2024年河南省信阳市中考数学二调试卷（含解析）

这是一份2024年河南省信阳市中考数学二调试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−2的相反数是( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
2.据中科院国家天文台，基于我国郭守敬望远镜和美国APOGEE巡天的观测数据，我国天文学家精确测量了距离银河系中心1.6万光年至8.1万光年范围内的恒星运动速度，并估算出银河系的“体重”约为8050亿个太阳质量.其中数据“8050亿”用科学记数法可表示为( )
A. 8.5×1011B. 805×109C. 8.05×1011D. 8.05×1012
3.下列扑克牌中，牌面是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，若∠EOD=50°，则∠AOC=( )
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 55°
5.化简a2−12a⋅aa+1的结果为( )
A. a−1B. a+1C. a−12D. a+12
6.下列说法中，正确的是( )
A. 不可能事件发生的概率是0
B. 经过旋转，对应线段平行且相等
C. 长方体的截面形状一定是长方形
D. 任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次
7.如图所示，在坡角为α的山坡上栽树，每相邻两棵树之间的水平距离为4米，
那么这两棵树在坡面上的距离AB为( )
A. 4csα
B. 4sinα
C. 4csα
D. 4sinα
8.一次函数y=ax+b的图象如图所示，则二次函数y=ax2+b的图象是( )
A.
B.
C.
D.
9.定义新运算：m*n=m2−mn−3，例如：2*3=22−2×3−3=−5.则关于x的一元二次方程x*a=1的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有实数根D. 没有实数根
10.在矩形ABCD中(AB>BC)，AC为对角线，一动点P以每秒1个单位长度，沿AC→CB→BA方向运动.设动点P的运动时间为x秒，线段AP的长度为y，则y随x变化的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是( )
A. AB=8B. BC=6
C. 曲线MN呈反比例函数模型D. 线段NQ呈一次函数模型
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若二次根式 2x+3有意义，则x的取值范围是______．
12.二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”成如图，小鹏购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上.从中随机抽取一张，不放回再从中随机抽取一张，抽到的两张邮票恰好是“立夏”和“秋分”的概率是______．
13.如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙角距离CE=5米，窗口高AB=2米，那么窗口底边离地面的高BC=______ 米．
14.如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆.若AB=3，BC=4，则阴影部分的面积是______．
15.在边长为1的等边三角形ABC中，D为直线AB上一点，AD=2.点E在直线BC上，且DE=DC，则CE的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：|− 3|+(−2024)0−3tan30°−(12)−1；
(2)解方程：xx−1+1x2−1=1．
17.(本小题9分)
蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利.不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势.樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析，下面给出了部分信息：
a.配送速度得分(满分10分)：
甲：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10
乙：7 7 8 8 8 9 9 9 10 10
b.
c.配送速度和服务质量得分统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m，n的值；
(2)在甲乙两家快递公司中，如果某公司得分的10个数据的方差越小，则认为种植户对该公司的评价越一致.据此推断：甲、乙两家公司中，种植户对______的服务质量的评价更一致(填“甲”或“乙”)；
(3)一开始小丽考虑到樱桃保鲜时间短，所以更看重配送速度，从这个角度看，你为小丽推荐的公司为______(填“甲”或“乙”)；后来改进了储存技术，在配送速度达到6分及以上的情况下，小丽更看重服务质量的稳定性，从这个角度看，你为小丽推荐的公司为______(填“甲”或“乙”)．
18.(本小题9分)
请你完成命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明．
(提示：证明命题应首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”、“求证”，最后写出证明过程.)
19.(本小题9分)
如图，已知A，B是反比例函数y=kx(x>0)图象上的两点，AC⊥x轴于点C，OB交AC于点D，若△OCD的面积是△BCD的面积的2倍，△AOD的面积为2.5.求反比例函数的表达式．
20.(本小题9分)
为展青年华彩，丰富校园生活，激发学生英语学习兴趣，某校举办“趣味横声英你精彩”英文合唱比赛.王老师负责本次英文合成比赛的奖品采购.经过调查，选择A奖品为一等奖，B奖品为二等奖.已知购买每件A奖品比每件B奖品贵20元，购买3个A奖品和5个B奖品的价钱相同．
(1)求A、B两种奖品的单价；
(2)本次英文合唱比赛共需购进A、B两种奖品100个，且一等奖的奖品超过二等奖的奖品的一半，实际购买时A种奖品可打7折，请你帮王老师设计花费最小的购买方案，并求出最小花费．
21.(本小题9分)
如图，△ABC是以C为顶点的等腰三角形，以AB为直径作⊙O，交BC于点D.延长BC至点E，使得BC=CE，连接AE．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若AB=5,tanB=43，求DE的长．
22.(本小题10分)
已知抛物线y=ax2−2ax+a+4的顶点为点P，与x轴分别交于A、B两点(A点在B点的左侧)，与y轴交于点C；
(1)直接写出点P的坐标为______；
(2)如图，若A、B两点在原点的两侧，且3OA=OB，当−2(3)若线段AB=2，点Q为反比例函数y=kx与抛物线y=ax2−2ax+a+4第三象限内的交点，设Q的横坐标为m，当−323.(本小题10分)
在正方形ABCD中，P是射线CB上的一个动点，过点C作CE⊥AP于点E，射线CE交直线AB于点F，连接BE．

(1)如图，求证：∠BCF=∠BAP；
(2)如图，猜想线段EA、EC、EB之间满足的数量关系，并说明理由．
(3)若正方形边长为4，当BP=3时，请直接写出AE和EB的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2的相反数是2，
故选：A．
根据相反数的定义进行判断即可．
本题考查相反数，掌握相反数的定义是正确判断的前提．
2.【答案】C
【解析】解：8050亿=805000000000=8.05×1011，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
本题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法是解答本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
根据中心对称图形的定义：一个图形绕一点旋转180度后，能与自身完全重合，这个图形叫做中心对称图形，进行判断即可．
本题考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形性质是关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵OE⊥AB，
∴∠BOE=90°，
∴∠BOD=∠BOE−∠DOE=40°，
∴∠AOC=∠BOD=40°．
故选：A．
根据垂直，得到∠BOE=90°，进而求出∠BOD的度数，根据对顶角相等，即可得出∠AOC的度数．
本题考查几何图形中角度的计算，对顶角相等，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
5.【答案】C
【解析】解：原式=(a−1)(a+1)2a⋅aa+1=a−12；
故选：C．
根据乘法法则，约分化简即可．
本题考查分式的乘法运算，解题的关键是掌握相关运算．
6.【答案】A
【解析】解：A.不可能事件发生的概率是0，说法正确，故本选项符合题意；
B.经过旋转，对应线段相等但不一定平行，原说法错误，故本选项不符合题意；
C.长方体的截面形状还可能是三角形、正方形等图形，原说法错误，故本选项不符合题意；
D.任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数不一定是50次，原说法错误，故本选项不符合题意．
故选：A．
选项A根据不可能事件的定义判断即可；选项B根据旋转的性质判断即可；选项C根据长方体的特点判断即可；选项D根据随机事件的定义判断即可．
本题考查了旋转，概率的意义与公式，随机事件已经截一个几何体，掌握相关定义以及长方体的特征是解答本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC=α，BC=4米，
∵cs∠ABC=BCAB，
∴AB=BCcs∠ABC=4csα(米)，
故选：A．
根据余弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵一次函数y=ax+b图象过第一、三、四象限，
∴a>0，b<0，
∴二次函数y=ax2+b的图象开口向上，与y轴交点在x轴下方，二次函数y=ax2+b对称轴是y轴；
满足上述条件的函数图象只有选项C．
故选：C．
根据一次函数与反比例函数图象得出a>0，b<0，即可得出抛物线开口向上，交y轴负半轴，二次函数对称轴是y轴，比对四个选项的函数图象即可得出结论．
本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：由x*a=1得，
x2−ax−3=1，
即x2−ax−4=0，
所以Δ=(−a)2−4×1×(−4)=a2+16≥16>0，
所以此方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
根据题中的定义，得出关于x的方程，再利用根的判别式即可解决问题．
本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：当点P运动到点B处时，AP=8，即AB=8，故A正确，不符合题意；
当点P运动到点B处时，AC+BC=16，∵AP=8，∴82+BC2=(16−BC)2，∴BC=6，故B正确，不符合题意；
∵AC+BC=16，BC=6，∴AC=10，∴M(10,10)，∵10×10≠8×16，曲线MN不是反比例模型，故C不正确，符合题意；
∵AB=8，∴点Q(24,0)，∵N(16,8)，∴线段NQ是一次函数模型．
故选：C．
分别求出AB，AC，BC的长，再判断出三段函数的性质，逐一判断即可．
本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
11.【答案】x≥−32
【解析】解：∵二次根式 2x+3有意义，
∴2x+3≥0，
解得x≥−32．
故答案为：x≥−32．
根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
12.【答案】16
【解析】解：把“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的两张邮票恰好是“立夏”和“秋分”的结果有2种，
∴抽到的两张邮票恰好是“立夏”和“秋分”的概率是212=16，
故答案为：16．
画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张邮票恰好是“立夏”和“秋分”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】2.5
【解析】解：∵AD/​/BE，
∴△BCE∽△ACD，
∴BCAC=CECD，CD=CE+ED=4+5=9，AC=BC+AB=BC+2，
∴BCBC+2=59，解得，BC=2.5．
故答案为：2.5．
根据光沿直线传播的道理可知AD/​/BE，则△BCE∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等即可解答．
本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
14.【答案】12
【解析】解：由题意得，AC= AB2+AD2=5，
S阴影部分=SAD为直径圆+SAB为直径圆+S矩形−SAC为直径圆
=π×(42)2+π×(32)2+4×3−π×(52)2
=12．
根据圆面积的计算方法以及图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，矩形的性质，掌握扇形面积的计算方法，理解图形中各个部分面积之间的关系是正确解答的关键．
15.【答案】3或1
【解析】解：分两种情况讨论如下：
①当点D在AB的延长线上时，如图1所示：
∵△ABC为等边三角形，且边长为1，
∴AB=BC=AC=1，∠ABC=60°，
∴∠EBD=∠ABC=60°，
∵AD=2，
∴BD=AD−AB=2−1=1，
∴BD=BC=1，
∴∠BDC=∠BCD，
∵∠BDC+∠BCD=∠ABC=60°，
∴∠BDC=∠BCD=30°，
∵DE=DC，
∴∠DEB=∠BCD=30°，
∴∠EDB=180°−(∠DEB+∠EBD)=180°−(30°+60°)=90°，
∴BE=2BD=2，
∴CE=BC+BE=1+2=3；
②当点D在BA的延长线上时，过点A作AG⊥直线BC于G，过点D作DF⊥直线BC于F，如图2所示：
∴△ABC为等边三角形，且边长为1，
∴AB=BC=AC=1，
∵AG⊥BC，
∴BG=GC=0.5，
∵DE=DC，DF⊥BC，
∴CF=EF，
∴AG⊥直线BC，DF⊥直线BC，
∴AG//DF，
∴AB：AD=BG：GF，
即1：2=0.5：GF，
∴GF=1，
∴CF=GF−GC=1−0.5=0.5，
∴EF=CF=0.5，
∴CE=EF+CF=1，
综上所述：CE的长为3或1．
故答案为：3或1．
分两种情况讨论如下：①当点D在AB的延长线上时，根据等边三角形的性质得AB=BC=AC=1，∠ABC=60°，先证∠BDC=∠BCD=30°，再根据DE=DC得∠DEB=∠BCD=30°，则∠EDB=90°，由此得BE=2BD=2，据此可得CE的长；②当点D在BA的延长线上时，过点A作AG⊥直线BC于G，过点D作DF⊥直线BC于F，△ABC为等边三角形，根据等边三角形性质得BG=GC=0.5，由AG/​/DF得AB：AD=BG：GF，由此得GF=1，则CF=GF−GC=0.5，然后根据DE=DC得EF=CF=0.5，据此可得CE的长．
此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点．
16.【答案】解：(1)|− 3|+(−2024)0−3tan30°−(12)−1
= 3+1−3× 33−2
= 3+1− 3−2
=−1；
(2)xx−1+1x2−1=1，
方程可化为xx−1+1(x+1)(x−1)=1，
方程两边都乘以(x+1)(x−1)，得x(x+1)+1=(x+1)(x−1)，
解得x=−2，
检验：当x=−2时，(x+1)(x−1)≠0，
所以分式方程的解是x=−2．
【解析】(1)根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则计算即可；
(2)把分式方程化为整式方程求解即可．
本题考查了实数的运算，解分式方程，熟练掌握绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，以及解分式方程的步骤是解题的关键．
17.【答案】甲 乙 甲
【解析】解：(1)甲公司配送速度得分：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10，
∴平均数m=6+7+7+8+8+8+8+9+9+1010=8，
服务重量得分从小到大排列为：4 5 5 6 6 7 8 9 10 10，
中位数n=6+72=6.5，
∴m的值为8，n的值为6.5；
(2)选择甲公司(答案不唯一)，理由如下：
∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴甲、乙两家公司中，种植户对甲的服务质量的评价更一致．
故答案为：甲；
(3)∵配送速度得分甲和乙的平均数相同，但甲的中位数小于乙的中位数，
∴考虑到樱桃保鲜时间短，更看重配送速度，从这个角度看，小丽推荐的公司为乙；
∵服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴看重服务质量的稳定性，从这个角度看，小丽推荐的公司为甲．
故答案为：乙，甲．
(1)根据平均数与中位数的定义即可求解；
(2)根据方差的意义进行选择即可；
(3)根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可．
本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，也考查了平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析．
18.【答案】解：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
求证：BC=12AB，
证明：如图：延长BC到点D，使CD=BC，连接AD，

∵∠ACB=90°，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AD=AB，
∵∠BAC=30°，
∴∠B=90°−∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AD=BD=AB，
∵BC=CD=12BD，
∴BC=12AB．
【解析】延长BC到点D，使CD=BC，连接AD，从而可得AC是BD的垂直平分线，进而可得AD=AB，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠B=60°，从而可得△ABC是等边三角形，进而可得AD=BD=AB，即可解答．
本题考查了含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：如图，过点B作BE⊥x轴于E，

∵已知A，B是反比例函数y=kx图象上的两点，
∴S△AOC=S△BOE= k2，
∵△OCD的面积是△BCD的面积的2倍，
∴OD=2BD，
∴ODOB=23，
∵AC⊥x轴，BE⊥x轴，
∴∠OCD=∠OEB=90°，
又∵∠COD=∠EOB
∴△COD∽△EOB，
∴S△CODS△EOB=(ODOB)2=49，
∴S△COD=49×k2=2k9，
∴S△AOD=S△AOC−S△COD=k2−2k9=2.5，
∴k=9，
∴反比例函数的表达式为y=9x．
【解析】过点B作BE⊥x轴于E，根据反比例函数k的几何意义可得S△AOC=S△BOE=4.5，根据△OCD的面积是△BCD的面积的2倍，可得OD=2BD，进而可得ODOB=23，然后证明△COD∽△EOB，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得，即可得出△OCD的面积，进而可得答案．
本题考查待定系数法求函数的解析式，反比例函数的系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】解：(1)设A种奖品的单价是x元，B种奖品的单价是y元，
根据题意得：x−y=203x=5y，
解得：x=50y=30．
答：A种奖品的单价是50元，B种奖品的单价是30元；
(2)设购买m个A种奖品，则购买(100−m)个B种奖品，
根据题意得：m>12(100−m)，
解得：m>1003．
设王老师购进A、B两种奖品的总花费为w元，则w=50×0.7m+30(100−m)，
即w=5m+3000，
∵5>0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m>1003，且m为正整数，
∴当m=34时，w取得最小值，最小值为5×34+3000=3170(元)，此时100−m=100−34=66(个)．
答：当购买34个A种奖品，66个B种奖品时，总花费最小，最小花费是3170元．
【解析】(1)设A种奖品的单价是x元，B种奖品的单价是y元，根据“购买每件A奖品比每件B奖品贵20元，购买3个A奖品和5个B奖品的价钱相同”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买m个A种奖品，则购买(100−m)个B种奖品，根据一等奖的奖品超过二等奖的奖品的一半，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设王老师购进A、B两种奖品的总花费为w元，利用总价=单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
21.【答案】(1)证明：∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B，
∵BC=CE，
∴AC=CE，
∴∠CAE=∠E，
∴∠BAE=∠CAB+∠CAE=∠B+∠E，
∵∠BAE+∠B+∠E=180°，
∴∠BAE+∠BAE=180°，
∴∠BAE=90°，
∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，
∴AE是⊙O的切线．
(2)解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，AB=5，
∴∠ADB=90°，
∴ADBD=tanB=43，
∴BD=34AD，
∴AB= AD2+BD2= AD2+(34AD)2=54AD=5，
∴AD=4，
∵∠ADE=90°，∠DAE=∠B=90°−∠BAD，
∴DEAD=tan∠DAE=tanB=43，
∴DE=43AD=43×4=163，
∴DE的长是163．
【解析】(1)由AC=BC，得∠CAB=∠B，再证明AC=CE，则∠CAE=∠E，则∠BAE=∠CAB+∠CAE=∠B+∠E=∠BAE=90°，即可证明AE是⊙O的切线；
(2)连接AD，则∠ADB=90°，所以ADBD=tanB=43，则BD=34AD，由AB= AD2+BD2=54AD=5，求得AD=4，由DEAD=tan∠DAE=tanB=43，求得DE=43AD=163．
此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的判定定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】(1,4)
【解析】解：(1)∵y=ax2−2ax+a+4=a(x−1)2+4，
∴抛物线顶点P的坐标为(1,4)，
故答案为：(1,4)．
(2)设点A(−t,0)，
∵3OA=OB，
∴点B(3t,0)，
∵抛物线顶点P的坐标为(1,4)，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴−t+3t2=1，
解得：t=1，
∴点A(−1,0)，点B(3,0)，
将点A(−1,0)代入y=ax2−2ax+a+4，得：a+2a+a+4=0，
解得：a=−1，
此时抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3，
∵该抛物线的开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远对应的函数值就越小，
∵−2∴当x=1时，函数的最大值为4，
当x=5时，函数的最小值为：−52+2×5+3=−12，
∴y的取值范围是：−12(3)∵抛物线的对称轴为直线x=1，且AB=2，
∴点A(0,0)，点B(2,0)，
将代入y=ax2−2ax+a+4，得：a+4=0，
解得：a=−4，
此时抛物线的表达式为：y=−4x2+8x，
∵点Q的横坐标为m，且−3∴当m=−3时，y=−4×(−3)2+8×(−3)=−60，当m=−1时，y=−4×(−1)2+8×(−1)=−12，
∴当反比例函数y=kx经过点(−3,−60)时，k=180，当反比例函数y=kx经过点(−1,−12)时，k=12，
∴k的取值范围是：12(1)由y=ax2−2ax+a+4=a(x−1)2+4可得顶点P的坐标；
(2)根据抛物线的对称轴为直线x=1及3OA=OB可得点A(−1,0)，点B(3,0)，进而得抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3，然后根据该抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远对应的函数值就越小，即可得出当−2(3)根据抛物线的对称轴为直线x=1，且AB=2得点A(0,0)，点B(2,0)，此时抛物线的表达式为y=−4x2+8x，进而得当m=−3时，y=−60，当m=−1时，y=−12，因此当反比例函数y=kx经过点(−3,−60)时，k=180，当反比例函数y=kx经过点(−1,−12)时，k=12，由此可得k的取值范围．
此题主要考查了二次函数的图象和性质，反比例函数图象上点，熟练掌握二次函数的图象和性质，理解反比例函数图象上点的满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵AP⊥CE，
∴∠CEP=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠CEP，
∵∠CPE=∠APB，
∴∠BCF=∠BAP；
(2)解：AE=EC+ 2BE．
理由：如图1，过点B作BM⊥BE于B，

∴∠EBM=∠ABP=90°，
∴∠ABM=∠CBE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
由(1)知：∠BAM=∠BCE，
∴△ABM≌△CBE(ASA)，
∴BM=BE，AM=CE，
∵∠EBM=90°，BE=BM，
∴EM= 2BE，
∵AE=AM+EM，
∴AE=EC+ 2BE；
(3)解：分两种情况：①当点P在线段BC上时，如图：

∵BP=3，正方形的边长为4，
∴AB=BC=4，
∴AP= BP2+AB2=5，CP=BC−BP=1，
∵∠BCE=∠BAP，∠APB=∠CPE，
∴△APBC∽△CPE，
∴PEBP=CEAB=CPAP=15，
∴PE=15BP=35，CE=15AB=45，
∴AE=AP+PE=5+35=285，
由(2)知：EA=EC+ 2EB，
∴BE= 22(EA−EC)= 22×(285−45)=12 25；
②当点P在CB的延长线上时：

在正方形ABCD中，AB=CB，∠ABC=∠ABP=90°，
∴∠BAP+∠APB=90°，
∵CE⊥AP，
∴∠CEP=90°，
∴∠BCF+∠APB=90°，
∴∠BAP=∠BCF，
在CE上截取CG=AE，
∵∠BAP=∠BCF，AB=CB，
∴△ABE≌△CBG(SAS)，
∴∠ABE=∠CBG，BE=BG，
∴∠EBG=∠ABE+∠FBG=∠CBG+∠FBG=∠ABC=90°，
∴△EBG为等腰直角三角形，
∴EG= BE2+BG2= 2BE2= 2BE，
∴EC=CG+EG=EA+ 2EB，
∵BC=AB=4，BP=3，
∴CP=4+3=7，AP= BP2+AB2=5，
∵∠BAP=∠BCF，∠ABP=∠CEP，
∴△ABP∽△CEP，
∴PEBP=CEAB=CPAP=75，
∴PE=75BP=215，CE=75AB=285，
∴AE=AP−PE=5−215=45，
∵EC=EA+ 2EB，
∴BE= 22(CE−EA)= 22(285−45)=12 25；
综上：AE=45或285，BE=12 25．
【解析】(1)根据正方形的性质和垂线的性质得∠ABP=∠CEP=90°，由三角形的内角和定理可得结论；
(2)如图1，过点B作BM⊥BE于B，证明△ABM≌△CBE(ASA)和△EBM是等腰直角三角形可得结论；
(3)分两种情况，由相似三角形的性质及勾股定理可得出答案．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识．项目
统计量
快递公司
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
平均数
中位数
甲
m
8
7
7
乙
8.5
8.5
7
n