AD重合，折痕为AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴AB=AD，∠B=∠ADC=90°，∠BAC=∠DAC=45°，
∴∠B=∠BAC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形，
∵将纸片折叠，使得AB与CD重合，折痕为EF，
∴点E，F为AD，BC中点，
∴FC=ED=1，
∴FD= DC2+FC2= 12+22= 5，
∵将矩形沿着FK折叠，使得FD的对应边FG落在直线BC，
∴DF=FG= 5，
∴CG= 5−1，
由图4折叠知，四边形ABGH为矩形，
∵CG= 5−1，HG=2，
∴CGHG= 5−12，
∴四边形DCGH为黄金矩形，
∵HG=2，BG= 5+1，
∴HGBG=2 5+1= 5−12，
∴四边形ABGH为黄金矩形；
小组二证明方法如下：
将纸片折叠，使得AB与AD重合，折痕为AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴AB=AD，∠B=∠ADC=90°，∠BAC=∠DAC=45°，
∴∠B=∠BAC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形，
由图5折叠可知，EA=EG=1，BG= 5−1，
∵纸片沿着BM折叠，点G对应点H落在AB上，过点H沿着HP折叠，折出矩形HBCP，
∴BH= 5−1，四边形HBCP是矩形，
∵BH= 5−1，BC=2，
∴BHBC= 5−12，
∴四边形HBCP为黄金矩形．
(1)根据矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，即可；
(2)根据折叠的性质，DF=FG，CG= 5−1，黄金矩形的定义，即可；
(3)根据折叠的性质，△ABC≌△ADC，则AB=AD，∠B=∠ADC=90°，∠BAC=∠DAC=45°，根据正方形的判定，则四边形ABCD是正方形，EA=EG=1，BG= 5−1，根据黄金矩形的定义，即可；
(4)根据折叠的性质，正方形的判定，黄金矩形定义，即可．
本题考查矩形综合题，勾股定理，折叠，黄金矩形的定义，解题的关键是掌握勾股定理的运用，折叠的性质，黄金矩形的定义．
23.【答案】(1)解：将点A(−1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx+3，
∴a−b+3=09a+3b+3=0，
解得a=−1b=2，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴顶点C(1,4)；
(2)解：设D(1,t)，
∵ED=m，
∴E(1−m,t)，
∴t=−(1−m)2+2(1−m)+3，
∴CD=4−t=m2；
(3)证明：∵ED⊥CD，GF⊥CD，
∴∠EDC=∠CGF=90°，
∵EC⊥CF，
∴∠ECF=90°，
∵∠ECD+∠FCG=90°，∠ECD+∠CED=90°，
∴∠FCG=∠CED，
∴△CDE∽△FGC，
∴EDCG=CDFG，
∴GF⋅DE=GC⋅CD，
∵ED=m，CD=m2，
∴FG=mCG，
设F(n,−n2+2n+3)，则G(1,−n2+2n+3)，
∴CG=4−(−n2+2n+3)=(n−1)2，
∴n−1=m(n−1)2，
∴n−1=1m，
∵FG=mCG，
∴GF⋅DE=mFG=m2⋅(n−1)2=1．
【解析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)设D(1,t)，可得E(1−m,t)，又由t=−(1−m)2+2(1−m)+3，能求CD=4−t=m2；
(3)证明△CDE∽△FGC，可得EDCG=CDFG，推导出FG=mCG，设F(n,−n2+2n+3)，则G(1,−n2+2n+3)，则CG=(n−1)2，所以n−1=1m，再由FG=mCG，可求GF⋅DE=mFG=m2⋅(n−1)2=1．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)①如图，

②如图，过点O作OH⊥BC，

∵BC=120°，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，OH⊥BC，
∴BH=CH=12BC，∠BOH=∠COH=60°，
∵OB=5，
∴BH=OB⋅sin60°=52 3，
∴BC=2BH=5 3．
(2)①如图，过点O作OH⊥BC，

∵∠A=12BC，∠BOH=12BC，
∴∠BOH=∠A，
∵∠BHO=∠BDA=90°，
∴△BOH∽△BAD，
∴BDBH=ABOB，
∴BDAB=BHOB，
∴BDAB=12⋅BCOB，
∴x=12y，
∴y=2x．
②如图，连接AO并延长交BC于点H，连接CF，
∵△ABC为腰三角形，根据轴对称性可知AH⊥BC，BH=CH，
又∵BF为⊙O直径，
∴∠BCF=90，
∴BH=CH，BO=OF，
∴OH为△BFC中位线，
∴OH//CF，
∴△AEO∽△CEF，
∵点E为AC的三等分点，
如图，当AEEC=12时，

∴AEEC=AOCF=12,AOOH=1，
∴OHAO=OHOB=1，
此种情形不存在，
如图，当AEEC=21的，

同理可推得OHOB=14，
∴BHOB= 154，
∴BCOB= 152=y，
由上题的结论可得 154=x，
即BDAB= 154，
∴ADAB=14，
∴BDCD= 153，
∴tan∠ACB= 153．
【解析】(1)①作线段BC的垂直平分线，交圆于点A，再连接即可解答；
②过点O作OH⊥BC，由三角形三线合一性质可得BH=CH=12BC，∠BOH=∠COH=60°，再用三角形函数即可解答；
(2)①过点O作OH⊥BC，先证明△BOH∽△BAD，再利用相似三角形的性质即可解答；
②连接AO并延长交BC于点H，连接CF，分当AEEC=12时及当AEEC=21时两种情况讨论求解即可．
本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、解直角三角形等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．甲
乙
丙
丁
平均成绩(环)
8
8
8
8
方差(环2)
1.4
2.8
2.3
1.6
解法一：x2−2x=3x(x−2)=3
x=1或x−2=3
∴x1=1或x2=5
解法二：a=1，b=−2，c=−3
b2−4ac=4−12=−8
∵b2−4ac<0
∴此方程无实数根．
主题
如何在矩形中折出黄金矩形
探
究
背
景
宽与长比为 5−12的矩形叫“黄金矩形”，建于公元前432年的古希腊帕特农神庙就是这种矩形.在学习完《比例线段》后，两个兴趣小组开启了数学探究之旅，探究如何在宽AB=2，BR足够长的矩形纸片中折出黄金矩形．
探
究
背
景
小组一
步骤1：如图1，将纸片折叠，使得AB与AD重合，折痕为AC．
步骤2：如图2，将纸片折叠，使得AB与CD重合，折痕为EF．
步骤3：如图3，先折出折痕DF，再将矩形沿着FK折叠，使得FD的对应边FG落在直线BC上．
步骤4：如图4，过点G沿着GH折出矩形ABGH．
(1)图3中DF= ______；FG= ______．
(2)请写出图4中哪些图形为黄金矩形？
小组二：我们小组的折叠步骤1，步骤2和第一小组相同，接下来的过程不同．
步骤3：如图5，将纸片沿着JE折叠，使得点A对应点G落在EB上．
步骤4：如图6，将纸片沿着BM折叠，点G对应点H落在AB上，过点H沿着HP折叠，折出矩形HBCP．
(3)请写出图6中哪个矩形是黄金矩形？
评价
(4)你认为哪个小组方法较好？请选取一个小组的方法，证明研究过程得到的图形为黄金矩形．