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2024年河南省周口市西华县中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2024年河南省周口市西华县中考数学二模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.34的相反数是( )
A. 43B. −43C. 34D. −34
2.2023年10月11日，我国科学家宣布成功构建量子计算原型机“九章三号”算出某样本的时间为0.000001s，则数据0.000001用科学记数法表示为( )
A. 1×10−6B. 1.0×10−5C. 0.1×10−7D. 10×10−5
3.北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船遥十七运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，进入预定轨道，发射取得圆满成功.将“圆满发射成功”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“圆”字所在面相对的面上的汉字是( )
A. 发B. 射C. 成D. 功
4.下列运算正确的是( )
A. a−2=−a2B. a2+a3=a5C. a2⋅a3=a6D. (a2)3=a6
5.如图，∠1=∠2=65°，∠3=35°，则下列结论错误的是( )
A. AB//CD
B. ∠B=30°
C. ∠C+∠2=∠EFC
D. CG>FG
6.已知关于x的一元二次方程kx2−(2k−1)x+k−2=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k>−14B. k<14C. k>−14且k≠0D. k<14且k≠0
7.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是( )
A. 18B. 16C. 13D. 12
8.在1−7月份，某种水果的每斤进价与售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是( )
A. 3月份B. 4月份C. 5月份D. 6月份
9.固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量.溶解度受温度的影响较大，如图是a，b两种固态物质的溶解度y(g)与温度t(℃)之间的对应关系图象.下列说法中，错误的是( )
A. a，b两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大
B. t1℃时，a，b两种物质的溶解度相等
C. t2℃时，b物质的溶解度大于a物质的溶解度
D. t2℃时，a物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量为40g
10.如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AC边的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到B点，在此过程中线段CP的长度y随着运动时间x变化的函数关系如图②所示，则边BC的长是( )
A. 5B. 2 2C. 2 5511D. 4 5511
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作+10，那么出货5件应记作______．
12.不等式组2x−1<5x2≥1的解集为______．
13.垃圾分类是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类.某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为______吨.
14.如图，将扇形AOB沿射线OA平移得到扇形DCE，线段CE交AB于点F.当OC=CF时，平移停止.若∠AOB=60°，OA= 3，则阴影部分的面积为______．
15.如图，正方形ABCD中，将边AB绕点A逆时针旋转，得到AE，连接EC，ED.当点E落在BC的垂直平分线上时，∠CED的度数为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算： 9−|−2|−(−12)−1；
(2)化简：x2−4x+(x+1−5x−4x)．
17.(本小题9分)
如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM=3m，CO=5m，DO=3m，∠AOD=70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童(结果保留整数)？
(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75)
18.(本小题9分)
如图，一次函数y=32x+a的图象与x轴交于点A(−2,0)，与y轴交于点B，与反比例函数y=kx(x>0)交于点C，点C的横坐标为2，点D与点A关于原点对称．
(1)求a的值及反比例函数的表达式；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出∠CBD的平分线；(要求：不写作法，保留作图痕迹)
(3)反比例函数图象与(2)中所作的角平分线相交于点E，连接DE.求证：四边形ADEB是平行四边形．
19.(本小题9分)
小李2014年参加工作，每年年底都把本年度收入减去支出后的余额存入银行(存款利息记入收入)，2014年底到2019年底，小李的银行存款余额变化情况如下表所示：(单位：万元)
(1)表格中a=______；
(2)请把下面的条形统计图补充完整；(画图后标注相应的数据)
(3)请问小李在哪一年的支出最多？支出了多少万元？
20.(本小题9分)
为加强中华优秀传统文化的弘扬与传承，提升学生的文化自信，引导学生在经典诗歌中启智润心、培根铸魂，某校决定举办中华经典诗歌朗读比赛.为鼓励同学们积极参与，大赛设置一等奖、二等奖、三等奖，对应的奖品如下表所示.已知购买一本《诗经》的价格是32元，购买1个笔记本和2支笔的价格是20元，购买2个笔记本和3支笔的价格是36元．
(1)请计算购买1个笔记本和1支笔的价格分别是多少？
(2)据统计，共有30名同学参加比赛，若要求每位参赛同学都能获得一个奖，且一等奖共设置5名，二等奖的数量不少于三等奖数量的23，则最少需要多少费用来购买奖品？并写出此时二等奖和三等奖各设置多少名．
21.(本小题9分)
河南辉县太行山的网红愚公隧道是自媒体人的打卡地之一.该隧道口的横截面是抛物线型，如图是横截面的示意图，已知隧道底部宽AB为5m，抛物线的最高点C与路面AB的距离为7.5m，以AB的中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)某部门为推进公路隧道提质升级养护工作，决定对隧道顶部原有的灯管进行美化升级，原有灯管M，N与最高点的水平距离为1m.现需要工人站在升降梯上更换灯管，已知工人工作时灯管到工人脚部的垂直距离为1.8m，请问升降梯的最低高度应为多少？
22.(本小题10分)
停车楔(如图①)是一种固定汽车轮胎的装置，在大型货车于坡道停车时，放停车楔的作用尤为重要.如图②是轮胎和停车楔的示意图，当车停于水平地面上时，将停车楔B−AC置于轮胎⊙O后方即可防止车辆倒退，此时AC紧贴轮胎，边AB与地面重合且与轮胎⊙O相切于点A.为了更好地研究这个停车楔与轮胎⊙O的关系，小明在示意图②上，连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD后发现AD//BC．
(1)求证：∠D+∠B=90°；
(2)小明通过查阅资料从停车楔的规格了解到，此停车楔的高度为15cm(点C到AB所在直线的距离)，支撑边BC与底边AB的夹角∠B=60°，求轮胎的直径．
23.(本小题10分)
我们在没有量角器或三角尺的情况下，用折叠特殊矩形纸片的方法进行如下操作也可以得到几个相似的含有30°角的直角三角形．
实践操作
第一步：如图①，矩形纸片ABCD的边AB= 3，将矩形纸片ABCD对折，使点D与点A重合，点C与点B重合，折痕为EF，然后展开，EF与CA交于点H．
第二步：如图②，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线再次折叠，使CD落在对角线CA上，点D的对应点D′恰好与点H重合，折痕为CG，将矩形纸片展平，连接GH．
问题解决
(1)在图②中，sin∠ACB= ______，EGCG= ______；
(2)在图②中，CH2=CG⋅ ______，从图②中选择一条线段填在空白处，并证明你的结论；
拓展延伸
(3)将上面的矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，点D的对应点D′落在矩形的内部或一边上.设∠DCD′=α，若0°<α≤90°，连接D′A，D′A的长度为m，则m的取值范围是______．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据相反数的定义，得34的相反数是−34．
故选：D．
求一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号；
一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2.【答案】A
【解析】解：0.000001=1×10−6，
故选：A．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为常数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法，熟练掌握其定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：在原正方体中，与“圆”字所在面相对的面上的汉字是“射”，
故选：B．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A.a−2=1a2，故本选项不合题意；
B.a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C.a2⋅a3=a5，故本选项不合题意；
D.(a2)3=a6，故本选项符合题意；
故选：D．
分别根据负整数指数幂的定义，合并同类项法则，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
本题考查了负整数指数幂，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠1=∠2=65°，
∴AB//CD，故A选项正确，
又∵∠3=35°，
∴∠C=65°−35°=30°，
∴∠B=∠C=30°，故B选项正确，
∵∠EFC是△CGF的外角，
∴∠EFC=∠C+∠CGF，故C选项错误，
∵∠3>∠C，
∴CG>FG，故D选项正确，
故选：C．
依据平行线的判定与性质，以及三角形外角性质，即可得出结论．
本题主要考查了平行线的判定与性质，以及三角形外角性质，解题时注意：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=(2k−1)2−4k⋅(k−2)>0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】
解：根据题意得k≠0且Δ=(2k−1)2−4k⋅(k−2)>0，
解得k>−14且k≠0．
故选C．
7.【答案】B
【解析】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A，B，C，D，画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》(即A)和《大学》(即C)的可能结果有2种可能，
∴P(抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果)=212=16，
故选：B．
用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可．
本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了折线统计图，正确把握图中的信息，理解利润=售价−进价是解题的关键．根据图象中的信息即可得到结论．
【解答】
解：由图象中的信息可知，4月份两个点间的距离最大，
故出售该种水果每斤利润最大的月份是4月份．
9.【答案】C
【解析】解：由图象可知：
A.a，b两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大，
故选项A说法正确，不符合题意；
B.当温度升高至t1℃时，a，b两种物质的溶解度相等，
故选项B说法正确，不符合题意；
C.t2℃时，b物质的溶解度小于a物质的溶解度，
故选项C说法错误，符合题意；
D.t2℃时，a物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量为40g，
故选项D说法正确，不符合题意．
故选：C．
根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可．
本题主要考查了函数的图象，根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵图中第一个点的坐标为(0,2)，
∴点P在点D处，CD=2．
∵点D为AC边的中点，
∴AD=2，AC=4．
∵图中第二个点的横坐标为2+ 11，此时CP最小，P的速度为每秒1个单位长度，
∴CP⊥AB，AP= 11．
作CP⊥AB于点P．
∴∠APC=90°．
∴PC= AC2−AP2= 5．
∴tan∠A=PCAP= 5 11= 5511．
∵∠ACB=90°，
∴tanA=BCAC=BC4．
∴BC4= 5511，
∴BC=4 5511．
故选D．
图中第一个点的坐标为(0,2)，表示点P未出发时，CP长2，此时点P在点D处，那么CD=2，也就得到了AD=2，那么AC为4.图中第二个点的横坐标为2+ 11，此时CP最小，那么CP⊥AB，AP= 11.根据勾股定理可得PC长，即可得到∠A的正切值，根据∠A的正切值即可得到BC的长．
本题考查动点问题的函数图象．得到关键点表示的意义是解决本题的关键．用到的知识点为：tanA=∠A的对边邻边．
11.【答案】−5
【解析】解：∵进货10件记作+10，
∴出货5件应记作−5，
故答案为：−5．
正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可得出答案．
本题考查正数和负数的意义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】2≤x<3
【解析】解：2x−1<5①x2≥1②，
解不等式①，得：x<3，
解不等式②，得：x≥2，
∴原不等式组的解集是2≤x<3，
故答案为：2≤x<3．
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
13.【答案】1500
【解析】解：扇形统计图中，“可回收垃圾”的百分比为1−50%−28%−2%=20%，
∴试点区域的垃圾总量为60÷20%=300(吨)，
∴估计全市可收集的干垃圾总量为300×10×50%=1500(吨)．
故答案为：1500．
用可回收垃圾收集的吨数除以扇形统计图中“可回收垃圾”的百分比，可得试点区域的垃圾总量，再乘以10可得全市的垃圾总量，最后根据用样本估计总体，用全市的垃圾总量乘以扇形统计图中“干垃圾”的百分比，即可得答案．
本题考查扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂扇形统计图，掌握用样本估计总体是解答本题的关键．
14.【答案】3π4−3 34
【解析】解：如图所示，连接OF，过点C作CH⊥OF，
由平移性质知，CE//OB，
∴∠CFO=∠BOF，
∵CO=CF，
∴∠COF=∠CFO，
∴∠COF=∠BOF=12∠BOC=30°，
在等腰△OCF中，OH=12OF=12OB=32，
∴CH=OH⋅tan30°=32× 33= 32，
∴S阴影=S扇形AOF−S△COF=30π×32360−×3× 32=3π4−3 34．
故答案为：3π4−3 34．
连接OF，过点C作CH⊥OF，根据平行线的性质和等腰三角形的性质，得出∠COF=∠BOF=12∠BOC=30°，根据三角函数求出CH= 32，根据S阴=S扇形AOF−S△COF求出结果即可．
本题主要考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线求出∠COF=∠BOF=12∠BOC=30°，CH= 32．
15.【答案】75°
【解析】解：当点E在BC垂直平分线上时，如图所示，
∵点E在BC的垂线平分线上，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB．
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABE=∠DCE．
在△ABE和△DCE中，
AB=DC∠ABE=∠DCEBE=CE，
∴△ABE≌△DCE(SAS)，
∴AE=DE．
由旋转可知，
AE=AB，
又∵AB=AD，
∴AE=DE=AD，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∴∠CDE=90°−60°=30°，
∵DE=DC，
∴∠CED=12×(180°−30°)=75°．
故答案为：75°．
根据点E在BC的垂线平分线上，可得出△ADE是等边三角形，据此可解决问题．
本题考查选旋转的性质、线段垂直平分线的性质及正方形的性质，能通过全等三角形的性质得出△ADE是等边三角形是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=3−2−(−2)
=3−2+2
=3；
(2)原式=x2−4x+[x(x+1)x−5x−4x]
=x2−4x+x2+x−5x+4x
=x2−4+x2+x−5x+4x
=2x2−4xx
=x(2x−4)x
=2x−4．
【解析】(1)根据算术平方根的定义、绝对值的性质和负整数指数幂的性质进行计算即可；
(2)先把括号里面的x+1，化成分母是x的分式，然后先算括号里面的，再算括号外面的即可．
本题主要考查了实数和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握算术平方根的定义、绝对值的性质、负整数指数幂的性质和分式的通分与约分．
17.【答案】解：∵CM=3m，OC=5m，
∴OM= OC2−CM2=4m，
∵∠CMO=∠BDO=90°，∠COM=∠BOD，
∴△COM∽△BOD，
∴CMBD=OMOD，即3BD=43，
∴BD=94=2.25m，
∴tan∠AOD=tan70°=ADDO，
即AB+BDDO=AB+2.253≈2.75，
解得：AB=6m，
∴汽车从A处前行约6米才能发现C处的儿童．
【解析】利用勾股定理求出OM，证明△COM∽△BOD，求出BD，在△AOD中，利用三角函数的定义求出AB即可．
本题考查了解直角三角形的实际应用，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解汽车能发现儿童所前行的距离为AB．
18.【答案】(1)解：∵一次函数y=32x+a的图象与x轴交于点A(−2,0)，
∴0=32×(−2)+a，
∴a=3，
∴一次函数的解析式为y=32x+3，
∵点C的横坐标为2，
∴y=32×2+3=6，
∴C(2,6)，
∴k=2×6=12，
∴反比例函数的表达式为y=12x；
(2)解：如图所示，射线BE即为所求；
(3)证明：∵点D与点A关于原点对称，
∴OA=OD，
∵OB⊥AD，
∴AB=BD，
∴∠ABO=∠DBO，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠CBE，
∴∠ABO+∠CBE=∠DBE+∠DBO=90°，
∴BE⊥y轴，
∴BE//AD，
∵点A(−2,0)，
∴D(2,0)，
∴AD=4，
由(1)知，a=3，
∴B(0,3)，
∴E点的纵坐标为3，
∴当y=3时，即3=12x，
∴x=4，
∴BE=4，
∴AD=BE，
∴四边形ADEB是平行四边形．
【解析】(1)根据一次函数y=32x+a的图象与x轴交于点A(−2,0)，得到方程0=32×(−2)+a，解方程即可得到结论；
(2)根据角的平分线的作法作出图形即可；
(3)由点D与点A关于原点对称，得到OA=OD，根据线段垂直平分线的性质得到AB=BD，求得∠ABO=∠DBO，根据角平分线的定义得到∠DBE=∠CBE，推出BE//AD，得到AD=4，求得BE=4，根据平行四边形的判定定理得到结论．
本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的判定定理，角平分线的定义，作图−基本作图，熟练掌握平行四边形的判定定理和待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
19.【答案】解：(1)11；
(2)根据题意得b+18−6=34,15+14−c=b，
解得b=22,c=7，
即2018年存款余额为22万元，
补充条形统计图为：
(3)小李在2018年的支出最多，支出了为7万元．
【解析】【分析】
本题考查的是条形统计图和统计表的综合运用，读懂统计图，从统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键．
(1)本年度收入减去支出后的余额加上上一年存入银行的余额作为本年的余额，则可建立一元一次方程10+a−6=15，然后解方程即可；
(2)根据题意得b+18−6=34,15+14−c=b，解方程组得到2018年的存款余额，然后补全条形统计图；
(3)利用(2)中c的值进行判断即可．
【解答】
解：(1)10+a−6=15，解得a=11，
故答案为11；
(2)见答案
(3)见答案．
20.【答案】解：(1)设笔记本的价格是x元/本，笔的价格是y元/支，
根据题意得：x+2y=202x+3y=36，
解得：x=12y=4．
答：笔记本的价格是12元/本，笔的价格是4元/支；
(2)设二等奖设置m名，则三等奖设置(30−5−m)名，
根据题意得：m≥23(30−5−m)，
解得：m≥10．
设购买奖品共花费w元，则w=(32+12×2+4)×5+(32+4×2)m+(12+4×2)(30−5−m)，
即w=20m+800，
∵20>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=10时，w取得最小值，最小值为20×10+800=1000(元)，此时30−5−m=30−5−10=15(名)．
答：最少需要1000元费用来购买奖品，此时二等奖设置10名，三等奖设置15名．
【解析】(1)设笔记本的价格是x元/本，笔的价格是y元/支，根据“购买1个笔记本和2支笔的价格是20元，购买2个笔记本和3支笔的价格是36元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设二等奖设置m名，则三等奖设置(30−5−m)名，根据设置二等奖的数量不少于三等奖数量的23，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购买奖品共花费w元，利用总价=购买一等奖奖品所需费用×设置一等奖的数量+购买二等奖奖品所需费用×设置二等奖的数量+购买三等奖奖品所需费用×设置三等奖的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
21.【答案】解：(1)由题意，∵抛物线的顶点为(0,7.5)，对称轴是y轴，
∴可设抛物线为y=ax2+7.5．
又B为(2.5,0)，
∴0=a×6.25+7.5．
∴a=−1.2．
∴抛物线的解析式为y=−1.2x2+7.5．
(2)由题意，∵原有灯管M，N与最高点的水平距离为1m，
∴可令x=1，则y=−1.2×12+7.5=6.3．
∴升降梯的最低高度应为6.3−1.8=4.5(m)．
【解析】(1)依据题意，由抛物线的顶点为(0,7.5)，对称轴是y轴，从而可设抛物线为y=ax2+7.5，又B为(2.5,0)，故求得a的值，进而可以得解；
(2)依据题意，由原有灯管M，N与最高点的水平距离为1m，故可令x=1，则y=−1.2×12+7.5=6.3，从而可以得解．
本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练并能灵活运用二次函数的性质是关键．
22.【答案】解：(1)如图1所示：
连接AC，OA，
根据题意可知，CD为⊙O的直径，∠CAD是直径CD所对的圆周角，
∴∠CAD=90°，
∴∠OAC+∠OAD=∠CAD=90°，
∵AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
即∠OAB=90°，
∴∠OAC+∠CAB=∠OAB=90°，
∴∠OAD=∠CAB，
∵OD=OA，
∴∠D=∠OAD，
∴∠D=∠CAB，
∵AD//BC，
∴∠ACB=∠CAD=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
∴∠D+∠B=90°，
(2)如图2所示：
过点C作CH⊥AB于H点，
∵∠CAB+∠B=90°，
∴∠CAB=90°−∠B=90°−60=30°，
∵CH⊥AB，
又∵点C到AB所在直线的距离为15，
∴CH=15，
∴AC=2CH=2×15=30，
∵∠CAD=90°，
∴∠D+∠OCA=90°，
又∵∠D+∠B=90°，
∴∠OCA=∠B=60°，
∵OC=OA，
∴△OAC为等边三角形，
∴OC=AC=30，
∴轮胎直径=2OC=2×30=60(cm)．
【解析】(1)连接AC，OA，根据圆周角定理的推论可得∠OAC+∠OAD=90°，由AB与⊙O相切可得到∠OAC+∠CAB=90°，从而得到∠OAD=∠CAB，再由AD//BC，得到∠OAD，∠CAB分别与∠D，∠B的关系而从推出结论；
(2)过点C作CH⊥AB于H点，得到△AHC为直角三角形，求出AC的长，再由(1)题的结论及条件得出△OAC为等边三角形即可得出结论．
本题了考查圆周角定理结论以及切线性质和等边三角形的判定，根据圆的切线垂直于过切点的半径，两直线平行，内错角相等，以及直角三角形的两个锐角互余，由此即可求解．
23.【答案】12 14 AE(答案不唯一) 3≤m<3
【解析】解：(1)∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB= 3，∠ADC=90°，
∵点D的对应点D′恰好与点H重合，
∴HC=DC= 3，
∵矩形纸片ABCD对折，使点D与点A重合，点C与点B重合，折痕为EF，然后展开，EF与CA交于点H，
∴AE=CF，∠AEH=∠CFH=90°，∠AHE=∠CHF，
∴△AEH≌△CFH(SAS)，
∴AH=CH= 3，EH=HF=12EF= 32，
即AC=2 3，
∴sin∠ACB=ABAC= 32 3=12；
在Rt△ACD中，AD= AC2−CD2= (2 3)2−( 3)2=3，
根据折叠可知，DG=GH，DE=AE=12AD=32，
设DG=GH=x，GE=32−x，
在Rt△GEH中，GH2=GE2+EH2，
即x2=(32−x)2+( 32)2，
解得：x=1，
∴GE=32−1=12，
CG= DG2+DC2= 12+( 3)2=2，
∴EGCG=122=14；
故答案为：12；14．
(2)∵sin∠ACB=12，
∴∠ACB=30°，
∵∠DCB=90°，
∴∠DCA=90°−30°=60°，
根据折叠可知，∠DCG=∠GCH=12∠DCH=30°，
∴∠GCH=∠HCF，
∵∠GHC=∠HFC=90°，
∴△GCH∽△HCF，
∴CGCH=CHCF，
即CH2=CG⋅CF，
∵CF=BF=AE=DE，
∴空白处可以填AE或CF或BF或DE．
故答案为：AE或CF或BF或DE(填其中任意一条即可)．
(3)∵在将上面的矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，点D的对应点D′在以点C为圆心，以CD为半径的圆上，
∴当点D′在AC上时，D′A最小，
即D′A的最小值为AH，
∴m≥ 3，
∵点D′落在矩形的内部或一边上，
∴当点D′在点D时，D′A最大，
∵0°<α≤90°，
∴D′A最大无法取到最大值3，
∴m<3，
综上分析可知，m的取值范围是 3≤m<3．
故答案为： 3≤m<3．
(1)根据矩形的性质，结合折叠知识，得出HC=DC= 3，△AEH≌△CFH，得出AH=CH= 3，得出AC=2 3，即可求出sin∠ACB；设DG=GH=x，则GE=32−x，在Rt△GEH中，根据勾股定理，列出关于x的方程，解方程得出x的值，求出GE，CG，即可得出答案；
(2)根据sin∠ACB=12，得出∠ACB=30°，根据∠DCB=90°，得出∠DCA=60°，根据折叠得出∠DCG=∠GCH=12∠DCH=30°，即可得出∠GCH=∠HCF，从而可以证明△GCH∽△HCF，根据相似三角形的性质，即可得出结论；
(3)先根据折叠确定点D′的轨迹，然后根据其轨迹找出D′A的最大值和最小值，即可确定m的取值范围．
本题主要考查了矩形的折叠问题，熟练掌握矩形的性质、三角函数的定义、三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，根据折叠得出D′的轨迹，是解题的关键．年份
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
收入
3
8
9
a
14
18
支出
1
4
5
6
c
6
存款余额
2
6
10
15
b
34
一等奖
二等奖
三等奖
奖品
1本《诗经
》2个笔记本、1支笔
1本《诗经》
2支笔
1个笔记本
2支笔
1.34的相反数是( )
A. 43B. −43C. 34D. −34
2.2023年10月11日，我国科学家宣布成功构建量子计算原型机“九章三号”算出某样本的时间为0.000001s，则数据0.000001用科学记数法表示为( )
A. 1×10−6B. 1.0×10−5C. 0.1×10−7D. 10×10−5
3.北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船遥十七运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，进入预定轨道，发射取得圆满成功.将“圆满发射成功”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“圆”字所在面相对的面上的汉字是( )
A. 发B. 射C. 成D. 功
4.下列运算正确的是( )
A. a−2=−a2B. a2+a3=a5C. a2⋅a3=a6D. (a2)3=a6
5.如图，∠1=∠2=65°，∠3=35°，则下列结论错误的是( )
A. AB//CD
B. ∠B=30°
C. ∠C+∠2=∠EFC
D. CG>FG
6.已知关于x的一元二次方程kx2−(2k−1)x+k−2=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k>−14B. k<14C. k>−14且k≠0D. k<14且k≠0
7.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是( )
A. 18B. 16C. 13D. 12
8.在1−7月份，某种水果的每斤进价与售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是( )
A. 3月份B. 4月份C. 5月份D. 6月份
9.固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量.溶解度受温度的影响较大，如图是a，b两种固态物质的溶解度y(g)与温度t(℃)之间的对应关系图象.下列说法中，错误的是( )
A. a，b两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大
B. t1℃时，a，b两种物质的溶解度相等
C. t2℃时，b物质的溶解度大于a物质的溶解度
D. t2℃时，a物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量为40g
10.如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AC边的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到B点，在此过程中线段CP的长度y随着运动时间x变化的函数关系如图②所示，则边BC的长是( )
A. 5B. 2 2C. 2 5511D. 4 5511
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作+10，那么出货5件应记作______．
12.不等式组2x−1<5x2≥1的解集为______．
13.垃圾分类是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类.某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为______吨.
14.如图，将扇形AOB沿射线OA平移得到扇形DCE，线段CE交AB于点F.当OC=CF时，平移停止.若∠AOB=60°，OA= 3，则阴影部分的面积为______．
15.如图，正方形ABCD中，将边AB绕点A逆时针旋转，得到AE，连接EC，ED.当点E落在BC的垂直平分线上时，∠CED的度数为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算： 9−|−2|−(−12)−1；
(2)化简：x2−4x+(x+1−5x−4x)．
17.(本小题9分)
如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM=3m，CO=5m，DO=3m，∠AOD=70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童(结果保留整数)？
(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75)
18.(本小题9分)
如图，一次函数y=32x+a的图象与x轴交于点A(−2,0)，与y轴交于点B，与反比例函数y=kx(x>0)交于点C，点C的横坐标为2，点D与点A关于原点对称．
(1)求a的值及反比例函数的表达式；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出∠CBD的平分线；(要求：不写作法，保留作图痕迹)
(3)反比例函数图象与(2)中所作的角平分线相交于点E，连接DE.求证：四边形ADEB是平行四边形．
19.(本小题9分)
小李2014年参加工作，每年年底都把本年度收入减去支出后的余额存入银行(存款利息记入收入)，2014年底到2019年底，小李的银行存款余额变化情况如下表所示：(单位：万元)
(1)表格中a=______；
(2)请把下面的条形统计图补充完整；(画图后标注相应的数据)
(3)请问小李在哪一年的支出最多？支出了多少万元？
20.(本小题9分)
为加强中华优秀传统文化的弘扬与传承，提升学生的文化自信，引导学生在经典诗歌中启智润心、培根铸魂，某校决定举办中华经典诗歌朗读比赛.为鼓励同学们积极参与，大赛设置一等奖、二等奖、三等奖，对应的奖品如下表所示.已知购买一本《诗经》的价格是32元，购买1个笔记本和2支笔的价格是20元，购买2个笔记本和3支笔的价格是36元．
(1)请计算购买1个笔记本和1支笔的价格分别是多少？
(2)据统计，共有30名同学参加比赛，若要求每位参赛同学都能获得一个奖，且一等奖共设置5名，二等奖的数量不少于三等奖数量的23，则最少需要多少费用来购买奖品？并写出此时二等奖和三等奖各设置多少名．
21.(本小题9分)
河南辉县太行山的网红愚公隧道是自媒体人的打卡地之一.该隧道口的横截面是抛物线型，如图是横截面的示意图，已知隧道底部宽AB为5m，抛物线的最高点C与路面AB的距离为7.5m，以AB的中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)某部门为推进公路隧道提质升级养护工作，决定对隧道顶部原有的灯管进行美化升级，原有灯管M，N与最高点的水平距离为1m.现需要工人站在升降梯上更换灯管，已知工人工作时灯管到工人脚部的垂直距离为1.8m，请问升降梯的最低高度应为多少？
22.(本小题10分)
停车楔(如图①)是一种固定汽车轮胎的装置，在大型货车于坡道停车时，放停车楔的作用尤为重要.如图②是轮胎和停车楔的示意图，当车停于水平地面上时，将停车楔B−AC置于轮胎⊙O后方即可防止车辆倒退，此时AC紧贴轮胎，边AB与地面重合且与轮胎⊙O相切于点A.为了更好地研究这个停车楔与轮胎⊙O的关系，小明在示意图②上，连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD后发现AD//BC．
(1)求证：∠D+∠B=90°；
(2)小明通过查阅资料从停车楔的规格了解到，此停车楔的高度为15cm(点C到AB所在直线的距离)，支撑边BC与底边AB的夹角∠B=60°，求轮胎的直径．
23.(本小题10分)
我们在没有量角器或三角尺的情况下，用折叠特殊矩形纸片的方法进行如下操作也可以得到几个相似的含有30°角的直角三角形．
实践操作
第一步：如图①，矩形纸片ABCD的边AB= 3，将矩形纸片ABCD对折，使点D与点A重合，点C与点B重合，折痕为EF，然后展开，EF与CA交于点H．
第二步：如图②，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线再次折叠，使CD落在对角线CA上，点D的对应点D′恰好与点H重合，折痕为CG，将矩形纸片展平，连接GH．
问题解决
(1)在图②中，sin∠ACB= ______，EGCG= ______；
(2)在图②中，CH2=CG⋅ ______，从图②中选择一条线段填在空白处，并证明你的结论；
拓展延伸
(3)将上面的矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，点D的对应点D′落在矩形的内部或一边上.设∠DCD′=α，若0°<α≤90°，连接D′A，D′A的长度为m，则m的取值范围是______．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据相反数的定义，得34的相反数是−34．
故选：D．
求一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号；
一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2.【答案】A
【解析】解：0.000001=1×10−6，
故选：A．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为常数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法，熟练掌握其定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：在原正方体中，与“圆”字所在面相对的面上的汉字是“射”，
故选：B．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A.a−2=1a2，故本选项不合题意；
B.a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C.a2⋅a3=a5，故本选项不合题意；
D.(a2)3=a6，故本选项符合题意；
故选：D．
分别根据负整数指数幂的定义，合并同类项法则，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
本题考查了负整数指数幂，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠1=∠2=65°，
∴AB//CD，故A选项正确，
又∵∠3=35°，
∴∠C=65°−35°=30°，
∴∠B=∠C=30°，故B选项正确，
∵∠EFC是△CGF的外角，
∴∠EFC=∠C+∠CGF，故C选项错误，
∵∠3>∠C，
∴CG>FG，故D选项正确，
故选：C．
依据平行线的判定与性质，以及三角形外角性质，即可得出结论．
本题主要考查了平行线的判定与性质，以及三角形外角性质，解题时注意：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=(2k−1)2−4k⋅(k−2)>0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】
解：根据题意得k≠0且Δ=(2k−1)2−4k⋅(k−2)>0，
解得k>−14且k≠0．
故选C．
7.【答案】B
【解析】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A，B，C，D，画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》(即A)和《大学》(即C)的可能结果有2种可能，
∴P(抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果)=212=16，
故选：B．
用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可．
本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了折线统计图，正确把握图中的信息，理解利润=售价−进价是解题的关键．根据图象中的信息即可得到结论．
【解答】
解：由图象中的信息可知，4月份两个点间的距离最大，
故出售该种水果每斤利润最大的月份是4月份．
9.【答案】C
【解析】解：由图象可知：
A.a，b两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大，
故选项A说法正确，不符合题意；
B.当温度升高至t1℃时，a，b两种物质的溶解度相等，
故选项B说法正确，不符合题意；
C.t2℃时，b物质的溶解度小于a物质的溶解度，
故选项C说法错误，符合题意；
D.t2℃时，a物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量为40g，
故选项D说法正确，不符合题意．
故选：C．
根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可．
本题主要考查了函数的图象，根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵图中第一个点的坐标为(0,2)，
∴点P在点D处，CD=2．
∵点D为AC边的中点，
∴AD=2，AC=4．
∵图中第二个点的横坐标为2+ 11，此时CP最小，P的速度为每秒1个单位长度，
∴CP⊥AB，AP= 11．
作CP⊥AB于点P．
∴∠APC=90°．
∴PC= AC2−AP2= 5．
∴tan∠A=PCAP= 5 11= 5511．
∵∠ACB=90°，
∴tanA=BCAC=BC4．
∴BC4= 5511，
∴BC=4 5511．
故选D．
图中第一个点的坐标为(0,2)，表示点P未出发时，CP长2，此时点P在点D处，那么CD=2，也就得到了AD=2，那么AC为4.图中第二个点的横坐标为2+ 11，此时CP最小，那么CP⊥AB，AP= 11.根据勾股定理可得PC长，即可得到∠A的正切值，根据∠A的正切值即可得到BC的长．
本题考查动点问题的函数图象．得到关键点表示的意义是解决本题的关键．用到的知识点为：tanA=∠A的对边邻边．
11.【答案】−5
【解析】解：∵进货10件记作+10，
∴出货5件应记作−5，
故答案为：−5．
正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可得出答案．
本题考查正数和负数的意义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】2≤x<3
【解析】解：2x−1<5①x2≥1②，
解不等式①，得：x<3，
解不等式②，得：x≥2，
∴原不等式组的解集是2≤x<3，
故答案为：2≤x<3．
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
13.【答案】1500
【解析】解：扇形统计图中，“可回收垃圾”的百分比为1−50%−28%−2%=20%，
∴试点区域的垃圾总量为60÷20%=300(吨)，
∴估计全市可收集的干垃圾总量为300×10×50%=1500(吨)．
故答案为：1500．
用可回收垃圾收集的吨数除以扇形统计图中“可回收垃圾”的百分比，可得试点区域的垃圾总量，再乘以10可得全市的垃圾总量，最后根据用样本估计总体，用全市的垃圾总量乘以扇形统计图中“干垃圾”的百分比，即可得答案．
本题考查扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂扇形统计图，掌握用样本估计总体是解答本题的关键．
14.【答案】3π4−3 34
【解析】解：如图所示，连接OF，过点C作CH⊥OF，
由平移性质知，CE//OB，
∴∠CFO=∠BOF，
∵CO=CF，
∴∠COF=∠CFO，
∴∠COF=∠BOF=12∠BOC=30°，
在等腰△OCF中，OH=12OF=12OB=32，
∴CH=OH⋅tan30°=32× 33= 32，
∴S阴影=S扇形AOF−S△COF=30π×32360−×3× 32=3π4−3 34．
故答案为：3π4−3 34．
连接OF，过点C作CH⊥OF，根据平行线的性质和等腰三角形的性质，得出∠COF=∠BOF=12∠BOC=30°，根据三角函数求出CH= 32，根据S阴=S扇形AOF−S△COF求出结果即可．
本题主要考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线求出∠COF=∠BOF=12∠BOC=30°，CH= 32．
15.【答案】75°
【解析】解：当点E在BC垂直平分线上时，如图所示，
∵点E在BC的垂线平分线上，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB．
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABE=∠DCE．
在△ABE和△DCE中，
AB=DC∠ABE=∠DCEBE=CE，
∴△ABE≌△DCE(SAS)，
∴AE=DE．
由旋转可知，
AE=AB，
又∵AB=AD，
∴AE=DE=AD，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∴∠CDE=90°−60°=30°，
∵DE=DC，
∴∠CED=12×(180°−30°)=75°．
故答案为：75°．
根据点E在BC的垂线平分线上，可得出△ADE是等边三角形，据此可解决问题．
本题考查选旋转的性质、线段垂直平分线的性质及正方形的性质，能通过全等三角形的性质得出△ADE是等边三角形是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=3−2−(−2)
=3−2+2
=3；
(2)原式=x2−4x+[x(x+1)x−5x−4x]
=x2−4x+x2+x−5x+4x
=x2−4+x2+x−5x+4x
=2x2−4xx
=x(2x−4)x
=2x−4．
【解析】(1)根据算术平方根的定义、绝对值的性质和负整数指数幂的性质进行计算即可；
(2)先把括号里面的x+1，化成分母是x的分式，然后先算括号里面的，再算括号外面的即可．
本题主要考查了实数和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握算术平方根的定义、绝对值的性质、负整数指数幂的性质和分式的通分与约分．
17.【答案】解：∵CM=3m，OC=5m，
∴OM= OC2−CM2=4m，
∵∠CMO=∠BDO=90°，∠COM=∠BOD，
∴△COM∽△BOD，
∴CMBD=OMOD，即3BD=43，
∴BD=94=2.25m，
∴tan∠AOD=tan70°=ADDO，
即AB+BDDO=AB+2.253≈2.75，
解得：AB=6m，
∴汽车从A处前行约6米才能发现C处的儿童．
【解析】利用勾股定理求出OM，证明△COM∽△BOD，求出BD，在△AOD中，利用三角函数的定义求出AB即可．
本题考查了解直角三角形的实际应用，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解汽车能发现儿童所前行的距离为AB．
18.【答案】(1)解：∵一次函数y=32x+a的图象与x轴交于点A(−2,0)，
∴0=32×(−2)+a，
∴a=3，
∴一次函数的解析式为y=32x+3，
∵点C的横坐标为2，
∴y=32×2+3=6，
∴C(2,6)，
∴k=2×6=12，
∴反比例函数的表达式为y=12x；
(2)解：如图所示，射线BE即为所求；
(3)证明：∵点D与点A关于原点对称，
∴OA=OD，
∵OB⊥AD，
∴AB=BD，
∴∠ABO=∠DBO，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠CBE，
∴∠ABO+∠CBE=∠DBE+∠DBO=90°，
∴BE⊥y轴，
∴BE//AD，
∵点A(−2,0)，
∴D(2,0)，
∴AD=4，
由(1)知，a=3，
∴B(0,3)，
∴E点的纵坐标为3，
∴当y=3时，即3=12x，
∴x=4，
∴BE=4，
∴AD=BE，
∴四边形ADEB是平行四边形．
【解析】(1)根据一次函数y=32x+a的图象与x轴交于点A(−2,0)，得到方程0=32×(−2)+a，解方程即可得到结论；
(2)根据角的平分线的作法作出图形即可；
(3)由点D与点A关于原点对称，得到OA=OD，根据线段垂直平分线的性质得到AB=BD，求得∠ABO=∠DBO，根据角平分线的定义得到∠DBE=∠CBE，推出BE//AD，得到AD=4，求得BE=4，根据平行四边形的判定定理得到结论．
本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的判定定理，角平分线的定义，作图−基本作图，熟练掌握平行四边形的判定定理和待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
19.【答案】解：(1)11；
(2)根据题意得b+18−6=34,15+14−c=b，
解得b=22,c=7，
即2018年存款余额为22万元，
补充条形统计图为：
(3)小李在2018年的支出最多，支出了为7万元．
【解析】【分析】
本题考查的是条形统计图和统计表的综合运用，读懂统计图，从统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键．
(1)本年度收入减去支出后的余额加上上一年存入银行的余额作为本年的余额，则可建立一元一次方程10+a−6=15，然后解方程即可；
(2)根据题意得b+18−6=34,15+14−c=b，解方程组得到2018年的存款余额，然后补全条形统计图；
(3)利用(2)中c的值进行判断即可．
【解答】
解：(1)10+a−6=15，解得a=11，
故答案为11；
(2)见答案
(3)见答案．
20.【答案】解：(1)设笔记本的价格是x元/本，笔的价格是y元/支，
根据题意得：x+2y=202x+3y=36，
解得：x=12y=4．
答：笔记本的价格是12元/本，笔的价格是4元/支；
(2)设二等奖设置m名，则三等奖设置(30−5−m)名，
根据题意得：m≥23(30−5−m)，
解得：m≥10．
设购买奖品共花费w元，则w=(32+12×2+4)×5+(32+4×2)m+(12+4×2)(30−5−m)，
即w=20m+800，
∵20>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=10时，w取得最小值，最小值为20×10+800=1000(元)，此时30−5−m=30−5−10=15(名)．
答：最少需要1000元费用来购买奖品，此时二等奖设置10名，三等奖设置15名．
【解析】(1)设笔记本的价格是x元/本，笔的价格是y元/支，根据“购买1个笔记本和2支笔的价格是20元，购买2个笔记本和3支笔的价格是36元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设二等奖设置m名，则三等奖设置(30−5−m)名，根据设置二等奖的数量不少于三等奖数量的23，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购买奖品共花费w元，利用总价=购买一等奖奖品所需费用×设置一等奖的数量+购买二等奖奖品所需费用×设置二等奖的数量+购买三等奖奖品所需费用×设置三等奖的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
21.【答案】解：(1)由题意，∵抛物线的顶点为(0,7.5)，对称轴是y轴，
∴可设抛物线为y=ax2+7.5．
又B为(2.5,0)，
∴0=a×6.25+7.5．
∴a=−1.2．
∴抛物线的解析式为y=−1.2x2+7.5．
(2)由题意，∵原有灯管M，N与最高点的水平距离为1m，
∴可令x=1，则y=−1.2×12+7.5=6.3．
∴升降梯的最低高度应为6.3−1.8=4.5(m)．
【解析】(1)依据题意，由抛物线的顶点为(0,7.5)，对称轴是y轴，从而可设抛物线为y=ax2+7.5，又B为(2.5,0)，故求得a的值，进而可以得解；
(2)依据题意，由原有灯管M，N与最高点的水平距离为1m，故可令x=1，则y=−1.2×12+7.5=6.3，从而可以得解．
本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练并能灵活运用二次函数的性质是关键．
22.【答案】解：(1)如图1所示：
连接AC，OA，
根据题意可知，CD为⊙O的直径，∠CAD是直径CD所对的圆周角，
∴∠CAD=90°，
∴∠OAC+∠OAD=∠CAD=90°，
∵AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
即∠OAB=90°，
∴∠OAC+∠CAB=∠OAB=90°，
∴∠OAD=∠CAB，
∵OD=OA，
∴∠D=∠OAD，
∴∠D=∠CAB，
∵AD//BC，
∴∠ACB=∠CAD=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
∴∠D+∠B=90°，
(2)如图2所示：
过点C作CH⊥AB于H点，
∵∠CAB+∠B=90°，
∴∠CAB=90°−∠B=90°−60=30°，
∵CH⊥AB，
又∵点C到AB所在直线的距离为15，
∴CH=15，
∴AC=2CH=2×15=30，
∵∠CAD=90°，
∴∠D+∠OCA=90°，
又∵∠D+∠B=90°，
∴∠OCA=∠B=60°，
∵OC=OA，
∴△OAC为等边三角形，
∴OC=AC=30，
∴轮胎直径=2OC=2×30=60(cm)．
【解析】(1)连接AC，OA，根据圆周角定理的推论可得∠OAC+∠OAD=90°，由AB与⊙O相切可得到∠OAC+∠CAB=90°，从而得到∠OAD=∠CAB，再由AD//BC，得到∠OAD，∠CAB分别与∠D，∠B的关系而从推出结论；
(2)过点C作CH⊥AB于H点，得到△AHC为直角三角形，求出AC的长，再由(1)题的结论及条件得出△OAC为等边三角形即可得出结论．
本题了考查圆周角定理结论以及切线性质和等边三角形的判定，根据圆的切线垂直于过切点的半径，两直线平行，内错角相等，以及直角三角形的两个锐角互余，由此即可求解．
23.【答案】12 14 AE(答案不唯一) 3≤m<3
【解析】解：(1)∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB= 3，∠ADC=90°，
∵点D的对应点D′恰好与点H重合，
∴HC=DC= 3，
∵矩形纸片ABCD对折，使点D与点A重合，点C与点B重合，折痕为EF，然后展开，EF与CA交于点H，
∴AE=CF，∠AEH=∠CFH=90°，∠AHE=∠CHF，
∴△AEH≌△CFH(SAS)，
∴AH=CH= 3，EH=HF=12EF= 32，
即AC=2 3，
∴sin∠ACB=ABAC= 32 3=12；
在Rt△ACD中，AD= AC2−CD2= (2 3)2−( 3)2=3，
根据折叠可知，DG=GH，DE=AE=12AD=32，
设DG=GH=x，GE=32−x，
在Rt△GEH中，GH2=GE2+EH2，
即x2=(32−x)2+( 32)2，
解得：x=1，
∴GE=32−1=12，
CG= DG2+DC2= 12+( 3)2=2，
∴EGCG=122=14；
故答案为：12；14．
(2)∵sin∠ACB=12，
∴∠ACB=30°，
∵∠DCB=90°，
∴∠DCA=90°−30°=60°，
根据折叠可知，∠DCG=∠GCH=12∠DCH=30°，
∴∠GCH=∠HCF，
∵∠GHC=∠HFC=90°，
∴△GCH∽△HCF，
∴CGCH=CHCF，
即CH2=CG⋅CF，
∵CF=BF=AE=DE，
∴空白处可以填AE或CF或BF或DE．
故答案为：AE或CF或BF或DE(填其中任意一条即可)．
(3)∵在将上面的矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，点D的对应点D′在以点C为圆心，以CD为半径的圆上，
∴当点D′在AC上时，D′A最小，
即D′A的最小值为AH，
∴m≥ 3，
∵点D′落在矩形的内部或一边上，
∴当点D′在点D时，D′A最大，
∵0°<α≤90°，
∴D′A最大无法取到最大值3，
∴m<3，
综上分析可知，m的取值范围是 3≤m<3．
故答案为： 3≤m<3．
(1)根据矩形的性质，结合折叠知识，得出HC=DC= 3，△AEH≌△CFH，得出AH=CH= 3，得出AC=2 3，即可求出sin∠ACB；设DG=GH=x，则GE=32−x，在Rt△GEH中，根据勾股定理，列出关于x的方程，解方程得出x的值，求出GE，CG，即可得出答案；
(2)根据sin∠ACB=12，得出∠ACB=30°，根据∠DCB=90°，得出∠DCA=60°，根据折叠得出∠DCG=∠GCH=12∠DCH=30°，即可得出∠GCH=∠HCF，从而可以证明△GCH∽△HCF，根据相似三角形的性质，即可得出结论；
(3)先根据折叠确定点D′的轨迹，然后根据其轨迹找出D′A的最大值和最小值，即可确定m的取值范围．
本题主要考查了矩形的折叠问题，熟练掌握矩形的性质、三角函数的定义、三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，根据折叠得出D′的轨迹，是解题的关键．年份
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
收入
3
8
9
a
14
18
支出
1
4
5
6
c
6
存款余额
2
6
10
15
b
34
一等奖
二等奖
三等奖
奖品
1本《诗经
》2个笔记本、1支笔
1本《诗经》
2支笔
1个笔记本
2支笔
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